2024年中考數(shù)學動點與圖形面積問題金題精講

動點與圖形面積問題金題精講(一)動點與圖形面積的定值A.基礎過關金題1.如下圖所示，點P是雙曲線y=kx第二象限上的點，且思路點撥首先求出雙曲線的解析式，根據(jù)反比例函數(shù)y=k答案解析∵點P是雙曲線y=kx第二象限上的點，且則把P(-2,3)代入y=k所以反比例函數(shù)解析式為y=?作PN⊥x軸于點N,QM⊥x軸于點M,如右圖所示，∵點P、Q都在雙曲線上，∴即S又∵SPNO△PQO的面積為8,∴設Q的坐標為t∴當123?6t×?2?t當123?6t∴Q點的坐標為(?61或舉一反三如下圖所示，將透明三角形紙片PAB的直角頂點P落在第四象限，頂點A、B分別落在反比例函數(shù)y=kx圖象的兩支上，且PB⊥x軸于點C，(1)k=;(2)當四邊形ABCD的面積為214答案解析(1)把B(1,3)代入y=k(2)由(1)得反比例函數(shù)的解析式為y=3x,∵PB⊥x軸于點C,PA⊥y軸于點D,∴D點坐標為03a,P點坐標為∴PB=3?∵四邊形ABCD的面積=∴整理得a+32=0,∴P點坐標為(1,-2).|總結升華|本例題及變式考查了反比例函數(shù)y=k金題2.如下圖所示，已知A、B、C、D為矩形的4個頂點，AB=16cm,AD=6cm,動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度沿AB至BC移動，一直到點C為止，點Q以2cm/s的速度向點D移動.問：P、Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，四邊形PBCQ的面積是33cm2?思路點撥首先設P、Q兩點出發(fā)后x秒時，四邊形PBCQ的面積為36cm2,，將動點定下來，然后根據(jù)題意用x表示相關線段，再根據(jù)梯形的面積公式可得方程，再解方程即可.

答案解析設P、Q兩點出發(fā)后x秒時，四邊形PBCQ的面積為36cm2,由題意得：PB=16?3x,CQ=2x,∴解得x=4.則P、Q兩點出發(fā)后4秒時，四邊形PBCQ的面積為36cm2.舉一反三如下圖所示，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,,點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動,點Q從點B開始沿BC邊向C點以2cm/s的速度移動.(1)如果點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經過幾秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm2;(2)如果點P、Q分別從A、B同時出發(fā),并且點P到B點后又繼續(xù)在BC邊上前進，點Q到點C后又繼續(xù)在CA邊上前進，則經過幾秒鐘后，△PCQ的面積等于12.6cm2.答案解析(1)設經過x秒后,△PBQ的面積等于:8cm2,則BP=6-x,BQ=2x,∴解得x?=2,x?=4,即經過2秒或4秒以后，△PBQ的面積等于88cm2.(2)設經過y秒后，△PCQ的面積等于12.6cm2,根據(jù)題意要分類討論.①0<y≤4(Q在BC上,P在AB上)時,如圖1所示,連接PC,則CQ=8-2y,PB=6-y,∵∴解得y1=5+2②4<y≤6(Q在CA上,P在AB上),如圖2所示,過點P作PM⊥AC,,交AC于點M,由題意可知CQ=2y-8,AP=y,在Rt△ABC中,sin在Rt△APM中,sin即PMy∵∴解得y1=2+792③6<y≤9(Q在CA上,P在BC上),如圖3所示,由題意知CP=14-y,CQ=2y-8,過點Q作QD⊥BC,交BC于點D,∵∠B=90°,∴QD∥AB,∴QDAB=∴QD=∵∴解得y?=7,y?=11(不合題意，舍去).∴當5?2855|總結升華此類題型應首先找出未知量與已知量的對應關系，利用已知量來表示未知量，列方程求解；其中要注意因為動點引起的分類討論是許多問題容易遺漏的.B.能力提升金題1.如下圖所示，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABDC的邊AB在x軸上，頂點C在y軸上，A?60,C08,拋物線y=ax2?10ax+c經過點C，且頂點M在直線BC上，則拋物線的解析式為思路點撥由菱形性質，可求得點B的坐標，進而求得直線BC的解析式，根據(jù)待定系數(shù)法可求出拋物線的函數(shù)表達式，再根據(jù)面積相等即可求得點P的坐標.答案解析(1)∵A(-6,0),C(0,8),∴OA=6,OC=8,則由勾股定理得AC=10，∵四邊形ABCD為菱形,∴AC=AB=CD=10,∴B(4,0),D(10,8),設直線BC的解析式為y=kx+b,代入點B(4,0),C(0,8),∴0=4k+b8=b,∴y=-2x+8.∵y=ax2?10ax+c,∴對稱軸為直線x=?設M的坐標為(5,n),∵點M在直線y=-2x+8上,∴n=-2×5+8=-2,即M(5,-2).又∵拋物線y=ax2?10ax+c經過點C和M,∴c=825a?50a+c=?2’解得∴拋物線的函數(shù)表達式為y=2∵∴由題意可知點P在拋物線y=2①當點P在AD所在的直線上時，∵A(-6,0),D(10,8),可得直線解析式為y=貝y=25x2?4x+8y=②當點P在過點D且與BC平行的直線上時，∵B(4,0),C(0,8),則BC所在直線的解析式為y=-2x+8,設過點D且與BC平行的直線解析式為y=-2x+h,代入點D(10,8),則解析式為y=-2x+28,聯(lián)立y=25x2?4x+8y=?2x+28所以當△PBD與△PCD的面積相等時，點P的坐標為P1舉一反三如下圖所示，拋物線y=x(1)若點P是拋物線對稱軸上的一動點，則△OCP的面積為；(2)若點P(1，a)是拋物線對稱軸上的一動點，且滿足△PBC的面積為2，則a的值為.答案解析(1)根據(jù)拋物線的對稱軸，可得出△OCP的邊OC上的高，繼而可計算.△OCP的面積;∵拋物線解析式為y=∴拋物線對稱軸為直線x=1，點C的坐標為03∴(2)令x2?2x+3故點A的坐標為(120,設對稱軸與x軸交于點M，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D，如圖所示，其解析式為y=kx+b,將點B、C的坐標代入可得3解得k=?故直線BC的解析式為y=?則點D的坐標為1則SPBC=解得a=3512或總結升華本例題及變式結合圖象的性質考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線與x軸的交點及三角形的面積，難度中等.金題2.如下圖所示，已知拋物線y=x2?ax+a2?4a?4與x軸相交于點A和點B，與y軸相交于點D(0，8)，直線DC平行于x軸，交拋物線于另一點C，動點P以每秒2個單位長度的速度從C點出發(fā)，沿C→D運動，同時，點Q以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿A→B運動，連接PQ、CB，設點P運動的時間為t秒.(1)求a的值;(2)當四邊形ODPQ為矩形時，求這個矩形的面積；(3)當四邊形PQBC的面積等于14時，求t的值.思路點撥(1)把點D(0,8)代入拋物線y=x2?ax+a2?4a?4中，解方程即可解答.(2)利用(1)中求得的拋物線，求得點A、B、C、D四點坐標，再利用矩形的判定與性質解得即可.(3)當面積為定值時，動點也就定了下來，再利用梯形的面積計算方法解決問題.答案解析(1)把點(0,8)代入拋物線y=x2?ax+a2?4a?4得a2?4a?4=8,解得a?=6,a?=?2(不合題意，舍去)，因此a=6.(2)由(1)可得拋物線的解析式為y=x2?6x+8,當y=0時,x2?6x+8=0,解得x?=2,x?=4,∴A點坐標為(2,0),B點坐標為(4,0),當y=8時,x2?6x+8=8,解得x=0或x=6,∴D點的坐標為(0,8),C點坐標為(6,8),DP=6-2t,OQ=2+t,當四邊形OQPD為矩形時,DP=OQ,

