安徽省蕪湖市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省蕪湖市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?學(xué)校?考場(chǎng)/座位號(hào)?班級(jí)?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卷上，將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆在答題卷上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的〖答案〗信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗.〖答案〗不能答在試題卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卷各題目指定區(qū)線內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上新〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將試題卷和答題卷一并交回.一、單項(xiàng)選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.本大題共8小題，每小題3分，共24分，請(qǐng)把正確的〖答案〗寫在答題卷上）1.經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線的點(diǎn)斜式方程為（）A. B..C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閮A斜角為，則斜率，且過點(diǎn)，則，即.故選：A2.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（）A.9 B.0 C.-3 D.-6〖答案〗B〖解析〗數(shù)列是等差數(shù)列又故選：B.3.某工廠生產(chǎn)的新能源汽車的某部件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.76 B.0.24 C.0.26 D.0.74〖答案〗D〖解析〗由正態(tài)分布可知，，則，所以.故選：D4.為拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗拋物線中時(shí)可得，且則，?。ㄈ鐖D），,又對(duì)稱性可知.故選；C.5.在棱長(zhǎng)為3的正四面體中，為的中點(diǎn)，為上靠近的三等分點(diǎn)，則為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為上靠近的三等分點(diǎn)，且是棱長(zhǎng)為3的正四面體，則，且，，，，且，在中，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，，且與的夾角為與的夾角，即為的補(bǔ)角，所以，所以.故選：B6.甲?乙?丙?丁?戊?己共6名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)文化知識(shí)比賽，決出第1名到第6名名次.甲?乙去詢問成績(jī)，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都不是第一名.”對(duì)乙說：“你和丙的名次是相鄰的.”從對(duì)這兩人回答分析，這6人的名次排列的所有可能不同情況有（）種.A.144 B.156 C.168 D.192〖答案〗C〖解析〗依題意，甲?乙都不能排第一名，乙和丙的名次相鄰，當(dāng)丙是第一名時(shí)，則第二名肯定是乙，則共有種不同名次排列情況；當(dāng)丙不是第一名時(shí)，甲?乙都不能排第一名，乙和丙的名次相鄰，則共有種不同名次排列情況，故共有種不同名次排列情況.故選：C7.客機(jī)越來越普及之后，為了減少空氣阻力?降低油耗以及減少亂流，飛機(jī)開始越來越往高空飛，飛機(jī)的機(jī)身也因此做了很多調(diào)整，其中一項(xiàng)調(diào)整是機(jī)艙必須加壓，好讓旅客在內(nèi)部能夠生存，為了更好地分散機(jī)窗壓力，工程師將最開始的方形窗戶改為橢圓形窗戶如圖1所示，使其均勻受壓，飛機(jī)更為安全.一縷陽光從飛機(jī)窗戶射入，在機(jī)艙地面上形成輪廓為圓的光斑，如圖2所示.若光線與地面所成角為60°，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)闄E圓形窗戶在機(jī)艙地面上形成輪廓為圓的光斑，不妨設(shè)圓的半徑為，則有，，所以，故離心率.故選：C.8.已知，則下列不等關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，即，所以，令，，若，即，若，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，令，，令，，令，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以在時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以由已證過的不等式可知，所以，則，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是正確的.本大題共4小題，每小題4分，共16分，每題全部選對(duì)的得4分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分.請(qǐng)把正確的〖答案〗寫在答題卷上）9.下列說法正確的有（）A.隨機(jī)變量的方差越大，則隨機(jī)變量的取值與均值的偏離程度越大B.隨機(jī)拋擲質(zhì)地均勻的硬幣100次，出現(xiàn)50次正面向上的可能性為C.根據(jù)分類變量與的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到，根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)（），可判斷與有關(guān)，且犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05D.若變量關(guān)于變量的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為時(shí)，則變量與負(fù)相關(guān)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)方差的計(jì)算公式可知：方差越大，則隨機(jī)變量的取值與均值的偏離程度越大，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：隨機(jī)拋擲質(zhì)地均勻的硬幣100次，設(shè)出現(xiàn)正面向上的次數(shù)為，則，則，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知，即，所以，即出現(xiàn)50次正面向上的可能性小于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，根?jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與無關(guān)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由經(jīng)驗(yàn)回歸方程為可知，所以變量與負(fù)相關(guān)，故D正確；故選：AD.10.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線的切線斜率可以是-1B.曲線的切線斜率可以是2C.過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條D.過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有2條〖答案〗BCD〖解析〗，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線的切線斜率可以是2，不能是，故A錯(cuò)誤，B正確；C.設(shè)切點(diǎn)，則，得，所以切線只有一條，故C正確；D.設(shè)切點(diǎn)，則，整理為，設(shè)，，得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，，所以在函數(shù)在和各有1個(gè)零點(diǎn)，所以過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有2條，故D正確.故選：BCD11.一個(gè)不透明的袋子里，裝有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)白球，每次從中不放回地取出一球，現(xiàn)取出個(gè)球，則下列說法正確的是（）A.兩個(gè)都是紅球的概率為B.在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為C.第二次取到紅球的概率為D.第二次取到紅球的條件下，第一次取到白球的概率為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，抽取的兩個(gè)都是紅球的概率為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，記事件第一次取紅球，事件第二次取白球，則，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，記事件第一次取紅球，事件第二次取紅球，則，，，，由全概率公式可得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，記事件第一次取紅球，事件第二次取紅球，則，所以，，D對(duì).