2022-2023學(xué)年福建省福州市四校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022?2023學(xué)年福建省福州市四校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.(5分)設(shè)集合A={(x,y)|y=2x},B={(x,y)|y=W},則4CB的元素個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

2.（5分）歐拉公式/e=cos6+isin。由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，其將自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e,虛數(shù)單位i與三角函

數(shù)cos?,sin。聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋“，若復(fù)數(shù)z=濠，則2的虛部為（）

V2V2

A./B.1C.-iD.——

22

3.（5分）已知圓M：（4-2）2+（y?]）2=],圓M（x+2）2+（y+l）2=],則下列不是M,N兩圓公切

線的直線方程為（）

A.y=0B.4x-3j=0C.%—2y+V5=0D.x4-2y—V5=0

4.（5分）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為。，A8為底面直徑，/A尸8=120°,以=2,點(diǎn)。在底面圓

周上，且二面角P-AOO為45°,則△B4C的面積為（）

A.V3B.2C.2V2D.2,

5.（5分）在數(shù)列｛“”｝中，。1=1,且函數(shù)/（x）=/+?！?了武-（2a”+3）x+3的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則。9

的值為（）

A.1021B.1022C.1023D.1024

AC-BC

6.（5分）△ABC中，sin（^7r~=cos2A,則的取值范圍是（）

A.（一1，1B.（卜1I1）C.61，令7D.辭1令2

/y2

7.（5分）已知橢圓/+會(huì)=1（。＞匕＞0）的兩焦點(diǎn)為尸1,尸2,x軸上方兩點(diǎn)A,3在橢圓上，A力與8尸2

平行，A尸2交于P.過(guò)P且傾斜角為a（aWO）的直線從上到下依次交橢圓于S,T.若儼S|=B|P7],

則“a為定值”是邙為定值”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不必要也不充分條件

8.（5分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，P,。分別是函數(shù)/（外-In（ar）和g（%）=弛*久圖象上

的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意。>0,有IPQI2加恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為（）

A.V3B.-VzC.V2D.—

22

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.（5分）已知向量：=（1,3）,b=（2%,2-x）,其中xWR,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若；1b,則x=6

B.若［與］夾角為銳角,則％V6

C.若x=l,則：在1方向上投影向量為了

D.若向=4

（多選）10.（5分）己知函數(shù)/（x）=j^+ax2+bx+c（a,h,<?ER）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若函數(shù)f（%）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,/（I））中心對(duì)稱，則。=-3

B.當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)/（%）過(guò)原點(diǎn)的切線有且僅有兩條

C.函數(shù)/（%）在［-1,1］上單調(diào)遞減的充要條件是2a?623

D.若實(shí)數(shù)XI,也是/（x）的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且滿足X1+^=X1X2,則。>0或。<?6

（多選）11.（5分）已知函數(shù)/（X）=2sinx+|sin2r|,則（）

A./（x）的最小正周期為2n

B./（x）的圖象關(guān)于％=*對(duì)稱

C./（x）在［0,2汨上有四個(gè)零點(diǎn)

D./（x）的值域?yàn)椋?2,竽］

（多選）12.（5分）已知拋物線C：y2=4x,過(guò)焦點(diǎn)尸的直線/與。交于4（xi,yi）,B（r,"）兩點(diǎn),

”>2,E與尸關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB與直線AE的傾斜角分別是a與0,則（）

A.sina>tanpB.NAEF=/BEFC.ZAEB<90°D.a<2g

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.

13.（5分）（魚(yú)工一、/展開(kāi)式中//的系數(shù)為（用數(shù)字作答）

14.（5分）已知某批零件的質(zhì)量指標(biāo)D單位：亳米）服從正態(tài)分布N（25.40,。2）,且P（E225.45）

=0.1,現(xiàn)從該批零件中隨機(jī)取3件，用X表示這3件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,不位于區(qū)間（25.35,25.45）

的產(chǎn)品件數(shù)，則。（X）=.

