湖南省懷化市2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

懷化市2023年上期高二年級(jí)期末考試試題

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合“斗4},N={m<*<3},則〃CN=()

A.B.1x|l<x<2}C.{率<尤<3}D,{x|x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)集合根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可.

【詳解】由題意/=1|一屋4}={小22或％<—2},

又N={x[l<x<3},所以AfcN={x|2Wx<3},

故選：C.

2.若復(fù)數(shù)z滿足(l+z)(l—i)=l,則|z|=()

A.也B.1C.J2D.2

2

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，模的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】由(l+z)(l—i)=l,

…11,

得l+z=----,z=---------1,

1-i1-i

z=,寧「1-匕

（l-i）（l+i）2222

叫小百I(mǎi)考

故選：A

3.下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.線性回歸直線必過(guò)樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)（只y）

B.當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)廠＞0時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)正相關(guān)

C.如果成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)廠就接近于1

D.殘差圖中殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越低

【答案】C

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，線性回歸方程必過(guò)（工?。?/p>

BC選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義作出判斷；

D選項(xiàng)，根據(jù)殘差分析中殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域的意義判斷.

【詳解】A選項(xiàng)，線性回歸直線必過(guò)樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)（工?。?，故A說(shuō)法正確；

B選項(xiàng)，當(dāng)相關(guān)性系數(shù)廠＞0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)，相關(guān)性系數(shù)度＜0時(shí)，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，故B說(shuō)法正

確；

C選項(xiàng)，相關(guān)系數(shù)-iVrVl,如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)性系數(shù)N就越接近于1,故C說(shuō)法錯(cuò)

誤；

D選項(xiàng)，殘差圖中殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高，水平帶狀區(qū)域越

寬，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越低，D說(shuō)法正確；

故選：C.

4.在A4BC中，“tanAtanB＜l”是“AABC為鈍角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】C

【解析】

【分析】推出tanAtanB＜l的等價(jià)式子，即可判斷出結(jié)論.

.,AA.c,,sinAsinB八cos(A+B)八-cosC八

［詳解］tanAtanB<1=1------------>00——------^>00---------->0

cosAcosBcosAcosBcosAcosB

ocosAcos5cosc<0u>ABC為鈍角三角形.

在AABC中，“tanAtanB<1”是“AABC為鈍角三角形”的充要條件.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查和與差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中

檔題.

5.通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)200名性別不同的學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：

男女總計(jì)

愛(ài)好12525150

不愛(ài)好351550

總計(jì)16040200

參考公式：獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量f=7——、/'、/~——其中〃=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

參考數(shù)據(jù):

pd)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

則根據(jù)列聯(lián)表可知()

A.有95%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

B.有95%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

C.有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

D.有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

【答案】A

【解析】

【分析】計(jì)算卡方再對(duì)照表格中的數(shù)據(jù)分析即可

【詳解】根據(jù)列聯(lián)表有x2=20°(125xl5-35x25)=至。4167e(38415024)，故有95%以上的

160x40x50x1506'')

把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段，屬中檔題.

8.設(shè)數(shù)列｛qJ的前〃項(xiàng)和為S.,若q=1,且對(duì)任意的正整數(shù)m,〃都有am+n=am+an+mn,則

$2023=()

A.C2024B.C2024C.C2025D.C2025

【答案】D

【解析】

【分析】令m=1可得=l+〃，由累加法求出｛4｝,再由分組求和法求出$2023.

【詳解】因?yàn)?1,且對(duì)任意的正整數(shù)m，n都有am+n=am+an+mn,

令加=1可得：4"+1=01+q+”，所以4+1=1+”,

所以%=q+(/_q)+(g-a2)+....+(%一%-i)

n(n+l)191

=1+2+3+..+n---------=—n+—〃，

222

…1/12023x(1+2023)

所以S2023=5(19+2?+3?+...+2023^+—x----------------

_12023x2024x(2x2023+1)12023x(1+2023)

~2X62X2

2023x2024…2023x2024x2025

=--------x675=--------------=C,.