故選：BCD.12.已知數(shù)列有無限項(xiàng)且滿足：，其中為大于0的常數(shù)，則下列說法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，若數(shù)列是等差數(shù)列，則B.當(dāng)時(shí)，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則C.存在，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列D.任意，數(shù)列不可能是單調(diào)遞增數(shù)列〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由數(shù)列為等差數(shù)列，可設(shè)其公差為，則，解得，由，則，解得，故A正確；對(duì)于B，由數(shù)列為遞增數(shù)列，則，設(shè)，，兩式相減可得：，解得，故B正確；對(duì)于C、D，當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)數(shù)列不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，由，，，，則，則，同理可得：，兩式相減可得：，當(dāng)時(shí)，必定存在，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列不是遞增數(shù)列；，當(dāng)時(shí)，必定存在，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列不是遞增數(shù)列.故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共有4小題，每小題4分，共16分，請(qǐng)把正確的〖答案〗寫在答題卷上）13.已知函數(shù)，則__________.〖答案〗3〖解析〗由可得，，則.故〖答案〗為：14.在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是__________.〖答案〗15〖解析〗在的展開式中含的項(xiàng)即從5個(gè)因式中取4個(gè)，1個(gè)常數(shù),所以含項(xiàng)為.所以展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是15.故〖答案〗為：1515.已知圓，若圓上存在兩點(diǎn)使得為等邊三角形，則的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗由題意知為等邊三角形，設(shè)D為的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)樵趫A上，故，故三點(diǎn)共線，當(dāng)時(shí)，，滿足圓上存在兩點(diǎn)使得為等邊三角形；時(shí)，直線OA的斜率為，則斜率為，設(shè)方程為，A到的距離為，，而，故，即，令，則，即，由于，故，解得，即，則或，綜合可得，故的取值范圍為，故〖答案〗為：16.俄羅斯方塊游戲，是一款由俄羅斯人阿列克謝·帕基特諾夫發(fā)明的休閑游戲，它的玩法就是用一些隨機(jī)出現(xiàn)的幾何圖案去填充平面區(qū)域，消去一行就會(huì)有得分，如果一次能消去多行，則會(huì)得到很多額外的獎(jiǎng)勵(lì)分，但這會(huì)承擔(dān)一定的風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)檫@些隨機(jī)的圖案是需要通過適當(dāng)?shù)钠揭苹蛐D(zhuǎn)后才可能被放置到合適的空位上去的，當(dāng)剩余的內(nèi)容太多時(shí)，就不容易做這些操作，而導(dǎo)致失敗.已知這些隨機(jī)出現(xiàn)的圖案都是由若干塊相同的小正方形拼接在一起構(gòu)成的，要求相鄰的兩個(gè)正方形必須有一條公共邊相連.如果相同小正方形的個(gè)數(shù)為n，記用它們構(gòu)成的不同圖案總數(shù)為（通過平移或旋轉(zhuǎn)后重合的視為同一個(gè)圖案）.已知，則__________.〖答案〗7〖解析〗如圖所示，四個(gè)相同的小正方形拼接在一起構(gòu)成的不同圖案總數(shù)為7個(gè).故〖答案〗為：7四、解答題（本大題共6題，共44分，解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟）17.2023年5月，某高中開展了“最美寢室”文化布置評(píng)比活動(dòng)，學(xué)生會(huì)成員隨機(jī)抽取了12間寢室進(jìn)行量化評(píng)估，其中有4間寢室被評(píng)為優(yōu)秀寢室.（1）現(xiàn)從這12間寢室中隨機(jī)抽取3間，求有1間優(yōu)秀的概率；（2）以這12間寢室的評(píng)估情況來估計(jì)全校寢室的文化布置情況，若從全校所有寢室中任選3間，記X表示抽到優(yōu)秀的寢室間數(shù)，求X的分布列和期望.解：（1）設(shè)表示所抽取的3間寢室中有間寢室優(yōu)秀，抽取的3間寢室中有1間優(yōu)秀為事件，則；（2）由題表數(shù)據(jù)可知，從12間寢室中任選1間是優(yōu)秀概率為，由題可知的所有可能取值為，則，所以的分布列為0123.18.在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且直線與平面所成角為為中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值.解：（1）由為等邊三角形，且為中點(diǎn)，得.又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）過作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為，連接.由（1）知，平面，又因?yàn)槠矫?，所?因，平面，所以平面.直線與平面所成角為，則.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，過點(diǎn)作與軸平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題可得，.設(shè)為平面的法向量，則可取設(shè)為平面的法向量，則可取因?yàn)?，則，所以二面角的正值為19.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求證：.解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，又因?yàn)榈缺葦?shù)列，所以的公比為3，且，即，所以；（2）由（1）可得，所以，則，所以令，①所以，②①②：所以，因?yàn)?，所?20.楊輝是我國古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，著有《詳析九章算法》?《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳析九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個(gè)表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數(shù)字表示，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.楊輝三角本身包含了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學(xué)問題.性質(zhì)1：楊輝三角的第行就是的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)；性質(zhì)2（對(duì)稱性）：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等，即；性質(zhì)3（遞歸性）：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即；性質(zhì)4：自腰上的某個(gè)1開始平行于腰的一條線上的連續(xù)個(gè)數(shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)斜右下方的那個(gè)數(shù)，比如：；請(qǐng)回答以下問題：（1）求楊輝三角中第8行的各數(shù)之和；（2）證明：；（3）在的展開式中，求含項(xiàng)的系數(shù).解：（1）楊輝三角中第8行的各數(shù)之和為（2），（3）的展開式中，求含項(xiàng)的系數(shù)為21.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?，（i）若，則，由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（ii）若，則由得.①當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，所以在單調(diào)遞減.③當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，，故，所以，故在有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)，，時(shí)，單調(diào)遞增，所