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文檔簡介
2024年高三三校聯(lián)考數(shù)學模擬卷參考答案
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目
要求的。
1.復數(shù)2滿足,(z+,)=2+i,則目=()
4&B忑C.V5D而
【答案】D
忖林1,b+0=百,則。在〃上的投影向量為(
2.已知)
4旦1C烏17
B.—aD.-b
2222
【答案】D
3.若非空集合A,8,C,。滿足:AC=C,BC=D,貝i]()
A.A^CB.DqAC.ATB=(D
【答案】B
4拋物線丁=2內口>0)上的點尸(2,2)到焦點的距離為()
53
A-B.2C..DA
22
【答案】A
5.球缺指的是一個球被平面截下的一部分,垂直于截面的直徑被截后剩下的線段為球缺的高,設球的半徑
為球缺的高為力,則球缺的體積丫=乃川尺-:
R,.圓錐的高為2,底面半徑為1,則以圓錐的高為直
徑的球在圓錐外的體積為()
647r627r21%237r
A.——B.——C.------D.——
75752525
【答案】A
【解析】
作圓錐尸旦的軸截面PAB,軸截面與球O內接圓錐底面交于4用
所求體積即為球缺尸-AQ片與內接圓錐PQ的體積之差
42r
軸截面頂角為戊,sin。=W,設圓錐尸。2底面半徑為r,則2=,即廠=
sin。1
2
8TC4I8_1281
則圓錐PQ的高為W,則Vp0,=工?行一375
53
球缺的高為?則v球尸普
??."/缺-/答
6.已知某4個數(shù)據(jù)的平均值為6,方差為3,現(xiàn)加入數(shù)據(jù)8和10,則這6個數(shù)據(jù)的方差為()
試卷第1頁,共11頁
【答案】B
7.已知函數(shù)〃尤)=(sinx-Gcosx)cosx,若“X)在區(qū)間-三,。上是單調函數(shù),則實數(shù)。的取值范圍是()
,「兀兀、c「兀兀、「(兀兀](兀兀
A.—B.—C.—,-----D.——
\_63)L63J1312」I312」
【答案】C
【解析】
/(x)=sinxcosx-V3cos2x=—sin2x-V3-^+C°S—=—sin2x--cos2x--=sin|2x--j——r
2222213)2
令"Zx-g,貝!Jy=sin%——
TTTV
因為xw--,所以,w-TI,20--
又因為“X)在區(qū)間上是單調函數(shù),則尸sinf-正在區(qū)間-兀,2":上是單調函數(shù)
_3」2L3_
所以一無<28_&4一色,EP-—<26?<--,
3236312
8.設點加(m,1),若在圓。:必+>2=1上存在點N,使得NOMN=60,則”的取值范圍是()
_V|V3B.~—C.[-D.[_2,2]
一
【答案】A
【解析】
由圓的性質可知:圓上一點T,與所組成的角/OMT,當與圓相切時,NOMT最大
若圓上存在點N,使得NO"N=60,則NOMT260
由M(私1)和/+/=i可知,過加且與圓相切的一條直線為丁=1,切點T(0,l)
則在直角三角形(WT中,tan°MT=%^6,從而|段|410一走三機《1
叫11333
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全
部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得。分。
22
9.設橢圓C:三+2=1的左、右焦點分別為耳、工,尸是C上的動點,則下列結論正確的是()
2516
3
4橢圓。的離心率e=y
3.|尸耳|+|尸闖=5
C.△尸片心面積的最大值為12
試卷第2頁,共11頁
。歸耳|的最小值為個
【答案】AC
13.
