2024新高考押題預(yù)測(cè)模擬數(shù)學(xué)試卷1（新高考九省聯(lián)考題型）（含答案解析）

2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)卷01

數(shù)學(xué)

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己

的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.己知z=l+i,則1+z（）

13.13.31.31.

A.----1B.-+-7C.---1D.-+-1

55555555

2.已知向量之=（2,3）,6=（-l,x）,則“0+B）_LG-辦）”是“x=2也”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知集合公上降2。叫,3={師="2},則（）

A.A<JB—BB.A<JB=AC.A[\B=BD.=R

4.從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中選擇四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成空間四面體，則該四面體不可能（）

A.每個(gè)面都是等邊三角形

B.每個(gè)面都是直角三角形

C.有一個(gè)面是等邊三角形，另外三個(gè)面都是直角三角形

D.有兩個(gè)面是等邊三角形，另外兩個(gè)面是直角三角形

5.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,y=/（x）+ex是偶函數(shù)，y=/（x）-3ex是奇函數(shù)，則/（x）的最

小值為（）

A.eB.2拒C.2>/3D.2e

6.已知反比例函數(shù)箕=勺（無w0）的圖象是雙曲線，其兩條漸近線為弼和解，兩條漸近線的夾角

X

7T

為,，將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€y=±x,由此可求得其離心率為&.已知函數(shù)

丁=也》+’的圖象也是雙曲線，其兩條漸近線為直線丁=在》和用，則該雙曲線的離心率是（）

3x3

A.0B.26C.-2V3D.4->/3

3。

7.已知2sina-sin/7=C，2cosa-cos4=1,貝ijcos(2a—2p)=()

iJisi7

A.——B.C.-D.—

8448

8.己知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為r(x),若函數(shù)/(3x+l)和/'(x+2)均為偶函數(shù)，且

/\2）=-8,則Z/O的值為（

C.—8

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/（x）=sin（0x+e）（0〉O,O<o<7r）的最小正周期為兀，且函數(shù)/⑴的圖象關(guān)于直線

x=-E對(duì)稱，則下列說法正確的是（）

12

A.函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

B.函數(shù)/（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增

c.函數(shù)〃x）在區(qū)間（-a，5）內(nèi)有恰有兩個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)"X）的圖象向右平移三個(gè)單位長度可以得到函數(shù)g（x）=cos2x的圖象

12

22

10.已知A、8是橢圓3_+\_=1的左、右頂點(diǎn)，尸是直線x=2ji上的動(dòng)點(diǎn)（不在X軸上），

4P交橢圓于點(diǎn)“，BM與OP交于點(diǎn)、N,則下列說法正確的是（）

A.kPA-kPB——B.若點(diǎn)尸,則Sa。”：0M——

C.而.西是常數(shù)D.點(diǎn)N在一個(gè)定圓上

11.己知四棱錐尸-H8CD,底面48CZ）是正方形，P4_L平面4BCZ）,AD=\,PC與底面

4BCZ）所成角的正切值為注，點(diǎn)M為平面NBCD內(nèi)一點(diǎn)，且㈤/=義/刀（0<；1<1）,點(diǎn)N為

2

平面尸48內(nèi)一點(diǎn)，NC=5下列說法正確的是（）

兀

A.存在;I使得直線PB與W所成角為一

B.不存在2使得平面上45,平面尸血/

C.若行正,則以尸為球心，為半徑的球面與四棱錐P-4BCD各面的交線長為

2

y/2+y/6

D.三棱錐N-NCD外接球體積最小值為定兀

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖所示是一個(gè)樣本容量為100的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可知其60%分位數(shù)為

13.如圖，“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形生成的.將等邊三角形每條邊三等

分，以每條邊三等分的中間部分為邊向外作正三角形，再將每條邊的中間部分去掉，這稱為“一

次分形”；再用同樣的方法將所得圖形中的每條線段重復(fù)上述操作，這稱為“二次分形”；L.

依次進(jìn)行“〃次分形"(〃eN*).規(guī)定：一個(gè)分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度.

