2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-直線(xiàn)的方程

專(zhuān)題48直線(xiàn)的方程

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線(xiàn)位置的幾何要素.

2.理解直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的計(jì)算公式.

3.掌握確定直線(xiàn)的幾何要素，掌握直線(xiàn)方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），了解斜截式與一次函

數(shù)的關(guān)系.

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.直線(xiàn)的傾斜角

⑴定義：當(dāng)直線(xiàn)，與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線(xiàn)，向上的方向之間所成的角a叫做

直線(xiàn)）的傾斜角；

（2）規(guī)定：當(dāng)直線(xiàn)/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為。二；

（3）范圍：直線(xiàn)的傾斜角a的取值范圍是{的0°W。C180°}.

2.直線(xiàn)的斜率

（1）定義：我們把一條直線(xiàn)的傾斜角a的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率,斜率常用小寫(xiě)字母4表示，即A=

tana.

⑵計(jì)算公式

①經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A1（X1,%），烏（如"2）（X1WX2）的直線(xiàn)的斜率k=，2

e一X1

②設(shè)尸1（矛1,71）,烏（如㈤（其中X1WX2）是直線(xiàn)/上的兩點(diǎn)，則向量產(chǎn)史=（X2—X1,及一%）以及與它平行的

向量都是直線(xiàn)的3s.若直線(xiàn)/的斜率為它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為（X,力，則

3.直線(xiàn)方程的五種形式

名稱(chēng)幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率尸Ax+b

與X軸不垂直的直線(xiàn)

點(diǎn)斜式過(guò)一點(diǎn)、斜率pyo=k（x一苞）

y—yix—xx與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直

兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)

——P———線(xiàn)

x,y不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均

截距式縱、橫截距=+,=1

a-b----不垂直的直線(xiàn)

Ax+By+C=^

一般式所有直線(xiàn)

-0)

【常用結(jié)論】

直線(xiàn)的斜率4與傾斜角。之間的關(guān)系

0°<。<9090°<。<180

a0°90°

OO

0k>0不存在k<0

牢記口訣：

1.“斜率變化分兩段，90°是分界線(xiàn)；

遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”.

2.“截距”是直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).應(yīng)注

意過(guò)原點(diǎn)的特殊情況是否滿(mǎn)足題意.

3.直線(xiàn)4r+8y+C=0（d+百W0）的一個(gè)法向量v=（4而，一個(gè)方向向量a=（—8A）.

【方法技巧】

1.斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法.

2.傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察（數(shù)形結(jié)合）；②充分利用函數(shù)孑=tana的單調(diào)性.

3.求直線(xiàn)方程一般有以下兩種方法：

①直接法：由題意確定出直線(xiàn)方程的適當(dāng)形式，然后直接寫(xiě)出其方程.

②待定系數(shù)法：先由直線(xiàn)滿(mǎn)足的條件設(shè)出直線(xiàn)方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù),

即得所求直線(xiàn)方程.

4.在求直線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件，特別是對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程，

使用時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.

5.直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題可以利用直線(xiàn)點(diǎn)斜式方程的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)照得到定點(diǎn)坐標(biāo).

6.求解與直線(xiàn)方程有關(guān)的面積問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)直線(xiàn)方程求解相應(yīng)坐標(biāo)或者相關(guān)長(zhǎng)度，進(jìn)而求得多邊形面積.

7.求參數(shù)值或范圍.注意點(diǎn)在直線(xiàn)上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線(xiàn)的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求

解.

二、【題型歸類(lèi)】

【題型一】直線(xiàn)的傾斜角與斜率

（「兀兀T）的傾斜角的變化范圍是（）

【典例1]直線(xiàn)2xcosa—y—3=0l,—

JIIT]「JIJI

rJIJI-|JI2

C.R,yjD.[T，—

【解析】直線(xiàn)2xcosa—y—3=0的斜率A=2cosa.

rJIJI

由于月方

所以;WcosaW喙,

因此A=2cos十].

設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為9,則有tan66口，

由于&e[0,JI),

JIJIitJI

所以了，可，即傾斜角的變化范圍是了，y.故選B.

43

【典例2】過(guò)函數(shù)步的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線(xiàn)，則切線(xiàn)傾斜角的取值范圍為（）

「3兀一3兀

A.0,—B.0,yjU丁’31

3JiJI3n

C.D.

24

【解析】設(shè)切線(xiàn)的傾斜角為Q，則。￡[0,n),

"：f(X)=f—2x=(x—1)2一12一1,

???切線(xiàn)的斜率A=tan—1,

3n

則aG0,yJU丁'"

故選B.