15.(5分)已知/(x)為奇函數(shù)，當(dāng)尤(0,1],f(x)=lnx,且/(%)關(guān)于直線％=1對(duì)稱.設(shè)方程f(x)

=r+l的正數(shù)解為xi,.m…，x”.…，且任意的〃￡N,總存在實(shí)數(shù)M,使得成立，則實(shí)數(shù)

M的最小值為.

16.(5分)在平面四邊形A8CO中，乙408=90。，/48C=90。，BD=BC=2,沿對(duì)角線40將△ABQ

折起，使平面AOB_L平面BDC,得到三棱錐4-BCD,則三棱錐A-BCD外接球表面積的最小值

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)已知數(shù)列｛的｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和為S“，且滿足%=(竽＞.

⑴求am

(2)設(shè)％=(〃―匚4設(shè)數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為若與之對(duì)一徹〃WN*恒成立，求

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

18.(12分)記銳角△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知竺紇?=則"0.

cosBcosC

(1)求證：B=C；

11

(2)若asinC=2,求-7+77的最大值.

a2b2

19.(12分)如圖4,在三棱臺(tái)ABC-481。中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面4CC1A1為等

腰梯形，且4Ci=A4i=l,。為4C的中點(diǎn).

(1)證明：AC-LBD；

(2)記二面角4?4C?B的大小為仇給時(shí)，求直線A41與平面856。所成角的正弦值的

取值范圍.

20.(12分)已知函數(shù)/(％)=rv+cosx-2,f(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)當(dāng)x20時(shí)，求/(x)的最小值；

(2)當(dāng)X2-鄂寸，M+xcosx-a?-2xN0恒成立，求a的取值范圍.

21.(12分)甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負(fù)的一方，需將自己的一枚籌碼給

對(duì)方；若平局，雙方的籌碼不動(dòng)，當(dāng)一方無(wú)籌碼時(shí)，比賽結(jié)束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結(jié)

果可知.在一局中甲勝的概率為0.3、乙勝的概率為02

(1)第一局比賽后，甲的籌碼個(gè)數(shù)記為X,求X的分布列和期望；

(2)求四局比賽后，比賽結(jié)束的概率；

(3)若Pi(i=0,1,6)表示“在甲所得籌碼為i枚時(shí)，最終甲獲勝的概率“，則Po=O,P6=l.證

明：(Pi+i-Pi}(Z=0,1,2,5)為等比數(shù)列.

22.(12分)已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線M4與直線y=x垂直，A為垂足且位于第三象

限；直線MB與直線y=?%垂直，B為垂足且位于第二象限.四邊形OAMB(。為原點(diǎn))的面積為2,

記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)E(2VL0),直線PEQE與C分別交于P,。兩點(diǎn)，直線PE,QE,尸。的斜率分別為力,公，

k3,若心+芬?七=一6,求△PQE周長(zhǎng)的取值范圍?

2022?2023學(xué)年福建省福州市四校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

x

1.（5分）設(shè)集合A={（x,y）\y=2}fB={（x,y）|y=/},則AGB的元素個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如圖，集合A為函數(shù)），=2、圖象的點(diǎn)集，

集合8為函數(shù)），=/圖象的點(diǎn)集，

兩函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

所以ADB的元素個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：C.

2.（5分）歐拉公式網(wǎng)=cose+isine由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，其將自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e,虛數(shù)單位i與三角函

數(shù)cose,sine聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，若復(fù)數(shù)z=Q,則2的虛部為（）

V2V2

A./B.IC.—iD.——

22

【解答】解：Z=屈2=典=C0S今+5加芻二孝+孝i,其虛部為號(hào).

故選：D.

3.（5分）己知圓M：（X-2）2+（y-1）2=],圓N：（彳+2）2+（＞1）2=],則下列不是N兩圓公切

線的直線方程為（）

A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y4-V5=0D.x+2y-V5=0

【解答】解：如圖，圓心M（2,1）,N（?2,-1）,半徑川=廢=1,兩圓相離，有四條公切線.

y

Vs

，1，I———\~

兩圓心坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則有兩條切線過(guò)原點(diǎn)O,

設(shè)切線/：y=kx,則圓心到直線的距離隼粵=1,解得％=0或k=/

另兩條切線與直線MN平行且相距為1,lMN：y=1x,

設(shè)切線，：y=：%+/）,則j=\=L

解得b=土坐（或通過(guò)斜率排除）.所以。項(xiàng)不正確.

