2024年廣東省廣州市天河區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

第第頁2024年廣東省廣州市天河區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題（解析版）一、選擇題（本題有10個(gè)小題，每小題3分，滿分30分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的．）1.歡歡放學(xué)回家看到弟弟用幾個(gè)小正方體的積木搭建出如圖的幾何體，她用手機(jī)拍照得到這個(gè)幾何體的三視圖，其中左視圖是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了三種視圖，熟知三視圖的觀察方向是解題的關(guān)鍵．在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖，在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖．仔細(xì)觀察圖中幾何體擺放的位置，根據(jù)由左向右觀察物體得到的圖形判定即可．【詳解】解：在側(cè)面內(nèi)得到由左向右觀察物體的左視圖為，故選：B．2.民間剪紙是勞動人民為了滿足精神生活需要而創(chuàng)造的，具有鮮明的藝術(shù)特色和生活情趣．下列剪紙圖形是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查中心對稱圖形的定義，根據(jù)“旋轉(zhuǎn)后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形”判斷即可．【詳解】解：A.此圖形旋轉(zhuǎn)后不能與原圖形重合，所以此圖形不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B.此圖形旋轉(zhuǎn)后不能與原圖形重合，所以此圖形不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C.此圖形旋轉(zhuǎn)后能與原圖形重合，所以此圖形是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D.此圖形旋轉(zhuǎn)后不能與原圖形重合，所以此圖形不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．3.正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則此圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)．熟練掌握正比例函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)適合解析式，是解決問題的關(guān)鍵．將點(diǎn)代入正比例函數(shù)，得正比例函數(shù)的解析式為．根據(jù)正比例函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)適合解析式，逐項(xiàng)判斷．【詳解】∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴，A．，時(shí)，，∴的圖象不經(jīng)過點(diǎn)；B．，時(shí)，，∴的圖象經(jīng)過點(diǎn)；C．，時(shí)，，∴的圖象不經(jīng)過點(diǎn)；D．，時(shí)，，∴的圖象不經(jīng)過點(diǎn)．故選：B．4.下列運(yùn)算不正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了立方根，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪乘法，零次冪的運(yùn)算，掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．運(yùn)用立方根的運(yùn)算可判定A；根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算可判定B；根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則可判定C；非零數(shù)的零次冪的運(yùn)算可判定D；由此即可求解．【詳解】解：A、，計(jì)算正確，不符合題意；B、，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，計(jì)算正確，不符合題意；D、，計(jì)算正確，不符合題意；故選：B

．5.代數(shù)式有意義時(shí)，則x應(yīng)滿足的條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查二次根式有意義的條件及分式有意義的條件，根據(jù)二次根式及分式有意義的條件求解是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義時(shí)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，分式有意義時(shí)分母不為零可求解x的取值范圍．【詳解】解：代數(shù)式有意義，，．故選：A．6.彤彤在班上做節(jié)水意識調(diào)查，收集了班上位同學(xué)家里上個(gè)月的用水量（單位：）如下：7，5，13，6，9，11，5．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）A.7，6 B.6，7 C.6，8 D.7，8【答案】D【解析】【分析】本題考查了平均數(shù)，中位數(shù)，掌握平均數(shù)，中位數(shù)的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?，5，6，7，9，11，13，∴中位數(shù)為第4個(gè)，即7，平均數(shù)為，

故選：D