JIJI2JI

【典例3】若直線(xiàn)的斜率為傾斜角為且ae甲NU-----,JI,則A的取值范圍是一

1k,a,3

【解析】當(dāng)ae瓦JI，wJIj\時(shí),

A=tanae

~2n

當(dāng)?！闒-，兀時(shí)，4=tan—0).

o

綜上得代[一事,0）U

【題型二】求直線(xiàn)的方程

【典例1】經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（2,-3）,且傾斜角為45°的直線(xiàn)方程為（

A.x+p+l=OB.x+y—l=O

C.x—y+5=0D.x—y-5=0

【解析】?jī)A斜角為45。的直線(xiàn)的斜率為tan45°=1,又該直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（2,-3）,所以用點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)

的方程為y+3=x—2,即x—y—5=0.

故選D.

【典例2】已知點(diǎn)"是直線(xiàn)/：2x—p—4=0與x軸的交點(diǎn)，將直線(xiàn)/繞點(diǎn)〃按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,得到

的直線(xiàn)方程是（）

A.x+p—3=0B.x—3y—2=0

C.3x—y+6=0D.3x+y—6=0

【解析】設(shè)直線(xiàn))的傾斜角為則tana=k=2,

直線(xiàn)/繞點(diǎn)〃按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,所得直線(xiàn)的斜率〃=ta“a+yj=]Wx]=_3,又點(diǎn)欣2,0),

所以y=—3(x—2),即3x+j■—6=0.

故選D.

【典例3】經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)4：x+y=2,?2x—y=l的交點(diǎn)，且直線(xiàn)的一個(gè)方向向量—(—3,2)的直線(xiàn)方

程為.

【解析】聯(lián)立解得x=l,尸1,

[2,x—y=l,

.?.直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1,1),

?.?直線(xiàn)的方向向量『(一3,2),

直線(xiàn)的斜率A=-1

2

則直線(xiàn)的方程為y—1=一§(x—1),

即2x+3_y-5=0.

【題型三】直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用

【典例1】已知直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)以2,1),且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于48兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，當(dāng)

△/如面積最小時(shí)，求直線(xiàn)/的方程.

【解析】法—：設(shè)直線(xiàn)1的方程為y—l=4(x—2)(Y0),/(2—0),8(0,1—2"),以小尸，一2A)?C―0

=(4+(—41)+(一0)、4+4)=4,當(dāng)且僅當(dāng)-4?=—",即#=—g時(shí)，等號(hào)成立.故直線(xiàn))的方程為y

-1=一](x—2),即x+2y—4=0.

法二：設(shè)直線(xiàn)7：-+￡=1,且a>0,Z?>0,因?yàn)橹本€(xiàn)/過(guò)點(diǎn)欣2,1),所以2+)=1,則1=2+22、/二，

ababab\ab

故故8松的最小值為〈Xa6=〈X8=4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a=4,6=2,故直線(xiàn)/為

22ab1

xv

*=1,即x+2p—4=0.

【典例2】已知直線(xiàn)x+2尸2分別與x軸、y軸相交于4夕兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P(a,加在線(xiàn)段/8上，則加的

最大值為.

V

【解析】直線(xiàn)方程可化為]+了=1，故直線(xiàn)與X軸的交點(diǎn)為/(2,0),與y軸的交點(diǎn)為夙0,1),

由動(dòng)點(diǎn)戶(hù)(a,6)在線(xiàn)段四上,

可知0W6W1,且a+2Z?=2,

從而己=2—2方，故的=（2—25）6=—252+2力=-2（力一，+；,

0W6W1,

故當(dāng)時(shí)，劭取得最大值

【典例3］當(dāng)k>0時(shí)，兩直線(xiàn)kx—y=Of2x+ky-2=0與x軸圍成的三角形面積的最大值為.

\kx-y=Q,2k

【解析】直線(xiàn)2x+Ay—2=0與x軸交于點(diǎn)（1,0）.由°-解得夕=所以?xún)芍本€(xiàn)Ax—y

［2x+ky—2=0fA十/

j\9/9

=0,2x+Ay—2=0與x軸圍成的三角形的面積為］XIX后誦=又4?^=2鏡，當(dāng)且僅

k+-V

k

當(dāng)“=/時(shí)取等號(hào)，故三角形面積的最大值為乎.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

22

【訓(xùn)練一】（2023?江蘇揚(yáng)州?儀征中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：※+方=i（a>b>o）的左、右焦點(diǎn)分

別為月、F2,以外為圓心的圓與x軸交于片，8兩點(diǎn)，與了軸正半軸交于點(diǎn)A,線(xiàn)段A耳與C交于點(diǎn)M.若

忸閭與C的焦距的比值為理，則C的離心率為（）

.A/3—1p16+1n用-1

A.----D.—Lr.----.----

2242

【答案】D

【分析】先求出以尸2為圓心的圓的方程，求出A（O,6C）,B（3C,0）,求出直線(xiàn)KA的方程后結(jié)合距離公式可

求M的坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求離心率.

