高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第3節(jié)　空間直線、平面的平行（講義）

第3節(jié)空間直線、平面的平行[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.以立體幾何的定義、基本事實(shí)和定理為出發(fā)點(diǎn),通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證,認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定.2.能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)因?yàn)閘∥a,a?α,l?α,所以l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行(線面平行?線線平行)因?yàn)閘∥α,l?β,α∩β=b,所以l∥b2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行(線面平行?面面平行)因?yàn)閍∥β,b∥β,a∩b=P,a?α,b?α,所以α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交,那么兩條交線平行(面面平行?線線平行)因?yàn)棣痢桅?α∩γ=a,β∩γ=b,所以a∥b1.平行間的三種轉(zhuǎn)化關(guān)系2.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.3.平行問題中的唯一性(1)過直線外一點(diǎn)與該直線平行的直線有且只有一條.(2)過平面外一點(diǎn),與該平面平行的平面有且只有一個(gè).1.(2022·遼寧鞍山模擬)已知平面α,兩條不同直線l和m,若m?α,則“l(fā)∥m”是“l(fā)∥α”的(D)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:根據(jù)題意,l∥m且l?α,才有l(wèi)∥α,反之,若l∥α,l與m可能異面,故“l(fā)∥m”是“l(fā)∥α”的既不充分也不必要條件.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中點(diǎn),則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為.解析:如圖所示,連接BD交AC于F,連接EF,則EF是△BDD1的中位線,所以EF∥BD1,又EF?平面ACE,BD1?平面ACE,所以BD1∥平面ACE.答案:平行3.(必修第二冊P135練習(xí)T4改編)如圖所示,P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn),平面α∥平面ABC,α分別交線段PA,PB,PC于A′,B′,C′,若PA′∶AA′=3∶4,則S△A′B′C′∶S△ABC=.

解析:由題意,因?yàn)槠矫姒痢纹矫鍭BC,所以A′B′∥AB,B′C′∥BC,A′C′∥AC,所以PA′∶PA=PB′∶PB=A′B′∶AB,PB′∶PB=PC′∶PC=B′C′∶BC,PC′∶PC=PA′∶PA=A′C′∶AC,所以A′B′∶AB=B′C′∶BC=A′C′∶AC,所以△A′B′C′∽△ABC.所以S△A′B′C′∶S△ABC=A′B′2∶AB2.又因?yàn)镻A′∶A′A=3∶4,所以PA′∶PA=3∶7,所以A′B′∶AB=3∶7,所以S△A′B′C′∶S△ABC=9∶49.答案:9∶49直線、平面平行的基本問題1.(多選題)平面α與平面β平行的條件可以是(BCD)A.α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行B.α內(nèi)的任何直線都與β平行C.兩條相交直線同時(shí)與α,β平行D.兩條異面直線同時(shí)與α,β平行解析:當(dāng)α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行時(shí),α與β可能平行,也可能相交,故A錯誤;當(dāng)α內(nèi)的任何直線都與β平行時(shí),必有兩條相交直線與β平行,故B正確;兩條相交直線同時(shí)與α,β平行,設(shè)兩相交直線確定平面γ,則γ∥α,γ∥β,可得α∥β,故C正確;兩條異面直線同時(shí)與α,β平行,則可在一條直線上取一點(diǎn)作另一條直線的平行線,問題轉(zhuǎn)化為C項(xiàng)的條件,故D正確.2.a,b是空間兩條不相交的直線,那么過直線b且平行于直線a的平面(B)A.