2024年高三三校聯(lián)考數(shù)學模擬卷詳細解析

2024年高三三校聯(lián)考數(shù)學模擬卷參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.復數(shù)2滿足，（z+，）=2+i,則目=（）

4&B忑C.V5D而

【答案】D

忖林1,b+0=百，則。在〃上的投影向量為（

2.已知)

4旦1C烏17

B.—aD.-b

2222

【答案】D

3.若非空集合A,8,C,。滿足：AC=C,BC=D,貝i］（)

A.A^CB.DqAC.ATB=(D

【答案】B

4拋物線丁=2內口＞0）上的點尸（2,2）到焦點的距離為（)

53

A-B.2C..DA

22

【答案】A

5.球缺指的是一個球被平面截下的一部分，垂直于截面的直徑被截后剩下的線段為球缺的高，設球的半徑

為球缺的高為力，則球缺的體積丫=乃川尺-：

R,.圓錐的高為2,底面半徑為1,則以圓錐的高為直

徑的球在圓錐外的體積為（）

647r627r21%237r

A.——B.——C.------D.——

75752525

【答案】A

【解析】

作圓錐尸旦的軸截面PAB,軸截面與球O內接圓錐底面交于4用

所求體積即為球缺尸-AQ片與內接圓錐PQ的體積之差

42r

軸截面頂角為戊,sin。=W，設圓錐尸。2底面半徑為r，則2=，即廠=

sin。1

2

8TC4I8_1281

則圓錐PQ的高為W，則Vp0,=工?行一375

53

球缺的高為？則v球尸普

??."/缺-/答

6.已知某4個數(shù)據(jù)的平均值為6,方差為3,現(xiàn)加入數(shù)據(jù)8和10,則這6個數(shù)據(jù)的方差為（）

試卷第1頁，共11頁

【答案】B

7.已知函數(shù)〃尤）=（sinx-Gcosx）cosx,若“X）在區(qū)間-三,。上是單調函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

,「兀兀、c「兀兀、「（兀兀]（兀兀

A.—B.—C.—,-----D.——

\_63）L63J1312」I312」

【答案】C

【解析】

/(x)=sinxcosx-V3cos2x=—sin2x-V3-^+C°S—=—sin2x--cos2x--=sin|2x--j——r

2222213)2

令"Zx-g,貝!Jy=sin%——

TTTV

因為xw--,所以，w-TI,20--

又因為“X）在區(qū)間上是單調函數(shù)，則尸sinf-正在區(qū)間-兀,2"：上是單調函數(shù)

_3」2L3_

所以一無<28_&4一色，EP-—<26?<--,

3236312

8.設點加（m,1）,若在圓。：必+>2=1上存在點N,使得NOMN=60，則”的取值范圍是（）

_V|V3B.~—C.[-D.[_2,2]

一

【答案】A

【解析】

由圓的性質可知：圓上一點T,與所組成的角/OMT,當與圓相切時，NOMT最大

若圓上存在點N,使得NO"N=60，則NOMT260

由M（私1）和/+/=i可知，過加且與圓相切的一條直線為丁=1,切點T（0,l）

則在直角三角形（WT中，tan°MT=%^6,從而|段|410一走三機《1

叫11333

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

22

9.設橢圓C:三+2=1的左、右焦點分別為耳、工，尸是C上的動點，則下列結論正確的是（）

2516

3

4橢圓。的離心率e=y

3.|尸耳|+|尸闖=5

C.△尸片心面積的最大值為12

試卷第2頁，共11頁

。歸耳|的最小值為個

【答案】AC

13.