設(shè)橢圓的半焦距為c,因?yàn)橐訤?為圓心的圓過(guò)耳，故該圓的半徑為2c,

故其方程為：（x-c『+y2=4c2,

令x=0,則y=±J3c,結(jié)合A在，軸正半軸上，故A（O,6小

令y=o,則*=-<?或x=3c,故3(3c,0).

故女哈=聲:~^=6，故直線(xiàn)44：,=百工+6c.

設(shè)網(wǎng)m,6m+6c)(m<0),

因?yàn)锳在y軸的正半軸上，耳在X軸的負(fù)半軸上，故相<0,

而忸M=^X2C=^^C,

故(3C-加『+(國(guó)+=F°2,整理得到:4m2=yc2,

,,2,,y/3c

33

2222

fclc4ee,

所以5+*”故十許fl,

整理得到：4/-16e2+9=0,故《=互」，

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線(xiàn)中離心率的值或范圍的計(jì)算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組(不

等式或不等式組)，后者可通過(guò)點(diǎn)在橢圓上或判別式為零等合理構(gòu)建.

【訓(xùn)練二】(2023?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))設(shè)a>0,beR,已知函數(shù)/(x)=xe"+a(x-3)+b,xe[l,3]有

且只有一個(gè)零點(diǎn)，則4+。2的最小值為()

2222

A.—eB.e—C.e—D.e—

6543

【答案】B

【分析】設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為乙可得“-3"+"汨=0,由此可得點(diǎn)(。/)在直線(xiàn)(f-3)x+y+re'=0上,

22t

由此可得"+b2>^~—,再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.

產(chǎn)-67+10

【詳解】函數(shù)"x)=xe'+a(x-3)+》的零點(diǎn)為八

貝！J1</<3,旦汨+4(/—3)+b=0,即(7—3)a+/?+te'=0,

所以點(diǎn)(a/)在直線(xiàn)("3)x+y+re'=0上，

又/+〃表示點(diǎn)(4,6)到原點(diǎn)的距離的平方，

所以〃2+/>

61+10

產(chǎn)匕2，

設(shè)g(，)=

Z2-6r+10

2江(1+r)(？-6r+10)-2(?-3)

則g'(f)=

(?-6r+10)2

22

2te'[(1+?)(?-6r+10)-(r-3)?]2/e

故g'⑺

(Z2-6Z+1O)2

設(shè)咐=/-6/+7/+10(K3),

則"⑺=3/-12/+7=3?-2)2-5,

因?yàn)?4/43,所以

所以函數(shù)力（。=戶(hù)-6/+7/+10在［1,3］上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)lVt<3時(shí)，/i（?）>/z（3）=27-54+21+10>0,

故當(dāng)1W3時(shí)，g'⑺>0,函數(shù)g⑺在［1,3］上單調(diào)遞增，

2

所以g⑺4⑴=（e

2

所以當(dāng)-2a+b+e=0,a=-2bft,/十從取最小值，最小值為二e.

所以當(dāng)a=1,6==時(shí)，/+〃的最小值為

故選：B.

【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的定義，直線(xiàn)方程的定義，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，兩點(diǎn)之間的距離，

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

【訓(xùn)練三】（2023?湖南益陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)/與曲線(xiàn)y=x3-3Y+4x-l相交，交點(diǎn)依次為小

E、F,且口目=|即|=石，則直線(xiàn)/的方程為（）

A.y=3x-2B.y=2x-lC.y=2%+3D.y=3%+2

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心為（1,1）,則E（l，l）,設(shè)。（x,d-3/+4x-l）,由卜石,

得到(x-l)2+(d-3/+4X-2)2=5,通過(guò)換元求出x值，則得到。的坐標(biāo)，最后寫(xiě)出直線(xiàn)方程即可.