有且僅有一個(gè) B.至少有一個(gè)C.至多有一個(gè) D.有無數(shù)個(gè)解析:因?yàn)閍,b是空間兩條不相交的直線,所以a,b的位置關(guān)系有兩種:即平行或異面.若a,b平行,那么過直線b且平行于直線a的平面有無數(shù)個(gè);若a,b異面,如圖,在b上任取一點(diǎn)O,過O作c∥a,則b,c確定平面α,所以a∥α,那么過直線b且平行于直線a的平面只有1個(gè).綜上,過直線b且平行于直線a的平面至少有一個(gè).3.(多選題)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,則(ABD)A.平面PAD內(nèi)任意一條直線都不與BC平行B.平面PBC內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面PAD平行C.平面PAB和平面PCD的交線不與底面ABCD平行D.平面PAD和平面PBC的交線不與底面ABCD平行解析:若平面PAD內(nèi)存在直線與BC平行,則BC∥平面PAD,由BC?平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,可得BC∥AD,則四邊形ABCD為平行四邊形,與已知矛盾,故A正確;平面PAD和平面PBC的一個(gè)交點(diǎn)為P,故兩者存在過點(diǎn)P的一條交線,在平面PBC內(nèi),與平面PAD和平面PBC的交線平行的所有直線均與平面PAD平行,故B正確;由AB∥CD得AB∥平面PCD,進(jìn)而AB平行于平面PAB與平面PCD的交線,所以平面PAB與平面PCD的交線與底面ABCD平行,故C錯誤;若平面PAD與平面PBC的交線與底面ABCD平行,則平面PAD與平面PBC的交線與BC平行,與AD也平行,則BC∥AD,與已知矛盾,故D正確.解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問題的注意點(diǎn)(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件,如線面平行的判定定理中,條件“線在面外”易忽視.(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形,結(jié)合圖形作出判斷.(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.直線與平面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定[例1](1)如圖,三棱錐D-ABC,點(diǎn)M,N分別為△ABD和△ABC的重心.證明:CD∥平面BMN;(2)在如圖1所示的等腰梯形CDEF中,CD∥EF,將它沿著兩條高AD,BC折疊成如圖2所示的四棱錐E-ABCD(E,F重合),點(diǎn)M,N分別為線段AB,DE的中點(diǎn).證明:MN∥平面BEC.證明:(1)延長BM交AD于點(diǎn)P,延長BN交AC于點(diǎn)O,連接PO.因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別為△ABD和△ABC的重心,所以點(diǎn)P,O分別為AD和AC的中點(diǎn),所以PO∥CD,又CD?平面BMN,PO?平面BMN,所以CD∥平面BMN.(2)取EC的中點(diǎn)G,連接NG,BG,因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別為線段AB,DE的中點(diǎn).所以NG12DC,又ABDC,所以NGBM,所以四邊形MBGN是平行四邊形,所以MN∥BG,又MN?平面BEC,BG?平面BEC,所以MN∥平面BEC.證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,解題的思路是利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì),或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行,注意內(nèi)外平行三條件,缺一不可.直線與平面平行的性質(zhì)[例2]如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn),M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過G和AP作平面交平面BMD于GH.求證:AP∥GH.