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北京市朝陽區(qū)北京八十中學(xué)新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若數(shù)列滿足且,則使的的值為()A. B. C. D.2.若數(shù)列為等差數(shù)列,且滿足,為數(shù)列的前項和,則()A. B. C. D.3.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說,河圖、洛書是中華文化,陰陽術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽數(shù),黑點為陰數(shù),若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù),則其差的絕對值為5的概率為A. B. C. D.4.設(shè),集合,則()A. B. C. D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.6.由曲線圍成的封閉圖形的面積為()A. B. C. D.7.已知等比數(shù)列的前項和為,且滿足,則的值是()A. B. C. D.8.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.139.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.10.命題“”的否定為()A. B.C. D.11.為雙曲線的左焦點,過點的直線與圓交于、兩點,(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點為,為坐標(biāo)原點,若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.定義運算,則函數(shù)的圖象是().A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.三棱錐中,點是斜邊上一點.給出下列四個命題:①若平面,則三棱錐的四個面都是直角三角形;②若,,,平面,則三棱錐的外接球體積為;③若,,,在平面上的射影是內(nèi)心,則三棱錐的體積為2;④若,,,平面,則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號是__________.(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)14.已知實數(shù),滿足約束條件則的最大值為________.15.某大學(xué)、、、四個不同的專業(yè)人數(shù)占本???cè)藬?shù)的比例依次為、、、,現(xiàn)欲采用分層抽樣的方法從這四個專業(yè)的總?cè)藬?shù)中抽取人調(diào)查畢業(yè)后的就業(yè)情況,則專業(yè)應(yīng)抽取_________人.16.已知函數(shù)的最小值為2,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)在處的切線方程;(2)若函數(shù)沒有零點,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,且過點.求橢圓的方程;已知是橢圓的內(nèi)接三角形,①若點為橢圓的上頂點,原點為的垂心,求線段的長;②若原點為的重心,求原點到直線距離的最小值.19.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若函數(shù)的最大值為,且,求的最小值.20.(12分)某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個零件,質(zhì)檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格,若較多零件不合格,則需對其余所有零件進行檢查.根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗,這些零件的長度服從正態(tài)分布(單位:微米),且相互獨立.若零件的長度滿足,則認(rèn)為該零件是合格的,否則該零件不合格.(1)假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為,求及的數(shù)學(xué)期望;(2)小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件,若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率.已知檢查一個零件的成本為10元,而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元.假設(shè)充分大,為了使損失盡量小,小張是否需要檢查其余所有零件,試說明理由.附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則.21.(12分)(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)證明:();(Ⅲ)證明:.22.(10分)已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,,且,,成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),為數(shù)列的前項和,記,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】因為,所以是等差數(shù)列,且公差,則,所以由題設(shè)可得,則,應(yīng)選答案C.2、B【解析】
利用等差數(shù)列性質(zhì),若,則求出,再利用等差數(shù)列前項和公式得【詳解】解:因為,由等差數(shù)列性質(zhì),若,則得,.為數(shù)列的前項和,則.故選:.【點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項和.(1)如果為等差數(shù)列,若,則.(2)要注意等差數(shù)列前項和公式的靈活應(yīng)用,如.3、A【解析】
陽數(shù):,陰數(shù):,然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù),最后計算相應(yīng)概率.【詳解】因為陽數(shù):,陰數(shù):,所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有:個,滿足差的絕對值為5的有:共個,則.故選:A.【點睛】本題考查實際背景下古典概型的計算,難度一般.古典概型的概率計算公式:.4、B【解析】
先化簡集合A,再求.【詳解】由得:,所以,因此,故答案為B【點睛】本題主要考查集合的化簡和運算,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.5、D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán),輸出,選D.點睛:算法與流程圖的考查,側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念,包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼,其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件,更要通過循環(huán)規(guī)律,明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題,是求和還是求項.6、A【解析】
先計算出兩個圖像的交點分別為,再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點睛】本題考察定積分的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.解題時注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.7、C【解析】
利用先求出,然后計算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,當(dāng)時,,,故當(dāng)時,,數(shù)列是等比數(shù)列,則,故,解得,故選.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項和的表達形式,只要求出數(shù)列中的項即可得到結(jié)果,較為基礎(chǔ).8、D【解析】
