上海寶山同洲模范學(xué)校2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

上海寶山同洲模范學(xué)校2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)向量滿足，且，則向量在向量方向上的投影為A．1 B． C． D．2．如圖，各棱長均為的正三棱柱，、分別為線段、上的動點(diǎn)，且平面，，中點(diǎn)軌跡長度為，則正三棱柱的體積為（）A． B． C．3 D．3．在中，角的對邊分別為，且，，，則的周長為（）A． B． C． D．4．若且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．5．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，則等于()A．1 B．2 C． D．46．已知函數(shù)在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（0，1] D．（﹣1，0）7．“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣．為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積，作一個邊長為5的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲1000個點(diǎn)，己知恰有400個點(diǎn)落在陰影部分，據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是A．2 B．3 C．10 D．158．如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長和底邊長均為4，且側(cè)棱垂直于底面，正視圖是邊長為4的正方形，則三棱柱的左視圖面積為（）A． B． C． D．9．若、、為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=6，c=3，則A=A．45° B．60° C．75° D．90°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則.12．已知向量滿足，則13．有五條線段,長度分別為2,3,5,7,9,從這五條線段中任取三條,則所取三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為___________．14．在中，角的對邊分別為，若，則_______.（僅用邊表示）15．已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a、b在α上的射影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn)．在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是________．(寫出所有正確結(jié)論的編號)16．若數(shù)列滿足，且，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）在中，若，且，求的值.18．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．19．已知向量a=(5sin（1）求cos(α+β)（2）若0<α<β<π2，且sinα=20．內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，，求的面積.21．如圖，四邊形是邊長為2的正方形，為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

先由題中條件，求出向量的數(shù)量積，再由向量數(shù)量積的幾何意義，即可求出投影.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，故向量在向量方向上的投影?故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，熟記平面向量數(shù)量積的幾何意義即可，屬于常考題型.2、D【解析】

設(shè)的中點(diǎn)分別為，判斷出中點(diǎn)的軌跡是等邊三角形的高，由此計(jì)算出正三棱柱的邊長，進(jìn)而計(jì)算出正三棱柱的體積.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接.由于平面，所以.當(dāng)時，中點(diǎn)為平面的中心，即的中點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)）處.當(dāng)時，此時的中點(diǎn)為的中點(diǎn).所以點(diǎn)的軌跡是三角形的高.由于三角形是等邊三角形，而，所以.故正三棱柱的體積為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的有關(guān)性質(zhì)，考查棱柱的體積計(jì)算，考查空間想象能力，考查分析與解決問題的能力，屬于中檔題.3、C【解析】

根據(jù)，得到，利用余弦定理，得到關(guān)于的方程，從而得到的值，得到的周長.【詳解】在中，由正弦定理因?yàn)椋砸驗(yàn)?，，所以由余弦定理得即，解得，所以所以的周長為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的角化邊，余弦定理解三角形，屬于簡單題.4、D【解析】

利用作差法對每一個選項(xiàng)逐一判斷分析.【詳解】選項(xiàng)A,所以a≥b,所以該選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)B,，符合不能確定，所以該選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)C,，符合不能確定，所以該選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)D,，所以，所以該選項(xiàng)正確.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)大小的比較，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.5、D【解析】

直接利用正弦定理得到，帶入化簡得到答案.【詳解】正弦定理：即：故選D【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、C【解析】

由題意可得在上為減函數(shù)，列出不等式組，由此解得的范圍.【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，其對稱軸為，∴可得，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)古典概型概率公式以及幾何概型概率公式分別計(jì)算概率，解方程可得結(jié)果.【詳解】設(shè)陰影部分的面積是s，由題意得4001000【點(diǎn)睛】(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解．(2)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．8、A【解析】

根據(jù)題意，得出該幾何體左視圖的高和寬的長度，求出它的面積，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，該幾何體左視圖的高是正視圖的高，所以左視圖的高為，又由左視圖的寬是俯視圖三角形的底邊上的高，所以左視圖的寬為，所以該幾何體的左視圖的面積為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解.9、B【解析】