10.四棱錐P—ABC。的底面為正方形，底面ABCD,PD=AD=1,PE=-PB,PF=—PA,

24

平面AO￡i〕平面夕BC=/,PC|平面。斯=G,則（）

4直線/與平面PA。有一個交點

B.PC1DE

C.PG^-PC

5

3

D三棱錐P-EFG的體積為—

80

【答案】BD

【解析】

4取棱PC中點。，連接EQ,DQ

因為E是棱P8的中點，則BC〃E。

因為AD〃8C,則AO〃EQ,即A,D,E,。四點共面，貝鹿為直線EQ

因為ADu平面PAD,E。仁平面PA。，貝!JEQ〃平面PAD,即〃/平面尸AO,/錯誤

8.因為尸。_L底面ABCD,ADu平面ABC。，則尸。_LAD

因為底面ABC。是正方形，AD±CD,PDcCD=D,則AD_L平面PDC,則A￡）_LPC

因為尸D=AO,則△PDC為等腰直角三角形，PC1DQ

因為ADcDQ=。，且AD,OQu平面AOQE,則PC,平面AOQE,則尸CLDE,8正確

EWEAi

c.設——=X,PD=PA+AD=PA+BC=PA+PC-PB=—PF+—PG—2PE

PC32

415一3一

因為ARE,G四點共面，則+2=1,2=-,即PG=￡PC,C錯誤

3Z35

113393

DVp_EFG=VE—PFG-~^B-PFG-XXX^B-PAC=而%-ABC=而，0正確

IL已知％=2",bn=3n-l,數(shù)列｛%｝和也｝的公共項由小到大排列組成數(shù)列｛%｝,則（）

A.Q-32

3化,｝為等比數(shù)列

b

c.數(shù)列V）卜的前〃項和S?e[1,5）

D.框、不是任一等差數(shù)列的三項

【答案】BCD

【解析】

4c3=32,Q=128,4錯誤

5.設4，即c〃=2機=3左一]

q用=2-2皿=2（3左—1）=3（2左—1）+1,不是出｝中的項，即不是｛%｝的項

試卷第3頁，共11頁

4+2=42拉=4（3左—1）=3（4左—1）—1,是低｝中的項，即是￡｝的項

迫=3=4,則g=221,即｛cj為等比數(shù)列，8正確

C錯位相減法計算得5“=5-”/，且久〉0,S”單調遞增，所以

a

2n

D設J5、后、用是等差數(shù)列｛"〃｝的第，、j、P項，｛4｝的首項為4,公差為d

友=4+(1”

V5-V2=(j-z)^_

石=4+(j-l)dn<2

V2=(p-i)d

A/8=4+(p-l)d

j~i1——

人一是有理數(shù)，而-2是無理數(shù)

P-i

???原假設不成立，即私、不是任一等差數(shù)列的三項

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（2》-1），的二項展開式中%4的系數(shù)為.

【答案】一80

13.己知4件產品中有2件次品，現(xiàn)逐個不放回檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測次數(shù)為X,則

E（X）=—,

8

【答案】j

【解析】

X=2,3

A?+/1

X=2,檢測的兩件產品均為正品或均為次品，則尸（X=2）=f￡=,

X=3,只需前兩件產品中正品和次品各一件，第三件無論是正品還是次品，都能確定所有次品，則

p(x=3)=c；c/=2

A43

E(X)=2x-+3x-=-

v'333

14.己知aeN*,函數(shù)〃x）=e'、—/>0恒成立，則。的最大值為

【答案】7

【解析】

試卷第4頁，共11頁

3]nx

先考慮％w(O,+00)的情況，貝ij/%>x?=>3x>“l(fā)nx=>—>——

ax

[ill11_]

令g(X)=—，貝Jg'(x)=——,則g(x)在(o,e)單調遞增，(e,+co)單調遞減,則g(x)max=g(e)=—

xxe

31

因此一>—,即Q<3ea8.154

ae

當a=8,x——時，顯然〃x)>0不成立

3xa

當a=7時，Vxe(-co,0],e>0>x,即〃x)>0恒成立，則4^=7

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.某手機A在公司對一小區(qū)居民開展5個月的調查活動，使用這款App人數(shù)的滿意度統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

