備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題17導(dǎo)數(shù)綜合問題證明不等式恒成立問題零點(diǎn)問題

專題17導(dǎo)數(shù)綜合問題：證明不等式、恒成立問題、零點(diǎn)問題【考點(diǎn)預(yù)測】一、證明不等式常用的方法和思路作差構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題二、不等式恒成立問題常用的方法和思路(1)直接法(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；三、零點(diǎn)問題常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．【典例例題】題型一：證明不等式1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）證明：當(dāng)時，．【解析】由題設(shè)，要證，只需證即可，令，則，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故，即在上恒成立，∴，得證．2．（2023春·廣東廣州·高二?？茧A段練習(xí)）求證：．【解析】證明：令，則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增則在時求得最小值，即在上恒成立，即在上恒成立3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時，.【解析】由已知得，.因為，所以.因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增;所以當(dāng)時，，即.題型二：恒成立問題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域為①當(dāng)時，令，可得，此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為②當(dāng)時，令，可得，此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）在恒成立，則在恒成立即在恒成立令令，，，，則在上恒成立在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，在恒成立，則的范圍是.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若，且在上的最小值為0，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，∴，，∴切線方程為，即（2）∵，∴原條件等價于：在上，恒成立.化為令，則令，則在上，，∴在上，故在上，；在上，∴的最小值為，∴6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的圖象在處的切線方程；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)，切點(diǎn)為，，∴，∴的圖象在處的切線方程為：，即.（2）令，.，設(shè)，，∵，∴，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時，恒成立.當(dāng)時，，∵函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，不符合題意，舍去.綜上可得：的取值范圍是.題型三：零點(diǎn)問題7．（2023·四川·高三統(tǒng)考）已知a，b為實數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)．【解析】（1）因函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，，因此，恒成立，所以.（2）由（1）知，，，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)至多有一個零點(diǎn)，又，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)．8．（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)設(shè)，求在區(qū)間上的最值；(2)討論的零點(diǎn)個數(shù).【解析】（1）因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取最大值；當(dāng)時，取最小值.（2）先討論在上的零點(diǎn)個數(shù)，由（1）可知，在上遞減，，所以在上遞減，因為，所以在上有唯一零點(diǎn)，又因為，所以是偶函數(shù)，所以在上有兩個零點(diǎn).9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】(1)，（Ⅰ）當(dāng)，即時，，在單調(diào)遞減（Ⅱ）當(dāng)，即時，，在單調(diào)遞增（Ⅲ）當(dāng)，即時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減綜上所述，（Ⅰ）當(dāng)時，在單調(diào)遞減（Ⅱ）當(dāng)時，在單調(diào)遞增（Ⅲ）當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減(2)由（1）知：當(dāng)時，即，在無零點(diǎn)當(dāng)時，即，在無零點(diǎn)當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，只需即可即，綜上所述，【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·北京石景山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】的定義域為，由題意可得，因為單調(diào)遞增且當(dāng)時，當(dāng)時，所以存在唯一一點(diǎn)使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以至多有兩個零點(diǎn)，又因為，，所以有2個零點(diǎn)，故選：C2．（2023·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)與的圖像有且只有一個公共點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．或或【答案】C【解析】∵過定點(diǎn)，且在上，又∵，則，∴在處的切線斜率為，結(jié)合圖象可得：當(dāng)時，與的圖像有且只有一個公共點(diǎn)，則符合題意；當(dāng)時，與的圖像有兩個公共點(diǎn)，則不符合題意；當(dāng)時，與的圖像有且只有一個公共點(diǎn)，則符合題意；當(dāng)時，與的圖像有兩個公共點(diǎn)，則不符合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為或.故選：C.3．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間，內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間，內(nèi)均無零點(diǎn)C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)【答案】D【解析】由題得，令解得；令解得；所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在點(diǎn)處有極小值；又，，，即，，所以在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).故選：D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在恒成立.當(dāng)，記，所以在單調(diào)遞增，，故故，所以，故選：C5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式，對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為不等式，對恒成立，當(dāng)時，顯然成立，當(dāng)，恒成立，令，則，令，則在上成立，所以在上遞減，則，所以在上成立，所以在上遞減，所以，所以，故選：A6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)有三個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【答案】A【解析】由題意，函數(shù)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，要使得函數(shù)有三個零點(diǎn)，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a∈R，則函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．