【詳解】y=x3-3x2+4x-l=(x-l)3+(x-l)+l,

設(shè)/(x)=x3—x,其定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

且/(-X)=(f)3_(_力=_，_X)=_/⑺，

故函數(shù)”X)為奇函數(shù)，且其對(duì)稱(chēng)中心為(0,0),

將/(X)向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，則得到y(tǒng)=(x-l)3+(x-1)+1,

，曲線(xiàn)y=d—3x?+4x—1的對(duì)稱(chēng)中心為(1,1),

由口目=|昉|=6,可知點(diǎn)￡為對(duì)稱(chēng)中心，故￡的坐標(biāo)為(1,1),

不妨設(shè)。(無(wú)，/—3f+4x—1),

則由口目=6，M(x-1)2+(x3-3x2+4.x-2)2=5,

即(x-l)2+[(x-l)3+(x-l)]2=5,

令*一1=/,貝I]產(chǎn)+(/+。2=5=＞「+2/4+2〃-5=0,

即產(chǎn)一六+3〃+2/一5=0n/(產(chǎn)—1)+(3/+5)(產(chǎn)-1)=0,

，0~—1),4+3產(chǎn)+5)=0,t=+1.

當(dāng)f=l時(shí)，x=t+l=2,A(2,3).

又/過(guò)則3￡=14=2,；.直線(xiàn)，的方程為〉=2彳一1,

2—1

當(dāng)，=—1時(shí)，x=/+l=0,A(0,—1).

又/過(guò)則直線(xiàn))的方程為＞=2尤-1.

綜上，直線(xiàn))的方程為y=2x-L

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵首先是得到曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)中心為。，1),從而得到E(L1),然后再去設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo),

根據(jù)口目=百，得到高次方程，利用換元法結(jié)合因式分解解出。的坐標(biāo)即可.

【訓(xùn)練四】(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)直線(xiàn)_/：(a-2b)x+by-a=G,圓a(x-2)2+/=r2(r>0),若

直線(xiàn)，與圓。恒有兩個(gè)公共點(diǎn)4B,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.r的取值范圍是蘆,+可

B.若r的值固定不變，則當(dāng)2a-3〃=0時(shí)///最小

C.若r的值固定不變，貝U一至C的面積的最大值為;戶(hù)

D.若/'=3,則當(dāng)，MC的面積最大時(shí)直線(xiàn)，的斜率為1或;

【答案】BD

【分析】A選項(xiàng)，先整理直線(xiàn)方程，得到直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)，再根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系得到半徑r的范圍；B

選項(xiàng)，利用平面幾何知識(shí)分析出當(dāng)/LPC時(shí)，最小，再利用斜率之間的關(guān)系即可判斷；C選項(xiàng)，先將

BBC的面積用半徑r和圓心。到直線(xiàn)）的距離d表示，再利用二次函數(shù)的知識(shí)求最值即可；D選項(xiàng)，利用

C選項(xiàng)得到半徑r和圓心C到直線(xiàn)1的距離d之間的關(guān)系，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式建立方程，求得a,

6之間的關(guān)系，即可得到結(jié)果.

【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)橹本€(xiàn)/：（〃一2Z?）%+力一a=0,gp6z（x-l）-Z?（2x-j7）=0,

x-l=0解得fx工=l

令

2x—y=0

所以直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)尸（1,2）,

因?yàn)橹本€(xiàn)/與圓。恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，

所以r>|PC|=^,故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：因?yàn)橹本€(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)P。,2）,

所以當(dāng)/LPC時(shí)，N4或最小，

因?yàn)閒=-2,所以此時(shí)直線(xiàn)）的斜率為3，

即士絲=_L,即2a—3匕=0,故B正確；

b2

C選項(xiàng)：設(shè)圓心C到直線(xiàn)1的距離為d,

則ABC的面積S=g.d.[AB]=dylr2—d2=J—d4+產(chǎn)相=,

因?yàn)?Wdv6，所以04d2V5,

222

①L<5,即有則當(dāng)"2=L時(shí)，ABC的面積最大，且Smax=L；

22max2

2___________

②若彳>5,即r>布，則函數(shù)S隨著d的增大而增大，所以鼠一=/產(chǎn)-25,

綜上一ABC的面積的最大值為;/或后T石，故c錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：由C選項(xiàng)知，當(dāng)儲(chǔ)=L=2時(shí)J1BC的面積最大，因?yàn)?=/所以―_7T—=-

224（"26）+b-（a-2b）+b22

13

整理得7a2-2031362=0，所以。=方或。=矛，

因?yàn)樗灾本€(xiàn)，的斜率左=2-所以左=1或后=:,故D正確.

b7

故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵：（1）整理直線(xiàn)方程，得到直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）熟練掌握直

線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，并能利用平面幾何知識(shí)分析出圓心角何時(shí)最小.