22x3x12n0,2s5

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知函數(shù)/(%)=外皿g+0)(4>0,0>0,0<0<兀)的部分圖象如圖所示，則下列各選項(xiàng)正確的

是()

A.A=2B.6y=2C.(p=^D./+為奇函數(shù)

【答案】ABD

【解析】

【分析】由函數(shù)/(刈的部分圖象求出A、T、。和9的值，寫(xiě)出〃尤)的解析式可判斷A,B,C；再求出

的解析式，由奇偶函數(shù)的定義可判斷

【詳解】由函數(shù)/(x)=Asin(ou+0)(4>0,0>0,0<0<兀)的部分圖象知，

A=2,T=g—1―巳]=無(wú)，所以丁=&=兀，所以<9=2,所以/(x)=2sin(2x+0),

Sir5冗

又％=絲，/(%)=0,2sin(2x—+0)=0,

66

57r5冗

所以sin(？-+0)=0,所以飛-+0=2左兀,左￡Z,

571

所以夕=2hi--,Z:GZ,因?yàn)?<夕<兀,

所以9=m，故A,B正確，C錯(cuò)誤；所以/(x)=2sin[2x+m]

對(duì)于D,令g(x)=+=2sin2〔％+三)+1=2sin(2x+兀)=—2sin2x,

所以g(—x)=2sin2x=—g(x),所以/[+三]為奇函數(shù)，故D正確.

故選：ABD.

10.投擲一枚均勻的骰子8次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是

()

A.第25百分位數(shù)2,極差為4

B,平均數(shù)為3.5,第75百分位數(shù)為3.5

C.平均數(shù)為3,方差為3

D.眾數(shù)為4,平均數(shù)為4.75

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)于A,可采用特值法，對(duì)于B,根據(jù)平均數(shù)和百分位數(shù)，即可判斷，對(duì)于C,可采用特值法，對(duì)于

D,可假設(shè)這8個(gè)數(shù)沒(méi)有6點(diǎn)，根據(jù)題設(shè)推出矛盾，即可判斷.

【詳解】解：不妨設(shè)<X4<X5<X6<X7<X8<6,貝IJ

對(duì)于A,這8個(gè)數(shù)可以是1,2,2,2,3,3,4,5,故不一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,因?yàn)槠骄鶖?shù)為3.5,所以%+々+七+%+/+玉,+與+/=3.5義8=28,

又第75百分位數(shù)為3.5,所以毛+升=7,所以毛=3,匕=4,

所以％+4+%+%+/+/=21,且石<%<%<與</<3,4</<6,

所以西+々+與+與+/<15,所以4?6.所以一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故B正確.

對(duì)于C,這8個(gè)數(shù)可以是1,1,1,3,3,5,5,5,故不一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6,故C錯(cuò)誤.

j（l+l+l+3+3+5+5+5）=3,

222222222

5=lr（l-3）+（l-3）+（l-3）+（3-3）+（3-3）+（5-3）+（5-3）+（5-3）l=3

8L-

對(duì)于D,因?yàn)槠骄鶖?shù)為4.75,所以X1+X2+X3+X4+X5+4+巧+/=4.75x8=38,

又眾數(shù)為4,假設(shè)這8個(gè)數(shù)沒(méi)有6點(diǎn)，則和最大情況為4+4+4+4+4+5+5+5=35<38,和題設(shè)

矛盾，故一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6.故D正確.

故選：BD.

11.在正方體ABCD—4片02中，P,4分別是棱CD,GR的中點(diǎn)，則（）

A.Aq//平面Be/B.平面耳。片//平面Be/

c.4PI平面404D.平面4。片，平面片。。

【答案】BD

【解析】

【分析】畫(huà)出正方體，結(jié)合幾何體圖像，根據(jù)線面平行、面面垂直、線面垂直、面面垂直的判定條件判

斷各選項(xiàng)即可.