根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運算能力.9、C【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當(dāng)時,且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當(dāng)時,且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,由分段函數(shù)解析式求自變量.10、C【解析】
套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”,所以命題“”的否定為“”.故選:C【點睛】本題考查全稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
過點作,可得出點為的中點,由可求得的值,可計算出的值,進而可得出,結(jié)合可知點為的中點,可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點作,設(shè)該雙曲線的右焦點為,連接.,.,,,為的中點,,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.12、A【解析】
由已知新運算的意義就是取得中的最小值,因此函數(shù),只有選項中的圖象符合要求,故選A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①②③【解析】
對①,由線面平行的性質(zhì)可判斷正確;對②,三棱錐外接球可看作正方體的外接球,結(jié)合外接球半徑公式即可求解;對③,結(jié)合題意作出圖形,由勾股定理和內(nèi)接圓對應(yīng)面積公式求出錐體的高,則可求解;對④,由動點分析可知,當(dāng)點與點重合時,直線與平面所成的角最大,結(jié)合幾何關(guān)系可判斷錯誤;【詳解】對于①,因為平面,所以,,,又,所以平面,所以,故四個面都是直角三角形,∴①正確;對于②,若,,,平面,∴三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球,∴,,∴體積為,∴②正確;對于③,設(shè)內(nèi)心是,則平面,連接,則有,又內(nèi)切圓半徑,所以,,故,∴三棱錐的體積為,∴③正確;對于④,∵若,平面,則直線與平面所成的角最大時,點與點重合,在中,,∴,即直線與平面所成的最大角為,∴④不正確,故答案為:①②③.【點睛】本題考查立體幾何基本關(guān)系的應(yīng)用,線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解,線面角的求解,屬于中檔題14、1【解析】
作出約束條件表示的可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時,直線的截距最大,取得最大值,即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時,直線的截距最大此時取得最大值1.故答案為:1【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
求出專業(yè)人數(shù)在、、、四個專業(yè)總?cè)藬?shù)的比例后可得.【詳解】由題意、、、四個不同的專業(yè)人數(shù)的比例為,故專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為.故答案為:1.【點睛】本題考查分層抽樣,根據(jù)分層抽樣的定義,在各層抽取樣本數(shù)量是按比例抽取的.16、【解析】
首先利用絕對值的意義去掉絕對值符號,之后再結(jié)合后邊的函數(shù)解析式,對照函數(shù)值等于2的時候?qū)?yīng)的自變量的值,從而得到分段函數(shù)的分界點,從而得到相應(yīng)的等量關(guān)系式,求得參數(shù)的值.【詳解】根據(jù)題意可知,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)或時是分界點,結(jié)合函數(shù)的解析式,可以判斷0不可能,所以只能是是分界點,故,解得,故答案是.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)最值的求解等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可;(2)利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性以及極值,從而得出的圖象,將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,由圖,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,,∴切線斜率,又切點∴切線方程為,即.(2),記,令得;∴的情況如下表:2+0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時,取極大值又時,;時,若沒有零點,即的圖像與直線無公共點,由圖像知的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題,屬于中檔題.18、;①;②.【解析】
根據(jù)題意列出方程組求解即可;①由原點為的垂心可得,軸,設(shè),則,,根據(jù)求出線段的長;②設(shè)中點為,直線與橢圓交于,兩點,為的重心,則,設(shè):,,,則,當(dāng)斜率不存在時,則到直線的距離為1,,由,則,,,得出,根據(jù)求解即可.【詳解】解:設(shè)焦距為,由題意知:,因此,橢圓的方程為:;①由題意知:,故軸,設(shè),則,,,解得:或,,不重合,故,,故;②設(shè)中點為,直線與橢圓交于,兩點,為的重心,則,當(dāng)斜率不存在時,則到直線的距離為1;設(shè):,,,則,,則,則:,,代入式子得:,設(shè)到直線的距離為,則時,;綜上,原點到直線距離的最小值為.【點睛】本題考查橢圓的方程的知識點,結(jié)合運用向量,韋達定理和點到直線的距離的知識,屬于難題.19、(1)(2)【解析】
(1)化簡得到,分類解不等式得到答案.(2)的最大值,,利用均值不等式計算得到答案.【詳解】(1)因為,故或或解得或,故不等式的解集為.(2)畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像可知的最大值.因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故的最小值是3.【點睛】本題考查了解不等式,均值不等式求最值,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.20、(1)見解析(2)需要,見解析【解析】
(1)由零件的長度服從正態(tài)分布且相互獨立,零件的長度滿足即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿足二項分布,利用補集的思想求得,再根據(jù)公式求得;(2)由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【詳解】(1),由于滿足二項分布,故.(2)由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為;若檢查,成本為,由于,當(dāng)充分大時,,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【點睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查二項分布的期望,考查補集思想的應(yīng)用,考查分析能力與數(shù)據(jù)處理能力.21、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ)見解析【解析】
運用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得到結(jié)果化簡,運用累加法得出結(jié)果運用放縮法和累加法進行求證【詳解】(Ⅰ)數(shù)學(xué)歸納法證明時,①當(dāng)時,成立;②當(dāng)時,假設(shè)成立,則時所以時,成立綜上①②可知,時,(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【點睛】本題考查了
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