．7.有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把a(bǔ)，，b按照從小到大的順序排列，正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了數(shù)軸與有理數(shù)大小的比較，正確理解數(shù)軸與有理數(shù)大小的比較的方法是解題的關(guān)鍵．在數(shù)軸上標(biāo)出有理數(shù)a的相反數(shù)所表示的點(diǎn)，再根據(jù)“在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，即可判斷答案．【詳解】在數(shù)軸上標(biāo)出有理數(shù)a的相反數(shù)所表示的點(diǎn)，則a，，b按照從小到大的順序排列為．故選：A．8.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象開口方向、對稱軸、與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)和交點(diǎn)坐標(biāo)分析即可得到答案.【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∵對稱軸為直線，∴，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；∵二次函數(shù)的圖象對稱軸為直線，經(jīng)過點(diǎn)，∴二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意，故選：D9.如圖的三個(gè)圖形都是邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，其中第一個(gè)圖形有個(gè)正方形，長為1的線段和為4，第二個(gè)圖形有個(gè)小正方形，長為1的線段和為12，第三個(gè)圖形有個(gè)小正方形，長為1的線段和為24，按此規(guī)律，則第50個(gè)圖形中長為1的線段和為（）A.5100 B.3800 C.2650 D.588【答案】A【解析】【分析】本題考查了規(guī)律型-圖形的變化類，找出前四個(gè)圖形的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．通過第1、2、3和4個(gè)圖案找出規(guī)律，進(jìn)而得出第n個(gè)圖案中長為1的線段和為，代入即可求解．【詳解】解：觀察圖形可知：第1個(gè)圖案由1個(gè)小正方形組成，長為1的線段和為第2個(gè)圖案由4個(gè)小正方形組成，長為1的線段和為第3個(gè)圖案由9個(gè)小正方形組成，長為1的線段和為第4個(gè)圖案由16個(gè)小正方形組成，長為1的線段和為…由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：第n個(gè)圖案由個(gè)小正方形組成，長為1的線段和為，第50個(gè)圖形中長為1的線段和為．故選：A．10.如圖，在矩形紙片中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是矩形的邊，上的動點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線對稱的點(diǎn)剛好落在邊上，與交于點(diǎn)O．連接，，以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形是菱形；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)D重合時(shí)，；③的面積S的取值范圍是；④當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為．正確的是（）A.①②④ B.①②③ C.③④ D.①②【答案】A【解析】【分析】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的函數(shù)值的范圍，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．證明，即可證明四邊形是菱形，故①正確；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)D重合時(shí)，設(shè)，則，得，解得，求得，利用勾股定理可求，由此可求，可判定②正確；利用，而，可得到的面積S的取值范圍是，可判定③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可求得，即可求出梯形的面積，由此判定④．【詳解】解：點(diǎn)B關(guān)于直線對稱的點(diǎn)剛好落在邊上，，，矩形，，，又，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是菱形，故①正確；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖所示，設(shè)，則，由于四邊形是菱形，，，解得，，，，，，，故②正確；,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)D重合時(shí)，取得最大值，即，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，隨著值增大而增大，的面積S的取值范圍是，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，如圖，，，，四邊形的面積為，故④正確，綜上所述，①②④符合題意；故選：A．二、填空題（本題有6個(gè)小題，每小題3分，共18分．）11.某茶廠用甲、乙兩臺分裝機(jī)分裝某種茶葉（每袋茶葉的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為），為了監(jiān)控分裝質(zhì)量，該廠從它們各自分裝的茶葉中隨機(jī)抽取了60袋，測得它們的實(shí)際質(zhì)量分析如表：則這兩臺分裝機(jī)中，分裝的茶葉質(zhì)量更穩(wěn)定的是________（填“甲”或“乙”）．分裝機(jī)平均數(shù)方差甲20015.24乙2007.83【答案】乙【解析】【分析】此題考查了方差判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，比較方差大小后即可得到答案．【詳解】解：∵，∴即方差小的為乙，∴分裝的茶葉質(zhì)量更穩(wěn)定的是乙．故答案為：乙．12.