鎮(zhèn)江市重點中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

鎮(zhèn)江市重點中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)的最小正周期為，則圖象的一條對稱軸方程是（）A． B． C． D．2．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．-3 B．-2C．2 D．33．如圖，函數(shù)與坐標(biāo)軸的三個交點P，Q，R滿足，，M為QR的中點，，則A的值為（）A． B． C． D．4．下列極限為1的是（）A．（個9） B．C． D．5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（）A． B． C． D．6．已知，且，則的最小值為（）A．8 B．12 C．16 D．207．用3種不同顏色給2個矩形隨機涂色，每個矩形涂且只涂種顏色,則2個矩形顏色不同的概率為（）A．13 B．12 C．28．已知向量，則向量的夾角為（）A． B． C． D．9．已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則公比q＝A．4 B．3 C．2 D．10．如圖，一個邊長為的正方形里有一個月牙形的圖案，為了估算這個月牙形圖案的面積，向這個正方形里隨機投入了粒芝麻，經(jīng)過統(tǒng)計，落在月牙形圖案內(nèi)的芝麻有粒，則這個月牙圖案的面積約為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，，，則的值是________．12．在中，，，是角，，所對應(yīng)的邊，，，如果，則________.13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線與直線平行，則實數(shù)a的值為______.14．已知函數(shù)，有以下結(jié)論：①若，則；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③的圖象與圖象關(guān)于軸對稱；④設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，．其中正確的結(jié)論為__________．15．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且，則面積的最大值為______.16．化簡：．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的值.18．等差數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和.19．已知，設(shè).（1）若圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于，求的取值范圍；（2）若的最小正周期為，且當(dāng)時，的最大值是，求的解析式，并說明如何由的圖象變換得到的圖象.20．設(shè)數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列位的前項和，求；（3）在（2）的條件下，是否存在自然數(shù)，使得對一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21．已知平面向量，，，其中，（1）若為單位向量，且，求的坐標(biāo)；（2）若且與垂直，求向量，夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

先根據(jù)函數(shù)的周期求出的值，求出函數(shù)的對稱軸方程，然后利用賦值法可得出函數(shù)圖象的一條對稱軸方程.【詳解】由于函數(shù)的最小正周期為，則，，令，解得.當(dāng)時，函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為.故選：D.【點睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的周期求參數(shù)，同時也考查了正弦型函數(shù)圖象對稱軸方程的計算，解題時要結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)來進(jìn)行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.2、C【解析】

根據(jù)向量三角形法則求出t，再求出向量的數(shù)量積.【詳解】由，，得，則，．故選C．【點睛】本題考點為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識和基本技能，難度不大．3、D【解析】

用周期表示出點坐標(biāo)，從而又可得點坐標(biāo)，再求出點坐標(biāo)后利用求得，得．【詳解】記函數(shù)的周期，則，因為，∴，是中點，則，∴，解得，∴，由得，∵，∴，，，∴，故選：D.【點睛】本題考查求三角函數(shù)的解析式，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4、A【解析】

利用極限的運算逐項求解判斷即可【詳解】對于A項，極限為1，對于B項，極限不存在，對于C項，極限為1．對于D項，，故選：A．【點睛】本題考查的極限的運算及性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題5、A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知：，得到答案.【詳解】已知數(shù)列為等比數(shù)列故答案選A【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于簡單題.6、C【解析】

由題意可得，則，展開后利用基本不等式，即可求出結(jié)果．【詳解】因為，且，即為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號，則的最小值為.故選：C．【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，注意等號成立的條件，考查運算能力，屬于中檔題．7、C【解析】

由古典概型及概率計算公式得2個矩形顏色不同的概率為69【詳解】用3種不同顏色給2個矩形隨機涂色，每個矩形涂且只涂1種顏色，共32則2個矩形顏色不同共A3即2個矩形顏色不同的概率為69故選：C．【點睛】本題考查了古典概型及概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】試題分析：，設(shè)向量的夾角為，考點：向量夾角及向量的坐標(biāo)運算點評：設(shè)夾角為，9、C【解析】

由，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合各項為正數(shù)求出，從而可得結(jié)果.【詳解】，，，，故選C.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列基本量運算，意在考查靈活運用所學(xué)知識解決問題的能力，屬于簡單題.10、A【解析】