與a有關(guān)【答案】A【解析】令，得.令，，只需看兩個圖像的交點(diǎn)的個數(shù).所以在R上單調(diào)遞增.當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以與有且只有一個交點(diǎn).故選：A8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】存在，不等式成立，則，能成立，即對于，成立，令，，則，令，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，又，所以f(x)>-3，所以.故選：C二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】AD【解析】令，則有，令，則有，所以在上單減，在上單增，當(dāng)時，，，當(dāng)時，故有唯一零點(diǎn)即或.故選：AD10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)存在三個不同的零點(diǎn)B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．若時，，則t的最小值為2D．當(dāng)時，方程有且只有兩個實根【答案】BD【解析】，令，解得或，當(dāng)或時，，故函數(shù)在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)有極小值，有極大值，當(dāng)趨近負(fù)無窮大時，趨近正無窮大，當(dāng)趨近正無窮大時，趨近于零，故作函數(shù)草圖如下，由圖可知，選項BD正確，選項C錯誤，t的最大值為2．故選：BD．11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】A：構(gòu)造新函數(shù)，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，最大值為：，即，因此本選項不等式成立；B：構(gòu)造新函數(shù)，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為：，即，因此本選項不等式成立；C：設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為：，即，因此本選項不等式成立；D：設(shè)，因為，所以單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有，即，因此本選項不等式成立，故選：ABCD12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)與的圖象恰有一個公共點(diǎn)，則實數(shù)可能取值為A．2 B．1 C．0 D．【答案】BCD【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為；所以過原點(diǎn)的切線的斜率為；則過原點(diǎn)的切線的方程為：；所以當(dāng)時，函數(shù)與的圖象恰有一個公共點(diǎn)；故選：BCD三、填空題13．（2023·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末），若關(guān)于x的方程在上有根，則實數(shù)m的取值范圍是_____．【答案】．【解析】若關(guān)于x的方程在上有根，即在上有根，令，則，時，，時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，所以，若使在上有根，則．故答案為：．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程有解，則實數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】有解，即，令，，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以的值域為，故的取值范圍為．故答案為：．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，，，使不等式成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因為對，，使不等式成立，所以，當(dāng)時，，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.故答案為：.16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時，分離參數(shù)，得恒成立．令，∴時，恒成立．令，則，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上是減函數(shù)．則，∴．∴實數(shù)的取值范圍是．故答案為：四、解答題17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求證：函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，并求出此零點(diǎn)；(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程．【解析】(1)函數(shù)的定義域為，，令，而，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以，，即．故在上是單調(diào)遞增的．又因為，因此，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，零點(diǎn)為0．(2)（2）顯然，點(diǎn)不在函數(shù)圖像上，不妨設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．又，即，消去得，由（1）知，則，，故所求的切線方程為：．18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)若在時取得極小值，求實數(shù)k的值；(2)若過點(diǎn)可以作出函數(shù)的兩條切線，求證：【解析】(1)∴，∴當(dāng)時，令，得∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在時取得極小值，∴(2)證明：設(shè)切點(diǎn)為，∴切線為，又切線過點(diǎn)，∴∴，(*)設(shè)則∴在單詞遞減，在單調(diào)遞增.∵過點(diǎn)可作的兩條切線，∴方程(*)有兩解∴，由，得∴，即.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若恰有一個零點(diǎn)，求a的值．【解析】（1），令，得．因為，則，即原方程有兩根設(shè)為，所以（舍去），．則當(dāng)時，，當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（2）由（1）可知．①若，則，即，可得，設(shè)，在上單調(diào)遞減所以至多有一解且，則，代入解得．②若，則，即，可得，結(jié)合①可得，因為，，所以在存在一個零點(diǎn)．當(dāng)時，，所以在存在一個零點(diǎn)．因此存在兩個零點(diǎn)，不合題意綜上所述：．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝ax3﹣3lnx.(1)若a＝1，證明：f（x）≥1；(2)討論f（x）的單調(diào)性.【解析】(1)若a＝1，則f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，，令f′（x）＝0，可得x＝1，當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）在x＝1處取得極小值，也是最小值，最小值為f（1）＝1，故f（x）≥1.(2)f（x）＝ax3﹣3lnx，x＞0，（x＞0），當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時，令f′（x）＞0，得x，令f′（x）＜0，得0＜x，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若在上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)記的兩個極值點(diǎn)為，，求證：.【解析】（1）的定義域為，，又單調(diào)，∴對恒成立，即()恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴.（2）由（1）知：，是的兩個根，則，，且，∴，故，，而，∴，得證.22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)有三個零點(diǎn)，求實數(shù)的取