10.四棱錐P—ABC。的底面為正方形,底面ABCD,PD=AD=1,PE=-PB,PF=—PA,
24
平面AO£i〕平面夕BC=/,PC|平面。斯=G,則()
4直線/與平面PA。有一個交點
B.PC1DE
C.PG^-PC
5
3
D三棱錐P-EFG的體積為—
80
【答案】BD
【解析】
4取棱PC中點。,連接EQ,DQ
因為E是棱P8的中點,則BC〃E。
因為AD〃8C,則AO〃EQ,即A,D,E,。四點共面,貝鹿為直線EQ
因為ADu平面PAD,E。仁平面PA。,貝!JEQ〃平面PAD,即〃/平面尸AO,/錯誤
8.因為尸。_L底面ABCD,ADu平面ABC。,則尸。_LAD
因為底面ABC。是正方形,AD±CD,PDcCD=D,則AD_L平面PDC,則A£)_LPC
因為尸D=AO,則△PDC為等腰直角三角形,PC1DQ
因為ADcDQ=。,且AD,OQu平面AOQE,則PC,平面AOQE,則尸CLDE,8正確
EWEAi
c.設——=X,PD=PA+AD=PA+BC=PA+PC-PB=—PF+—PG—2PE
PC32
415一3一
因為ARE,G四點共面,則+2=1,2=-,即PG=£PC,C錯誤
3Z35
113393
DVp_EFG=VE—PFG-~^B-PFG-XXX^B-PAC=而%-ABC=而,0正確
IL已知%=2",bn=3n-l,數(shù)列{%}和也}的公共項由小到大排列組成數(shù)列{%},則()
A.Q-32
3化,}為等比數(shù)列
b
c.數(shù)列V)卜的前〃項和S?e[1,5)
D.框、不是任一等差數(shù)列的三項
【答案】BCD
【解析】
4c3=32,Q=128,4錯誤
5.設4,即c〃=2機=3左一]
q用=2-2皿=2(3左—1)=3(2左—1)+1,不是出}中的項,即不是{%}的項
試卷第3頁,共11頁
4+2=42拉=4(3左—1)=3(4左—1)—1,是低}中的項,即是£}的項
迫=3=4,則g=221,即{cj為等比數(shù)列,8正確
C錯位相減法計算得5“=5-”/,且久〉0,S”單調遞增,所以
a
2n
D設J5、后、用是等差數(shù)列{"〃}的第,、j、P項,{4}的首項為4,公差為d
友=4+(1”
V5-V2=(j-z)^_
石=4+(j-l)dn<2
V2=(p-i)d
A/8=4+(p-l)d
j~i1——
人一是有理數(shù),而-2是無理數(shù)
P-i
???原假設不成立,即私、不是任一等差數(shù)列的三項
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.(2》-1),的二項展開式中%4的系數(shù)為.
【答案】一80
13.己知4件產品中有2件次品,現(xiàn)逐個不放回檢測,直至能確定所有次品為止,記檢測次數(shù)為X,則
E(X)=—,
8
【答案】j
【解析】
X=2,3
A?+/1
X=2,檢測的兩件產品均為正品或均為次品,則尸(X=2)=f£=,
X=3,只需前兩件產品中正品和次品各一件,第三件無論是正品還是次品,都能確定所有次品,則
p(x=3)=c;c/=2
A43
E(X)=2x-+3x-=-
v'333
14.己知aeN*,函數(shù)〃x)=e'、—/>0恒成立,則。的最大值為
【答案】7
【解析】
試卷第4頁,共11頁
3]nx
先考慮%w(O,+00)的情況,貝ij/%>x?=>3x>“l(fā)nx=>—>——
ax
[ill11_]
令g(X)=—,貝Jg'(x)=——,則g(x)在(o,e)單調遞增,(e,+co)單調遞減,則g(x)max=g(e)=—
xxe
31
因此一>—,即Q<3ea8.154
ae
當a=8,x——時,顯然〃x)>0不成立
3xa
當a=7時,Vxe(-co,0],e>0>x,即〃x)>0恒成立,則4^=7
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.某手機A在公司對一小區(qū)居民開展5個月的調查活動,使用這款App人數(shù)的滿意度統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
月份X12345
不滿意的人數(shù)y1201051009580
(1)求不滿意人數(shù)V與月份》之間的回歸直線方程y=bx+a,并預測該小區(qū)10月份對這款App不滿意人數(shù);
(2)工作人員從這5個月內的調查表中隨機抽查100人,調查是否使用這款A配與性別的關系,得到下表:
根據(jù)小概率值&=0。1的獨立性檢驗,能否認為是否使用這款A在與性別有關?
