高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)(Ⅰ)學案 新人教A版必修

（新課標同步輔導）2016高中數(shù)學第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）學案新人教A版必修12．1指數(shù)函數(shù)2．1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運算[學習目標]1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性質，會進行簡單的求n次方根的運算．(重點、難點)2.理解整數(shù)指數(shù)冪和分數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪之間的相互轉化．(重點、易混點)3.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義及其運算性質．(重點)4.通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義．一、根式1．根式及相關概念(1)a的n次方根的定義：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)，n為奇數(shù)，,±\r(n,a)，（a＞0）n為偶數(shù).))(3)根式．2．根式的性質(n＞1，且n∈N*)(1)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a．(2)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))(3)eq\r(n,0)＝0．(4)負數(shù)沒有偶次方根．二、分數(shù)指數(shù)冪1．規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．2．規(guī)定正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\f(m,n))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．3．0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．三、有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質1．aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．2．(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．3．(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．四、無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質對于無理數(shù)指數(shù)冪同樣適用．1．判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)eq\r(（3－π）2)＝π－3()(2)分數(shù)指數(shù)冪aeq\f(m,n)可能理解為eq\f(m,n)個a相乘．()(3)0的任何指數(shù)冪都等于0.()【解析】(1)∵eq\r(（3－π）2)＝|3－π|＝π－3.∴(1)正確．由分數(shù)指數(shù)冪的意義知(2)、(3)均錯．【答案】(1)√(2)×(3)×2．(1)eq\r(5,a－3)化為分數(shù)指數(shù)冪為________．(2)a－eq\f(2,3)(a＞0)用根式表示為________．【解析】(1)eq\r(5,a－3)＝a－eq\f(3,5).(2)a－eq\f(2,3)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(2,3)))＝eq\f(1,\r(3,a2)).【答案】(1)a－eq\f(3,5)(2)eq\f(1,\r(3,a2))3．求值：(1)eq\r(3,（－2）3)＝________，eq\r(（－2）2)＝________，eq\r(（x－1）2)＝________．(2)若10a＝3，10b＝5，則10a－【解析】(1)eq\r(3,（－2）3)＝－2，eq\r(（－2）2)＝|－2|＝2，eq\r(（x－1）2)＝|x－1|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥1，,1－x，x＜1.))(2)10a－b＝eq\f(10a,10b)＝eq\f(3,5).【答案】(1)－22eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥1，,1－x，x＜1.))(2)eq\f(3,5)4．化簡(aeq\f(3,4)·b－eq\f(2,3))6＝________(a＞0，b＞0)．【解析】原式＝(aeq\f(3,4))6·(b－eq\f(2,3))6＝aeq\f(3,4)×6·b－eq\f(2,3)×6＝aeq\s\up6(\f(9,2))·b－4.【答案】aeq\s\up6(\f(9,2))·b－4預習完成后，請把你認為難以解決的問題記錄在下面的表格中問題1問題2問題3問題4利用根式的性質化簡或求值(1)(2014·河北唐山一中期中)當a＞0時，eq\r(－ax3)＝()A．xeq\r(ax)B．xeq\r(－ax)C．－xeq\r(－ax)D．－xeq\r(ax)(2)求下列各式的值：①eq\r(（a－b）2).②eq\r(3－2\r(2))＋(eq\r(3,1－\r(2)))3.③(eq\r(a－1))2＋eq\r(（1－a）2)＋eq\r(3,（1－a）3).【解析】(1)∵a＞0，∴x＜0，eq\r(－ax3)＝|x|eq\r(－ax)＝－xeq\r(－ax)，故選C.【答案】C(2)①eq\r(（a－b）2)＝|a－b|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b（a≥b），,b－a（a＜b）.))②因為3－2eq\r(2)＝12－2eq\r(2)＋(eq\r(2))2＝(eq\r(2)－1)2，所以eq\r(3－2\r(2))＋(eq\r(3,1－\r(2)))3＝eq\r(（\r(2)－1）2)＋1－eq\r(2)＝eq\r(2)－1＋1－eq\r(2)＝0.③由題意，首先有a－1≥0，即a≥1.(eq\r(a－1))2＝a－1,eq\r(（1－a）2)＝|1－a|＝a－1，eq\r(3,（1－a）3)＝1－a.∴(eq\r(a－1))2＋eq\r(（1－a）2)＋eq\r(3,（1－a）3)＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.1．解決根式的化簡或求值問題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質進行化簡或求值．2．注意正確區(qū)分eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n.根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化將下列根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式：(1)eq\r(3,a2)·eq\r(a3)(a＞0)；(2)eq\f(1,\r(3,x（\r(5,x2)）2))；(3)(eq\r(4,b－\f(2,3)))－eq\f(2,3)(b＞0)．【思路探究】應熟練應用eq\r(n,am)＝aeq\f(m,n).含有多重根號時，需自里向外用分數(shù)指數(shù)冪寫出，再用性質化簡．【解】(1)原式＝aeq\f(2,3)·aeq\f(3,2)＝aeq\f(2,3)＋eq\f(3,2)＝aeq\f(13,6).(2)原式＝eq\f(1,\r(3,x（x\f(2,5)）2))＝eq\f(1,\r(3,x·x\f(4,5)))＝eq\f(1,\r(3,x\f(9,5)))＝eq\f(1,（x\f(9,5)）\f(1,3))＝eq\f(1,x\f(3,5))＝x－eq\f(3,5).(3)原式＝[(b－eq\f(2,3))eq\f(1,4)]－eq\f(2,3)＝b－eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝beq\f(1,9).1．當所要化簡的根式含有多重根號時，要搞清被開方數(shù)，由里向外用分數(shù)指數(shù)冪寫出，然后用性質進行化簡．2．關于式子eq\r(n,am)＝aeq\f(m,n)的兩點說明：(1)根指數(shù)n?分數(shù)指數(shù)的分母；(2)被開方數(shù)(式)的指數(shù)m?分數(shù)指數(shù)的分子．3．通常規(guī)定分數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)a＞0，但像(－a)eq\f(1,2)＝eq\r(－a)中的a則需要a≤0.特點提醒：分數(shù)指數(shù)冪和根式是同一個數(shù)的兩種不同書寫形式．計算eq\f(a2,\r(a)\r(3,a2))(a＞0)的結果是()A.eq\r(6,a5)B．aeq\f(6,5)C．a－eq\f(1,5)D．a【解析】eq\f(a2,\r(a)\r(3,a2))＝eq\f(a2,a\f(1,2)·a\f(2,3))＝a2－eq\f(1,2)－eq\f(2,3)＝aeq\f(5,6)＝eq\r(6,a5).