若將邊長為1的正三角形“〃次分形”后所得分形圖的長度不小于120,則，的最小值是.

(參考數(shù)據(jù)：坨2。0.3010,lg320.4771)

14.在平面直角坐標(biāo)系xp中，已知圓。:/+/=4,若正方形/BCD的一邊4g為圓。的一條

弦，貝獷。的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=ex(x2-ax-a).

(1)若曲線V=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線平行于x軸，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

16.生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了解某地中學(xué)生和大學(xué)生對(duì)跑步軟件

的使用情況，從該地隨機(jī)抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使用的一款跑步軟件,

結(jié)果如1、?

跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四

中學(xué)生80604020

大學(xué)生30202010

假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對(duì)跑步軟件的喜愛互不影響.

（1）從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)這2人都最喜愛使用

跑步軟件一的概率；

（2）采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機(jī)抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人.記

X為這3人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）記樣本中的中學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為占，x2,x3,%，其方差為s；；

樣本中的大學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為外，為，為，%,其方差為S；；不，

七，％4，%，%，為，”的方差為寫出S；,S；的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）

17.如圖，在四棱錐P—Z3CQ中，上4,底面NBC。，ADHBC,AB1BC.點(diǎn)M在棱尸8上,

2

PM=2MB,點(diǎn)、N在燧.PC上,PA=AB=AD=—BC-2.

3

(1)若CN=2NP,。為PD的中點(diǎn)，求證：NQ〃平面R43；

2PN

(2)若直線P4與平面乂所成角的正弦值為h，求的值.

18.已知拋物線C：y2=2px(0＜。＜5)上一點(diǎn)"的縱坐標(biāo)為3,點(diǎn)/到焦點(diǎn)距離為5.

(1)求拋物線。的方程；

(2)過點(diǎn)(1,0)作直線交C于A,8兩點(diǎn)，過點(diǎn)A,B分別作C的切線/1與6，6與，2相交于點(diǎn)。，

過點(diǎn)A作直線4垂直于4，過點(diǎn)B作直線乙垂直于，2，,3與’4相交于點(diǎn)E，4、‘2、4、,4分別與

X軸交于點(diǎn)尸、Q、R、S.記VDPQ、ADAB.AABE、AERS的面積分別為百、邑、＞

54,若5戶2=4s3s4,求直線AB的方程.

19.給定正整數(shù)3,已知項(xiàng)數(shù)為加且無重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列A：(石,必),(9,%)，…，(乙,外,)滿

足如下三個(gè)性質(zhì)：①蒼,弘e{l,2,…,N},且項(xiàng)/%。=1,2,…,加)；②項(xiàng)+i=乂。=1,2,…，掰一1)；

③(。⑺與(見。)不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列A中.

(1)當(dāng)N=3,根=3時(shí)，寫出所有滿足苞=1的數(shù)對(duì)序列A；

(2)當(dāng)N=6時(shí)，證明：加＜13；

(3)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，記加的最大值為T(N),求T(N).

2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)卷01

數(shù)學(xué)

(新高考九省聯(lián)考題型)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己

的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求外

1.己知z=l+i,則1+z()

【答案】A

【解析】由題意知：l=l+i,則亍=1—i,

故選：A.

2.已知向量。=(2,3),K=則"G+5)J_(Z—W”是“x=2j?”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由己知得，。+不=(l,3+x),a-B=(3,3-x),

7：(。+6)_L(a—6),則(a+Z>)?(a—b)=0,即3+9—.丫2=0,解得x=±2>/^，

所以“X=25'=>，但6"x=2疔'，

所以“(3+，_1(力)”是“x=2后”的必要不充分條件，

故選：B.

y\y=2\x<2

,則(

A.B.AuB=AD-4U(CRB)=R

【答案】A

【解析】由logzXWL則log2x4log22,所以0<x?2,

所以/={x|log2x<l}={x|0<x<2},又5=|v|y=2：x42}={y|0<j<4},

所以則==

故選:A.