使用App不使用App
女性4812
男性2218
附:回歸方程方=%+4中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為5=與-------,a^y-bJc
i=\
2n^ad-bc^
“(〃+b)(c+d)(a+c)伍+d)'n=a+b+c+d
a0.10.050.010.0050.001
%2.7063.8416.6357.87910.828
【解析】
_1+2+3+4+5_120+105+100+95+80…
(1)由表中的數(shù)據(jù)可知:x=------------------=3,y=-------------------------------=100
5
5___
£蒼%-5?
1410-1500八
---------------=—9&一解=100-(一9)x3=127
55-45
二所求得回歸直線方程為£=-9了+1275分
當x=10時,?=-9x10+127=37
,該小區(qū)1。月份的對這款不滿意人數(shù)預估為37人9分
試卷第5頁,共11頁
(2)零假設為:是否使用這款A勿與性別無關10分
由表中的數(shù)據(jù)可得上吧磊掾箸£=尹.心6635f.................................................“分
根據(jù)小概率值a=O.Ol的獨立性檢驗,我們推斷名不成立,即認為是否使用這款A勿與性別有關,此推斷
的錯誤概率不大于0.0113分
16.己知,ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a/,c,JLcsin^|^=flsinC.
⑴求A;
(2)若a=3,。為8C邊上一點,AD=2,2DB=DC,求ABC的面積.
【解析】
因為由正弦定理得sinCsin0+C=sinAsinC
(1)csin"£=tzsinC,
2
因為Ce(0,7t),可得sinC>0,又因為小?=二一4,可得sin空C=cos4
22222
bI、r.B+CA.A八.AA
所以sm0-=cos一=sinA=2sin-cos一,即cos-=2sin—cos—
222222
AjrAA1Ajrjr
又因為不€(0,彳),可得cos7>0,所以sin:=7,所以彳=工,可得4=彳.....................6分
22222263
__1__2__
(2)由。知AO=1AC+§A5
貝I],£>(=||AC|2+-|AB|2+-|AB|-|AC|COSZBAC,即4=;〃+:/+jbe
化簡得/+4c?+26c=36①.....................................................................................................................................8分
22+l2-25-r2
在△ABO中,由余弦定理得cosNADB=r=土上
2x2x14
7272_A2Q_A2
在.AC。中,由余弦定理得cos/ADC==^―也=—_
2x2x28
5_(-2o_L2
ZADB+ZADC=n,所以cosZADB+cosZADC=0,貝!|=。,即2c?+加=18②????10分
48
由①②得〃2+4<?+2bc=2(Ze?+/)
由于6片0,得6=2c,代入②得,2=3..............................................................................................................13分
所以ABC的面積為Lbcsin/A4c=dn/BAC=2回.........................................15分
22
17.如圖,在直三棱柱ABCAgG中,AB=BC=2,M=3,點D,E分別在棱A4,,CG上,AD^2D\,
qE=2EC,尸為用C1的中點.
(1)求證:AB]〃平面DEF;
(2)當三棱柱ABCA4G的體積最大時,求平面DEF與平面ABC夾角的余弦值.
