2024年中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)與圖形面積問(wèn)題金題精講

動(dòng)點(diǎn)與圖形面積問(wèn)題金題精講(一)動(dòng)點(diǎn)與圖形面積的定值A(chǔ).基礎(chǔ)過(guò)關(guān)金題1.如下圖所示，點(diǎn)P是雙曲線y=kx第二象限上的點(diǎn)，且思路點(diǎn)撥首先求出雙曲線的解析式，根據(jù)反比例函數(shù)y=k答案解析∵點(diǎn)P是雙曲線y=kx第二象限上的點(diǎn)，且則把P(-2,3)代入y=k所以反比例函數(shù)解析式為y=?作PN⊥x軸于點(diǎn)N,QM⊥x軸于點(diǎn)M,如右圖所示，∵點(diǎn)P、Q都在雙曲線上，∴即S又∵SPNO△PQO的面積為8,∴設(shè)Q的坐標(biāo)為t∴當(dāng)123?6t×?2?t當(dāng)123?6t∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(?61或舉一反三如下圖所示，將透明三角形紙片PAB的直角頂點(diǎn)P落在第四象限，頂點(diǎn)A、B分別落在反比例函數(shù)y=kx圖象的兩支上，且PB⊥x軸于點(diǎn)C，(1)k=;(2)當(dāng)四邊形ABCD的面積為214答案解析(1)把B(1,3)代入y=k(2)由(1)得反比例函數(shù)的解析式為y=3x,∵PB⊥x軸于點(diǎn)C,PA⊥y軸于點(diǎn)D,∴D點(diǎn)坐標(biāo)為03a,P點(diǎn)坐標(biāo)為∴PB=3?∵四邊形ABCD的面積=∴整理得a+32=0,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2).|總結(jié)升華|本例題及變式考查了反比例函數(shù)y=k金題2.如下圖所示，已知A、B、C、D為矩形的4個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm,AD=6cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度沿AB至BC移動(dòng)，一直到點(diǎn)C為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng).問(wèn)：P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積是33cm2?思路點(diǎn)撥首先設(shè)P、Q兩點(diǎn)出發(fā)后x秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為36cm2,，將動(dòng)點(diǎn)定下來(lái)，然后根據(jù)題意用x表示相關(guān)線段，再根據(jù)梯形的面積公式可得方程，再解方程即可.