月份X12345

不滿意的人數(shù)y1201051009580

(1)求不滿意人數(shù)V與月份》之間的回歸直線方程y=bx+a,并預測該小區(qū)10月份對這款App不滿意人數(shù)；

(2)工作人員從這5個月內的調查表中隨機抽查100人，調查是否使用這款A配與性別的關系，得到下表：

根據(jù)小概率值&=0。1的獨立性檢驗，能否認為是否使用這款A在與性別有關？

使用App不使用App

女性4812

男性2218

附：回歸方程方=%+4中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為5=與-------,a^y-bJc

i=\

2n^ad-bc^

“(〃+b)(c+d)(a+c)伍+d)'n=a+b+c+d

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【解析】

_1+2+3+4+5_120+105+100+95+80…

(1)由表中的數(shù)據(jù)可知:x=------------------=3,y=-------------------------------=100

5

5___

￡蒼％-5?

1410-1500八

---------------=—9&一解=100-(一9)x3=127

55-45

二所求得回歸直線方程為￡=-9了+1275分

當x=10時，？=-9x10+127=37

,該小區(qū)1。月份的對這款不滿意人數(shù)預估為37人9分

試卷第5頁，共11頁

(2)零假設為：是否使用這款A勿與性別無關10分

由表中的數(shù)據(jù)可得上吧磊掾箸￡=尹.心6635f.................................................“分

根據(jù)小概率值a=O.Ol的獨立性檢驗，我們推斷名不成立，即認為是否使用這款A勿與性別有關，此推斷

的錯誤概率不大于0.0113分

16.己知，ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a/,c,JLcsin^|^=flsinC.

⑴求A;

(2)若a=3,。為8C邊上一點，AD=2,2DB=DC,求ABC的面積.

【解析】

因為由正弦定理得sinCsin0+C=sinAsinC

(1)csin"￡=tzsinC,

2

因為Ce(0,7t),可得sinC>0,又因為小?=二一4，可得sin空C=cos4

22222

bI、r.B+CA.A八.AA

所以sm0-=cos一=sinA=2sin-cos一,即cos-=2sin—cos—

222222

AjrAA1Ajrjr

又因為不€(0,彳)，可得cos7>0,所以sin：=7,所以彳=工，可得4=彳.....................6分

22222263

__1__2__

(2)由。知AO=1AC+§A5

貝I],￡>(=||AC|2+-|AB|2+-|AB|-|AC|COSZBAC,即4=；〃+：/+jbe

化簡得/+4c?+26c=36①.....................................................................................................................................8分

22+l2-25-r2

在△ABO中，由余弦定理得cosNADB=r=土上

2x2x14

7272_A2Q_A2

在.AC。中，由余弦定理得cos/ADC==^―也=—_

2x2x28

5_(-2o_L2

ZADB+ZADC=n,所以cosZADB+cosZADC=0,貝!|=。，即2c?+加=18②????10分

48

由①②得〃2+4<?+2bc=2(Ze?+/)

由于6片0,得6=2c,代入②得,2=3..............................................................................................................13分

所以ABC的面積為Lbcsin/A4c=dn/BAC=2回.........................................15分

22

17.如圖，在直三棱柱ABCAgG中，AB=BC=2,M=3,點D,E分別在棱A4,,CG上，AD^2D\,

qE=2EC,尸為用C1的中點.

(1)求證：AB]〃平面DEF；

(2)當三棱柱ABCA4G的體積最大時，求平面DEF與平面ABC夾角的余弦值.