4.從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中選擇四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成空間四面體，則該四面體不可能()

A.每個(gè)面都是等邊三角形

B.每個(gè)面都是直角三角形

C.有一個(gè)面是等邊三角形，另外三個(gè)面都是直角三角形

D.有兩個(gè)面是等邊三角形，另外兩個(gè)面是直角三角形

【答案】D

【解析】如圖，

。-網(wǎng)G每個(gè)面都是等邊三角形，A不選；

4-DRG每個(gè)面都是直角三角形，B不選；

O-4BG三個(gè)面直角三角形，一個(gè)面等邊三角形，C不選，選D.

故選：D.

5.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,y=/(x)+e、是偶函數(shù)，y=/(x)-3ex是奇函數(shù)，則/(x)的最

小值為()

A.eB.2>/2C.2.73D.2e

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=/")+e1t為偶函數(shù)，則/(—x)+e-x=/(x)+e',即/(x)—/(—x)=e7—e',

①又因?yàn)楹瘮?shù)V=/(x)-3e，為奇函數(shù)，則/(—x)—3e-x=—/(x)+3e)即

/(.r)+/(-x)=3ex+3e-x,②

聯(lián)立①②可得/(x)=e'+2e'x,

由基本不等式可得/(x)=ex+2e-x>2je'-2e-x=20，

當(dāng)且僅當(dāng)e'=2e-x時(shí)，即當(dāng)x=Lln2時(shí)，等號(hào)成立，

2

故函數(shù)/(x)的最小值為

故選:B.

6.已知反比例函數(shù)V=?(左W0)的圖象是雙曲線，其兩條漸近線為描和謝，兩條漸近線的夾角

X

7T

為一，將雙曲線繞其中心旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€y=±x,由此可求得其離心率為J5.已知函數(shù)

y=@x+L的圖象也是雙曲線，其兩條漸近線為直線y=和淵，則該雙曲線的離心率是

3x3

()

A.573B.25/3C.—2\/3D.—4>/3

【答案】c

【解析】在第一象限內(nèi)，函數(shù)丁=追'+工的圖象位于y=上方，

3x3

由于y=3x和解是漸近線，所以兩條漸近線之間的夾角28=色，故6=色，

336

不妨將雙曲線v=立.丫+J■繞其中心旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,則可得到其焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線

3x

rx兀兀

3r—三二1,且兩條漸近線之間的夾用28二—,因此其中一條漸近線的傾斜角為一,

2b133

故選：C.

7.己知2sina—sin/7=JL2cosa-cos/7=1,貝ijcos(2a—24)=)

7

D.

8

【答案】D

【解析】因?yàn)?sina—sin/7=JL2cosa-cos夕=1,

所以平方得，(2sina—sin/7)2-3,(2cosa-cos^)2=1,

即4sin2a—4sinasin/?+sin2^二3,4cos2a-4cosacus0+cos24=1,

兩式相加可得4-4sinasin/7-4cosacos"+l=4,

即cosacos/74-sincrsin,

4

故cos(l_0=

4

17

cos(2a-2/7)=2cos2(cr-/?)-l=2x—-1=--.

故選：D.

8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(x),若函數(shù)/(3x+l)和/"(x+2)均為偶函數(shù)，且

2023

廣(2)=—8,則Z廠⑴的值為()

1=1

A.0B.8C.-8D.4

【答案】C

【解析】???/(3x+1)為偶函數(shù)，/(-3x+1)=f(3x+1),則/(-x+1)=/(x+1),兩邊求導(dǎo)得：

-/,(-x+i)=r(x+i),

則/'(X)關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱,又/'(X+2)為偶函數(shù)，??"'(r+2)=/'(x+2),即/'(x)關(guān)

于直線x=2成軸對(duì)稱，

r（l）=O且/'（x）=/'（4—x）=—/'（x—2）,.?./'（x+2）=—/'（X）,即得：

/（x+4）=—r（x+2）=r（x）,

故/'（x）是周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4,因廣（3）=—/'（1）=0,/'（4）=/'（0）=—1（2）=8,故

r（i）+r（2）+r（3）+r（4）=o,

20232024

于是2/'⑴=￡r（0-八4）=506X0-8=-8.