答案解析設(shè)P、Q兩點(diǎn)出發(fā)后x秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為36cm2,由題意得：PB=16?3x,CQ=2x,∴解得x=4.則P、Q兩點(diǎn)出發(fā)后4秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為36cm2.舉一反三如下圖所示，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向C點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng).(1)如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm2;(2)如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā),并且點(diǎn)P到B點(diǎn)后又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn)，點(diǎn)Q到點(diǎn)C后又繼續(xù)在CA邊上前進(jìn)，則經(jīng)過(guò)幾秒鐘后，△PCQ的面積等于12.6cm2.答案解析(1)設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后,△PBQ的面積等于:8cm2,則BP=6-x,BQ=2x,∴解得x?=2,x?=4,即經(jīng)過(guò)2秒或4秒以后，△PBQ的面積等于88cm2.(2)設(shè)經(jīng)過(guò)y秒后，△PCQ的面積等于12.6cm2,根據(jù)題意要分類(lèi)討論.①0<y≤4(Q在BC上,P在AB上)時(shí),如圖1所示,連接PC,則CQ=8-2y,PB=6-y,∵∴解得y1=5+2②4<y≤6(Q在CA上,P在AB上),如圖2所示,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC,,交AC于點(diǎn)M,由題意可知CQ=2y-8,AP=y,在Rt△ABC中,sin在Rt△APM中,sin即PMy∵∴解得y1=2+792③6<y≤9(Q在CA上,P在BC上),如圖3所示,由題意知CP=14-y,CQ=2y-8,過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥BC,交BC于點(diǎn)D,∵∠B=90°,∴QD∥AB,∴QDAB=∴QD=∵∴解得y?=7,y?=11(不合題意，舍去).∴當(dāng)5?2855|總結(jié)升華此類(lèi)題型應(yīng)首先找出未知量與已知量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用已知量來(lái)表示未知量，列方程求解；其中要注意因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)引起的分類(lèi)討論是許多問(wèn)題容易遺漏的.B.能力提升金題1.如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABDC的邊AB在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，A?60,C08,拋物線y=ax2?10ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且頂點(diǎn)M在直線BC上，則拋物線的解析式為思路點(diǎn)撥由菱形性質(zhì)，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線BC的解析式，根據(jù)待定系數(shù)法可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)面積相等即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).答案解析(1)∵A(-6,0),C(0,8),∴OA=6,OC=8,則由勾股定理得AC=10，∵四邊形ABCD為菱形,∴AC=AB=CD=10,∴B(4,0),D(10,8),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,代入點(diǎn)B(4,0),C(0,8),∴0=4k+b8=b,∴y=-2x+8.∵y=ax2?10ax+c,∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?設(shè)M的坐標(biāo)為(5,n),∵點(diǎn)M在直線y=-2x+8上,∴n=-2×5+8=-2,即M(5,-2).又∵拋物線y=ax2?10ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和M,∴c=825a?50a+c=?2’解得∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=2∵∴由題意可知點(diǎn)P在拋物線y=2①當(dāng)點(diǎn)P在AD所在的直線上時(shí)，∵A(-6,0),D(10,8),可得直線解析式為y=貝y=25x2?4x+8y=②當(dāng)點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)D且與BC平行的直線上時(shí)，∵B(4,0),C(0,8),則BC所在直線的解析式為y=-2x+8,設(shè)過(guò)點(diǎn)D且與BC平行的直線解析式為y=-2x+h,代入點(diǎn)D(10,8),則解析式為y=-2x+28,聯(lián)立y=25x2?4x+8y=?2x+28所以當(dāng)△PBD與△PCD的面積相等時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1舉一反三如下圖所示，拋物線y=x(1)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則△OCP的面積為；(2)若點(diǎn)P(1，a)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足△PBC的面積為2，則a的值為.答案解析(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，可得出△OCP的邊OC上的高，繼而可計(jì)算.△OCP的面積;∵拋物線解析式為y=∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為03∴(2)令x2?2x+3故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(120,設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M，直線BC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D，如圖所示，其解析式為y=kx+b,將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入可得3解得k=?故直線BC的解析式為y=?則點(diǎn)D的坐標(biāo)為1則SPBC=解得a=3512或總結(jié)升華本例題及變式結(jié)合圖象的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線與x軸的交點(diǎn)及三角形的面積，難度中等.金題2.如下圖所示，已知拋物線y=x2?ax+a2?4a?4與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)D(0，8)，直線DC平行于x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿C→D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B運(yùn)動(dòng)，連接PQ、CB，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求a的值;(2)當(dāng)四邊形ODPQ為矩形時(shí)，求這個(gè)矩形的面積；(3)當(dāng)四邊形PQBC的面積等于14時(shí)，求t的值.思路點(diǎn)撥(1)把點(diǎn)D(0,8)代入拋物線y=x2?ax+a2?4a?4中，解方程即可解答.(2)利用(1)中求得的拋物線，求得點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，再利用矩形的判定與性質(zhì)解得即可.(3)當(dāng)面積為定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)也就定了下來(lái)，再利用梯形的面積計(jì)算方法解決問(wèn)題.答案解析(1)把點(diǎn)(0,8)代入拋物線y=x2?ax+a2?4a?4得a2?4a?4=8,解得a?=6,a?=?2(不合題意，舍去)，因此a=6.(2)由(1)可得拋物線的解析式為y=x2?6x+8,當(dāng)y=0時(shí),x2?6x+8=0,解得x?=2,x?=4,∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),當(dāng)y=8時(shí),x2?6x+8=8,解得x=0或x=6,∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,8),C點(diǎn)坐標(biāo)為(6,8),DP=6-2t,OQ=2+t,當(dāng)四邊形OQPD為矩形時(shí),DP=OQ,

2+t=6?2t,t=∴S=8×即矩形OQPD的面積為80(3)∵四邊形PQBC的面積為12由題意知BQ=AB-AQ=2-t,PC=2t,∴12BQ+PC×8=14,當(dāng)t=3舉—反三如下圖所示，拋物線y=ax2+bx+2與直線l交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在y軸上，已知點(diǎn)B?2?4,，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線；x=2,，過(guò)點(diǎn)A作(1)求此拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)拋物線上是否存在動(dòng)點(diǎn)K，使得以AC為邊的平行四邊形ACKL的面積等于△ABC的面積?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)K的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案解析(1)∵對(duì)稱(chēng)軸為直線.x=2,，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).B∴?b2a∴拋物線的解析式是y=?(2)提示:易求得點(diǎn)A的坐標(biāo),作BE⊥y軸于點(diǎn)E,如圖1所示,易證△ABE∽△DAO,即可求得OD的值.∵點(diǎn)A在y軸上,令x=0,則y=2,∴點(diǎn)A(0,2),作BE⊥y軸于點(diǎn)E,又∵AC⊥AB,AO⊥OD,∴∠AOD=∠AEB,∠BAE=∠ADO,∴△ABE∽△DAO,∴BE∵A(0,2),B(-2,-4),∴OA=2,AE=6,BE=2,∴OD=6,∴D(6,0).3∴點(diǎn)K為距離AD所在直線12①∵點(diǎn)A(0,2),B(-2,-4),則線段AB的中點(diǎn)H為(?1又∵D(6,0),設(shè)解析式為y=kx+b,則直線AD為y=?∴過(guò)點(diǎn)H且平行AD的直線l'的解析式為y=?1則?解得x=7?1093②因?yàn)橹本€l'的解析式為y=?設(shè)直線l'與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，直線l"與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)G，∴F0?43∴G即直線l'的解析式為y=?則?即3x2?14x+20=0,∵Δ<0,∴直線l'與拋物線沒(méi)有交點(diǎn).∴存在K點(diǎn)，橫坐標(biāo)為7?1093.總結(jié)升華本例題和變式考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形、矩形的判定與性質(zhì)、矩形的面積、梯形的面積以及相似三角形的判定和相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)等知識(shí)，題目的綜合性很強(qiáng)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的準(zhǔn)確掌握是關(guān)鍵.做這類(lèi)的綜合題，一定要準(zhǔn)確作圖，通過(guò)圖形將動(dòng)點(diǎn)定下來(lái)然后進(jìn)行分析.鞏固練習(xí)1.如下圖所示，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2?x?6與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，如果點(diǎn)M在y軸右側(cè)的拋物線上，且S△AMO=23S△2.如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1?2,,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,-1)，二次函數(shù)y=?x2的圖象為(1)平移拋物線l?,，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，但不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.寫(xiě)出向下平移且經(jīng)點(diǎn)A的解析式.(2)平移拋物線l?,，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，所得的拋物線為l?,，如圖2所