故選：D.

4.（5分）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,48為底面直徑，ZAPB=120°,以=2,點(diǎn)。在底面圓

周上，且二面角P-AC-O為45°,則△以C的面積為（）

A.V3B.2C.2\/2D.2V5

【解答】解：如圖所示，???AB為底面直徑，NAP8=120°,PA=2,

:ZAB是等腰三角形，

由余弦定理可得AB2=AP2+BP2-2AP-BP-cosl200=12=>=2V3=20A,P0=

\/PA2-OA2=1,

由圓錐的特征易知附=PC、OA=OC,尸。_L0O,

取AC中點(diǎn)。，連接PD、OD,

顯然有OO_LAC,PDLAC,即二面角P-AC-O為NPOO=45°,

：.P0=0D=1,PD=V2,則4c=2AD=2>JPA2-PD2=2yf2,

,,SAPAC=24。，PD=2.

故選：B.

5.（5分）在數(shù)列｛〃”｝中，山=1,且函數(shù)f（x）=/+a”+isinx-（勿〃+3）x+3的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則〃9

的值為（）

A.1021B.1022C.1023D.1024

4

【解答】解：f(x)=5x4-67/f+lCOSX-(2?！?3),

易知函數(shù)，(X)為偶函數(shù)，

又/(X)有唯一零點(diǎn)，

則必有/(0)=〃“+[-(2如+3)=0,

即a”+i=2?！?3,

則有an+1+3=2(an+3),

所以數(shù)列｛?！?3｝是以2為公比的等比數(shù)列，

又41=1,

貝|」冊(cè)+3=4x2n-1,

所以09=4x28-3=1021.

故選：A.

6.(5分)/XABC中，s譏$-8)=cos2A,則的取值范圍是()

1111912

A.(-1，之)B.(可,力C.(2>可)D.⑦3)

【解答】解：由題意，sing-B)=cosB=cos2A,

在△ABC中，A,BE(0,IT),故2A=8或24+B=2TG

R

當(dāng)24+B=2n時(shí)，/I4-j=7T,故A+8>n,不合要求，舍去，

所以2A=B,C=n-A-B=ir-A-2A=n-3A,

因?yàn)?,BE(0,K),所以2A€(0,ir),即46(0,分

因?yàn)镃=n-3A￡(0,n)?所以4e(0,卷,

ACABBC

由正弦定理得

sinBsinCsinA"

，AC-BC，—sinB-sinA,—sin2A-sinA,—2sinAcosA-sinA,2sinAcosA-sinA

ABsinCsin(n-3A')sin(2A+A)sin2AcosA+cos2AsinA

因?yàn)锳W(0,IT),所以sinA#0,

AC-BC2cosA-l2cosA-l2cosA-l

故

AB2COS2A+COS2A4COS2A-1(2cosA-l)(2cosA+iy

因?yàn)锳E(0,電，所以2cosA-1>0,

,,AC-BC1

故------=---------,

AB2COSA+1

因?yàn)?6(0,亨)，所以cosAW1),2cosAG(1,2),2cosA+lG(2,3),

AC-BC111

故Lt------=---------€(一，-)?

AB2cos4+1T

故選：B.

42y2

7.(5分)己知橢圓后+瓦=l(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為為，放，x軸上方兩點(diǎn)4,8在橢圓上，4a與8放