【解析】

試卷第6頁，共11頁

(1)連接AC交OE于點M,連接板、AE、DC、、AB,

9

因為AO=2￡>4，QE=2EC,所以^。二^石二目明=2

因為AD//￡E,所以四邊形4Z)GE為平行四邊形，所以A"=MG

因為B/=FG，所以MF7/AB1

因為MEu平面DEB,AB]<z平面。EF,所以44〃平面。EF6分

(2)因為匕吟Mg=S.詆,BB[=3S.枷

又因為s.ABC=gA2?BCsin/ABC=2sin/ABC

TT

所以當ZABC=m時5ABe取最大值2

即當AB時直三棱柱ABCA4。的體積最大................9分

又84,平面ABC,AB,8Cu平面A5C,所以叫，AB,BBt1BC

如圖建立空間直角坐標系，則0(2,0,2),￡(0,2,1),下(0,1,3)

所以。E=(-2,2,-1),￡F=(O,-l,2)

設平面OEF的法向量為九=(x,y,z)

n-DE=—2x+2y-z=0(3、

則，取〃=7，2,1............................................,無..................12分

n-EF=-y+2z-G12)

又平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1)............................................................................................................13分

cos0=M.

設平面OEF與平面ABC夾角為6,則|m|-|n|

所以平面DEF與平面ABC夾角的余弦值為2叵

15分

29

18.已知雙曲線E：=1的漸近線為>=±2x,焦距為2石，直線/與E的右支及漸近線的交點自上

ab-

至下依次為C、A、B、D.

⑴求E的方程；

(2)證明：[47|=忸0；

(3)求SAOC的取值范圍.

試卷第7頁，共11頁

【解析】

c二

〃=1

b必上=1

(1)由題意知：＜2，則《b=2,則屈4分

a4

c2=a2+/c=y/~5

(2)易知/的斜率為0時不成立

設/:x=^y+%,%>0

x=my+t

2y20（4m2-1）y2+Smty+4〃-4=0

Y—匕=1

4

/.A]=16（4療+/-1）>0,-Smt4/一4

力+%=;^~~pyy=~；6分

4m-1AAB4m-1

x=my+t

2y2=>（4療_]）y2+8沖y+4/=0

x----二0

4

2

2-Smt4t

A2=16t>0,無+如8分

4m2-1

..yA+yB_yc+yp

22

，線段N8、CD的中點重合

：.\AC\=\BD\......................................................................10分

I.?i|CD|—|AB|1ri—-\/4m2+Z2—1

⑶..............................

O到直線AC的距離d=~^=

Vl+m

,2V

SA"=gx“|xd=VP"-14療-1+廣t2

x"=石----14分

22H-----2--

|4m-ll4m-174m-1

t>Q

A〕=16（4/+廣一i）〉o

—2t八

XA+^B=—->0

4m2-1

-4m2-t2_

X/B=/21〉0

4m-1

:?令p=<-l

4m2-1

試卷第8頁，共11頁

19.已知函數(shù)/(x)=sinx+ln(l+x)_ox,aeR.

(1)當a=0時，求/(x)在區(qū)間(-1,2萬)內極值點的個數(shù);

(2)若〃x)<0恒成立，求。的值;

3.(1、》2n-l,c

(3)求證：/,sinI-~-<21n-------In2,〃22,〃￡N*.

,=?+1V-Un-\

【解析】

(l)a=O時，/(x)=sinx+ln(l+x)

/(x)在單調遞增，在xe|三,2〃J內單調遞增

:?當時，/⑺單調遞減，‘⑸=」萬〉°，/⑺=T+?^<0

V2J1+51+%

，

f(x1)=0,“X)在信xj單調遞增，(X/)單調遞減....................2分

-sinx-

(1+X)2

???當?］時,/'⑺單調遞增,/'⑺=_(］+［『<0,?QJ-l11+四)

/'(々)=°，/(％)在(肛馬)單調遞減，卜2,彳)單調遞增

尸(萬)<0,

2

試卷第9頁，共11頁

，/伍)=0，/(x)在(肛W)單調遞減，卜3,苫

單調遞增4分

綜上，/(%)在(TxJ單調遞增，(.七)單調遞減，(馬，2萬)單調遞增，共2個極值點..........5分

(2);/(0)=0,/(%)<0

.“=0是〃》)的極大值點

,1?f'(x\-cosxH——----a

')l+x

.(0)=2—a=0,即a