【答案】A利用分數(shù)指數(shù)冪化簡、求值計算(或化簡)下列各式：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\s\up12(0.5)＋0.1－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27)))－eq\f(2,3)－3π0＋eq\f(37,48)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(3,8)))－eq\f(2,3)＋(0.002)－eq\f(1,2)－10(eq\r(5)－2)－1＋(eq\r(2)－eq\r(3))0；(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(a＞0，b＞0(4)2eq\r(3,a)÷4eq\r(6,a·b)×3eq\r(b3)(a＞0，b＞0)．【思路探究】進行指數(shù)冪運算時，化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)，以便于進行乘、除、乘方、開方運算，達到化繁為簡的目的．【解】(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\f(1,2)＋eq\f(1,0.12)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,27)))－eq\f(2,3)－3＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.(2)原式＝(－1)－eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))－eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,500)))－eq\f(1,2)－eq\f(10,\r(5)－2)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))－eq\f(2,3)＋(500)eq\f(1,2)－10(eq\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－＝－eq\f(1,3)a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－eq\f(1,3)ac－1＝－eq\f(a,3c).(4)原式＝2aeq\s\up6(\f(1,3))÷(4aeq\f(1,6)beq\f(1,6))×(3beq\f(3,2))＝eq\f(1,2)aeq\f(1,3)－eq\f(1,6)b－eq\f(1,6)·3beq\f(3,2)＝eq\f(3,2)aeq\f(1,6)beq\f(4,3).1．進行指數(shù)冪的運算時，一般化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)，并注意運算的順序．2．在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時，若能明確被開方數(shù)的符號，則可以對根式進行化簡運算．3．對于含有字母的化簡求值的結果，一般用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示．(2014·黑龍江哈爾濱三中期中)化簡aeq\f(2,3)beq\f(1,2)(－3aeq\f(1,2)·beq\f(1,3))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a\f(1,6)b\f(5,6)))(a＞0，b＞0)的結果為()A．9aB．－9aC．9bD【解析】原式＝(－3)×3aeq\f(2,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,6)beq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(5,6)＝－9ab0＝－9a.【答案】B指數(shù)式的條件求值問題已知aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2)＝3，求下列各式的值．(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.【思路探究】從已知條件中解出a的值；然后再代入求值，這種方法太繁瑣，是不可取的，應設法尋找要求值的式子與條件aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2)＝3的聯(lián)系，進而整體代入求值．【解】(1)將aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2)＝3兩邊平方，得a＋a－1＋2＝9，故a＋a－1＝7.(2)將a＋a－1＝7兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝49，故a2＋a－2＝47.1．在條件等式求值時，往往先將所求式子進行有目的變形，或先對條件加以變形，溝通所求式子與條件等式的聯(lián)系，以便用整體代入法求值．2．在用整體代入的方法求值時，要注意完全平方公式的應用．若條件不變，試求aeq\f(1,2)－a－eq\f(1,2)的值．【解】∵(aeq\f(1,2)－a－eq\f(1,2))2＝a＋a－1－2aeq\f(1,2)·a－eq\f(1,2)＝(a＋a－1)－2＝7－2＝5，∴|aeq\f(1,2)－a－eq\f(1,2)|＝eq\r(5)，∴aeq\f(1,2)－a－eq\f(1,2)＝±eq\r(5).1.eq\r(n,am)＝aeq\f(m,n)(a＞0)可以實現(xiàn)分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化，但要注意根指數(shù)是分數(shù)指數(shù)的分母．2．在應用分數(shù)指數(shù)冪進行根式的計算時，應注意把根式統(tǒng)一化為分數(shù)指數(shù)冪的形式．當所求根式含有多重根號時，應由里向外用分數(shù)指數(shù)冪寫出，然后再利用性質運算．

忽視被開方數(shù)的符號致誤(2014·山東日照一模)若－1＜x＜2，化簡eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2＋2x＋1).【易錯分析】解答本題易忽視被開方數(shù)的符號致誤．【防范措施】為使開偶次方后不出現(xiàn)符號錯誤，開方時先帶著絕對值符號，然后再根據(jù)取值范圍去掉絕對值符號進行化簡．【解】原式＝eq\r(（x－2）2)－eq\r(（x＋1）2)＝|x－2|－|x＋1|.∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0，∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.——[類題嘗試]—————————————————計算eq\r(3,（1＋\r(2)）3)＋eq\r(4,（1－\r(2)）4).【解】eq\r(3,（1＋\r(2)）3)＋eq\r(4,（1－\r(2)）4)＝(1＋eq\r(2))＋|1－eq\r(2)|＝1＋eq\r(2)＋eq\r(2)－1＝2eq\r(2).課時作業(yè)(十二)指數(shù)與指數(shù)冪的運算eq\a\vs4\al([學業(yè)水平層次])一、選擇題1．化簡eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3,（－5）2)))eq\f(3,4)的結果為()A．5B.eq\r(5)C．－eq\r(5)D．－5【解析】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3,（－5）2)))eq\f(3,4)＝(eq\r(3,52))eq\f(3,4)＝(5eq\f(2,3))eq\f(3,4)＝5eq\f(1,2)＝eq\r(5).故選B.【答案】B2．根式eq\r(\f(1,a)\r(\f(1,a)))(a＞0)的分數(shù)指數(shù)冪形式為()A．a－eq\f(4,3)B．aeq\f(4,3)C．a－eq\f(3,4)D．aeq\f(3,4)【解析】eq\r(\f(1,a)\r(\f(1,a)))＝eq\r(a－1·（a－1）\f(1,2))＝eq\r(a－\f(3,2))＝(a－eq\f(3,2))eq\f(1,2)＝a－eq\f(3,4).【答案】C3．下列各式中正確的個數(shù)是()(1)eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a(n是奇數(shù)且n＞1，a是實數(shù))；(2)eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a(n是正偶數(shù)，a是實數(shù))；(3)eq\r(3,a3)＋eq\r(b2)＝a＋b(a，b是實數(shù))．A．0B．1C．2D．3【解析】由于n是大于1的奇數(shù)，故(1)正確；由于n是正偶數(shù)，故eq\r(n,an)中a可取任意實數(shù)，而(eq\r(n,a))n中a只能取非負數(shù)，故(2)錯誤；eq\r(b2)＝|b|，故(3)錯誤．【答案】B4．(2014·湖北孝感期中)若x＋x－1＝4，則xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2)的值等于()A．