示，求拋物線l?的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求△ABC的面積.(3)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使SABC答案解析1.解:∵拋物線y=x2?x?6與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,∴x2?x?6=0,∴x?=?2,x?=3,∴A(-2,0),B(3,0),設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(a又∵C(0,-6),則OC=6,OA=2,OB=3,∵∴∴12×2×|a∵點(diǎn)M在y軸右側(cè)的拋物線上，∴a>0,∴a=1或a=4,則ym=-6,或y∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-6)或(4,6),如右圖所示.

2.解：(1)設(shè)平移以后的二次函數(shù)解析式是y=?x2+c,把1?2設(shè)平移以后的二次函數(shù)解析式是y=?x2+c,把A(1,-2)代入得-1+c=-2,解得c=-1,則函數(shù)的解析式是y=?x2?1.(2)利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式，過(guò)A、B、C三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，如圖1所示，可求得△ABC的面積，設(shè)l?的解析式是y=?x2+bx+c,∵l?經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,-2)和B(3,-1),根據(jù)題意得?2=?1+b+c解得b=則l?的解析式是y=?頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是9過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則AD=2,CF=得S(3)分點(diǎn)P位于點(diǎn)G的下方和上方兩種情況進(jìn)行討論.延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)G，∵已知點(diǎn)A(1,-2)和B(3,-1),∴直線AB的解析式為y=則點(diǎn)G的坐標(biāo)為0設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,h)①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的下方時(shí)，如圖2所示，PG=?連接AP、BP,則SABP=S又∵S得?=?5516,②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的上方時(shí),如圖3所示,PG=5同理得?=?∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為0綜上所述所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為0?5516(二)動(dòng)點(diǎn)與圖形面積的比值A(chǔ).基礎(chǔ)過(guò)關(guān)金題1.如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,3),且將多邊形OABCDE分割成面積1：1的兩部分，則下列各點(diǎn)在直線l上的是().A.(4,3)B.(5,2)C.(6,2)D.思路點(diǎn)撥首先要根據(jù)直線l平分多邊形OABCDE的面積，確定直線解析式，然后把所給的點(diǎn)分別代入，即可求出答案.答案解析如右圖所示，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)F，連接OB、AF、DF、CE、DF和CE相交于點(diǎn)N,∵O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0),四邊形OABF、四邊形CDEF為矩形,∴點(diǎn)M為矩形ABFO的中心,∴直線l把矩形ABFO分成面積相等的兩部分，又∵DF和CE相交于點(diǎn)N,即點(diǎn)N(5,2),∴過(guò)點(diǎn)N(5，2)的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分，∴直線MN就是所求的直線l，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,把M(2,3),N(5,2)代入上式得:2k+b=3解得k=?∴所求直線l的函數(shù)表達(dá)式是y=?1舉—反三如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A(1，4)，B(3，2)，點(diǎn)C是直線y=?4x+20上的一動(dòng)點(diǎn)，若OC恰好平分四邊形OACB的面積，則C點(diǎn)坐標(biāo)為.答案解析∵A(1,4),B(3,2),∴AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)是1+32∵∴SAOC=則直線OD的解析式是y=3根據(jù)題意得y=解得x=則C的坐標(biāo)是(40總結(jié)升華本例題及變式考查了一次函數(shù)及四邊形的綜合，涉及矩形性質(zhì)及待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)圖形作出輔助線，掌握平分面積與線段中點(diǎn)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.金題2.如下圖所示，四邊形OABC是正方形，點(diǎn)A在雙曲線y=18x上,點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位的速度分別沿折線AO→OC和AB→BC向終點(diǎn)C移動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.若點(diǎn)P在OA上運(yùn)動(dòng),當(dāng)t=秒時(shí),△PAQ的面積是正方形OABC的面積的1思路點(diǎn)撥先求出正方形OABC的面積，再根據(jù)條件建立關(guān)于t的方程，即可求出t.答案解析(1)連接AC,交OB于點(diǎn)H,如右圖所示,∵四邊形OABC是正方形,∴OA=AB=BC=OC,OH⊥AH,OH=AH.∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=18∴即SOHA∴由題意可知:AP=AQ=t,∴∵t>0,∴