證明:如圖所示,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接MO,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以O(shè)是AC的中點(diǎn),又M是PC的中點(diǎn),所以AP∥OM.又MO?平面BMD,AP?平面BMD,所以AP∥平面BMD.因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BMD=GH,且AP?平面PAHG,所以AP∥GH.(1)通過線面平行可得到線線平行,其中一條線應(yīng)是兩平面的交線,要樹立這種應(yīng)用意識.(2)利用線面平行的性質(zhì)必須先找出交線.[針對訓(xùn)練]1.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,M是線段EF的中點(diǎn).求證:AM∥平面BDE.證明:設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,連接OE,因?yàn)锳BCD是正方形,所以O(shè)是AC的中點(diǎn),又因?yàn)锳CEF是矩形,ACEF,又M是EF的中點(diǎn),所以AOEM,所以四邊形AOEM為平行四邊形,所以AM∥OE,又AM?平面BDE,OE?平面BDE,所以AM∥平面BDE.2.如圖,已知三棱錐P-ABC中,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),經(jīng)過DE的平面α與PB,PC分別交于點(diǎn)G,F,且PA∥α.求證:四邊形DEFG是平行四邊形.證明:因?yàn)镻A∥α,PA?平面PAB,PA?平面PAC,α∩平面PAB=DG,α∩平面PAC=EF,所以PA∥DG,PA∥EF,所以EF∥DG,因?yàn)镈,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以DE∥BC,又DE?平面PBC,BC?平面PBC,所以DE∥平面PBC,因?yàn)镈E?α,α∩平面PBC=GF,所以DE∥GF,所以四邊形DEFG是平行四邊形.面面平行的判定與性質(zhì)[例3]如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分別為B1C1,A1B1,AB的中點(diǎn).(1)求證:平面A1C1G∥平面BEF;(2)若平面A1C1G∩BC=H,求證:H為BC的中點(diǎn).證明:(1)因?yàn)镋,F分別為B1C1,A1B1的中點(diǎn),所以EF∥A1C1.因?yàn)锳1C1?平面A1C1G,EF?平面A1C1G.所以EF∥平面A1C1G,又F,G分別為A1B1,AB的中點(diǎn),所以A1F=BG.又A1F∥BG,所以四邊形A1GBF為平行四邊形,則BF∥A1G.因?yàn)锳1G?平面A1C1G,BF?平面A1C1G,所以BF∥平面A1C1G.又EF∩BF=F,EF,BF?平面BEF,所以平面A1C1G∥平面BEF.(2)因?yàn)槠矫鍭BC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G,則有經(jīng)過G的直線,設(shè)交BC于點(diǎn)H,如圖,則A1C1∥GH,得GH∥AC,因?yàn)镚為AB的中點(diǎn),所以H為BC的中點(diǎn).判斷、證明面面平行的方法(1)面面平行的定義.(2)面面平行的判定定理:一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.[針對訓(xùn)練]如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn),求證:(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明:(1)因?yàn)镚,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),所以GH是△A1B1C1的中位線,GH∥B1C1.又因?yàn)锽1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四點(diǎn)共面.(2)在△ABC中,E,F分別為AB,AC的中點(diǎn),所以EF∥BC.因?yàn)镋F?平面BCHG,BC?平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因?yàn)锳1G∥EB,A1G=EB,所以四邊形A1EBG是平行四邊形,則A1E∥GB.因?yàn)锳1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.