2或－2B．2C.eq\r(6)或－eq\r(6)D.eq\r(6)【解析】(xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2))2＝x＋2＋x－1＝6.∵xeq\f(1,2)≥0，x－eq\f(1,2)＞0，∴xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2)＝eq\r(6).【答案】D二、填空題5．x4＝3，則x＝________．【解析】∵x4＝3，∴x＝±eq\r(4,3).【答案】±eq\r(4,3)6．(2014·廣西桂林中學段考)27eq\f(2,3)＋16－eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))－eq\f(2,3)＝________．【解析】原式＝(33)eq\f(2,3)＋(42)－eq\f(1,2)－22－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3)))－eq\f(2,3)＝32＋4－1－4－eq\f(9,4)＝3.【答案】37．若10x＝3，10y＝4，則102x－y＝________．【解析】∵10x＝3，10y＝4，∴102x－y＝eq\f(102x,10y)＝eq\f(32,4)＝eq\f(9,4).【答案】eq\f(9,4)三、解答題8．(2014·合肥高一檢測)求使等式eq\r(（x－2）（x2－4）)＝(2－x)eq\r(x＋2)成立的x的取值范圍．【解】因為eq\r(（x－2）（x2－4）)＝eq\r(（x－2）2（x＋2）)＝(2－x)eq\r(x＋2)，所以2－x≥0且x＋2≥0，故－2≤x≤2.9．化簡下列各式：(1)eq\r(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8a3,125b3)))\s\up12(4))·eq\r(3,\f(27b,a6))(a＞0，b＞0)；(2)eq\f(5x－\f(2,3)y\s\up6(\f(1,2)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x－1y\f(1,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)x\f(1,2)y\f(1,6))))(x＞0，y＞0)．【解】(1)eq\r(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8a3,125b3)))\s\up12(4))·eq\r(3,\f(27b,a6))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8a3,125b3)))eq\f(4,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27b,a6)))eq\f(1,3)＝eq\f(（23）\f(2,3)a3×\f(2,3),（53）\f(2,3)b3×\f(2,3))·eq\f(（33）\f(1,3)b\f(1,3),a2)＝eq\f(4,25b2)·3beq\f(1,3)＝eq\f(12,25)b－eq\f(5,3).(2)原式＝eq\f(24,5)×5×x－eq\f(2,3)＋1－eq\f(1,2)×yeq\f(1,2)－eq\f(1,3)－eq\f(1,6)＝24xeq\f(1,3)－eq\f(1,2)y0＝24x－eq\f(1,6).eq\a\vs4\al([能力提升層次])1．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y為()A.eq\f(x＋1,x－1)B.eq\f(x＋1,x)C.eq\f(x－1,x＋1)D.eq\f(x,x－1)【解析】由x＝1＋2b，得2b＝x－1，∴y＝1＋2－b＝1＋eq\f(1,2b)＝1＋eq\f(1,x－1)＝eq\f(x,x－1).【答案】D2．化簡(－3aeq\f(1,3)beq\f(3,4))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a\f(2,3)·b\f(1,4)))÷(－6aeq\f(5,12)·beq\f(7,12))(其中a＞0，b＞0)的結果是()A.eq\f(1,4)aeq\f(7,12)·beq\f(5,12)B．4aeq\f(7,12)·beq\f(5,12)C.eq\f(1,4)aeq\f(5,12)·beq\f(7,12)D．－eq\f(1,4)aeq\f(7,12)·beq\f(5,12)【解析】原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－3）×\f(1,2)÷（－6）))aeq\f(1,3)＋eq\f(2,3)－eq\f(5,12)·beq\f(3,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(7,12)＝eq\f(1,4)a1－eq\f(5,12)·b1－eq\f(7,12)＝eq\f(1,4)aeq\f(7,12)·beq\f(5,12).【答案】A3.eq\f(a\s\up6(\f(4,3))－8a\s\up6(\f(1,3))b,4b\s\up6(\f(2,3))＋2a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(1,3))＋a\s\up6(\f(2,3)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2\r(3,\f(b,a))))×eq\r(3,a)＝________．【解析】原式＝eq\f(a\s\up6(\f(1,3))（a－8b）,4b\s\up6(\f(2,3))＋2a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(1,3))＋a\s\up6(\f(2,3)))÷eq\f(a\s\up6(\f(1,3))－2b\s\up6(\f(1,3)),a\s\up6(\f(1,3)))×aeq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(a\s\up6(\f(1,3))（a\s\up6(\f(1,3))－2b\s\up6(\f(1,3))）（a\s\up6(\f(2,3))＋2a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(1,3))＋4b\s\up6(\f(2,3))）,4b\s\up6(\f(2,3))＋2a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(1,3))＋a\s\up6(\f(2,3)))×eq\f(a\s\up6(\f(1,3)),a\s\up6(\f(1,3))－2b\s\up6(\f(1,3)))×aeq\s\up6(\f(1,3))＝aeq\s\up6(\f(1,3))·aeq\s\up6(\f(1,3))·aeq\s\up6(\f(1,3))＝a.【答案】a4．已知aeq\s\up6(\f(1,2))－a－eq\f(1,2)＝eq\r(5)，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.【解】(1)將aeq\s\up6(\f(1,2))－a－eq\f(1,2)＝eq\r(5)兩邊平方，得a＋a－1－2＝5，則a＋a－1＝7.(2)由a＋a－1＝7兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝49，則a2＋a－2＝47.(3)設y＝a2－a－2，兩邊平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2205，所以y＝±21eq\r(5)，即a2－a－2＝±21eq\r(5).2．1.2指數(shù)函數(shù)及其性質第1課時指數(shù)函數(shù)的圖象及性質[學習目標]1.理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義，掌握指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法．(重點、難點)2.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，并能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象說明指數(shù)函數(shù)的性質．(重點)一、指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.二、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質a＞10＜a＜1圖象性質定義域R值域(0，＋∞)過定點(0，1)，即當x＝0時，y＝1單調性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)1．判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸的上方．()(2)當a＞1時，對于任意x∈R總有ax＞1.()(3)函數(shù)f(x)＝2－x在R上是增函數(shù)．()【解析】(1)∵對任意x∈R，ax(a＞0，且a≠1)＞0，∴(1)正確．(2)∵2－1＝eq\f(1,2)＜1，∴(2)錯．(3)∵f(x)＝2－x在R上是減函數(shù)，∴(3)錯．【答案】(1)√(2)×(3)×2．