2+t=6?2t,t=∴S=8×即矩形OQPD的面積為80(3)∵四邊形PQBC的面積為12由題意知BQ=AB-AQ=2-t,PC=2t,∴12BQ+PC×8=14,當t=3舉—反三如下圖所示，拋物線y=ax2+bx+2與直線l交于A、B兩點，且點A在y軸上，已知點B?2?4,，拋物線的對稱軸是直線；x=2,，過點A作(1)求此拋物線的解析式；(2)求點D的坐標;(3)拋物線上是否存在動點K，使得以AC為邊的平行四邊形ACKL的面積等于△ABC的面積?若存在，請求出點K的橫坐標；若不存在，請說明理由.答案解析(1)∵對稱軸為直線.x=2,，拋物線經過點.B∴?b2a∴拋物線的解析式是y=?(2)提示:易求得點A的坐標,作BE⊥y軸于點E,如圖1所示,易證△ABE∽△DAO,即可求得OD的值.∵點A在y軸上,令x=0,則y=2,∴點A(0,2),作BE⊥y軸于點E,又∵AC⊥AB,AO⊥OD,∴∠AOD=∠AEB,∠BAE=∠ADO,∴△ABE∽△DAO,∴BE∵A(0,2),B(-2,-4),∴OA=2,AE=6,BE=2,∴OD=6,∴D(6,0).3∴點K為距離AD所在直線12①∵點A(0,2),B(-2,-4),則線段AB的中點H為(?1又∵D(6,0),設解析式為y=kx+b,則直線AD為y=?∴過點H且平行AD的直線l'的解析式為y=?1則?解得x=7?1093②因為直線l'的解析式為y=?設直線l'與y軸的交點為點F，直線l"與y軸的交點為點G，∴F0?43∴G即直線l'的解析式為y=?則?即3x2?14x+20=0,∵Δ<0,∴直線l'與拋物線沒有交點.∴存在K點，橫坐標為7?1093.總結升華本例題和變式考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形、矩形的判定與性質、矩形的面積、梯形的面積以及相似三角形的判定和相似三角形對應邊比例相等的性質等知識，題目的綜合性很強，對知識點的準確掌握是關鍵.做這類的綜合題，一定要準確作圖，通過圖形將動點定下來然后進行分析.鞏固練習1.如下圖所示，在直角坐標系中，拋物線y=x2?x?6與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，如果點M在y軸右側的拋物線上，且S△AMO=23S△2.如圖1所示，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1?2,,點B的坐標為(3,-1)，二次函數(shù)y=?x2的圖象為(1)平移拋物線l?,，使平移后的拋物線經過點A，但不經過點B.寫出向下平移且經點A的解析式.(2)平移拋物線l?,，使平移后的拋物線經過A、B兩點，所得的拋物線為l?,，如圖2所