因式分解：=__________________【答案】【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式直接求解即可得到答案；【詳解】解：原式，故答案：；【點(diǎn)睛】本題考查公式法因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握．13.某班去研學(xué)，有兩種套票可供選擇，已知甲種套票每張80元，乙種套票每張70元，如果每人只購買其中一種，40名學(xué)生恰好用去2900元，那么該班購買甲種套票的張數(shù)是________．【答案】10【解析】【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)甲種套票買了x張，則乙種套票買了張，根據(jù)“40名學(xué)生恰好用去2900元”列出方程并解答即可．【詳解】解：設(shè)甲種套票買了x張，則乙種套票買了張，依題意得：，解方程得：．即甲種套票買了10張．故答案為：10．14.如圖，□ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△OAB是等邊三角形，AB＝4，則□ABCD的面積等于________．【答案】16【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出OA=OB=AB，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AC=BD，根據(jù)矩形的判定推出平行四邊形ABCD是矩形；求出AC長，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)矩形的面積公式求出即可．【詳解】∵△AOB是等邊三角形，∴OA=OB=AB=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2OA，BD=2OB，∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形.∵OA=AB=4，AC=2OA=8，四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵在Rt△ABC中,由勾股定理得：BC=，∴?ABCD的面積是：AB×BC=4×4=16.【點(diǎn)睛】此題考查矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于求出AC長.15.如圖，是的直徑，是弦，且，，則與的長度的比值為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查垂徑定理，根據(jù)垂徑定理可得，在直角三角形中，由邊角關(guān)系可得的關(guān)系，從而可得的關(guān)系【詳解】解：如圖，∵是的直徑，是弦，且，∴，∴∴，∵，∴∴，即∴，故答案為：16.中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，把點(diǎn)D繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)E，連接，則線段的最小值是________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，圓的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系求最值，作出輔助線，構(gòu)造三角形證明全等，利用三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．取中點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，為三角形的中位線，根據(jù)中位線性質(zhì)可得，利用旋轉(zhuǎn)可得和都為等邊三角形，由此可證，得到，在中，，即，將看成固定點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是半徑為，以為圓心的圓，在的運(yùn)動過程中，當(dāng)共線時(shí)，取得最小值，而，故點(diǎn)在以為直徑，為圓心的圓上，根據(jù)圓周角定理，，利用勾股定理可求，由此可求得線段的最小值．【詳解】解：取中點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，如圖所示，點(diǎn)，分別為中點(diǎn)，，旋轉(zhuǎn)到，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，，，和都為等邊三角形，，，，又，，，，在中，，即，若將看成固定點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是半徑為，以為圓心的圓，在的運(yùn)動過程中，當(dāng)共線時(shí)，取得最小值，如下圖所示，都為等邊三角形，，點(diǎn)在以為直徑，為圓心的圓上，根據(jù)圓周角定理，，，此時(shí)，．故答案為：．三、解答題（本大題有9小題，共72分，解答要求寫出文字說明，證明過程或計(jì)算步驟．）17.解分式方程．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式方程的解法，通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后求解，再將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母不為零，則整式方程的解是原分式方程的解，否則不是原分式方程的解，掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．方程兩邊同乘化為整式方程后求解，檢驗(yàn)整式方程的根是否使得為零，即可得解．【詳解】解：，，，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)，，所以，是原方程的根．18.古人詩云：“草長鶯飛二月天，拂堤楊柳醉春煙．兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶．”紙鳶，又稱風(fēng)箏，其制作技藝是我國民間的傳統(tǒng)工藝，某班數(shù)學(xué)興趣小組根據(jù)風(fēng)箏的形狀畫出圖形（如圖所示），已知，，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，，，利用即可證明，從而得到．詳解】解：，，．19.