因?yàn)锳1E∩EF=E,A1E?平面EFA1,EF?平面EFA1,所以平面EFA1∥平面BCHG.平行關(guān)系的探索問題[例4]如圖,四邊形ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,DE=3,AF=1.(1)求證:平面ABF∥平面DCE;(2)在DE上是否存在一點(diǎn)G,使平面FBG將幾何體ABCDEF分成上、下兩部分的體積比為3∶5?若存在,求出點(diǎn)G的位置;若不存在,請說明理由.(1)證明:因?yàn)镈E⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,所以DE∥AF,又DE?平面DCE,AF?平面DCE,所以AF∥平面DCE,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AB∥CD,又CD?平面DCE,AB?平面DCE,所以AB∥平面DCE,因?yàn)锳B∩AF=A,AB?平面ABF,AF?平面ABF,所以平面ABF∥平面DCE.(2)解:存在點(diǎn)G,滿足題意,理由如下:假設(shè)存在一點(diǎn)G,過G作MG∥BF交EC于點(diǎn)M,連接FG,BG,BM,BD如圖,由V幾何體ABCDEF=VB?ADEF+=13×3×(1+3)×32+=212設(shè)EG=t,則V幾何體GFBME=VB?EFG+VB?EGM=212×3設(shè)點(diǎn)M到ED的距離為h,則?3=EMEC=即h=32則S△EGM=12·t·32t=34V幾何體GFBME=VB?EFG+VB?EGM=13×3×12×3·t+13×3·34t解得t=32或t=-7則在DE上存在點(diǎn)G,當(dāng)EG=32解決這種數(shù)值或存在性問題的題目時(shí),注意先給出具體的值或先假設(shè)存在,然后再證明.[針對訓(xùn)練]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別為對角線BD,CD1上的點(diǎn),且CQQD1=BP(1)求證:PQ∥平面A1D1DA;(2)若R是AB上的點(diǎn),ARAB的值為多少時(shí),能使平面PQR∥平面A1D1(1)證明:連接CP并延長與DA的延長線交于點(diǎn)M,如圖,連接MD1,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以BC∥AD,故△PBC∽△PDM,所以CPMP=PBPD=又因?yàn)镃QQD1=PBPD=23,所以CQ所以PQ∥MD1.又MD1?平面A1D1DA,PQ?平面A1D1DA,故PQ∥平面A1D1DA.(2)解:當(dāng)ARAB的值為35時(shí),能使平面PQR∥平面A1D證明如下:因?yàn)锳RAB=3即BRAR=23,故BRAR所以PR∥DA.又DA?平面A1D1DA,PR?平面A1D1DA,所以PR∥平面A1D1DA,由(1)知PQ∥平面A1D1DA,PQ∩PR=P,PQ,PR?平面PQR,所以平面PQR∥平面A1D1DA.[例1]如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()解析:在B中,易證AB∥MQ,排除B;在C中,易證AB∥MQ,排除C;在D中,易證AB∥NQ,排除D.故選A.[例2](多選題)(2022·河北石家莊二模)一幾何體的平面展開圖如圖所示,其中四邊形ABCD為正方形,E,F分別為PB,PC的中點(diǎn),在此幾何體中,給出的下面結(jié)論正確的有()A.直線AE與直線BF異面B.直線AE與直線DF異面C.直線EF∥平面PADD.直線EF∥平面ABCD解析:由題可知,該幾何體為正四棱錐,可假設(shè)AE與BF共面,由圖可知,點(diǎn)F不在平面ABE中,故矛盾,A正確;因?yàn)镋,F分別為BP,CP的中點(diǎn),故EF∥BC,又四邊形ABCD為正方形,所以AD∥BC,故EF∥AD,A,D,E,F四點(diǎn)共面,B錯誤;由B的證明可知,EF∥AD,又AD?平面PAD,AD?平面ABCD,故直線EF∥平面PAD,直線EF∥平面ABCD,C,D正確.故選ACD.[例3]如圖,已知三棱錐A-BCD的截面MNPQ平行于對棱AC,BD,且ACBD=m,AM①對于任意的m,n,都有截面MNPQ是平行四邊形;②當(dāng)AC⊥BD時(shí),對任意的m,都存在n,使得截面MNPQ是正方形;③當(dāng)m=1時(shí),截面MNPQ的周長與n無關(guān);④當(dāng)AC⊥BD,且AC=BD=2時(shí),截面MNPQ的面積的最大值為1.其中假命題的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3解析:因?yàn)锳C∥平面MNPQ,AC?