DiPlG

AQB

如圖，取A3的中點(diǎn)為。，連接GQ，易得A《//GQ，而GQC平面3ap=G，A選項(xiàng)不正確；

因?yàn)?/C]P,￡）《＜Z平面3C]P,C]Pu平面Be/,所以?！?/平面BC/；

//BP,用冊(cè)＜z平面BqP,3Pu平面BQP,所以用[//平面BO】P；

又因?yàn)閏u平面BXDPX，與《u平面耳。片，

所以平面與。＜//平面BGP,B選項(xiàng)正確；

連接4。，易得平行四邊形片片。中，A/不垂直片。，所以AP與平面4。耳不垂直，所以c選項(xiàng)

不正確；

取線段4。的中點(diǎn)為G,連接G＜,82.由正方體的性質(zhì)可知?！?,所以G《，耳。.易知G為線段

BQ的中點(diǎn)，所以G6//BG.又因?yàn)?a，與C,所以G《，4C,

因?yàn)橛肈c3C=4,所以，平面片CD.因?yàn)镚[u平面與所以平面用，平面4。。，所以

D選項(xiàng)正確.

故選：BD.

22

12.設(shè)雙曲線C：二——二——=l（a〉O）,直線/與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A,B,則下列說(shuō)法中正確

aG~—tz+4

的是（）

A.雙曲線C離心率的最小值為4

B.離心率最小時(shí)雙曲線C的漸近線方程為6x±y=0

C.若直線/同時(shí)與兩條漸近線交于點(diǎn)C,D,貝u|Aq=|即

D.若a=1,點(diǎn)A處的切線與兩條漸近線交于點(diǎn)E,F,則5盤(pán)0尸為定值

【答案】BCD

【解析】

【分析】由離心率公式，結(jié)合基本不等式可判斷A；根據(jù)a=2可得雙曲線方程，然后可得漸近線方程，可

判斷B；將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為A3的中點(diǎn)與cr?的中點(diǎn)是否重合的問(wèn)題，設(shè)直線方程，聯(lián)立漸近線方程求C,。坐

標(biāo)，再由點(diǎn)差法求A8的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后可判斷C；結(jié)合圖形可知sEOF~S梯形EFQP—SOEp—SOFQ，利用

導(dǎo)數(shù)求切線方程，聯(lián)立漸近線方程求E，尸的橫坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)可判斷D.

【詳解】由題知，e2=a+a'~a+4=a+->4,當(dāng)且僅當(dāng)。=2時(shí)等號(hào)成立，所以e?的最小值為4,e

aa

的最小值為2,故A錯(cuò)誤；

22

當(dāng)。=2時(shí)，雙曲線方程為工—匕=1,

26

A/6

此時(shí)漸近線方程為y=±X，即A/3X±y=0B正確;

若直線/的斜率不存在，由對(duì)稱(chēng)性可知K。=忸q；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為了=區(qū)+帆,

4（石,%）,BO?,%）,A8的中點(diǎn)為加（%,為），CQ的中點(diǎn)為N（X3，%）

=12

ci4—a+4,由點(diǎn)差法可得左?泗=a-a+4?…kxc+ma-a+4

則---------,所以匕」一二---------

￥￡xaa

=11o

、a/—a+4

?…cunk

所以+

a2~a+4,聯(lián)立〉=依+加分別求解可得

又雙曲線漸近線方程為丁=土.x

a

所以M,N重合，則仙。|=|同。|—|跖4|=|阿>|—|又8|=忸￡>|,或

\AC\=|MC|+|AM|=\ADD\+\MB\=\BE\,故c正確;