平行，AB交BF1于P.過(guò)P且傾斜角為a(aWO)的直線從上到下依次交橢圓于S,T.若|PS|=0|P71，

則“a為定值”是“B為定值”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不必要也不充分條件

【解答】解：不妨設(shè)M(X,y)為橢圓/+會(huì)=l(a>b>0)上的動(dòng)點(diǎn)，c為橢圓的半焦距，

此時(shí)Fi(?c,0),

所以|MFJ=V(x+c)2+y2=J(x+c)2+爐(1-金

(x4-c)2+b2(l一韻=J冬+2cx=I。+潤(rùn),

不妨設(shè)直線％x=-y,

則點(diǎn)M到直線1的距離為d=|x+能|,

所以

設(shè)直線的傾斜角為丫，過(guò)M作/的垂線，垂足為S,

X

此時(shí)叫2

\MFA\cosy+—■一c

ex成

所以IMF心

h2

不妨設(shè)P=—，

此時(shí)|M0|=ep

1—ecosy"

同理的1“尸21=訐斯,

設(shè)AQ的傾斜角為仇

可得%，眼初=并斯，

因?yàn)锳Q"尸2,

田吃1l￡z￡l

所以=

LI一~\AP\

.,bt,,\BF2\IF2Pl尸2PlIF2Pl

\AF1\+\BF2\~\AP\+\F2P\~\AF2\"Za-IAF^

\BF\(2a-\AF\)

則F2Pl=2x

MZI+IBFzl'

|仍|(『附

同理,21)

I”=_iwnw",

2|FF2|X|/IF.|

所以同P|+|F〔P|=2a-wn+wr2a-ep,

詈=喈，短半軸長(zhǎng)為3+02)2_次一。2

則P的軌跡為以A,尸2為焦點(diǎn)的橢圓，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a

/y2

則P的軌跡方程為M+c?+a2-C2=1,其中y>0,

(aMyCt_\2

I2a，I2a/

nIPSy=(ys-yp)2=噴-A?

2'而F=(ys+yp)2=(答+1)2

a4+Za2c2+c4

因?yàn)閍2H

4a2

所以IP鼎S不I2是定值'

即即B不是定值,

故“當(dāng)a取定值，0是定值”不符合條件,

又直線盯的參數(shù)方程為修：煞然;

設(shè)S(AX)+/icosa?jo+fisina),T(Ax)+Z2cosa,>,o+Z2sina),

2

E、..（％o+tcosa）2（yo+tsina）

因?yàn)橐晃乙皇挥浺欢?'

整理得（啥+啥*+2（曙+誓）￡+和軍一1=0,

因?yàn)閨PN=0|P7],

2（y十空得）

（1-?^2=一"丁了

（￡os^a+stn^）

此時(shí)＜

奈綠T

-陽(yáng)=（》?；$歷

jocosa?功形或了

(1-0)2

整理得

(1-6)2

若B為定值，則為定值,

一40

^XQCOsaysina^

22tQ2

因r,小(1-6于)2kcosa+wsina=

xo.yo21

滔+k]

,x0cosaypsina.2

—^一始終為定值,

所以當(dāng)P（刈，加）變化時(shí),

222

.XQCOsay()sinay2Xgcosacosasina.yosina

_F—+2%oycQ2b2

岳警T)-

_2K2-2.2.2

X.[cos，a_bsma]+2%,cosasm。十bsma

.0d(a2+c2)200a2b24a2

廬h2

礙一

17]+-27-1

（。2+。2）2」4a

cos2ab2sin2ab2s譏2a

則Y-(Q2+C2)2"—『cosasina,

b2—T2----且----=0,但aKO,ae(0,n),

2___11a?匕"

a2(a2+c2)24Q2

解得a=去

所以(1-0)2_學(xué))2_yo^.

——L^+M1

yp2___________

一29

學(xué)-1+“-3

但此時(shí)史絆隨北2的變化而變化，不是定值，

-4p

則“當(dāng)p取定值，a是定值”是錯(cuò)誤的.

故選：D.