平面ABC,平面ABC∩平面MNPQ=MN,所以AC∥MN,同理AC∥PQ,所以MN∥PQ,同理MQ∥PN,所以對于任意的m,n,都有截面MNPQ是平行四邊形,所以①正確;當(dāng)AC⊥BD時(shí),則MN⊥PN,所以截面MNPQ是矩形,要使截面MNPQ是正方形,只需MN=NP,由MN∥AC,所以MNAC=BMAB,由所以BMAB=1n+1,所以MNAC=1n+1,即MN=1n+1AC,又所以NP=nn+1因?yàn)镸N=NP,所以1n+1AC=n又ACBD③當(dāng)m=1時(shí),設(shè)AC=BD=x,所以MN=xn+1,PN=④當(dāng)AC⊥BD,且AC=BD=2時(shí),PN=nn+1·2=2nn+1,MN=1n+1·2=2n+1[例4]在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn),若平面BC1D∥平面AB1D1,則ADDC=解析:如圖,連接A1B交AB1于點(diǎn)O,連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知四邊形A1ABB1為平行四邊形,所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn).因?yàn)槠矫鍮C1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,所以BC1∥D1O.所以D1為線段A1C1的中點(diǎn),即D1C1=12A1C1因?yàn)槠矫鍮C1D∥平面AB1D1,且平面AA1C1C∩平面BDC1=DC1,平面AA1C1C∩平面AB1D1=AD1,所以AD1∥DC1.又AD∥D1C1,所以四邊形ADC1D1是平行四邊形,所以AD=C1D1=12A1C1=1即D為線段AC的中點(diǎn),所以ADDC答案:1[選題明細(xì)表]知識點(diǎn)、方法題號直線、平面平行的基本問題1直線、平面平行的判定與性質(zhì)2,3,6,8,12平面、平面平行的判定與性質(zhì)4,7綜合問題5,9,10,11,13,141.下列命題正確的是(D)A.若直線a在平面α外,則直線a∥αB.若直線a與平面α有公共點(diǎn),則a與α相交C.若平面α內(nèi)存在直線與平面β無交點(diǎn),則α∥βD.若平面α內(nèi)的任意直線與平面β均無交點(diǎn),則α∥β解析:直線a在平面α外,則直線a∥α或a與α相交,故A錯誤;直線a與平面α有公共點(diǎn),則a與α相交或a?α,故B錯誤;C中α與β可能平行,也可能相交,故C錯誤;若平面α內(nèi)的任意直線與平面β均無交點(diǎn),則平面α內(nèi)的任意直線與平面β平行,一定存在兩條相交直線與平面β平行,則α∥β,故D正確.2.已知在三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分別為AC,B1C1的中點(diǎn),E,F分別為BC,B1B的中點(diǎn),則直線MN與直線EF、平面ABB1A1的位置關(guān)系分別為(B)A.平行、平行 B.異面、平行C.平行、相交 D.異面、相交解析:因?yàn)樵谌庵鵄BCA1B1C1中,M,N分別為AC,B1C1的中點(diǎn),E,F分別為BC,B1B的中點(diǎn),所以EF?平面BCC1B1,MN∩平面BCC1B1=N,N?EF,所以由異面直線的定義得直線MN與直線EF是異面直線.取A1C1的中點(diǎn)P,連接PM,PN,如圖,則PN∥B1A1,PM∥A1A.又PN?平面ABB1A1,B1A1?平面ABB1A1,PM?平面ABB1A1,A1A?平面ABB1A1,所以PN∥平面ABB1A1,PM∥平面ABB1A1.因?yàn)镻M∩PN=P,PM,PN?平面PMN,所以平面PMN∥平面ABB1A1,因?yàn)镸N?平面PMN,所以直線MN與平面ABB1A1平行.3.三棱柱ABCA1B1C1中,點(diǎn)M在AB上,且AM=λAB,若BC1∥平面A1MC,則λ等于(A)A.12 B.C.14 D.解析:如圖,連接AC1,交A1C于O,連接OM,因?yàn)锽C1∥平面A1MC,BC1?平面ABC1,平面A1MC∩平面ABC1=OM,所以BC1∥OM,因?yàn)椤鰽BC1中,O為AC1的中點(diǎn),所以M為AB的中點(diǎn),因?yàn)锳M=λAB,所以λ=124.在三棱臺A1B1C1ABC中,點(diǎn)D在A1B1上,且AA1∥BD,點(diǎn)M是三角形A1B1C1內(nèi)(含邊界)的一個(gè)動點(diǎn),且有平面BDM∥平面A1ACC1,則動點(diǎn)M的軌跡是(C)A.