橢圓知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)和經(jīng)典例題

橢圓的根本知識(shí)1．橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)〔大于〕的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距(設(shè)為2c).2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：〔＞＞0〕〔＞＞0〕焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考慮焦點(diǎn)位置，求出方程3.求軌跡方程的方法:定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、直接法解:(相關(guān)點(diǎn)法)設(shè)點(diǎn)M(x,y),點(diǎn)P(x0,y0),那么x＝x0,y＝得x0＝x，y0＝2y.∵x02＋y02＝4,得x2＋(2y)2＝4,即所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.4.范圍.x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．橢圓位于直線x＝±a和y＝±b圍成的矩形里．5.橢圓的對(duì)稱性橢圓是關(guān)于y軸、x軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱的．坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸．原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心．橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心．6.頂點(diǎn)只須令x＝0，得y＝±b，點(diǎn)B1(0,－b)、B2(0,b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y＝0，得x＝±a，點(diǎn)A1(－a,0)、A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)：A1(－a,0)、A2(a,0)、B1(0,－b)、B2(0,b)．橢圓和它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)叫橢圓的頂點(diǎn)．線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于2a.短軸的長(zhǎng)等于2b.a叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)．b叫做橢圓的短半軸長(zhǎng)．|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即c2＝a2－b2．.橢圓典型例題例1橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為〔0，2〕求的值．分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值．解：方程變形為．因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得．又，所以，適合．故．例2橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況．根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和〔或和〕的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為．由橢圓過(guò)點(diǎn)，知．又，代入得，，故橢圓的方程為．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為．由橢圓過(guò)點(diǎn)，知．又，聯(lián)立解得，，故橢圓的方程為．例3的底邊，和兩邊上中線長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡．分析：〔1〕由可得，再利用橢圓定義求解．〔2〕由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程．解：〔1〕以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)．因，，有，故其方程為．〔2〕設(shè)，，那么．①由題意有代入①，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓〔除去軸上兩點(diǎn)〕．例4點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過(guò)點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程．解：設(shè)兩焦點(diǎn)為、，且，．從橢圓定義知．即．從知垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸，所以在中，，可求出，，從而．∴所求橢圓方程為或．例5橢圓方程，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，，．求：的面積〔用、、表示〕．分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積．解：如圖，設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限．由余弦定理知：·．①由橢圓定義知：②，那么得．故．例6動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式．解：如下圖，設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即．∴點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為4，半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程：．說(shuō)明：此題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程．這是求軌跡方程的一種重要思想方法．例7橢圓〔1〕求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；〔2〕求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；〔3〕過(guò)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；〔4〕橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．分析：此題中四問(wèn)都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法．解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)，那么①－②得．由題意知，那么上式兩端同除以，有，將③④代入得．⑤〔1〕將，代入⑤，得，故所求直線方程為：．⑥將⑥代入橢圓方程得，符合題意，為所求．〔2〕將代入⑤得所求軌跡方程為：．〔橢圓內(nèi)局部〕〔3〕將代入⑤得所求軌跡方程為：．〔橢圓內(nèi)局部〕〔4〕由①＋②得：，⑦，將③④平方并整理得，⑧，，⑨將⑧⑨代入⑦得：，⑩再將代入⑩式得：，即．此即為所求軌跡方程．當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決．例8橢圓及直線．〔1〕當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？〔2〕假設(shè)直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．解：〔1〕把直線方程代入橢圓方程得，即．，解得．〔2〕設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，由〔1〕得，．根據(jù)弦長(zhǎng)公式得：．解得．方程為．說(shuō)明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題及有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別．這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，一般考慮判別式；解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式．用弦長(zhǎng)公式，假設(shè)能合理運(yùn)用韋達(dá)定理〔即根與系數(shù)的關(guān)系〕，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．例9以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程．分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，此題實(shí)際上就是要在直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩點(diǎn)〔即兩焦點(diǎn)〕的距離之和最小，只須利用對(duì)稱就可解決．解：如下圖，橢圓的焦點(diǎn)為，．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為〔－9，6〕，直線的方程為．解方程組得交點(diǎn)的坐標(biāo)為〔－5，4〕．此時(shí)最小．所求橢圓的長(zhǎng)軸：，∴，又，∴．因此，所求橢圓的方程為．方程表示橢圓，求的取值范圍．解：由得，且．∴滿足條件的的取值范圍是，且．說(shuō)明：此題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由得，故的取值范圍是．出錯(cuò)的原因是沒(méi)有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個(gè)條件，當(dāng)時(shí)，并不表示橢圓．表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍．分析：依據(jù)條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系．再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍．解：方程可化為．因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以．因此且從而．說(shuō)明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，，這是容易無(wú)視的地方．(2)由焦點(diǎn)在軸上，知，．(3)求的取值范圍時(shí)，應(yīng)注意題目中的條件．例12求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的橢圓方程分析：由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可設(shè)其方程為(，)，且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直接可求出方程．解：設(shè)所求橢圓方程為(，)．由和兩點(diǎn)在橢圓上可得即所以，．故所求的橢圓方程為．例13長(zhǎng)軸為12，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．分析：可以利用弦長(zhǎng)公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來(lái)求．解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解．．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，左焦點(diǎn)，從而直線方程為．由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：．設(shè)，為方程兩根，所以，，，從而．(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解．由題意可知橢圓方程為，設(shè)，，那么，．在中，，即；所以．同理在中，用余弦定理得，所以．(法3)利用焦半徑求解．先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，，它們分別是，的橫坐標(biāo)．再根據(jù)焦半徑，，從而求出．例14橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，那么〔為坐標(biāo)原點(diǎn)〕的值為A．4B．2C．8D．解：如下圖，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由橢圓第一定義得，所以，又因?yàn)闉榈闹形痪€，所以，故答案為A．說(shuō)明：(1)橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)〔大于〕的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．(2)橢圓上的點(diǎn)必定適合橢圓的這一定義，即，利用這個(gè)等式可以解決橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的有關(guān)距離．例15橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱．分析：假設(shè)設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，那么條件等價(jià)于：(1)直線；(2)弦的中點(diǎn)在上．利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍．解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與交于點(diǎn)．∵的斜率，∴設(shè)直線的方程為．由方程組消去得①?！啵谑?，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵點(diǎn)在直線上，∴．解得．②將式②代入式①得③∵，是橢圓上的兩點(diǎn)，∴．解得．(法2)同解法1得出，∴，，即點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，為橢圓上的兩點(diǎn)，∴點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，∴．解得．(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵，在橢圓上，∴，．兩式相減得，即．∴．又∵直線，∴，∴，即①。又點(diǎn)在直線上，∴②。由①，②得點(diǎn)的坐標(biāo)為．以下同解法2.說(shuō)明：涉及橢圓上兩點(diǎn)，關(guān)于直線恒對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程．(2)利用弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式．例17在面積為1的中，，，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的橢圓方程．解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)．那么∴即∴得∴所求橢圓方程為例18是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程．分析：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題．通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計(jì)算即得．并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的．解：方法一：設(shè)所求直線方程為．代入橢圓方程，整理得①設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，，那么、是①的兩根，∴∵為中