根據(jù)幾何概型直接進(jìn)行計算即可.【詳解】月牙形圖案的面積約為：本題正確選項：【點睛】本題考查幾何概型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題得計算得解.【詳解】由題得,所以.因為等比數(shù)列同號，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和等比中項的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.12、【解析】

首先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用正弦定理即可求解.【詳解】在中，，，即，，，即，，，，，即，，，即，，，由正弦定理得，，，故答案為：【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及正弦定理解三角形，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.13、1【解析】

由，解得，經(jīng)過驗證即可得出．【詳解】由，解得．經(jīng)過驗證可得：滿足直線與直線平行，則實數(shù)．故答案為：1．【點睛】本題考查直線的平行與斜率之間的關(guān)系，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、②③④【解析】

首先化簡函數(shù)解析式，逐一分析選項，得到答案.【詳解】①當(dāng)時，函數(shù)的周期為，，或，所以①不正確；②時，，所以是增函數(shù)，②正確；③函數(shù)還可以化簡為，所以與關(guān)于軸對稱，正確；④，當(dāng)時，，，④正確故選②③④【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題型.15、【解析】

根據(jù)正弦定理將轉(zhuǎn)化為，即，由余弦定理得，再用基本不等式法求得，根據(jù)面積公式求解.【詳解】根據(jù)正弦定理可轉(zhuǎn)化為，化簡得由余弦定理得因為所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取所以則面積的最大值為.故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的綜合應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.16、0【解析】原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①當(dāng)時，不等式的解集為；②當(dāng)時，由，則不等式的解集為；③當(dāng)時，由，則不等式的解集為；（2）【解析】

（1）不等式，可化為，分三種情況討論，分別利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）不等可化為，根據(jù)1和4是方程的兩根，利用韋達(dá)定理列方程求解即可.【詳解】（1）不等式，可化為：.①當(dāng)時，不等式的解集為；②當(dāng)時，由，則不等式的解集為；③當(dāng)時，由，則不等式的解集為；（2）不等可化為：.由不等式的解集為可知，1和4是方程的兩根.故有，解得.由時方程為的根為1或4，則實數(shù)的值為1.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題..分類討論思想的常見類型

,⑴問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進(jìn)行分類討論的；

⑵問題中的條件是分類給出的；

⑶解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的；

⑷涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的.18、(1)；（2）.【解析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列公式得到方程組，計算得到答案.(2)先求出，再利用裂項求和求得.【詳解】(1)等差數(shù)列中，，解得：(2)數(shù)列的前n項和.【點睛】本題考查了數(shù)列的通項公式，裂項求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式的靈活運用及計算能力.19、（1）；（2）;平移變換過程見解析.【解析】

（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算,表示出的解析式,結(jié)合輔助角公式化簡三角函數(shù)式.結(jié)合相鄰兩條對稱軸間的距離不小于及周期公式,即可求得的取值范圍;（2）根據(jù)最小正周期,求得的值.代入解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)與的最大值是,即可求得的解析式.再根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換,即可描述變換過程.【詳解】∵∴∴（1）由題意可知,∴又,∴（2）∵,∴∴∵,∴∴當(dāng)即時∴∴將圖象上所有點向右平移個單位,得到的圖象；再將得到的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變,得到的圖象（或?qū)D象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變,得到的圖象；再將得到的圖象上所有點向右平移個單位,得到的圖象）【點睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,根據(jù)最值求三角函數(shù)解析式,三角函數(shù)圖象平移變換過程,屬于中檔題.20、（1）（2）（3）【解析】

（1）根據(jù)題干可推導(dǎo)得到，進(jìn)而得到數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得到結(jié)果；（2）由錯位相減的方法得到結(jié)果；（3）根據(jù)第二問得到：，數(shù)列單調(diào)遞增，由數(shù)列的單調(diào)性得到數(shù)列范圍.【詳解】（1）由，令，則，又，所以.當(dāng)時，由可得，，即，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是.（2）∴∴從而.（3）由（2）知，∴數(shù)列單調(diào)遞增，∴，又，∴要恒成立，則，解得，又，故.【點睛】這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差