下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝5x＋1B．y＝x4C．y＝3－xD．y＝2·3x【解析】形如y＝ax(a>0且a≠1)的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)．只有C選項符合，故選C.【答案】C3．函數(shù)y＝ax－1(a>0且a≠1)的圖象一定過點________．【解析】當x－1＝0，即x＝1時，y＝1，∴圖象一定過點(1，1)．【答案】(1，1)4．已知函數(shù)y＝(a－1)x是指數(shù)函數(shù)，且當x<0時，y>1，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】∵x<0時y>1，∴0<a－1<1即1<a<2.【答案】(1，2)預習完成后，請把你認為難以解決的問題記錄在下面的表格中問題1問題2問題3問題4指數(shù)函數(shù)的概念(1)已知函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)，則f(x)＝________．(2)若函數(shù)y＝(4－3a)x是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a(3)指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)？①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,2)，且a≠1))；⑥y＝4－x.【解析】(1)設f(x)＝ax(a＞0，且a≠0)，又由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)，得a－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(5),25)，所以a＝5，故f(x)＝5x.(2)y＝(4－3a)x是指數(shù)函數(shù)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3a>0，,4－3a≠1，))解得a<eq\f(4,3)且a≠1，故a的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<\f(4,3)))且a≠1)).【答案】(1)5x(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<\f(4,3)))且a≠1))(3)②不是指數(shù)函數(shù)，因自變量不在指數(shù)位置上；③是－1與4x的乘積，故不是指數(shù)函數(shù)；④因－4＜0，故不是指數(shù)函數(shù)；①⑤⑥是指數(shù)函數(shù)．1．指數(shù)函數(shù)具有形式上的嚴格性，在指數(shù)函數(shù)的定義表達式中，要牢牢抓住四點：(1)冪的系數(shù)是1；(2)底數(shù)a＞0，且a≠1；(3)指數(shù)是單個自變量“x”且處在指數(shù)的位置；(4)指數(shù)函數(shù)不會是多項式，如y＝2x＋1不是指數(shù)函數(shù)．2．求指數(shù)函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(1)函數(shù)y＝3－x的圖象是()(2)函數(shù)y＝ax－1－3(a＞0)的圖象恒過定點坐標是()A．(1，－3)B．(1，－2)C．(2，－3)D．(2，－2)【思路探究】(1)可將y＝3－x轉化為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x).(2)令x－1＝0，求出y值，可得定點坐標．【解析】(1)y＝3－x即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，在(－∞，∞)上是減函數(shù)，且過定點(0，1)，故選B.(2)令x－1＝0，得x＝1，此時y＝a0－3＝1－3＝－2，∴函數(shù)y＝ax－1－3恒過定點(1，－2)．故選B.【答案】(1)B(2)B1．可用指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(0，1)，結合指數(shù)函數(shù)的性質如單調性、值域等處理指數(shù)函數(shù)的圖象問題．2．要求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點時，只需令指數(shù)為0，求出對應的y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點．3．指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關系．(1)在y軸右側，圖象從上到下相應的底數(shù)由大變?。?2)在y軸左側，圖象從下到上相應的底數(shù)由大變小．(3)無論在y軸的左側還是右側，底數(shù)按逆時針方向變大．這一性質可通過x取1時函數(shù)值的大小關系去理解，如下圖所示的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的大小關系為0＜d＜c＜1＜b＜a.已知0＜a＜1，b＜－1，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象必定不經(jīng)過()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】函數(shù)y＝ax(0＜a＜1)在R上單調遞減，圖象過定點(0，1)，所以函數(shù)y＝ax＋b的圖象在R上單調遞減，且過點(0，1＋b)．因為b＜－1，所以點(0，1＋b)在y軸負半軸上，故圖象不經(jīng)過第一象限．【答案】A指數(shù)函數(shù)的定義域與值域求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y＝2eq\s\up6(\f(1,x－4))；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(\r(x－2)).【思路探究】【解】(1)由x－4≠0，得x≠4，∴定義域為{x|x∈R，且x≠4}．∵eq\f(1,x－4)≠0，∴2eq\s\up6(\f(1,x－4))≠1，∴y＝2eq\s\up6(\f(1,x－4))的值域為{y|y>0，且y≠1}．(2)由x－2≥0，得x≥2.∴定義域為{x|x≥2}．當x≥2時，eq\r(x－2)≥0，又0<eq\f(1,3)<1，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(\r(x－2))的值域為{y|0<y≤1}．1．函數(shù)y＝af(x)的定義域與y＝f(x)的定義域相同．2．函數(shù)y＝af(x)的值域的求法如下：(1)換元，令t＝f(x)；(2)求t＝f(x)的定義域x∈D；(3)求t＝f(x)的值域t∈M；(4)利用y＝at的單調性求y＝at，t∈M的值域．求函數(shù)y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x))的定義域和值域．【解】∵x應滿足1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≥0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)，即x≥0，∴y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x))的定義域為{x|x≥0}．∵x≥0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤1.又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＞0，∴0＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤1，∴0≤1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜1，即0≤y＜1.∴y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x))的值域為{y|0≤y＜1}．1．判斷一個函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)，關鍵是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)這一結構形式．2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的單調性取決于底數(shù)a，分底數(shù)a＞1，0＜a＜1兩種情況．3．由于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的定義域為R，即x∈R，所以函數(shù)y＝af(x)(a＞0且a≠1)與函數(shù)f(x)的定義域相同．4．求函數(shù)y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：(1)換元，令t＝f(x)，并求出函數(shù)t＝f(x)的定義域；(2)求t＝f(x)的值域t∈M；(3)利用y＝at的單調性求y＝at在t∈M上的值域．