4

不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，雙曲線在第一象限的方程為y=2j尤2一1,

得切線斜率為點(diǎn)方程為y—26”i=7^7（x—%）,

設(shè)點(diǎn)E,尸坐標(biāo)分別為（丸，力），（與，力），分別作ERbQ垂直于＞軸，垂足分別為尸，,E在第一象

限，產(chǎn)在第四象限,

則SEOF=S梯形EF°P_SOEP_SQFQ

1/、/、111z、

=-(xE+xF)(yE-yF)--xEyE+~xFyF=-(xFyE-xEyF)

又力=，所以=；

,yF=-2xFSE°F(2XFXE+2XEXF)=2xExF,

2XE-1=/,(xE-X[)

聯(lián)立漸近線方程和切線方程可解得

1

(2—,)xE=2yjxy-1—

整理得＜

—(2+-j==)xF=2J尤;-1-

兩式相乘得一（4一一r—）xx=-^-4,所以44=1，

七一1EFxf-1

所以S.EOF=2%年=2,D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】本題考察圓錐曲線的綜合運(yùn)用，c選項(xiàng)需要靈活處理，將

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為AB的中點(diǎn)與C。的中點(diǎn)是否重合的問(wèn)題，利用點(diǎn)差法和直接計(jì)算可解；D選項(xiàng)需結(jié)合圖象將

面積靈活轉(zhuǎn)化，在求解/馬時(shí)，要結(jié)合式子的結(jié)構(gòu)特征靈活處理.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）

【答案】-160

【解析】

r

［詳解］由4+1=墨(2?)6f=（-iyc久2嚴(yán)（?產(chǎn)令6-2r=0得r=3,所以

展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（-1）32（2）6-3=—160.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.

14.某品牌手機(jī)的電池使用壽命X（單位：年）服從正態(tài)分布.且使用壽命不少于1年的概率為0.9,使

用壽命不少于9年的概率為0.1,則該品牌手機(jī)的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為

2

【答案】0.4##j

【解析】

【分析】易得P（X<1）=尸（X29）,從而正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=^=5,即可得到答案

【詳解】由題意知尸（X21）=0.9,P（X>9）=0.1,

/.P（X<l）=l-0.9=0.1=P（X>9）,

1+9

正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=——=5,

2

因?yàn)镻(1<X<9)=0.9-0.1=0.8,

【分析】依題意得e3"?+3%=%+111%，構(gòu)造函數(shù)/(x)=e*+x,則有/(3x0)=/(In/),得出了⑺

單調(diào)性即可求解.

【詳解】因?yàn)椴皇欠匠蘣3x—lnx+2x=0的一個(gè)根，則不＞。，

3A

所以e'%-Inx0+2x0=0,即e?+3x0=x0+Inx0,

令/(x)=e*+x，貝！Ifr(x)=e'+1＞0,

所以"無(wú))在R單調(diào)遞增，

3Ab

又e+3x0=x0+Inx0,即/(3x0)=/(Inx0),

所以3%=lnxo，所以電包=3.

故答案為：3

四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b1=cr+c^-^＞ac.

(1)求B的大??；

(2)求cosA+sinC的取值范圍.

【答案】⑴B=%(2)(字方

【解析】

【詳解】試題分析：(1)本問(wèn)考查余弦定理，根據(jù)加=a2+c2—2accos3及已知條件易得COSBMKS，

2

JT

又B為銳角三角形內(nèi)角，所以可以求出5=：；(2)本問(wèn)主要考查求三角函數(shù)值域問(wèn)題，化成關(guān)于一個(gè)

角的一種函數(shù)名的形式，即cosA+sinC=cosA+sin[m一A[=Gsin[A+。],根據(jù)角A的范圍求函

'J/')!'J/'jI

數(shù)的值域，由AABC為銳角三角形且3=—知A+—〉一，故一＜A＜一,于是可以求值域.

66232

試題解析：⑴由/=/+/fac，根據(jù)余弦定理得cosB=-.

2

71

又B為銳角三角形AABC的內(nèi)角，得B=：.

6

(2)由(1)知：cosA+sinC=cosA+sinf~^=^sinfA+yj,

,]I'）1']1'11'）I

由AABC為銳角三角形且3=一知A+—>—,故一<A<一.