三角形A1B1C1邊界的一部分B.一個(gè)點(diǎn)C.線段的一部分D.圓的一部分解析:如圖,過D作DE∥A1C1交B1C1于E,連接BE,BD∥AA1,BD?平面AA1C1C,AA1?平面AA1C1C,所以BD∥平面AA1C1C,同理DE∥平面AA1C1C,又BD∩DE=D,BD,DE?平面BDE,5.(多選題)在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N,Q分別是棱D1C1,A1D1,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在BD1上且BP=23BD1,則以下四個(gè)說法正確的是(BC)A.MN∥平面APCB.C1Q∥平面APCC.A,P,M三點(diǎn)共線D.平面MNQ∥平面APC解析:如圖,對于A,連接MN,AC,AN,則MN∥AC,連接AM,CN,易得AM,CN交于點(diǎn)P,即MN?平面APC,所以MN∥平面APC是錯誤的;對于B,由A項(xiàng)知M,N在平面APC內(nèi),由題易知AN∥C1Q,AN?平面APC,C1Q?平面APC,所以C1Q∥平面APC是正確的;對于C,由A項(xiàng)知A,P,M三點(diǎn)共線是正確的;對于D,由A項(xiàng)知MN?平面APC,又MN?平面MNQ,所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的.6.三棱錐ABCD中,AB=CD=1,過線段BC的中點(diǎn)E作平面EFGH與直線AB,CD都平行,且分別交BD,AD,AC于F,G,H,則四邊形EFGH的周長為.

解析:因?yàn)锳B∥平面EFGH,AB?平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=EH,所以AB∥EH,又點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),所以EH為三角形ABC的中位線,故EH=12AB=1同理,EF=FG=GH=12所以四邊形EFGH的周長為2.答案:27.已知平面α∥平面β,P是α,β外一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線m與α,β分別交于A,C兩點(diǎn),過點(diǎn)P的直線n與α,β分別交于B,D兩點(diǎn),且PA=6,PD=8,AC=9,則BD的長可能為.

解析:連接AB,CD,當(dāng)P在平面α與平面β的同側(cè)時(shí),因?yàn)棣痢桅?平面PCD∩α=AB,平面PCD∩β=CD,所以AB∥CD,可得PAAC=PB因?yàn)镻A=6,AC=9,PD=8,所以BD=245當(dāng)P在平面α與平面β之間時(shí),同理可得PAPC=PB因?yàn)镻A=6,AC=9,PD=8,所以PB=16,所以BD=PB+PD=24.綜上所述,可得BD的長為245答案:2458.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=3,F是棱PA上的一個(gè)動點(diǎn),E為PD的中點(diǎn),O為AC的中點(diǎn).(1)求證:OE∥平面PAB;(2)若AF=1,求證:CE∥平面BDF.證明:(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,O為AC的中點(diǎn),所以O(shè)為BD的中點(diǎn),又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),所以O(shè)E∥PB.因?yàn)镺E?平面PAB,PB?平面PAB,所以O(shè)E∥平面PAB.(2)如圖所示,過E作EG∥FD交AP于點(diǎn)G,連接CG,FO.因?yàn)镋G∥FD,EG?平面BDF,FD?平面BDF.所以EG∥平面BDF.因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),EG∥FD,所以G為PF的中點(diǎn),因?yàn)锳F=1,PA=3,所以F為AG的中點(diǎn),又因?yàn)镺為AC的中點(diǎn),所以O(shè)F∥CG.因?yàn)镃G?平面BDF,OF?平面BDF,所以CG∥平面BDF.因?yàn)镋G∩CG=G,EG?平面CGE,CG?平面CGE,所以平面CGE∥平面BDF,又因?yàn)镃E?平面CGE,所以CE∥平面BDF.9.(多選題)在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中,M是A1B1的中點(diǎn),N在該正方體的棱上運(yùn)動,則下列說法正確的是(BC)A.