Z=1Z=1

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/0）=5m（3+9）（0＞0,0＜9＜兀）的最小正周期為兀，且函數(shù)70）的圖象關(guān)于直線

X=-77對(duì)稱，則下列說法正確的是（）

12

A.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

B.函數(shù)/⑴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增

（7171A

c.函數(shù)/a）在區(qū)間-4，萬內(nèi)有恰有兩個(gè)零點(diǎn)

7T

D.函數(shù)/（x）的圖象向右平移一個(gè)單位長度可以得到函數(shù)g（x）=cos2x的圖象

12

【答案】AD

［解析】函數(shù)/（x）=sin（0x+。）（。＞0,0＜。＜兀）的最小正周期為7T,

2兀

則一二兀，得G=2,則/（x）=sin（2x+0）,

CD

JT

又函數(shù)〃%）的圖象關(guān)于直線X=-二對(duì)稱，

12

r-tI/?/兀、?/兀、1rtt兀7T,,

貝Uf(----)=sm(——+°)=±1,貝“——+0=—+kit.keZ,

12662

2兀2兀

即0=5+析'"EZ'又0<°<兀，貝=

2兀

故/(x)=sin(2x+y-),

A,當(dāng)工=/時(shí)，/(與)=sin(2?弓+,)=sin27i=0,

-卜寸稱，A正確;

則函數(shù)“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)

f57兀1]rs2兀2兀3兀

B,xeInI?貝”2X+-^-￡

12

函數(shù)]，=sinx在（三,當(dāng)）單調(diào)遞減，則函數(shù)，（x）在區(qū)間（0,2）內(nèi)單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤;

27r27r

C,由/(x)=sin(2x+-j-)=0,則2x+-^-=e，左￡Z,

兀ATT,)「

L!|Jx-----1---，左wZ,乂xe

32

兀

x=z，則有1個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；

6

D,函數(shù)〃x）的圖象向右平移占個(gè)單位長度，

12

JTTT27r7T

則/（X--）=sin[2（x--）+—]=sin（2x+-）=cos2x=g（x）,

D正確；

故選：AD

22

10.己知A、B是橢圓q+'=l的左、右頂點(diǎn)，P是直線X=2百上的動(dòng)點(diǎn)（不在X軸上），

4P交橢圓于點(diǎn)“，BM與OP交于點(diǎn)、N,則下列說法正確的是（）

A.kPA-kPB~-B.若點(diǎn)尸（2石,3JJ）,則%。材：S板材=：

C.麗?萬才是常數(shù)D.點(diǎn)N在一個(gè)定圓上

【答案】BCD

【解析】如下圖所示：

對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)尸（20,s）（sw0）,易知點(diǎn)/卜百,0）、3（、后,0卜

,2

所以，kpA-kpB—『廣尸—不是定值，A錯(cuò);

2V3+V32V3-V39

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2百,3底），kpA=^=*，

則直線正/的方程為歹=，1+百），即x=*y—百，

亭-石

聯(lián)立產(chǎn)可得/_亞,=0,解得y=0或y=0,即加=C，

2x2+3v2=6

所以力1吆=昆史=

_KM_五_iR7,

所以'\PM\—儀”-力「2-3閻一5''；

■\yM~yP\

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)直線4P的方程為x=T-6(7/0),

；二3：6可得Q入計(jì)4圓=。,解得i或/黑

聯(lián)立《

I/

“逅乎3嗎*

2-2/+32尸+3

即…'[2產(chǎn)+3

x—乙7D/廠、

x=ty->/3可得，3百，即點(diǎn)尸2蟲,平

聯(lián)立《

X=2y/3

127-183>/3x4>/312/2+18

所以，OPOM2產(chǎn)+3+2/+3-2產(chǎn)+3二6，C對(duì);

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)用(X。,％),其中.%工0,且1+?=1,則君一3=-苧，

22c

k,__.%%一比一%.2

腦褊k一不？三耳一行一:M一5，

2

3/222

U_t_3_3,則右以二三方QP，所以，九4,4MB=W《o尸占3=一M，

“一而一五一53333

則方“％=-1，所以，OPYBM,取線段08的中點(diǎn)E—,0，連接NE，

\7

由直角三角形的幾何性質(zhì)可知。歸I=:|。創(chuàng)=乎，

所以，點(diǎn)N在以線段08的直徑的圓上，D對(duì).