66232

.21n5/r.1.（人兀、6.6/r.f3

33623J22（3）2

故cosA+sinC的取值范圍為

考點(diǎn)：1.余弦定理；2.正弦型函數(shù)的值域.

18.已知S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，4=9,$3=15.

（1）求｛?！ǎ耐?xiàng)公式；

⑵若d=COS?兀，也｝的前幾項(xiàng)和為T(mén)“，求《（a

【答案】（1）4=2"+1

（2）-1

【解析】

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為兒列方程組解出%和d即可求解；

（2）求出么的周期，先求出在一個(gè)周期內(nèi)的和，進(jìn)而可求《023.

【小問(wèn)1詳解】

xf?+3d—9

設(shè)數(shù)列｛（帽的公差為d,則W+3d=i5

解得d=2,=3,

所以%=2〃+1

【小問(wèn)2詳解】

由4=2〃+1,可得，=cos--一兀，

2兀

數(shù)列的最小正周期一2一，

3

357

所以4+Z72+4=以%§兀+以與3兀+以?xún)?nèi)耳兀=0,

所以與3=4+“2++/?2023="1+674X0=/?]=—]

19.如圖，在三棱錐C—ABZ）中，AB上BD,且NADB=30°，BC±CD,BC=CD,E是AD的

中點(diǎn)，AB=CE.

(1)求證：平面ABD_L平面BCD；

(2)求平面ACD與平面BCD的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)先證明線面垂直，再利用面面垂直的判定可證結(jié)論；

(2)建立坐標(biāo)系，求解兩個(gè)平面的法向量，利用向量夾角公式可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

證明：如圖，取BO的中點(diǎn)O,連C。，EO,得EO〃AB；

又所以EO上BD；

設(shè)AB=2，則EO=1,BD=2y/3.CO=6CE=AB=2,

所以"2=。。2+石02,所以石。J.CO；

又COcBD=O,CO,BDu平面BCD,所以￡0，平面BCD,

又￡Ou平面ABD,所以平面A3。，平面BCD

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?C=CD,。是8。的中點(diǎn)，所以COLHD,(1)中已證石。，班＞,EO±CO,

如圖所示，分別以O(shè)E，OD，OC所在方向?yàn)閤,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=2,則A（2,—點(diǎn)0）,。倒,6,0）,C（0,0,^）,

所以4。=卜2,2石,0),CD-(0,A/3,-V3)；

,、\m-AD=-2x+2yf3y=0f-x+^y=0

設(shè)平面AC￡)的法向量為加=(x,y,z),貝川二><，

m,CD—yf3y—y/3z=0y-z=。

取加=(百,1,1),

又平面BCD的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),

m-ny/3y/15

所以cos（九〃

|m|-|n|A/5xl5'

所以平面ACD與平面BCD的夾角的余弦值為邊5.

5

20.新高考數(shù)學(xué)試卷中的多項(xiàng)選擇題，給出的4個(gè)選項(xiàng)中有2個(gè)以上選項(xiàng)是正確的，每一道題考生全部選

對(duì)得5分.對(duì)而不全得2分，選項(xiàng)中有錯(cuò)誤得。分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多選題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為

。（0＜。＜1）,有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為1-p,沒(méi)有4個(gè)選項(xiàng)都正確的（在本問(wèn)題中認(rèn)為其概率為0）.

在一次模擬考試中：

（D小明可以確認(rèn)一道多選題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明

該題得5分的概率為工，求2；

12

（2）小明可以確認(rèn)另一道多選題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只

選A不再選擇其他答案；②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè)，共選2個(gè)；③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)

選擇2個(gè)，共選3個(gè).若尸=卷，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？

【答案】（1）p=\

4

（2）①

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件概率事件求解即可；

（2）分別分析方案①，方案②，方案③的得分或者得分期望值，然后根據(jù)得分情況選擇方案；

【小問(wèn)1詳解】

記一道多選題“有2個(gè)選項(xiàng)正確”為事件A,“有3個(gè)選項(xiàng)正確”為事件&，“小明該題得5分”為事件B,

貝"（5）=尸（網(wǎng)）=p（A）xP（用4）=〃與=3,求得?=

C3124

【小問(wèn)2詳解】

若小明選擇方案①，則小強(qiáng)的得分為2分.