示，求拋物線l?的函數(shù)解析式及頂點C的坐標，并求△ABC的面積.(3)在y軸上是否存在點P，使SABC答案解析1.解:∵拋物線y=x2?x?6與x軸交于點A、點B,∴x2?x?6=0,∴x?=?2,x?=3,∴A(-2,0),B(3,0),設M點的坐標為(a又∵C(0,-6),則OC=6,OA=2,OB=3,∵∴∴12×2×|a∵點M在y軸右側的拋物線上，∴a>0,∴a=1或a=4,則ym=-6,或y∴M點的坐標為(1,-6)或(4,6),如右圖所示.

2.解：(1)設平移以后的二次函數(shù)解析式是y=?x2+c,把1?2設平移以后的二次函數(shù)解析式是y=?x2+c,把A(1,-2)代入得-1+c=-2,解得c=-1,則函數(shù)的解析式是y=?x2?1.(2)利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式，過A、B、C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，如圖1所示，可求得△ABC的面積，設l?的解析式是y=?x2+bx+c,∵l?經過點A(1,-2)和B(3,-1),根據(jù)題意得?2=?1+b+c解得b=則l?的解析式是y=?頂點C的坐標是9過點A、B、C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則AD=2,CF=得S(3)分點P位于點G的下方和上方兩種情況進行討論.延長BA交y軸于點G，∵已知點A(1,-2)和B(3,-1),∴直線AB的解析式為y=則點G的坐標為0設點P的坐標為(0,h)①當點P位于點G的下方時，如圖2所示，PG=?連接AP、BP,則SABP=S又∵S得?=?5516,②當點P位于點G的上方時,如圖3所示,PG=5同理得?=?∴點P的坐標為0綜上所述所求點P的坐標為0?5516(二)動點與圖形面積的比值A.基礎過關金題1.如下圖所示，在平面直角坐標系中，多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直線l經過點M(2,3),且將多邊形OABCDE分割成面積1：1的兩部分，則下列各點在直線l上的是().A.(4,3)B.(5,2)C.(6,2)D.思路點撥首先要根據(jù)直線l平分多邊形OABCDE的面積，確定直線解析式，然后把所給的點分別代入，即可求出答案.答案解析如右圖所示，延長BC交x軸于點F，連接OB、AF、DF、CE、DF和CE相交于點N,∵O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0),四邊形OABF、四邊形CDEF為矩形,∴點M為矩形ABFO的中心,∴直線l把矩形ABFO分成面積相等的兩部分，又∵DF和CE相交于點N,即點N(5,2),∴過點N(5，2)的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分，∴直線MN就是所求的直線l，設直線l的解析式為y=kx+b,把M(2,3),N(5,2)代入上式得:2k+b=3解得k=?∴所求直線l的函數(shù)表達式是y=?1舉—反三如下圖所示，在平面直角坐標系中，A(1，4)，B(3，2)，點C是直線y=?4x+20上的一動點，若OC恰好平分四邊形OACB的面積，則C點坐標為.答案解析∵A(1,4),B(3,2),∴AB的中點D的坐標是1+32∵∴SAOC=則直線OD的解析式是y=3根據(jù)題意得y=解得x=則C的坐標是(40總結升華本例題及變式考查了一次函數(shù)及四邊形的綜合，涉及矩形性質及待定系數(shù)法求一次函數(shù)關系式；根據(jù)圖形作出輔助線，掌握平分面積與線段中點的關系是解題關鍵.金題2.如下圖所示，四邊形OABC是正方形，點A在雙曲線y=18x上,點P、Q同時從點A出發(fā)，都以每秒1個單位的速度分別沿折線AO→OC和AB→BC向終點C移動,設運動時間為t秒.若點P在OA上運動,當t=秒時,△PAQ的面積是正方形OABC的面積的1思路點撥先求出正方形OABC的面積，再根據(jù)條件建立關于t的方程，即可求出t.答案解析(1)連接AC,交OB于點H,如右圖所示,∵四邊形OABC是正方形,∴OA=AB=BC=OC,OH⊥AH,OH=AH.∵點A在反比例函數(shù)y=18∴即SOHA∴由題意可知:AP=AQ=t,∴∵t>0,∴