【訓(xùn)練五】（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）將兩圓方程

。1：/+9+2%—4>+4=0,。2：/+>2-2%+（加一2）〉+（3-〃工）=0（加>2）作差，得到直線(xiàn)/的方程，則

A.直線(xiàn)/一定過(guò)點(diǎn)[-71]

B.存在實(shí)數(shù)相>2,使兩圓心所在直線(xiàn)的斜率為-2

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)相>2,兩圓心所在直線(xiàn)與直線(xiàn)/垂直

D.過(guò)直線(xiàn)/上任意一點(diǎn)一定可作兩圓的切線(xiàn)，且切線(xiàn)長(zhǎng)相等

【答案】BCD

【分析】利用分離參數(shù)法求出直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)即可判斷A；利用兩圓心坐標(biāo)求斜率進(jìn)而判斷B；利用垂直直

線(xiàn)的斜率之積為-1判斷C；設(shè)直線(xiàn)I上一點(diǎn)P（〃“'+2：一吁1,明利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式和勾股定理化簡(jiǎn)

計(jì)算即可判斷D.

【詳解】由題意知,

x2+y2+2x-4y+4=0

x2+y2-2x+(m-2)y+(3-m)=0

兩式木目減,得/：4無(wú)一(相+2)y+根+1=0,

A：由/:4x-(m+2)y+m+l=0,得(l-y)加+(4x-2y+l)=0,

則匕一'：°?八,解得x=!’>=1，所以直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)m故A錯(cuò)誤;

[4x—2y+l=04<4)

Ivyt?]YY!

B：G(-l,2),c2l1,1-yl^>^C1C2=----=-2^>m=6>2,故B正確；

4H2+2

C：因?yàn)樯?..-,左c?=—―n勺悠。2=—1n]，℃2，故C正確；

D：Cj-1,2),4=1,%=J?。?,m>2,

|-4-2(m+2)+m+1|m+1

則圓心G到直線(xiàn)/的距離為4=

J16+(m+2)2J16+(“+2)2

4-(1---)(m+2)+"7+l,

圓心Cz到直線(xiàn)l的距離為4=2_=nr+2m+6

Jl6+(m+2)22jl6+(〃?+2)2

X(w+7)2-[16+(w+2/]=1Om+29>0,得即直線(xiàn)/與圓G相離,

nr+2m+6，I~~i；407n+116八

/Jn2-Wm--4)x2=>0,得即直線(xiàn)/與圓C?相離,

J16+("7+2)216+(771+2)

所以過(guò)直線(xiàn)/上任一點(diǎn)可作兩圓的切線(xiàn).

在直線(xiàn)/：4%-(加+2)y+m+l=0上任取一點(diǎn)尸(的+2；-1-1,〃),

設(shè)點(diǎn)尸到圓G的切線(xiàn)長(zhǎng)為。，到圓Q的切線(xiàn)長(zhǎng)為人，

2

貝"片=儼一『=(.+2；-"T+1)+("_2)2—1

=("及2+4mn2一2m2n+2mn+20n2+m2-52〃―6m+57),

42=附2「-22=(絲型產(chǎn)1_1)2+(-1+歲_0

=S,*+4m/?2-2m2n+2mn+20n2+m2-52n—6m+57),

所以1=￡/，即乙=4,故D正確.

故選:BCD.

【訓(xùn)練六】(2022?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)

xe[0,2]時(shí)，〃x)=-Ji-(x-i)2,若方程〃x)-Z(x-2)=。的所有根的和為6,則實(shí)數(shù)上的取值范圍

是

、

【答案】

【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問(wèn)題，畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.

【詳解】方程“X）-左（X-2）=0的根轉(zhuǎn)化為y=/（X）和kMx-2）的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo),

因?yàn)閮蓚€(gè)圖象均關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱(chēng)，要使所有根的和為6,則兩個(gè)圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn).

作出y=/（元）和y=k{x-T）的圖象如圖所示.

當(dāng)左＞0時(shí)，只需直線(xiàn)〉=左（工一2）與圓（x-7）2+y2=l相離，可得上＞?1；

當(dāng)左＜0時(shí)，只需直線(xiàn)y=左（了一2）與圓（x-5）2+＞2=1相切，可得上=-4.

故A的取值范圍是

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí)）若直線(xiàn)依-y+2"1=0恒過(guò)點(diǎn)4點(diǎn)4也在直線(xiàn)〃吠+。+2=0上，其中〃解

均為正數(shù)，貝打〃〃的最大值為（）

A.—B.—C.1D.2

42

【答案】B

【分析】根據(jù)直線(xiàn)的定點(diǎn)可得A（-2,-1）,進(jìn)而可得2m+〃=2,結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)槁?+2"1=0,則左（x+2）-（y+l）=0,

x+2=0x=-2

令解得

y+l=0y=-i

即直線(xiàn)區(qū)7+2"1=0恒過(guò)點(diǎn)A（-2,-l）.