對指數(shù)函數(shù)的概念理解不清致誤函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)，求實數(shù)a.【易錯分析】解答本題易忽視對底數(shù)a的約束條件或冪的系數(shù)值致誤．【防范措施】形如f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，在用題設條件求出a的值后，應檢驗是否滿足①冪的系數(shù)是1；②底數(shù)a＞0，且a≠1；③指數(shù)位置上是單個自變量x.【解】∵函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)∴由指數(shù)函數(shù)的定義，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－4a＋4＝1，,a>0且a≠1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1或a＝3，,a>0且a≠1，))∴a＝3.——[類題嘗試]—————————————————已知函數(shù)y＝(a2－3)ax是指數(shù)函數(shù)，求a的值．【解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可知a2－3＝1，解得a＝2或a＝－2.因為指數(shù)函數(shù)y＝ax中要求a＞0，且a≠1，故a＝－2舍去，即a＝2.課時作業(yè)(十三)指數(shù)函數(shù)的圖象及性質eq\a\vs4\al([學業(yè)水平層次])一、選擇題1．函數(shù)y＝eq\r(2x－1)的定義域是()A．(－∞，0)B．(－∞，0]C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)【解析】由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.【答案】C2．函數(shù)f(x)＝3x＋1的值域為()A．(－1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0，1)D．[1，＋∞)【解析】∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函數(shù)的值域是(1，＋∞)．【答案】B3．(2014·重慶高考)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x【解析】四個選項中函數(shù)的定義域均為R.對于選項A，f(－x)＝－x－1≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；對于選項B，f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；對于選項C，f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，故該函數(shù)為奇函數(shù)；對于選項D，因為f(－x)＝2－x＋2x＝2x＋2－x＝f(x)，故該函數(shù)為偶函數(shù)，故選D.【答案】D4．(2014·安徽師大附中高一期中)函數(shù)y＝2|x|的圖象是()【解析】∵y＝2|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x（x≥0），,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)（x＜0），))故選B.【答案】B二、填空題5．函數(shù)y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的圖象過定點________．【解析】因為指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象過定點(0，1)，所以在函數(shù)y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此時y＝1＋3＝4，即函數(shù)y＝ax－3＋3的圖象過定點(3，4)．【答案】(3，4)6．函數(shù)y＝(k＋2)ax＋2－b(a>0，且a≠1)是指數(shù)函數(shù)，則k＝________，b＝________．【解析】由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋2＝1，,2－b＝0，))∴k＝－1，b＝2.【答案】－127．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3x＋1)＋a為奇函數(shù)，則a的值為________．【解析】∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＋f(x)＝0，即eq\f(1,3－x＋1)＋a＋eq\f(1,3x＋1)＋a＝0，∴2a＝－eq\f(1,3x＋1)－eq\f(1,3－x＋1)＝－eq\f(3x＋1,3x＋1)＝－1，∴a＝－eq\f(1,2).【答案】a＝－eq\f(1,2)三、解答題8．(2014·無錫高一檢測)求函數(shù)f(x)＝3－x－1的定義域、值域．【解】因為f(x)＝3－x－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)－1，所以函數(shù)f(x)＝3－x－1的定義域為R.由x∈R得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)－1>－1，所以函數(shù)f(x)＝3－x－1的值域為(－1，＋∞)．9．(2014·濰坊高一檢測)設f(x)＝3x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x).(1)在同一坐標系中作出f(x)，g(x)的圖象．(2)計算f(1)與g(－1)，f(π)與g(－π)，f(m)與g(－m)的值，從中你能得到什么結論？【解】(1)函數(shù)f(x)，g(x)的圖象如圖所示：(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)＝3，f(π)＝3π，g(－π)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－π)＝3π，f(m)＝3m，g(－m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－m)＝3m.從以上計算的結果看，兩個函數(shù)當自變量取值互為相反數(shù)時，其函數(shù)值相等，即當指數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù)時，它們的圖象關于y軸對稱．eq\a\vs4\al([能力提升層次])1．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x＜0，,g（x），x＞0.))若f(x)是奇函數(shù)，則g(2)的值是()A．－eq\f(1,4)B．－4C.eq\f(1,4)D．4【解析】當x＞0時，－x＜0，∴f(－x)＝2－x，即－f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，∴g(x)＝f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，因此有g(2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(1,4).【答案】A2．(2014·湖北教學合作體期末)已知函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的圖象如下圖2-1-1所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象()圖2-1-1【解析】由題圖可知0＜a＜1，b＜－1，則g(x)是一個減函數(shù)，可排除C，D；再根據(jù)g(0)＝1＋b＜0，可排除B，故選A.【答案】A3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x＞0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于________．【解析】由已知，得f(1)＝2；又當x＞0時，f(x)＝2x＞1，而f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－2，且a＜0，∴a＋1＝－2，解得a＝－3.【答案】－34．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．(1)若f(x)的圖象如圖2-1-2(1)所示，求a，b的值；(2)若f(x)的圖象如圖2-1-2(2)所示，求a，b的取值范圍；(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且僅有一個實數(shù)解，求出m的范圍．(1)(2)圖2-1-2【解】(1)f(x)的圖象過點(2，0)，(0，－2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b＝0，,a0＋b＝－2，))解得a＝eq\r(3)，b＝－3.(2)由f(x)為減函數(shù)可知a的取值范圍為(0，1)，又f(0)＝1＋b<0，∴b的取值范圍為(－∞，－1)．(3)由圖(1)可知y＝|f(x)|的圖象如圖所示．由圖可知使|f(x1)|＝m有且僅有一解的m值為m＝0或m≥3.