故選：BCD.

11.已知四棱錐尸-48CD,底面48C。是正方形，上4J_平面4BC。，40=1,尸。與底面

48CD所成角的正切值為點(diǎn)M為平面/BCD內(nèi)一點(diǎn)，且㈤/=義/。(0</1<1),點(diǎn)N為

2

平面尸45內(nèi)一點(diǎn)，NC=y[i，下列說法正確的是()

7T

A.存在4使得直線尸3與⑷/所成角為一

6

B.不存在4使得平面E18_L平面尸

C.若;1=立，則以尸為球心，為半徑的球面與四棱錐尸-488各面的交線長為

2

72+76

---------------7T

4

D.三棱錐N-4。外接球體積最小值為多叵兀

6

【答案】BCD

【解析】由凡4_L平面/5CZ),底面4BCD是正方形，40=1,可得4C=收，

且NPC4是尸C與底面43C。所成角，即tanNPC4=￡4=Y2,則PN=1,

AC2

TT

同理乙P34是”與底面45CZ)所成角，故NPA4二一，

4

7T

由題意，JAf在面4BCZ)內(nèi)，故直線尸8與W所成角不小于一，A錯(cuò)；

4

PN_L平面48CZ),BCu平面48CZ),則上4L5C,又ABJ.BC,

PA[}AB=A,取,/3u面以3,則8cl面P/3.

要平面尸48J_平面尸5A/,M■要在直線5c上，而W=44D(O<4<1),

顯然不存在，B對(duì)；

由題設(shè)/跖=也40=也，將側(cè)面展開如下圖，

22

球與側(cè)面的交線是以尸為圓心，在為半徑的圓與側(cè)面展開圖的交線，如下無防，

2

由tanZ4P尸=①=tan/BPC=3，則Z^Pb=N3PC,ZAPF+/FPB」,

2V24

TTTT

所以ZFPC="PC+NFPB=—,根據(jù)對(duì)稱性有NEPC=NCPE,故N￡P(guān)E=—,

42

所以無話長為亞

4

又球與底面45CZ）交線是以A為圓心，也為半徑的四分之一圓，故長度為叵，

24

綜上，球面與四棱錐尸-458各面的交線長為且漁兀，C對(duì)；

4

由題設(shè)，三棱錐N-/CZ）外接球也是棱錐N-4BCD外接球，

又N為平面尸4g內(nèi)一點(diǎn)，NC=45＜且4u面H45,則面上43上面4SC。，

BCLAB,面7Mge面A3CZ）=N5,3Cu面45cZ）,故面力3,

易知N在面上45的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓（去掉與直線48的交點(diǎn)），

根據(jù)圓的對(duì)稱性，不妨取下圖示的四分之一圓弧，則N在該圓弧上，

當(dāng)BN接近與面AB重合時(shí)NA4N趨向兀，

當(dāng)BN_L面ABCD時(shí)NBAN最小且為銳角，sinZBAN="=二，

ANyj5

BN]

而“即的外接圓半徑r=

2shi4ANsinZBAN

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖所示是一個(gè)樣本容量為100的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可知其60%分位數(shù)為

O5101520數(shù)據(jù)

【答案】14

【解析】由圖可知第一組的頻率為0.04x5=0.2<0.6,前兩組的頻率之和為

0.04x5+0.1x5=0.7>0.6,則可知其60%分位數(shù)在［10,15)內(nèi)，設(shè)為x,

則0.1x(x—10)=0.6—0.2,解得x=14.

故答案為：14

13.如圖，“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形生成的.將等邊三角形每條邊三等

分，以每條邊三等分的中間部分為邊向外作正三角形，再將每條邊的中間部分去掉，這稱為“一

次分形”；再用同樣的方法將所得圖形中的每條線段重復(fù)上述操作，這稱為“二次分形”；L.