若小明選擇方案②，記小強(qiáng)該題得分為X,則X=0,2,5,

C1C1597117

且尸（X=O）=P（A）#+尸（4）#=不x4+不、=正

jJ1，31233。

P（X=2）=P（&瞪=3|=裊5,

「1515

P（X=5）=P（A）U=J-X—二—,

:336

1714「553

所以，E（X）=0x—+2x—+5x—=—

36363636

若小明選擇方案③，記小強(qiáng)該題得分為匕則丫=0,5,且

p（y=o）=p（A）|+p（A）^=1+^x|=1,

C3C31Z1233。

C2717

p（y=5）=p（4）g=-x—=一

\12336

29735

所以,E（y）=0x——+5x—=

363636

因E（y）＜E（X）＜2,所以小明應(yīng)選擇方案①.

3

21.已知A（-20,O）,3（20,O）,直線PAP3的斜率之積為-］，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

3

（2）直線/與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM,ON的斜率之積為--,證明:

4

/\MON的面積為定值.

22

【答案】（1）—+^=1（X^±2A/2）

86

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)P（x,y）,求出直線F4的斜率、直線PB的斜率，相乘化簡(jiǎn)可得答案；

（2）直線/的斜率存在時(shí)，可設(shè)其方程為、=丘+〃?，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，

設(shè)M（X，X）,N（X2，%），利用韋達(dá)定理代入-kON=空1=（村+加）（仇+加）化簡(jiǎn)得加=4）+3

求出|MN|,再求出。到的距離d，可得％0削=?肱"/為定值；當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，

022

可設(shè)M（x0,y0）,N（x0,-y0）,利用自用內(nèi)加=-了、三+萼=1,解得寸，康可得％MN.

486

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)如,y）,則直線叢的斜率即一二（"-2后，直線網(wǎng)的斜率

kpB=；A2返),由題意女尸A?kpB=y廠----I—-2=~~79

x-2V2x+2V2X-2V2%2-84

22

化簡(jiǎn)得工+乙=1("±2衣;

86

【小問(wèn)2詳解】

直線，的斜率存在時(shí)，可設(shè)其方程為>=區(qū)+加,

y=kx+m,

聯(lián)立丁/化簡(jiǎn)得(3+4k2)x-+Skrnx+4-m2-24=0

—+—=1.

[86

設(shè)”(%，%)，N(w，%)，

則A=(8km)2-4(3+4^2)(4m2-24)=48(8k2+6-m2)>0,

8km4m--24

X+x=------7,MM=------7

1~?3+4左2123+4左2

(g+/2)(也+m)左2玉%2+初2(+%2)+后

所以kOM-kON=里^=

七馬

4m2k2-24k2-Sk2m2+3m2+4k2m2

3+4〃

4m2-24

3+4〃

-24r+3蘇—3

W-24~~4

化簡(jiǎn)得加2=4左2+3

48(8左2+6—)_4dl+Ed4k2+3_4國(guó)1+k2

左,2，

3+4左2_=_42+3-713+4)1

又。到MN的距離d=-7則一='：R+3,

J1+42,1+42

1,A14g1+」一+4左2r-

所以Sow=_M2V?1=------/------/=2。3，為定值.

22

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，可設(shè)M(x0,y0\N(x0,-y0),

2q22

^OM-kON=-^=--,喝+卷j解得需=4,第=3,此時(shí)S°MN

綜上，的面積為定值26.

22.已知函數(shù)/(