第2課時指數(shù)函數(shù)及其性質的應用[學習目標]1.掌握指數(shù)函數(shù)的性質并會應用，能利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較冪的大小，解不等式．(重點)2.通過本節(jié)內容的學習，進一步體會函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具，并能運用指數(shù)函數(shù)研究一些實際問題．(難點)指數(shù)函數(shù)單調性的應用(1)(2014·泰安高一檢測)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2a＋1)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3－2a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(4，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－∞，4)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))(2)比較下列各組數(shù)的大小：①1.52.5和1.53.2；②0.6－1.2和0.6－1.5；③1.50.3和0.81.2【解析】(1)因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)為(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2a＋1)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3－2a)，所以2a＋1＞3－2a，解得a＞eq\f(1,2).【答案】B(2)①∵函數(shù)y＝1.5x在R上是增函數(shù)，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2②∵函數(shù)y＝0.6x在R上是減函數(shù)，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.③由指數(shù)函數(shù)的性質知1.50.3＞1.50＝1而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.21．比較冪大小的方法(1)對于底數(shù)相同但指數(shù)不同的冪的大小的比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調性來判斷．(2)對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的冪的大小的比較，可利用指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律來判斷．(3)對于底數(shù)不同且指數(shù)不同的冪的大小的比較，則應通過中間值來判斷．2．指數(shù)型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：當a＞1時，f(x)＞g(x)；當0＜a＜1時，f(x)＜g(x)．指數(shù)函數(shù)的綜合應用(1)函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在區(qū)間[1，2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，則a的值為________．(2)已知定義域R的函數(shù)f(x)＝eq\f(b－2x,a＋2x)是奇函數(shù)．①求a，b的值；②用定義證明f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)；③若對于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)恒成立，求k的取值范圍．【思路點撥】(1)分a＞1，0＜a＜1兩種情況求解．(2)①可利用f(x)為R上的奇函數(shù)，則有f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)，求出a，b再進行檢驗．③可結合②，由于該函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，故可得t2－2t＞k－2t2，轉化為恒成立問題．【解析】(1)若a＞1，則函數(shù)f(x)＝ax在[1，2]上單調遞增，∴a2－a＝eq\f(a,2)，解得a＝eq\f(3,2)或a＝0(舍去)．若0＜a＜1，則函數(shù)f(x)＝ax在[1，2]上單調遞減，∴a－a2＝eq\f(a,2)，解得a＝eq\f(1,2)或a＝0(舍去)．綜上，所求a的值是eq\f(1,2)或eq\f(3,2).【答案】eq\f(1,2)或eq\f(3,2)(2)①因為f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，b＝1.又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.經(jīng)檢驗a＝1，b＝1符合題意．②任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(1－2x1,2x1＋1)－eq\f(1－2x2,2x2＋1)＝eq\f(（1－2x1）（2x2＋1）－（1－2x2）（2x1＋1）,（2x1＋1）（2x2＋1）)＝eq\f(2（2x2－2x1）,（2x1＋1）（2x2＋1）)，因為x1＜x2，所以2x2－2x1＞0，又(2x2＋1)(2x1＋1)＞0，故f(x1)－f(x2)＞0，所以f(x)為R上的減函數(shù)．③因為t∈R，不等式f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)恒成立，由f(x)為減函數(shù)，所以t2－2t＞k－2t2，即k＜3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,3)≥－eq\f(1,3)，所以k＜－eq\f(1,3).1．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)為單調遞增函數(shù)，在閉區(qū)間[m，n]上存在最大值和最小值，并且當x＝m時有最小值am，當x＝n時有最大值an.2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(0＜a＜1)為單調遞減函數(shù)，在閉區(qū)間[m，n]上存在最大值和最小值，并且當x＝n時有最小值an，當x＝m時有最大值am.3．對于函數(shù)y＝af(x)，x∈D，其最值由底數(shù)a和f(x)的值域確定．求指數(shù)函數(shù)的最值時要注意函數(shù)定義域．題(2)③中的“若對于任意t∈R”改為“若對于t∈[1，2]”，其他條件不變，又如何求解？【解】對于t∈[1，2]，不等式f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)恒成立，由f(x)為減函數(shù)，所以t2－2t＞k－2t2，即k＜3t2－2t恒成立，即問題轉化為當t∈[1，2]求3t2－2t的最小值，令M(t)＝3t2－2t，而M(t)＝3t2－2t＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,3)在t∈[1，2]內是增函數(shù)，故M(t)＝3t2－2t的最小值為M(t)min＝M(1)＝1.故k＜1.所以k的范圍為k＜1.指數(shù)函數(shù)的實際應用某市現(xiàn)在人口總數(shù)為100萬人，如果年平均增長率為1.2%，試解答下列問題．(1)試寫出該市人口總數(shù)y(萬人)與經(jīng)過時間x(年)的函數(shù)關系式；(2)計算10年以后該市人口總數(shù)(精確到1萬人)；(3)計算多少年以后該市人口將達到120萬人(精確到1年)．(參考數(shù)據(jù)：1.01210≈1.127，1.01211≈1.140，1.01212≈1.154，1.01213≈1.168，1.01214≈1.182，1.01215≈1.196，1.01216≈1.210)【思路探究】本題考查有關增長問題，即設原有人口為N，年平均增長率為p，則對于經(jīng)過x年后的總人口y，可以用y＝N(1＋p)x表示．【解】(1)1年后該市人口總數(shù)為y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)，2年后該市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，3年后該市人口總數(shù)為y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3，…x年后該市人口總數(shù)為y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后該市人口總數(shù)為y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127＝112.7≈113(萬人)．∴10年后該市人口總數(shù)約為113萬人．