1.2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)魯教版九年級數(shù)學(xué)上冊

反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)第一章反比例函數(shù)知識點(diǎn)1反比例函數(shù)的主要性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)全練1.(一題多解)若點(diǎn)A(x1,-1),B(x2,5),C(x3,10)都在反比例函數(shù)y=

的圖象上,則x1,x2,x3的大小關(guān)系為

(

)A.x3<x2<x1

B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2

D.x2<x3<x1D解析解法一(利用反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷):∵k=-3<0,∴圖

象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限,且在每一象限內(nèi),y隨x

的增大而增大.∵點(diǎn)A(x1,-1),B(x2,5),C(x3,10)都在反比例函數(shù)y=

的圖象上,-1<0<5<10,∴x2<x3<x1,故選D.解法二(直接計(jì)算):∵點(diǎn)A(x1,-1),B(x2,5),C(x3,10)都在反比例函

數(shù)y=

的圖象上,則x1=3,x2=-0.6,x3=-0.3,∴x2<x3<x1,故選D.2.(新考法)已知當(dāng)x<0時(shí),反比例函數(shù)y=

(k≠0)的函數(shù)值隨自變量的增大而減小,則關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+1-k=0的根

的情況是

(

)A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.沒有實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

D.與k的取值有關(guān)A解析∵當(dāng)x<0時(shí),y=

(k≠0)的函數(shù)值隨自變量的增大而減小,∴k>0,∴一元二次方程x2-2x+1-k=0的根的判別式Δ=(-2)2-4(1-k)=

4k>0,∴方程x2-2x+1-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故A正確.3.(教材變式·P11例2)已知反比例函數(shù)y=

(m為常數(shù)).(1)若函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,6),求m的值.(2)若x>0時(shí),y隨x的增大而減小,求m的取值范圍.解析

(1)∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,6),∴6=

,解得m=2,∴m的值是2.(2)∵x>0時(shí),y隨x的增大而減小,∴m-8>0,解得m>8,∴m的取值范圍是m>8.知識點(diǎn)2

反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義4.(2024山東臨沂期末)如圖,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

(x<0)的圖象上,過點(diǎn)A作x軸、y軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)B、C,若AB=1.

5,AC=4,則k的值為

(

)

A.-3

B.-4.5

C.6

D.-6D解析由AB=1.5,AC=4可得矩形ABOC的面積=1.5×4=6,∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

(x<0)的圖象上,∴|k|=6,∴k=±6,∵函數(shù)y=

(x<0)的圖象在第二象限,∴k<0,∴k=-6,故選D.5.如圖,點(diǎn)A(x,y)在反比例函數(shù)y=-

的圖象上,且AB垂直于x軸,垂足為點(diǎn)B,則S△OAB=

.

4解析∵點(diǎn)A(x,y)在反比例函數(shù)y=-

的圖象上,且AB垂直于x軸,垂足為B,∴S△OAB=

|k|=

×8=4.6.如圖,點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=

(x>0)的圖象上,過點(diǎn)P作x軸的平行線,交反比例函數(shù)y=

(x<0)的圖象于點(diǎn)Q,連接OP,OQ.若S△POQ=6,則k的值為

.

-8解析令QP與y軸的交點(diǎn)為D,如圖,∵PQ∥x軸,∴PQ⊥y軸,∴∠QDO=∠PDO=90°,∴S△POQ=S△QDO+S△PDO=

+

×4=6,解得k=±8,∵函數(shù)y=

(x<0)的圖象在第二象限,∴k=-8,故答案為-8.7.(易錯題)(2023江蘇鹽城一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反

比例函數(shù)y=

(k>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,m),過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,△AOB的面積為5.(1)求k和m的值.(2)當(dāng)x<-6時(shí),求函數(shù)值y的取值范圍.

解析

(1)∵A(2,m),∴OB=2,AB=m,∴S△AOB=

OB·AB=

×2m=5,解得m=5,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,5).把A(2,5)代入y=

,得k=10.(2)由(1)得y=

,∴當(dāng)x=-6時(shí),y=-

.∵當(dāng)x<0時(shí),反比例函數(shù)y=

的圖象在第三象限,且函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小,∴當(dāng)x<-6時(shí),函數(shù)值y的取值范圍為-

<y<0.能力提升全練8.(等積變形法)(2024山東泰安期中,9,★★☆)下圖是反比例函數(shù)y1=

和y2=-

在x軸上方的圖象,x軸的平行線AB分別與這兩個(gè)函數(shù)圖象交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P(-5.5,0)在x軸上,則△PAB的面積為

(

)A.3

B.6

C.8.2

D.16.5A解析如圖,連接OA、OB,設(shè)AB交y軸于C,∵x軸的平行線AB分別與這兩個(gè)函數(shù)圖象相交于點(diǎn)A,B,∴AB⊥y軸,∵點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y1=

和y2=-

的圖象上,∴S△OBC=

×|-4|=2,S△OAC=

×|2|=1,∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=3,∵AB∥x軸,∴△PAB與△OAB同底等高,∴S△PAB=S△AOB=3,故選A.方法解讀等積變形法是幾何中常用的一種方法,特點(diǎn)是把

已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來,本題運(yùn)用平行線之間

的距離處處相等得△PAB與△OAB同底等高,從而得到△PAB與△OAB的面積相等,進(jìn)而求解.9.(2021山東淄博中考,12,★★☆)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,

四邊形AOBD的邊OB與x軸的正半軸重合,AD∥OB,DB⊥x

軸,對角線AB,OD交于點(diǎn)M.已知AD∶OB=2∶3,△AMD的面

積為4.若反比例函數(shù)y=

的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)M,則k的值為

(

)

BA.

B.

C.

D.12解析如圖,過點(diǎn)M作MH⊥OB于H.∵AD∥OB,∴△ADM∽△BOM.∴

=

=

,

=

=

.∵S△ADM=4,∴S△BOM=9.∵DB⊥OB,MH⊥OB,∴MH∥DB.∴

=

=

,∴OH=

OB.∴S△MOH=

×S△OBM=

.∴

=

,∴k=

.故選B.10.(2023山東淄博淄川期中,12,★★☆)已知方程x2-2x+k=0有

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)為反比例函數(shù)y=

的圖象上的兩點(diǎn),若x1>x2>0,則y1

y2(填“>”“<”或“=”).>解析∵方程x2-2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=4-4k>0,解得k<1.∴k-2<0.∴反比例函數(shù)y=

的圖象位于第二、四象限,在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大,∵x1>x2>0,∴y1>y2.素養(yǎng)探究全練11.(運(yùn)算能力)過原點(diǎn)作直線交雙曲線y=

(k>0)于點(diǎn)A、C,過A、C兩點(diǎn)分別作兩坐標(biāo)軸的平行線,圍成矩形ABCD,如圖所示.(1)已知矩形ABCD的面積等于8,求雙曲線的解析式.(2)若已知矩形ABCD的周長為8,能否由此確定雙曲線的解析

式?如果能,請求出;如果不能,說明理由.解析

(1)設(shè)點(diǎn)A(m,n),m>0,n>0,則C(-m,-n),B(m,-n),D(-m,n),∴AB=2n,AD=2m,∵矩形ABCD的面積等于8,∴AB·AD=4mn=8,∴mn=2,∵n=

,∴k=mn=2,∴雙曲線的解析式為y=

.(2)不能.理由:設(shè)點(diǎn)A(a,b),a>0,b