【解析】
試卷第6頁,共11頁
(1)連接AC交OE于點M,連接板、AE、DC、、AB,
9
因為AO=2£>4,QE=2EC,所以^。二^石二目明=2
因為AD//£E,所以四邊形4Z)GE為平行四邊形,所以A"=MG
因為B/=FG,所以MF7/AB1
因為MEu平面DEB,AB]<z平面。EF,所以44〃平面。EF6分
(2)因為匕吟Mg=S.詆,BB[=3S.枷
又因為s.ABC=gA2?BCsin/ABC=2sin/ABC
TT
所以當ZABC=m時5ABe取最大值2
即當AB時直三棱柱ABCA4。的體積最大................9分
又84,平面ABC,AB,8Cu平面A5C,所以叫,AB,BBt1BC
如圖建立空間直角坐標系,則0(2,0,2),£(0,2,1),下(0,1,3)
所以。E=(-2,2,-1),£F=(O,-l,2)
設平面OEF的法向量為九=(x,y,z)
n-DE=—2x+2y-z=0(3、
則,取〃=7,2,1............................................,無..................12分
n-EF=-y+2z-G12)
又平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1)............................................................................................................13分
cos0=M.
設平面OEF與平面ABC夾角為6,則|m|-|n|
所以平面DEF與平面ABC夾角的余弦值為2叵
15分
29
18.已知雙曲線E:=1的漸近線為>=±2x,焦距為2石,直線/與E的右支及漸近線的交點自上
ab-
至下依次為C、A、B、D.
⑴求E的方程;
(2)證明:[47|=忸0;
(3)求SAOC的取值范圍.
試卷第7頁,共11頁
【解析】
c二
〃=1
b必上=1
(1)由題意知:<2,則《b=2,則屈4分
a4
c2=a2+/c=y/~5
(2)易知/的斜率為0時不成立
設/:x=^y+%,%>0
x=my+t
2y20(4m2-1)y2+Smty+4〃-4=0
Y—匕=1
4
/.A]=16(4療+/-1)>0,-Smt4/一4
力+%=;^~~pyy=~;6分
4m-1AAB4m-1
x=my+t
2y2=>(4療_])y2+8沖y+4/=0
x----二0
4
2
2-Smt4t
A2=16t>0,無+如8分
4m2-1
..yA+yB_yc+yp
22
,線段N8、CD的中點重合
:.\AC\=\BD\......................................................................10分
I.?i|CD|—|AB|1ri—-\/4m2+Z2—1
⑶..............................
O到直線AC的距離d=~^=
Vl+m
,2V
SA"=gx“|xd=VP"-14療-1+廣t2
x"=石----14分
22H-----2--
|4m-ll4m-174m-1
t>Q
A〕=16(4/+廣一i)〉o
—2t八
XA+^B=—->0
4m2-1
-4m2-t2_
X/B=/21〉0
4m-1
:?令p=<-l
4m2-1
試卷第8頁,共11頁
19.已知函數(shù)/(x)=sinx+ln(l+x)_ox,aeR.
(1)當a=0時,求/(x)在區(qū)間(-1,2萬)內極值點的個數(shù);
(2)若〃x)<0恒成立,求。的值;
3.(1、》2n-l,c
(3)求證:/,sinI-~-<21n-------In2,〃22,〃£N*.
,=?+1V-Un-\
【解析】
(l)a=O時,/(x)=sinx+ln(l+x)
/(x)在單調遞增,在xe|三,2〃J內單調遞增
:?當時,/⑺單調遞減,‘⑸=」萬〉°,/⑺=T+?^<0
V2J1+51+%
,
f(x1)=0,“X)在信xj單調遞增,(X/)單調遞減....................2分
-sinx-
(1+X)2
???當?]時,/'⑺單調遞增,/'⑺=_(]+[『<0,?QJ-l11+四)
/'(々)=°,/(%)在(肛馬)單調遞減,卜2,彳)單調遞增
尸(萬)<0,
2
試卷第9頁,共11頁
,/伍)=0,/(x)在(肛W)單調遞減,卜3,苫
單調遞增4分
綜上,/(%)在(TxJ單調遞增,(.七)單調遞減,(馬,2萬)單調遞增,共2個極值點..........5分
(2);/(0)=0,/(%)<0
.“=0是〃》)的極大值點
,1?f'(x\-cosxH——----a
')l+x
.(0)=2—a=0,即a
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