又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線(xiàn)"a+",+2=0上，則-2〃z-a+2=0,

可得2根+〃=2,且加，力>0,

則2m+〃=222，即當(dāng)且僅當(dāng)2〃z=〃=l時(shí)，等號(hào)成立

所以相〃的最大值為

故選：B.

2.（2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）圓。：尤2+^=4與直線(xiàn)/：x+（4—l）y-4=O交于M、

N,當(dāng)|MN|最小時(shí)，X的值為（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】B

【分析】首先求出直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)C?！唬?，依題意當(dāng)OC，/時(shí)弦|MN|最小，求出直線(xiàn)的斜率，即可得解.

/、z\\.fy—1=0,[x=l

【詳解】直線(xiàn)/：x+（/l—l）y-X=O,即（y-l）X+（x—y）=0,令，n，解得「

[尤一y=U[y=i

即直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)c（l,l）,又12+12=2<4,所以點(diǎn)c（l,l）在圓內(nèi)，

即丁[=一1，解得九=2.

所以當(dāng)OCD時(shí)弦最小，因?yàn)橐?1,所以&=-1,

I-A

故選：B

22

3.（2023?湖南邵陽(yáng)??？寄M預(yù)測(cè)）已知匕，耳是橢圓C:1r+%=1（。>6>0）的左、右

焦點(diǎn)，A是C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為2月的直線(xiàn)上，△尸片名為等腰三角形，ZP7<^=120,則C

的離心率為（)

回B..「6￡

A.U.----D.

lo-1494

【答案】B

【分析】求得直線(xiàn)/戶(hù)的方程，根據(jù)題意求得產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線(xiàn)方程，即可求得橢圓的離心率.

【詳解】由題意可知：A(0,6),與(-c,0),耳(c,0),直線(xiàn)AP的方程為：y=2瓜+b,

由2%居=12。，點(diǎn)尸在第三象限，|*=|耳閭=2c,則4-2c,一6c),

代入直線(xiàn)AP方程中得-辰=2豆.(-2c)+6整理得6=36c,

則(1=爐出=2幣c，.?.橢圓的離心率6=￡=立.

a14

故選：B.

4.如果AC<0且3C<0,那么直線(xiàn)川+3y+C=O不通過(guò)()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】化簡(jiǎn)直線(xiàn)方程為直線(xiàn)的斜截式方程，結(jié)合斜率和在y軸上的截距，即可求解.

【詳解】因?yàn)锳-C<0,且3-C<0,所以A、B、C均不為零，

AC

由直線(xiàn)方程4+By+C=o,可化為y=-g尤+(-=),

BB

A「

因?yàn)锳-C<0,J=LS-C<0,可得——<0,——>0,

BB

所以直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，所以不經(jīng)過(guò)第三象限.

故選：C.

5.(2023?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))若直線(xiàn)履-y+1-2左=0與圓C：(X-1)2+)?=4相交于A,8兩點(diǎn)，貝力4回

的最小值為()

A.273B.2&C.&D.72

【答案】B

【分析】求出直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)并判斷與圓的位置關(guān)系，再求出垂直于經(jīng)過(guò)該定點(diǎn)的圓的直徑的弦長(zhǎng)作答.

【詳解】直線(xiàn)爪-尹1-21=0,即左(x—2)—(y—1)=0恒過(guò)定點(diǎn)”即1),

而(2-1)2+F=2<4,即點(diǎn)M在圓C內(nèi)，

因此當(dāng)且僅當(dāng)45,C0時(shí)，IABI最小，

而圓C的圓心C(l,0),半徑廠=2,|。0|=忘，

A

所以1ABimin=2J以一|CM尸=2/4^2=2垃.

故選：B

6.（2023?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)/:〃氏+（5-2加）y-2=0（meR）和圓。：/+>2=%則圓心。到

直線(xiàn)/的距離的最大值為（）

A.?B.辿C.空D.3

5532

【答案】B

42

【分析】把直線(xiàn)方程化為m（x-2y）+5y-2=0,求得直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)尸（：,：），結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由題意，直線(xiàn)〃/+（5—27%）3;-2=0可化為機(jī)。-27）+5>-2=0,

[x—2y=04242

聯(lián)立方程組5y_；=0，解得x==即直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)咚，

又由國(guó)+1|；<4,可得定點(diǎn)P在圓內(nèi)，

由圓的幾何性質(zhì)知，圓心到直線(xiàn)的距離d<|OP\=

故選:B.