利用等式的性質(zhì)或特殊值法來判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則，故A不成立；對于B選項(xiàng)，，在不等式同時乘以，得，另一方面在不等式兩邊同時乘以，得，，故B成立；對于選項(xiàng)C，在兩邊同時除以，可得，所以C不成立；對于選項(xiàng)D，令，，則有，，，所以D不成立.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，常用的判斷方法有：不等式的基本性質(zhì)、特殊值法以及比較法，在實(shí)際操作中，可結(jié)合不等式結(jié)構(gòu)合理選擇相應(yīng)的方法進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

利用正弦定理求出sinB的值，由b<c得出B<C，可得出角B的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出角A【詳解】由正弦定理得bsinB=∵b<c，則B<C，所以，B=45°，由三角形的內(nèi)角和定理得故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，也考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，在解題時要注意正弦值所對的角有可能有兩角，可以利用大邊對大角定理或兩角之和小于180°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：兩式平方相加并整理得，所以.注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從整體去解決問題.考點(diǎn)：三角恒等變換.12、【解析】試題分析：=,又，，代入可得8，所以考點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算.13、【解析】

列出所有的基本事件，并找出事件“所取三條線段能構(gòu)成一個三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式計(jì)算出所求事件的概率．【詳解】所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共個，其中，事件“所取三條線段能構(gòu)成一個三角形”所包含的基本事件有：、、，共個，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三條線段能構(gòu)成一個三角形”的概率為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是列舉基本事件，常見的列舉方法有：枚舉法和樹狀圖法，列舉時應(yīng)遵循不重不漏的基本原則，考查計(jì)算能力，屬于中等題．14、【解析】

直接利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由正弦定理，結(jié)合可得，即，即，從而.【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．15、①②④【解析】用正方體ABCD-A1B1C1D1實(shí)例說明A1D1與BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1與BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1與DD1在平面ABCD上的投影是一條直線及其外一點(diǎn)．故①②④正確．16、【解析】

對已知等式左右取倒數(shù)可整理得到，進(jìn)而得到為等差數(shù)列；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式，從而求得結(jié)果.【詳解】，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式的問題，關(guān)鍵是明確對于形式的遞推關(guān)系式，采用倒數(shù)法來進(jìn)行推導(dǎo).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）先將函數(shù)化簡整理，得到，根據(jù)，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果；（2）令，得到或，根據(jù)，，得出，，求出，根據(jù)正定理，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因此；故函?shù)在區(qū)間上的最大值；（2）因?yàn)椋桑?），令，所以或，解得：或，因?yàn)?，所以，，因此，由正弦定理可得?【點(diǎn)睛】本題主要考查求正弦型復(fù)合函數(shù)在給定區(qū)間的最值，以及正弦定理的應(yīng)用，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及正弦定理即可，屬于?？碱}型.18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）設(shè)公差為，由，可得解得，，從而可得結(jié)果；（2）由（1），，則有，則，利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）設(shè)公差為d，由題解得，．所以．（2）由（1），，則有．則．所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯誤.19、（1）cos(α+β)=2【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)列積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡整理得到5cos（2）根據(jù)題中條件求出cosα=310再由cos(2α+β)=【詳解】解：（1）因?yàn)閍=(所以a?=5因?yàn)閍?b=2，所以5（2）因?yàn)?<α<π2,因?yàn)?<α<β<π2，所以因?yàn)閏os(α+β)=2所以cos因?yàn)?<α<β<π2，所以0<2α+β<【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，熟記兩角和的余弦公式即可，屬于?？碱}型.20、（1）；（2）.【解析】

（1）應(yīng)用正弦的二倍角公式結(jié)合正弦定理可得，從而得．（2）用余弦定理求得，再由三角形面積公式可得三角形面積．【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理，因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，，，由余弦定理得，解得或，均適合題.當(dāng)時，的面積為.當(dāng)時，的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面積公式．三角形中可用公式很多，關(guān)鍵是確定先用哪個公式，再用哪個公式，象本題第（2）小題選用余弦定理求出，然后可直接求出三角形面積，解法簡捷．21、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而可得平面平面；（2）先取中點(diǎn)，連結(jié)，，證明平面平面，在平面內(nèi)作于點(diǎn)，則平面.以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出兩平面的法向量，求向量夾角余弦值，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?/p>