依次進(jìn)行““次分形"(〃eN*).規(guī)定：一個(gè)分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度.

若將邊長為1的正三角形“〃次分形”后所得分形圖的長度不小于120,則〃的最小值是.

(參考數(shù)據(jù)：坨220.3010,lg3a0.4771)

【答案】13

4

【解析】依題意可得“〃次分形”圖的長度是“n-1次分形”圖的長度的

由“一次分形”圖的長度為:x4x3=4,

4

所以“每次分形”圖的長度可看成是首項(xiàng)為4,公比為§的等比數(shù)列,

所以“，次分形”圖的長度為4x

故>120,即圖>30,兩邊取對(duì)數(shù)得(〃—I)(21g2—lg3)21+lg3,

l+lg31+0.4771

所以“TN?11.8貝512.8,

21g2-lg32x0.301-0.4771

又〃eN*,故〃的最小整數(shù)值是13.

故答案為：13.

14.在平面直角坐標(biāo)系x°v中，己知圓O：X2+F=4,若正方形的一邊48為圓。的一條

弦，貝IJIOCI的最大值為.

【答案】272+2

TTTT

【解析】令4＞區(qū)4=。€[0,一)且|O5|=2,13cl=4cos8,要使|OC|最大有cos/O8C=—+6,

22

2

如下圖示，在△03C中|OC『=|O3|2+15C|-2105115C|cosZOBC,

所以|OC『=4+(4cosdp_2x2x(4cos6).cosg+6?)

=4+16cos28+16sinecos6—8(sin20+cos20)+12

=8&sin(26+：)+12,

當(dāng)且僅當(dāng)e=1時(shí)|OC|皿=VsV2+12=2V2V2+3=2(1+收)，

o

所以|OC|的最大值為2亞+2.

故答案為：2&.+2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(.丫)=-02-〃》一。).

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J(D)處的切線平行于X軸，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1)1(2)答案見解析

【解析】(1)由題可得/'(xhe'X+Q—q)x-2a],

因?yàn)椤▁)在點(diǎn)(1J(1))處的切線平行于x軸，所以/'(1)=0,

即e(3-3a)=0,解得a=l,經(jīng)檢驗(yàn)a=l符合題意.

(2)因?yàn)閞(x)=e*[x2+(2-,

令/'(x)=0,得x=—2或X=。.

當(dāng)。<-2時(shí)，隨x的變化，f(x),/(x)的變化情況如下表所示:

X(一叫a)a3-2)-2(-2,+oo)

f'(x)+0—0+

f(x)單調(diào)遞增/(?)單調(diào)遞減/(-2)單調(diào)遞增

所以/(x)在區(qū)間(-*a)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(a,-2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-2,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)。=-2時(shí)，因?yàn)?'(x)=e%x+2)2N0,當(dāng)且僅當(dāng)x=—2時(shí)，f'(x)=0,

所以/(x)在區(qū)間(-嗎+與上單調(diào)遞增.

當(dāng)a〉-2時(shí)，隨x的變化，f(x),“X)的變化情況如下表所示：

X(-00,-2)-2(-2,a)a(a,+00)

/'(X)+0—0+

單調(diào)遞增/(-2)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

所以/(x)在區(qū)間(-%-2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-2,a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞增.

綜上所述，

當(dāng)a<-2時(shí)，”月的單調(diào)遞增區(qū)間為(-叫。)和(-2,+0)),單調(diào)遞減區(qū)間為(。,-2)；

當(dāng)。=-2時(shí)，“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,+s),無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a〉-2時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-叫-2)和(a,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,a).

16.生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了解某地中學(xué)生和大學(xué)生對(duì)跑步軟件

的使用情況，從該地隨機(jī)抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使用的一款跑步軟件,

結(jié)果如1、?

跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四

中學(xué)生80604020

大學(xué)生30202010

假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對(duì)跑步軟件的喜愛互不影響.