某校七年級開展數(shù)學(xué)文化節(jié)活動，推薦給同學(xué)們?nèi)緮?shù)學(xué)課外讀物，分別是《生活中的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)家的故事》《奇妙數(shù)世界》，小聰和小華將這三本書的書名寫在形狀大小、顏色完全相同的三張卡紙上，并把卡紙反放在桌面，先由小聰隨機(jī)抽一張卡紙，記錄書名后放回，再由小華抽一張卡紙，記錄書名．（1）填空：小聰抽到《數(shù)學(xué)大爆炸》是事件；（填“必然”，“不可能”，“隨機(jī)”）（2）請用樹狀圖或者列表法，求小聰和小華兩個(gè)人中至少一個(gè)人抽中《奇妙數(shù)世界》的概率．【答案】（1）隨機(jī)（2）【解析】【分析】本題考查了隨機(jī)事件的定義以及用列舉法求解概率的知識，隨機(jī)事件的定義：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．理解隨機(jī)事件的定義，掌握樹狀圖或者列表法求事件概率是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)隨機(jī)事件的定義即可判斷；（2）畫出樹狀圖或者表格，可知一共有9種等可能的結(jié)果，小聰和小華兩個(gè)人中至少一個(gè)人抽中《奇妙數(shù)世界》的情況有5種，利用概率公式即可得解．【小問1詳解】因?yàn)槭请S機(jī)抽取，則抽中的結(jié)果是隨機(jī)的，小聰可能抽到《數(shù)學(xué)大爆炸》，也可能抽不到，故是隨機(jī)事件．故答案為：隨機(jī)；【小問2詳解】設(shè)A表示《生活中的數(shù)學(xué)》，B表示《數(shù)學(xué)家的故事》，C表示《奇妙數(shù)世界》，則用列表法列舉如下：小華小聰ABCAAABACABABBBCBCACBCCC由表可知總情況有9種，都是等可能性的，其中小聰和小華兩個(gè)人中至少一個(gè)人抽中《奇妙數(shù)世界》的情況有：CA，CB，AC，BC，CC，共5種情況，小聰和小華兩個(gè)人中至少一個(gè)人抽中《奇妙數(shù)世界》的概率為：．答：小聰和小華兩個(gè)人中至少一個(gè)人抽中《奇妙數(shù)世界》的概率為．20.一艘載滿貨物的輪船到達(dá)南沙港碼頭后開始卸貨．平均卸貨速度y（單位：噸/天）與卸貨天數(shù)t是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．（1）求y與t之間的函數(shù)解析式；（2）南沙港碼頭收到氣象部門的緊急通知，在某海域形成新的臺風(fēng)，預(yù)計(jì)7天后影響碼頭卸貨，因此要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸？【答案】（1）（2）平均每天至少要卸載48噸．【解析】【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確求出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．（1）直接利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用（1）中函數(shù)解析式，將代入，進(jìn)而得出答案．【小問1詳解】解：與是反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)，圖象過點(diǎn)，，與之間的函數(shù)解析式為：；【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，答：平均每天至少要卸載48噸．21.已知．（1）化簡T；（2）若a，b互為相反數(shù)，求T的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查整式的化簡以及求值，熟練掌握平方差公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的規(guī)則是解題的關(guān)鍵．（1）利用平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式規(guī)則展開后，合并同類項(xiàng)即可；（2）根據(jù)a，b互為相反數(shù)，得，代入第（1）問化簡的式子即可求解．【小問1詳解】【小問2詳解】a，b互為相反數(shù)，，．22.如圖，中，是邊的中點(diǎn)，，垂足是．（1）作的高（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）連接，若，求的值．【答案】（1）作圖見詳解（2）【解析】【分析】本題主要考查尺規(guī)作垂線，圓的基礎(chǔ)知識，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加合理的輔助線，構(gòu)造相似三角形，結(jié)合其判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）以點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧，交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，以大于為半徑畫弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，即可求解；（2）根據(jù)都是直角三角形，點(diǎn)為中點(diǎn)，可得點(diǎn)四點(diǎn)共圓，由可得是等腰直角三角形，結(jié)合，即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，于點(diǎn)，∴即為所求線段；【小問2詳解】解：如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，∵，中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)四點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為直徑的圓上，∴，∴，∴，∵，，∴，，即是等腰直角三角形，，∴，∴．23.小亮同學(xué)將一輛自行車水平放在地面上．