(3)依題意，得100(1＋1.2%)x＝120，即1.012x＝1.2，解得x≈15.∴約15年以后，該市人口將達到120萬人．此類增長率問題，在實際問題中常可以用指數(shù)函數(shù)模型y＝N(1＋p)x(其中N是基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)和冪函數(shù)模型y＝a(1＋x)n(其中a為基礎數(shù)，x為增長率，n為時間)的形式．解題時，往往用到對數(shù)運算．春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了________天．【解析】假設第一天荷葉覆蓋水面面積為1，則荷葉覆蓋水面面積y與生長時間的函數(shù)關系為y＝2x－1，當x＝20時，長滿水面，所以生長19天時，荷葉布滿水面一半．【答案】191．比較兩個指數(shù)式值的大小的主要方法(1)比較形如am與an的大小，可運用指數(shù)函數(shù)y＝ax的單調性．(2)比較形如am與bn的大小，一般找一個“中間值c”，若am＜c且c＜bn，則am＜bn；若am＞c且c＞bn，則am＞bn.2．解簡單指數(shù)不等式問題的注意點(1)形如ax＞ay的不等式，可借助y＝ax的單調性求解．如果a的值不確定，需分0＜a＜1和a＞1兩種情況進行討論．(2)形如ax＞b的不等式，注意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調性求解．(3)形如ax＞bx的不等式，可借助圖象求解．換元時忽視中間變量的范圍致誤求函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1的值域．【易錯分析】用換元法解答本題，易忽視中間變量的范圍致誤．【防范措施】用換元法解題時，一定要利用原變量的范圍確定中間變量的范圍，這樣才可達到等價變換的效果．【解】令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，t∈(0，＋∞)，則原函數(shù)可化為y＝t2＋t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4).因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以y＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＝1，即原函數(shù)的值域是(1，＋∞)．——[類題嘗試]—————————————————求函數(shù)y＝9x＋2·3x－2的值域．【解】設3x＝t，t∈(0，＋∞)，則y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3.∵上式中當t＝0時，y＝－2，又t＝3x＞0，∴y＝9x＋2·3x－2的值域為(－2，＋∞)．課時作業(yè)(十四)指數(shù)函數(shù)及其性質的應用eq\a\vs4\al([學業(yè)水平層次])一、選擇題1．若2x＋1<1，則x的取值范圍是()A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(0，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)【解析】∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函數(shù)，∴x＋1<0，∴x<－1.【答案】D2．下列判斷正確的是()A．1.72.5＞1.73B．0.82＜0.83C．π2＜πeq\r(2)D．0.90.3＞0.90.5【解析】∵y＝0.9x在定義域上是減函數(shù)，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.【答案】D3．(2014·湖南高考)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增的是()A．f(x)＝eq\f(1,x2)B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x【解析】A中f(x)＝eq\f(1,x2)是偶函數(shù)，且在(－∞，0)上是增函數(shù)，故A滿足題意．B中f(x)＝x2＋1是偶函數(shù)，但在(－∞，0)上是減函數(shù)．C中f(x)＝x3是奇函數(shù)．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函數(shù)．故B，C，D都不滿足題意．【答案】A4．已知函數(shù)f(x)＝(a2－1)x，若x＞0時總有f(x)＞1，則實數(shù)a的取值范圍是()A．1＜|a|＜2B．|a|＜2C．|a|＞1D．|a|＞eq\r(2)【解析】由題意知a2－1＞1，解得a＞eq\r(2)或a＜－eq\r(2)，故選D.【答案】D二、填空題5．不等式0.52x>0.5x－1的解集為________(用區(qū)間表示)．【解析】∵0<0.5<1，∴由0.52x>0.5x－1得2x<x－1，即x<－1.【答案】(－∞，－1)6．函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值與最小值的和為6，則a的值為________．【解析】由于函數(shù)在[1，2]上必定單調，因此最大值與最小值都在端點處取得，于是必定有a＋a2＝6，又a＞0，解得a＝2.【答案】27．若2x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.5)，則x的取值范圍為________．【解析】∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.5)＝2－0.5，又y＝2x在R上是增函數(shù)，∴2x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.5)?2x>2－0.5?x>－0.5.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))三、解答題8．(2014·廣州高一檢測)已知f(x)的圖象與g(x)＝2x的圖象關于y軸對稱，且f(2x－1)＞f(3x)，求x的取值范圍．【解】因為f(x)的圖象與g(x)＝2x的圖象關于y軸對稱，所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，因為f(2x－1)＞f(3x)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x－1)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3x)，所以2x－1＜3x，所以x＞－1.9．設函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)是R上的偶函數(shù)且a＞0.(1)求a的值．(2)判斷f(x)在(0，＋∞)上的單調性．【解】(1)因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，即eq\f(e－1,a)＋eq\f(a,e－1)＝eq\f(e,a)＋eq\f(a,e)，所以eq\f(1,e)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－a))＝eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－a))，故eq\f(1,a)－a＝0，又a＞0，所以a＝1.(2)由(1)知f(x)＝ex＋e－x.設任意的x1，x2＞0，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝ex1＋e－x1－ex2－e－x2＝ex1－ex2＋eq\f(1,ex1)－eq\f(1,ex2)＝ex1－ex2＋eq\f(ex2－ex1,ex1ex2)＝(ex1－ex2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,ex1ex2)))，因為x1，x2＞0且x1＜x2，所以ex1＜ex2且ex1ex2＞1，故(ex1－ex2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,ex1ex2)))＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．eq\a\vs4\al([能力提升層次])1．設函數(shù)f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，則()A．f(－2)＞f(－1)B．f(－1)＞f(－2)C．f(1)＞f(2)D．f(－2)＞f(2)【解析】f(2)＝a－2＝4，a＝eq\f(1,2)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－|x|)＝2|x|，得f(－2)＞f(－1)．【答案】A2．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2x＋1)，則該函數(shù)在(－∞，＋∞)上()A．單調遞減且無最小值B．單調遞減且有最小值C．單調遞增且無最大值D．單調遞增且有最大值【解析】函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2x＋1)為減函數(shù)，2x＋1＞1，故f(x)＝eq\f(1,2x＋1)∈(0，1)，無最值．