8.(5分)在同一平面直角坐標(biāo)系中，P,。分別是函數(shù)/(x)=axex-In(ax')和g(%)=>"："圖象上

的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意。>0,有伊。|2機(jī)恒成立，則實(shí)數(shù)〃，的最大值為()

I—3[-f—V5

A.V3B.~\2C.V2D.一

22

【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)P,。分別是函數(shù)/(x)=axex-ln(ar)和g(x)=弛字口圖象上的動(dòng)點(diǎn)，

不妨設(shè)PCk,akek-In(ak)),(a,k>0),QCt,----------)?(r>1)>

可得|PQF=(z-n2+[(成環(huán)—加(射))_21n(；-l)]2

[■型嚴(yán)+歐小一加(砒)一燈2

-2'

不妨設(shè)"(r)=t-2ln^~1\函數(shù)定義域?yàn)?1,+8),

可得〃⑴=-237(1)]=『產(chǎn)I),

不妨設(shè)〃⑺=產(chǎn)-令+2/〃(/-I),函數(shù)定義域?yàn)?1,+8),

可得u'(￡)=2t-+￡=2t(產(chǎn)-2/2)>0

(ifI(1)2

所以函數(shù)w(/)在定義域上單調(diào)遞增，

因?yàn)椤?2)=0,

所以函數(shù)/?(力在f=2時(shí)取得極小值卻最小值，

此時(shí)力(2)=2,

不妨設(shè)y(k)=akek-In(ak)-匕函數(shù)定義域?yàn)?0,+°°),

可得v'(k)=a(k+l')ek-—1=(k+l)(ae"—

易知函數(shù)、=Q4在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以存在外>0,

-1

使得ae"。一而=0,

即那。=嬴

解得ko=-In(ako),

所以函數(shù)y(k)在.k=ko時(shí)取得極小值即最小值，

此時(shí)u(如)=1+Ax)-Ao=l>

則|PQF之色肛=參

解得|PQ|N歲，

因?yàn)閷?duì)任意a>0,都杓恒成立，

所以mW挈，

即tn的最大值為^

故選：B.

二多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

(多選)9.(5分)己知向量3=(1,3),b=(2%,2-x),其中xWR,下列說(shuō)法正確的是()

A.若；1b,則x=6

B.若之與芯夾角為銳角，則％V6

C.若x=l,則；在了方向上投影向量為了

D.若同=4

【解答】解：2=(1,3),1=(2%,2-x),

若；_Lb,則；?b=2%+3(2-%)=0,解得x=6,故A正確；

若￡與Z夾角為銳角，則％?1=2%+3〔2-％)>0,解得xV6,

2TA17T7TTT

又當(dāng)％=,b=g,—),此時(shí)Q=,b,a與b夾角為0,

故X的取值范圍為(-8,12)ug2,+8),故8錯(cuò)誤;

若x=l,則b=(2,1),

TT—L

7ta*b2+3ltb2v5

因?yàn)閍在b方向上投影為r-=—T=-=V5?與b同向的單位向量為=(—―

聞V5聞5

TTyfsbT

所以a在b方向上投影向量為r-=(2,1)=b,C正確;

聞

：a=(1,3),

：.\a\=Vl2+32=V10,故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

(多選)10.(5分)已知函數(shù)f(x)=xi+ax1+bx+c(?,b,cGR),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若函數(shù)/CO的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,/(I))中心對(duì)稱，則a=-3

B.當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)/(x)過(guò)原點(diǎn)的切線有且僅有兩條

C.函數(shù)f(x)在［-1,1］上單調(diào)遞減的充要條件是2。-623

D.若實(shí)數(shù)加，X2是/(X)的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且滿足X1+X2=XLX2,則4>0或4V-6

【解答】解：A.函數(shù)/(x)=x3+axj2+/?x+c,f(x)=3x1+2ax+b,f(x)=6x+2a,

令/(x)=6x+2a=0,解得

???函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,/(D)中心對(duì)稱，???一號(hào)=1,解得。=-3,因此A正確.

B.C=0時(shí)，原點(diǎn)(0,0)在函數(shù)/(.E)=/+紈2+6工的圖象上，因此過(guò)原點(diǎn)有一條切線；

若切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為尸(沖，f(xo))(刈聲0),

則切線方程為y-(需+a就+/?xo)=(3就+2aw+。)(x-沖)，

把(0,0)代入可得：刈=一黑若。=0,則函數(shù)/(x)過(guò)原點(diǎn)的切線有且僅有一條；

若則函數(shù)/(x)過(guò)原點(diǎn)的切線有兩條.因此B不正確.