(1)從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)這2人都最喜愛使用

跑步軟件一的概率；

(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機(jī)抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人.記

X為這3人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)記樣本中的中學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為不，%，/，%，其方差為5；；

樣本中的大學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為弘，外,匕，居，其方差為學(xué);不，

入2，花，無4，%，為，為，乂的方差為S；.寫出S；,sf,的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

33

【答案】(1)茄(2)分布列詳見解析，￡(X)=](3)

【解析】（1）從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，

QA404

這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率為黑義券=三.

2008020

（2）因?yàn)槌槿〉?人中最喜愛跑步軟件二的人數(shù)為8x2?0=2,

80

所以X的所有可能取值為0」,2,

3!2

尸（X=0）=*c4s，尸（X=l）=詈rc=￡is,P（X=2）=r釜2rl=焉Q

所以X的分布列為：

X012

5153

P

142828

51533

所以￡（X）=Ox三+lx-+2x±=±.

K71428284

（2）sl<sj<sf,證明如下:

80八〃60八c40八。20八1

x-------0.4.x--------0.3.占—-----0.2.-------0.1

1200922002004200

=0.25,

4

（0.4-0.25）2+（0.3-0.25）2+（0.2-0.25）2+（0.1-0.25）21

所以s；=

480

303201201101

麗=產(chǎn)=麗=尸=麗=尸=而q

%+%+%+為1

1

128

數(shù)據(jù)：x1,x?,與,甚，必，％,為，yAF

對(duì)應(yīng)的平均數(shù)為%+%+￡+/+.%+%+8+%=1

84

所以

（0.4-0.25）2+（0.3-0.25『+（0.2-0.25）2+（0.1-0.25）2

13

81280

所以s；<s；<s]

17.如圖，在四棱錐P—/5C。中，PAl^ABCD,AD!IBC,點(diǎn)/在棱尸8上,

PM=2MB,點(diǎn)N在棱尸。上，PA=AB=AD=-BC=2.

3

(1)若CN=2NP,。為尸。的中點(diǎn)，求證：NQ〃平面P4B；

(2)若直線PZ與平面乂所成角的正弦值2為求了PN，的值.

【答案】(1)證明見解析(2)%PN=31

【解析】(1)證明：過M作3c的平行線交尸C于〃，連接

，噌=*=喘，又YPM=2MB,:.HC=；PC,又CN=2NP,

PBPCBCPC33

:.NH=PN=HC,:.N為PH的中點(diǎn)、,又。為ED的中點(diǎn)，

:.NQ//HD,

2

又MH=qBC=2,又AD=2,AD//BC,

ADHMH,且40=皿”，

.??四邊形"HD4是平行四邊形，

:.HDI/MA,:.NQ//AM,

N。＜z平面,/Mu平面P48,NQ//平面P4B

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4尸所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則2(0,0,0),0,1),R0,0,2).C(2,3,0),W=(1,0,

Z?=(0,0,2).PC=(2,3,-2),

.,?設(shè)麗=灰=(22,32,-22)(0<2<1),

AN=Z?+PN=(0,0,2)+(2/1,32,-2/1),=(2A,32,2-22)

設(shè)平面MW的一個(gè)法向量為萬=(X,y,Z),

n-AM=—x+一==0

33，令x=1,則z=-2,

w-L42V=22x+32y+(2-22)z=0

■,■平面AMN的一個(gè)法向量為方二。,

設(shè)直線24與平面3N所成角為8,

/.sin8=|cosv北，|AP|?|萬|則a二§

2J1+4+C

PN1

PC-3

18.己知拋物線C：y2=2px（0＜。＜5）上一點(diǎn)”的縱坐標(biāo)為3,點(diǎn)”到焦點(diǎn)距離為5.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過點(diǎn)（L0）作直線交。于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)A,8分別作C的切線4與4，4與4相交于點(diǎn)

過點(diǎn)A作直線4垂直于4,過點(diǎn)5作直線％垂直于乙，4與L相交于點(diǎn)七，4、‘2、4、74分別與

x軸交于點(diǎn)尸、Q、R、S.記VZ）P。、△2X45、&ABE.△ERS的面積分別為S1、號(hào)、S3、

S’.若5^2=4S3s仆求直線4B的方程.

【答案】（1）/=2x（2）x土癡y-l=0