7.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)4：x+（l+o）y=l-a（aeR）,直線(xiàn)小片一齊，下列說(shuō)法正確的是

)

A.3aeR,使得4〃4B.3oeR,使得

C.VaeR,乙與4都相交D.3aGR,使得原點(diǎn)到乙的距離為3

【答案】B

【分析】對(duì)A,要使乙〃4,則勺〃匕，所以-1匚=-1，解之再驗(yàn)證即可判斷；

對(duì)B,要使乙K?&-1，=解之再驗(yàn)證即可判斷；

l+a2

對(duì)C,當(dāng)4=1時(shí)，與，2重合，即可判斷;

對(duì)D,根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離列方程即可判斷.

【詳解】對(duì)A,要使則勺〃匕，所以-1匚=一，解之得4=1,此時(shí)乙與4重合，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

1+a2

對(duì)B,要使4平2，k、?h-1,1占=解之得a=_:所以B正確；

對(duì)C,/|：》+（1+。）丫=1一。過(guò)定點(diǎn)（2,-1）,該定點(diǎn)在4上，但是當(dāng)。=1時(shí)，乙與4重合，所以C錯(cuò)誤；

_\AXQ+By0+C|_|1-?|

d

對(duì)D，~一/石口，一2/7化簡(jiǎn)得。+，此方程△＜（）無(wú)實(shí)數(shù)解，所以

NA+Bjr1+（i+a）-I8/-2017=°,0D

錯(cuò)誤.

故選:B.

8.（2023?貴州畢節(jié)??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，拋物線(xiàn)E:/=2x和直線(xiàn)/：3x+4y+機(jī)=0在第一象限內(nèi)的交

點(diǎn)為”（人,乂）.設(shè)N（無(wú)2,%）是拋物線(xiàn)E上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足。＜%＜%，記5%+|3%+4%+時(shí)=/.現(xiàn)有四個(gè)

結(jié)論：①當(dāng)機(jī)=-[■時(shí)，0＜%＜:；②當(dāng)王＞2時(shí)，，的最小值是相+|■-'I；③當(dāng)。＜玉＜2時(shí),

r的最小值

35

是機(jī)+§-]；④無(wú)論加為何值，，都存在最小值.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】對(duì)①：直接聯(lián)立方程求解，對(duì)②③④：由拋物線(xiàn)方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用拋物線(xiàn)定義，數(shù)形結(jié)

合找到力的最小值，注意等號(hào)成立的條件.

【詳解】對(duì)①：當(dāng)m=-，時(shí)，則直線(xiàn)/:3%+分-5=0，

121

?4111x-----

3x+4y=0x=—I.（舍去）,

聯(lián)立方程2解得《2或,

y=2xy=1

即X]所以0＜%"=g,故①正確;

|3X+4y+m|+4%+時(shí)

因?yàn)镹（%2，%）到直線(xiàn)，：3x+4y+m=0的距離[=22

V32+425

可得|3%2+4%+同=54,

又因?yàn)?々+|3々+4%+時(shí)=，，貝！J/=5%+段2+4為+.=5k2+5《,

拋物線(xiàn)E：V=2尤的焦點(diǎn)為,

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義知|人叫=%+；，即%=加刊-：，

故/=5%+54=5（NF|-gj+54=5（|陽(yáng)+4）一9,

/、3I3|

（1、--\YYI-|-------------

因?yàn)閺S不。到直線(xiàn)/：3x+4y+加=0的距離22|,

12J

過(guò)/I；，。]且與直線(xiàn)/：3x+4y+m=0垂直的直線(xiàn)為y=g[x-￡|,

4（1）rQx=~

聯(lián)立方程y=3—1\x——2工解得\x=2或\8（舍去），

、y=21

y2=2xIy=--

1I2

cc35

當(dāng)公>2時(shí)，則f=5（|N■+4）-不256?2-q="?+]-5,

35

所以，的最小值是根+]-5,此時(shí)點(diǎn).2,2）,故②正確；

當(dāng)0<%<2時(shí)，因?yàn)槿〔坏近c(diǎn)N（2,2）,所以/無(wú)最小值，故③④錯(cuò)誤;

綜上所述：正確的個(gè)數(shù)為2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)題意結(jié)合拋物線(xiàn)的定義可得f=5（|NF|+4）-1,進(jìn)而數(shù)形結(jié)合分析最值，并注意

等號(hào)成立的條件.