C.函數(shù)f(x)在［-1,1］上單調(diào)遞減u/(x)=31+2*+力=3(%+獷+〃一與=g(x)CO(不恒等

于0)在［-1,1］上恒成立，其對(duì)稱軸為工=一號(hào)

(-IV<1

1—2vs-11

分類討論:或.3或g(-l)=3-2a+/)<0=2a-623,

3-2a+b<0^g⑴=3+2a+b<0

、g⑴=3+2a+d<0

因此C正確.

D.f(x)=3』+2or+A由實(shí)數(shù)xi,X2是f(x)的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，貝U△=4?-12方>0,即d-

3h>0.

,.2ab

.?Xl+X2=-丁,X\X2=g,

**X\+X2=X\X2f

A-y=1,化為b=?2d代入/-36>o,可得。2+6心0,解得心0或aV-6,因此。正確.

故選：ACD.

(多選)11.(5分)己知函數(shù)/(X)=2siru+|sin2x|,則()

A.f(x)的最小正周期為2n

B./(x)的圖象關(guān)于％=*對(duì)稱

C./(x)在［0,2狙上有四個(gè)零點(diǎn)

D./(x)的值域?yàn)椋垡?,孥］

【解答】解：對(duì)于A,函數(shù)y=2sinx的最小正周期為2m函數(shù)y=|sin2v|的最小正周期為半

所以函數(shù)/(x)=2sinx+|sin2r|的最小正周期為2TT,選項(xiàng)4正確；

對(duì)于B,f(-X+TT)=2sin(-X+H)+|sin2(-x+n)|=2sinx+|sin(-2x)|=2sinx+|sin2x|=/(x),

所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=%對(duì)稱，選項(xiàng)8正確；

對(duì)于C,當(dāng)0<x<5時(shí)，f(x)=2sinx+sin2r=2sinx+2situcosx=2siiu(1+cosx),易知此時(shí)/(x)有唯

一零點(diǎn)x=0;

當(dāng)一<x<7T時(shí)，f(x)=2siar-sin2r=2sin.v-2sinxcosx=2sinx(1-cosx),易知此時(shí)f(x)有唯一零

點(diǎn)x=n；

當(dāng)TTVXW當(dāng)時(shí)，f(x)=2sinx+sin2K=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),易知此時(shí)/(x)無(wú)零點(diǎn)；

37r

當(dāng)<x<2兀時(shí)，f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2siarcosx=2siitr(1-cosx),易知此時(shí)f(x)有唯一

零點(diǎn)X=2TT,

所以/(x)在［0,2m上有三個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)％=半時(shí)，y=2sinx取得最小值-2,此時(shí)y=|sin2x|恰好取得最小值0,故/(x)的最小值

為-2；

由選項(xiàng)C的分析可知，當(dāng).詫(m2n］時(shí)，/(x)<0,當(dāng)在［0,n］時(shí)，f(x)>0,而fCr)關(guān)于直線％=*對(duì)

稱,

故可考慮0<x<當(dāng)時(shí)，,f(x)=2sinx+sin2;v的取值情況，f(x)=2COS.￥+2COS2A=2(2COS2A--1)+2cosx

=4COS2X+2COSX-2,

令/(x)=0,解得cosx=-1(舍)或COST=｝則x=條

易知當(dāng)ovxv*時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，/5)<0,/(x)單調(diào)遞減,

所以此時(shí)，f(x)max—f急=2sin^+sin=V3+^=

綜上，函數(shù)/G)的值域?yàn)椋?2,等］.

故選：ABD.