【答案】A3．我國第六次人口普查人口數(shù)約為13.397億．如果今后能將人口年平均增長率控制在1%，那么經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)大約為________億(精確到億)．【解析】人口年增長率為1%，經(jīng)過x年后，設我國人口數(shù)為y億，第六次人口普查時人口數(shù)約為13.397億；經(jīng)過1年后，人口數(shù)為13.397＋13.397×1%＝13.397×(1＋1%)(億)；經(jīng)過2年后人口數(shù)為13.397×(1＋1%)＋13.397×(1＋1%)×1%＝13.397×(1＋1%)2(億)；經(jīng)過3年后人口數(shù)為13.397×(1＋1%)2＋13.397×(1＋1%)2×1%＝13.397×(1＋1%)3(億)；…所以經(jīng)過x年后人口數(shù)為y＝13.397×(1＋1%)x(億)(x∈N*)．當x＝20時，y＝13.397×1.0120≈16(億)．【答案】164．(2014·永安高一檢測)設a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1)(x∈R)．(1)證明：對于任意的實數(shù)a，函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)．(2)試確定a的值，使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．【解】(1)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,2x1＋1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,2x2＋1)))＝eq\f(2,2x2＋1)－eq\f(2,2x1＋1)＝eq\f(2（2x1－2x2）,（2x1＋1）（2x2＋1）)由于指數(shù)函數(shù)y＝2x是R上的增函數(shù)，且x1＜x2，所以2x1＜2x2，即2x1－2x2＜0.又2x1＋1＞0，2x2＋1＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)因為此結論與a的取值無關，所以對任意的實數(shù)a，函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)．(2)因為f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，即a－eq\f(2,2－x＋1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,2x＋1)))整理得2a＝eq\f(2×2x,（2－x＋1）·2x)＋eq\f(2,2x＋1)＝eq\f(2（2x＋1）,2x＋1)＝2，解得a＝1.經(jīng)檢驗a＝1符合題意，所以當a＝1時，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．2．2對數(shù)函數(shù)2．2.1對數(shù)與對數(shù)運算第1課時對數(shù)[學習目標]1.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的性質，能進行簡單的對數(shù)計算．(重點、難點)2.理解指數(shù)式與對數(shù)式的等價關系，會進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化．(重點)3.理解常用對數(shù)、自然對數(shù)的概念及記法．一、對數(shù)的概念1．對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN．a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．常用對數(shù)與自然對數(shù)(1)常用對數(shù)：通常我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記為lgN.(2)自然對數(shù)：在科學技術中常使用以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，記為lnN.3．對數(shù)恒等式alogaN＝N(a＞0，且a≠1)．二、對數(shù)式與指數(shù)式之間的關系當a＞0且a≠1時，ax＝N?x＝logaN三、對數(shù)的基本性質性質1負數(shù)和0沒有對數(shù)性質21的對數(shù)是0，即loga1＝0(a＞0，且a≠1)性質3底數(shù)的對數(shù)是1，即logaa＝1(a＞0，且a≠1)1．判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)因為(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)對數(shù)式log32與log23的意義一樣．()(3)對數(shù)的運算實質是求冪指數(shù)．()(4)等式loga1＝0對于任意實數(shù)a恒成立．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2．若log3x＝3，則x＝()A．1B．3C．9D．【解析】∵log3x＝3，∴x＝33＝27.【答案】D3．在b＝log(a－2)(5－a)中，實數(shù)a的取值范圍是()A．a＞5或a＜2B．2＜a＜3或3＜a＜5C．2＜a＜5D．3＜a＜4【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2＞0且a－2≠1，,5－a＞0，))解得2＜a＜3或3＜a＜5.【答案】B4．lne＝________，lg10＝________．【解析】∵logaa＝1，∴l(xiāng)ne＝1，lg10＝1.【答案】11預習完成后，請把你認為難以解決的問題記錄在下面的表格中問題1問題2問題3問題4對數(shù)的概念求下列各式中x的取值范圍：(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.【解】(1)由題意知x－10＞0，∴x＞10.(2)由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＞0，,x－1＞0，且x－1≠1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞－2，,x＞1，且x≠2，))∴x＞1，且x≠2.(3)由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）2＞0，,x＋1＞0，且x＋1≠1，))解得x＞－1，且x≠0，x≠1.根據(jù)對數(shù)的概念，對數(shù)式底數(shù)大于0且不等于1，真數(shù)大于0，列出不等式(組)，可求得x的取值范圍．對數(shù)式與指數(shù)式的互化(1)將下列對數(shù)式化成指數(shù)式或將指數(shù)式化為對數(shù)式：①34＝81；②logeq\f(1,2)8＝－3；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－2)＝16；④lg0.01＝－2；⑤ln10＝2.303；⑥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(m)＝5.73.(2)設loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n【思路探究】(1)根據(jù)是ab＝N?logaN＝b(a＞0，且a≠1)求解．(2)先將已知條件中的對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)的運算性質求解．【解】(1)①∵34＝81，∴l(xiāng)og381＝4.②∵logeq\f(1,2)8＝－3，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－3)＝8.③∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－2)＝16，∴l(xiāng)ogeq\f(1,4)16＝－2.④∵lg0.01＝－2，∴10－2＝0.01.⑤∵ln10＝2.303，∴e2.303＝10.⑥∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(m)＝5.73，∴l(xiāng)ogeq\f(1,3)5.73＝m.(2)∵loga2＝m，∴am＝2，∴a2m∵loga3＝n，∴an＝3，∴a2m＋n＝a2m·a指數(shù)運算和對數(shù)運算是互逆運算，在解題過程中，互相轉化是解決相關問題的重要途徑．在利用ax＝N?x＝logaN(a＞0，a≠1，N＞0)進行互化時，要分清各字母分別在指數(shù)式和對數(shù)式中的位置．(2014·滁州高一檢測)設a＝log310，b＝log37，則3a－bA.eq\f(10,7)B.eq\f(7,10)C.eq\f(10,49)D.eq\f(49,10)【解析】由a＝log310，b＝log37得3a＝10，3b故3a－