如示意圖，車把頭下方處與坐墊下方處的連線平行于地面水平線，處為齒盤的中軸，測得，，（1）求的長度（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）若點(diǎn)到地面的距離為，坐墊中軸與點(diǎn)的距離為，根據(jù)小亮同學(xué)身高比例，坐墊到地面的距離為至之間時(shí)，騎乘該自行車最舒適，請你通過計(jì)算判斷出小亮同學(xué)騎乘該自行車是否能達(dá)到最佳舒適度．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）的長度（2）小亮同學(xué)騎乘該自行車能達(dá)到最佳舒適度，理由見詳解【解析】【分析】本題主要考查解直角三角形的運(yùn)用，掌握構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用銳角三角形求解是解題的關(guān)鍵．（1）在中，運(yùn)用解直角三角形的方法可求出的值，在中，可求出的值，有次即可求解；（2）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可求出的值，根據(jù)可得點(diǎn)到地面的距離，結(jié)合題意即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，∴，，∴，，在中，，∴，∴，∴，∴的長度；【小問2詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）可知，，，，∴，，在中，，則，∴，∵點(diǎn)到地面的距離為，∴點(diǎn)到地面的距離為,∵坐墊到地面的距離為至之間時(shí)，騎乘該自行車最舒適，，∴小亮同學(xué)騎乘該自行車能達(dá)到最佳舒適度．24.如圖1，正方形中，點(diǎn)E是邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），以為邊在它的外側(cè)作正方形，點(diǎn)M和點(diǎn)P分別是這兩個(gè)正方形的對稱中心，連接．（1）填空：當(dāng)時(shí)，線段長的最大值是；（2）在正方形的邊上，是否存在一點(diǎn)Q，使得為等腰直角三角形？若存在，通過證明確定所有滿足條件的點(diǎn)Q的具體位置；若不存在，請說明理由；（3）如圖2．連接并延長，與交于點(diǎn)O．求的度數(shù)，并求出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）（2）在線段上（與不重合）或在的中點(diǎn)與的連線段上（不與的中點(diǎn)重合），（3），【解析】【分析】（1）如圖，連接，，，，證明為的中位線，可得，結(jié)合，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，再進(jìn)一步可得答案；（2）如圖，取的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑畫圓，交于，交于，證明，都為等腰直角三角形，過作于，則，可得，即，由不重合，可得不與重合，不與的中點(diǎn)重合，當(dāng)以為等腰直角三角形的直角邊時(shí)，以為邊作正方形，此時(shí)正方形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)不可能落在正方形的邊上，即不會落在正方形的邊上，不符合題意，舍去；從而可得答案；（3）證明，，，，可得，可得，，即；結(jié)合，可得．【小問1詳解】解：如圖，連接，，，，∵點(diǎn)M和點(diǎn)P分別是這兩個(gè)正方形的對稱中心，∴為的中位線，∴，∵，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，而四邊形，為正方形，∴共線時(shí)，∴的最大值為，∴的最大值為；【小問2詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑畫圓，交于，交于，∵為直徑，∴，∵正方形，∴，∴，，∴，都為等腰直角三角形，過作于，則，∴，即，∵不重合，∴不與重合，不與的中點(diǎn)重合，∴在線段上（與不重合）或在的中點(diǎn)與的連線段上（不與的中點(diǎn)重合），當(dāng)以為等腰直角三角形的直角邊時(shí)，以為邊作正方形，此時(shí)正方形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)不可能落在正方形的邊上，即不會落在正方形的邊上，不符合題意，舍去；綜上：在線段上（與不重合）或在的中點(diǎn)與的連線段上（不與的中點(diǎn)重合），【小問3詳解】解：如圖，∵正方形，正方形，∴，，，，∴，，∴，∴，，∴；∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，平行線分線段成比例，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，本題難度大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．25.在平面直角坐標(biāo)系中，將過點(diǎn)的拋物線（b為常數(shù)）向右平移m個(gè)單位（），再向上平移n個(gè)單位（）得到新的拋物線，其頂點(diǎn)為E．（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（用含m，n的式子表示）（2）若拋物線與坐標(biāo)軸有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，求滿足條件的點(diǎn)E的縱坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，且當(dāng)時(shí)，對拋物線上的任意一點(diǎn)P，在拋物線上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P，Q的縱坐標(biāo)相等，探究下列問題：①求m的取值范圍；②若存在一點(diǎn)F，滿足，求點(diǎn)F的縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為或（3）①；②【解析】【分析】（1）把點(diǎn)代入拋物線求出，根據(jù)圖象的平移的性質(zhì)，即可得到拋物線：，頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（2）由于拋物線與坐標(biāo)軸有且只有兩