(多選)12.(5分)已知拋物線C：丁=44，過(guò)焦點(diǎn)尸的直線/與。交于4(xi,ji),B(孫”)兩點(diǎn),

yi>2,E與尸關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB與直線AE的傾斜角分別是a與％則()

A.sina>tanpB./AEF=NBEFC.NAE8V90°D.aV20

【解答】解：作AO_Lx軸于O,作BC_Lx軸于C,

)?=4x的焦點(diǎn)尸(1,0),

因?yàn)閥i>2,所以川>1,即a<90°,所以直線/的斜率存在設(shè)為A,

y=k(x—1)

可得直線/的方程為y=&(x-1),與拋物線方程聯(lián)立

y2=4x

2

整理得必,-(29+4)x+必=0,所以xi+xa=,xix2=l,yl=4xi,

"kz尸

對(duì)于A,sina=**=37ptan0=|^4=37P所以sina=tan0,故4錯(cuò)誤;

|/1F|XjT1|￡/L/|XjTl

對(duì)于8,因?yàn)閗AE=,k,BE=,

Xj+l欠2十人

所以…施+品=仁一”(潦藍(lán)制"小)=kx2安小:1為、產(chǎn)=。

所以直線AE與BE的傾斜角互補(bǔ)，即故8正確;

對(duì)于C,因?yàn)閤i>l,所以tan0=/二=皂魯V垓r=1，即N4E￡>V45°,

|匕L/|Xj-riXJTIcqx、

因?yàn)镹AEr=NBEF,所以NAE8V90°,故。正確;

對(duì)于。，因?yàn)镹AE8V90。，所以0°<2p<90°,

tana-幽一2-tanR-l^i-

tan。一尸D|一々一1，3?一但叫一勺-1'

2tanR二晶

2yl(巧+1)

所以tan2p=

1-〃俏?一百資(5)2'

力_2%(修+})=一2y妤1-2yl一力工「斗

所以tana-tan2p==<0,

M+「(4-1)2-(Xi-1)2-(Xi-1)2

所以tana<tan2P，即aV2B，故。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.

13.(5分)(&%—y)5展開(kāi)式中打的系數(shù)為-20(用數(shù)字作答)

【解答】解：gx-y)S的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=嗎(四為5f.(_y)r=.(一劫〃.好一，。

取廠=3得到A=C1(V2)2?(一1)3?x2y3=一20/y3

故答案為：-20.

14.(5分)已知某批零件的質(zhì)量指標(biāo)fl單位：亳米)服從正態(tài)分布N(25.40,。2),且尸(石225.45)

=0.1,現(xiàn)從該批零件中隨機(jī)取3件，用X表示這3件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值《不位于區(qū)間(25.35,25.45)

的產(chǎn)品件數(shù)，則。(X)=0.48.

【解答】解：由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，P(25.35VfV25.45)=1-2P(-25.45)=1?02=0.8,

故1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值f不位于區(qū)間(25.35,25.45)的概率P=0.2,

則X?B(3,0.2),

故。(X)=3X0.2X(1-0.2)=0.48.

故答案為：0.48.

15.(5分)已知/(x)為奇函數(shù)，當(dāng)尤(0,1J,/(x)=lnx,且/(%)關(guān)于直線x=1對(duì)稱.設(shè)方程/(%)

=x+l的正數(shù)解為加，X2,…，X",且任意的脛N,總存在實(shí)數(shù)何，使得卬T+[-X〃|VM成立，則實(shí)數(shù)

M的最小值為2.

【解答】解：因?yàn)閒(%)為奇函數(shù)，所以/(1=?/(-x),且f(0)=0,

又，(外關(guān)于直線X=1對(duì)稱，所以，(1+外=/(1-X),

所以f(2+r)=f(-x)=-f(x),

則f(4+x)=-/(2+x)=f(x),

所以函數(shù)/(x)是以4為周期的周期因數(shù)，

作出函數(shù))，=/(%)和y=x+l的圖像如圖所示：

由f(x)=x+l的正數(shù)解依次為XI,X2,??Xn,

則2i7n(%n+l-f)的幾何意義為函數(shù)/(%)兩條漸近線之間的距離為2,

n->oo

所以Um(x-x)=2.

n-*oon+1n

所以得任意的〃￡N,|x”+i-詞V2,

已知任意的〃6N,總存在實(shí)數(shù)M,使得卬t+i-x〃|VM成立，

可得M22,即M的最小值為2.

故答案為：2.