存在點(diǎn)N,使得MN∥BC1B.三棱錐MA1BC1的體積等于94C.有且僅有兩個(gè)點(diǎn)N,使得MN∥平面A1BC1D.有且僅有三個(gè)點(diǎn)N,使得N到平面A1BC1的距離為3解析:如圖,顯然無法找到點(diǎn)N,使得MN∥BC1,故A錯誤;VM?A1BC1=VB?A1MC1=13如圖所示,N1,N2分別為B1B,B1C1的中點(diǎn),有MN1∥平面A1BC1,MN2∥平面A1BC1,故C正確;易證B1D⊥平面A1BC1,B1D⊥平面ACD1,且B1O1=O1O2=O2D=13B1D=3所以有B1,A,C,D1四點(diǎn)到平面A1BC1的距離為3,故D錯誤.10.如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,P為棱BB1的中點(diǎn),Q為正方形BB1C1C內(nèi)一動點(diǎn)(含邊界),若D1Q∥平面A1PD,則線段D1Q長度的取值范圍是(D)A.[1,2] B.[324,C.[1,52] D.[324解析:如圖,取CC1的中點(diǎn)E,B1C1的中點(diǎn)F,連接D1E,D1F,EF,B1C,所以EF∥B1C,在正方體中,易得B1C∥A1D,所以EF∥A1D,因?yàn)镋F?平面A1PD,A1D?平面A1PD,所以EF∥平面A1PD,因?yàn)镻,E分別為BB1,CC1的中點(diǎn),所以D1E∥A1P,因?yàn)镈1E?平面A1PD,A1P?平面A1PD,所以D1E∥平面A1PD,因?yàn)镋F∩D1E=E,EF,D1E?平面D1EF,所以平面D1EF∥平面A1PD,因?yàn)镈1Q∥平面A1PD,所以D1Q?平面D1EF,又Q為正方形BB1C1C內(nèi)一動點(diǎn)(含邊界),所以Q在線段EF上,可得D1E=52,D1F=52,EF=則當(dāng)Q是EF的中點(diǎn)時(shí),D1Q取得最小值為(52)當(dāng)Q在EF兩端時(shí),D1Q取得最大值為52所以D1Q長度的取值范圍是[324,11.如圖,四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點(diǎn).求證:(1)BE∥平面DMF;(2)平面BDE∥平面MNG.證明:(1)如圖,連接AE,則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O,連接MO,因?yàn)樗倪呅蜛DEF為平行四邊形,所以O(shè)為AE的中點(diǎn),又M為AB的中點(diǎn),所以MO為△ABE的中位線,所以BE∥MO,又因?yàn)锽E?平面DMF,MO?平面DMF,所以BE∥平面DMF.又因?yàn)镈E?平面MNG,GN?平面MNG,所以DE∥平面MNG.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn),N為AD的中點(diǎn),所以MN為△ABD的中位線,所以BD∥MN,因?yàn)锽D?平面MNG,MN?平面MNG,所以BD∥平面MNG,因?yàn)镈E與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線,所以平面BDE∥平面MNG.CD=2AB.(1)設(shè)平面PAB∩平面PDC=l,證明:AB∥l;(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)M,使得PA∥平面MBD?若存在,請確定點(diǎn)M的位置;若不存在,請說明理由.(1)證明:因?yàn)锳B∥CD,AB?平面PDC,CD?平面PDC,所以AB∥平面PDC,又AB?平面PAB,平面PAB∩平面PDC=l,所以AB∥l.(2)解:存在點(diǎn)M,為PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn),使得PA∥平面MBD,連接AC,設(shè)AC∩BD=O,連接OM,因?yàn)镸為PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn),又AB∥CD,CD=2AB,所以AOOC=ABCD=12又PA?平面MBD,OM?平面MBD,所以PA∥平面MBD.13.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,如圖所示.(1)求證:平面AB1D1∥平面C1BD;(2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點(diǎn)E,F,求EF.(1)證明:在正方體ABCDA1B1C1D1中,ADB1C1,所以四邊形AB1C1D