二、多選題

9.（2023秋?高二單元測(cè)試）已知圓C:（無(wú)一iy+（y-2）2=16,直線(xiàn)/:（2m+l）x+（m+l）y-77”-4=0,則

（）

A.直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)

B.直線(xiàn)/能表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)每一條直線(xiàn)

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)機(jī)，直線(xiàn)/都與圓C相交

D.直線(xiàn)/被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為2疝

【答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)，變形后聯(lián)立方程組，求出所過(guò)定點(diǎn)；B選項(xiàng)，在A的基礎(chǔ)上，得到直線(xiàn)/不能表示直線(xiàn)

2元+y-7=0,也不能表示不過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)；C選項(xiàng)，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得到尸（3,1）在圓內(nèi)，從而得到直

線(xiàn)/都與圓C相交；D選項(xiàng)，根據(jù)幾何關(guān)系得到弦長(zhǎng)最值.

【詳解】對(duì)于A：直線(xiàn)/的方程可化為（2x+y_7）7〃+（x+y_4）=0,

2x+y—7=0x=3,

聯(lián)立x+y-4=。,解得

>=1.

所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)P（"）,Z.A正確;

對(duì)于B：由A可知，直線(xiàn)/不能表示直線(xiàn)2x+y-7=0,也不能表示不過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)，；.B錯(cuò)誤；

對(duì)于C因?yàn)椋?-1）2+（1-2）2<16,故直線(xiàn)/恒過(guò)圓C內(nèi)一點(diǎn)尸（3,1）,所以直線(xiàn)/與圓相交，，C正確;

對(duì)于D,當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短，因?yàn)镃P=J（3-1），（1一2『=下,

所以最短弦長(zhǎng)為2，有_。產(chǎn)=2。16-5=2而，，D正確.

故選：ACD.

10.（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓0:/+丁=1,尸是直線(xiàn)出一>+2=。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓。的兩

條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M，N,則（）

A.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

B.|恤|的最小值為四

C.點(diǎn)（2,0）到直線(xiàn)MN的距離的最大值為g

D.是銳角

【答案】AB

【分析】由兩圓方程相減可得交點(diǎn)弦，即可可判斷A,根據(jù)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)即可求解C,由勾股定理即可判

斷CD.

【詳解】設(shè)尸(飛,5+2),則以0P為直徑的圓的方程為

□4)+,一=片+(;+2),

化簡(jiǎn)得一一入為一(3+2)3+_/=0,與V+y2=］聯(lián)立,

可得時(shí)V所在直線(xiàn)方程：x0x+(x0+2)y=l,即Xo(x+y)+2y—l=O,

故可知恒過(guò)定點(diǎn)正確;

O到過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)MN距離的最大值為：J'：一0：+g-0：=%

=3,故最小值為0.B正確,

當(dāng)點(diǎn)(2,0)與定點(diǎn)卜;的連線(xiàn)與直線(xiàn)垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)(2,0)到直線(xiàn)

MN的距離最大，且最大值為-2：+(g-0：=字，故C錯(cuò)誤;

-2

圓心。到％—y+2=0的距禺為五

由于ZMPN=2NMPO,在直角三角形OPM中，sinZMPO,

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到正好OP，/時(shí)，此時(shí)OP最小，的張角最大,

此時(shí)sinZMPO=—,NMP0=45,ZMPN=90,

2

當(dāng)點(diǎn)尸位于其它點(diǎn)時(shí)均為銳角，故NMPNV90,不恒為銳角，D錯(cuò)誤.

故選:AB

11.(2023春?湖南岳陽(yáng)?高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)下列說(shuō)法正確的是()

A.直線(xiàn)尤-y+若=0的傾斜角為45

B.存在機(jī)使得直3x+:即-2=0與直線(xiàn)wu+2y=0垂直

C.對(duì)于任意丸,直線(xiàn)/:(彳+2)x+(l—2彳萬(wàn)+4—3彳=0與圓(x+2)2+yZ=8相交

D.若直線(xiàn)依+勿+。=0過(guò)第一象限，則

【答案】ABC

【分析】對(duì)于A：化簡(jiǎn)成點(diǎn)斜式，利用斜率與傾斜角的關(guān)系得出結(jié)論，C選項(xiàng)首先求出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)

在圓的內(nèi)部，得出結(jié)論，B、C是通過(guò)特值得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A：：x-y+g=0,，y=x+g,

.?.左=1=tana,。=45,故A正確；

對(duì)于B：根=0時(shí)符合題意，故B正確;

對(duì)于C：化簡(jiǎn)(4+2)%+(1—24)>+4—3幾=0得：A(x-2y-3)+2x+y+4=0

12xx-+2y+-34==0。,解得―=一2

.?.直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)(-L-2),

又：(-1+2)2+(-2)2=5<8

...該定點(diǎn)在圓內(nèi)，

.??直線(xiàn)/與圓相交，故C正確;

對(duì)于D：當(dāng)“=