16.(5分)在平面四邊形ABCO中，ZADB=90°,ZABC=90°,BD=BC=2,沿對(duì)角線將△ABD

折起，使平面BDC,得到三棱錐A-BCD,則三棱錐4-BCD外接球表面積的最小值為

(2遮十2)，.

【解答】解：在平面四邊形中，設(shè)NC8D=e(0<6<^),ZABD=^-0f

在RlZXAOB中，可得/朋。=6,AD=

iCulu

0n

在△8CO中，CO=2BCsin—=4sin^.

22

設(shè)△BC。外接圓圓心為M,外接圓半徑為r,

由正弦定理可得2r=J七=4s,2@即r=二3.

sine2sinlcos^cos|cos*

設(shè)三棱錐4-BCD外接球球心為0,則OM_L平面BCD.

又???平面平面4QC,平面A。8G平面5OC=3￡>,ZADB=90°,

，A￡>_L平面B。。則AO〃OM,得四邊形0MD4為直角梯形.

設(shè)外接球的半徑為R在平面四邊形OMOA中.過(guò)。作。用1人力于此

在△40。中，AO=DO=R,E為A。的中點(diǎn)，OM=OE=%Z)=高，

LICulU

由DO2=DE2+OE2,得R2=DE1+I2=+-4^,

tan2gcos2f

.p2_co/B2_co岸6+2-ZcosB_3-2cos8

,,sin201+cos61-COS261—cos2O"

令3-2cos0=f,l</<3,則cos8=竽，

：.R2=-1+—=-1+———,

—5+6t—(t+1)+6

?；什卜2代,當(dāng)且僅當(dāng)/=",即/=通時(shí)(滿足1VY3)等號(hào)成立.

，外接球表面積的最小值為4TTR2=4兀x緣i=（2A/5+2）71.

故答案為：（26+2）TT.

A

E……/K

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）已知數(shù)列｛如｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前"項(xiàng)和為S“，且滿足又=（竽/.

⑴求an；

（2）設(shè)1=*―匚E設(shè)數(shù)列｛瓦｝的前〃項(xiàng)和為若與工CnV:對(duì)一物〃WN*恒成立，求

（即十D（an+1十U45

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解答】解：（1）當(dāng)〃=1時(shí)，出=S：=（町；1）2,/.67|=1,

當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-Sn_i=（^2±1）2_（。*+1）2=成-限號(hào)（即*］）,

即磷—W―1—2（冊(cè)+Qn-l）=°，：?（an+an1）Can-an\-2）=0>

由已知，數(shù)列｛a“｝各項(xiàng)均為正數(shù)得9?a〃一1=2,

???("”｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，，a“=2〃-l；

(2)由(1)知,an=2n-1,

則匕=(Qn+I)(a〃+1+1)=2n(2n+2)=4(元-n+1)，

??T=J(1-J+J+...+L---^77)=7(1TT)=4/2i、，

n4v223nn+r4、n+174(n+l)

.TT_n+1n_1

??O+i-in-4(n+2)―4(n+l)—45+1)5+2)々必

?,?{%}單調(diào)遞增，；?7；271=看

nil1

Vrn=40H4)<4*

LV組

5

^Z21，解得:w?nv|.

(-3一

5

-

所以實(shí)數(shù)m4/

sinQ4-￡)_sin(/l-C)

18.(12分)記銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,=

仁川cosBzcosCz

(1)求證：B=C；

(2)若asinC=2,求f+77的最大值.

sin(4-B)sin(A-C')sinAcosB-cosAsinBsinAcosC-cosAsinC

【解答】解：(1)證明：由于，所以

cosBcosCcosBcosC

整理的cos4(sinBcosC-cosSsinC)=0,即cosAsin(B-C)=0,

因?yàn)锳為銳角，所以cosA>0,

故sin(B-C)=0,由B,。為銳角可得B=C；

(2)由<1)得b=c,

因?yàn)椤╯inC=2,且由正弦定理得asinC=csinA=bsinA=asinB=2f

所以Q=嬴，b=J^Af

111,1?1j11-COS2B

則-7+yr=-(sinA+sin7B)=-[sin25+sin7(B+C)1=-[sin725+sin2B]=-(-------