青海省西寧市大通縣2024屆高三年級下冊二?？荚嚁?shù)學(xué)（理）試卷(含答案)

青海省西寧市大通縣2024屆高三下學(xué)期二模考試數(shù)學(xué)(理)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=(2-5i)(-l-2i)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合A={l,2a+l},5={3,a-1,3a-2},若4口瓦則a=()

A.-2B.-lC.lD.3

3.已知直線7nr+2y+"?+2=0與直線4x+(〃z+2)y+27",+4=0平行，則機(jī)的值為()

A.4B.-4C.2或-4D.-2或4

4.已知?w，qeN*,且數(shù)列{%}是等比數(shù)列，則"。訪是"帆+”=2+[”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

5.已知。是△ABC的AB邊上一點(diǎn)，若AD=；D3,CD=/lC4+〃Cfi(；l,〃eR),則

2-〃=()

112

A.--B.OC」D.-

333

6.將函數(shù)y=3sin(3x+0的圖象向右平移/個單位長度,得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,

則時的最小值為()

A.-B.—C.—D.—

618186

7.在某電路上有兩個獨(dú)立工作的元件，每次通電后，需要更換航元件的概率為0.3,

需要更換N元件的概率為0.2,則在某次通電后MN有且只有一個需要更換的條件下,M

需要更換的概率是()

1?1532

A.—B.—C.-D.-

191955

8.已知tana+tan/?=5,cosacos/3=，,則sin(a+0=()

A」11B.-5C.-4D.-

6565

9.在△ABC中，內(nèi)角A,5,C的對邊分別為。,瓦。,若/7=4^(7,且，§81114+(：054=2以《。，

一—一233

則cosC的值為()

A巫B巫C.我D.巫

6464

10.17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對

數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱

贊“對數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”.已知

lg2ao.3010,lg3ao.4771,設(shè)N=48x151°，則N所在的區(qū)間為()

A.(1013,1014)B.”4,1015)c.(1015,1016)D.(1016,1017)

22

11.已知橢圓c：工+2L=1(。〉6〉0)的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A,5,右焦點(diǎn)為E過R且

a2b2

與x軸垂直的直線與直線AB交于點(diǎn)瓦若直線AB的斜率小于叵,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直

4

線的斜率與直線OE的斜率之比值的取值范圍是()

叫+°°]嗚口

12.在棱長為4的正方體ABCD-44￡口中,E是CD的中點(diǎn)下是CG上的動點(diǎn),則三棱

錐A-DEF外接球半徑的最小值為()

A.3B，273C,713D.7I?

二、填空題

%-y-3＜0,

13.若實(shí)數(shù)滿足約束條件＜x+2y-220,則z=x+4y的最大值為..

。＜2,

22

14.已知雙曲線=_2L=i(a〉o/〉o)的一條漸近線平行于直線/：x-2y-5=0,且雙曲

a2b2

線的一個焦點(diǎn)在直線/上，則該雙曲線的方程為..

15.12一I}X+2)4展開式的常數(shù)項(xiàng)為.

16.記r(x)是不小于x的最小整數(shù)，例如r(1.2)=2,r(2)=2,r(-1,3)=-1,則函數(shù)

/(x)=Mx)-x-2-，+g的零點(diǎn)個數(shù)為..

三、解答題

17.只要騎車,都應(yīng)該戴頭盔.騎行頭盔是騎行中生命堅實(shí)的保護(hù)屏障.騎行過程中的摔

倒會對頭部造成很大的損害，即使騎行者是以較低的車速沿著坡度平穩(wěn)的自行車道騎行,

也同樣不可忽視安全問題.佩戴頭盔的原因很簡單也很重要一保護(hù)頭部，減少傷害.相

關(guān)數(shù)據(jù)表明，在每年超過500例的騎車死亡事故中，有75%的死亡原因是頭部受到致命

傷害造成的.醫(yī)學(xué)研究發(fā)現(xiàn),騎車佩戴頭盔可防止85%的頭部受傷,并且大大減小了損傷

程度和事故死亡率.

某市對此不斷進(jìn)行安全教育，下表是該市某主干路口連續(xù)5年監(jiān)控設(shè)備抓拍到通過該路

口的騎電動車不戴頭盔的人數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

201202202202202

年份

90123

年份序號X12345

不戴頭盔人數(shù)145130120110

950

y0000

（1）求不戴頭盔人數(shù)y與年份序號x之間的線性回歸方程；

（2）預(yù)測該路口2024年不戴頭盔的人數(shù).

參考公式：回歸方程y=%+。中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為

,￡（玉-皿-司

A-i=l_____________

18.已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S”,且S3=7，2a“+i—4=0（〃eN*）.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列2=-%log24,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和7；.

19.如圖，在直三棱柱ABC-AgG中，AM=4,AB=47=2,3（7=20點(diǎn)。是棱441上

的一點(diǎn)，且AD=3D4,點(diǎn)石是棱CG的中點(diǎn).

4

(1)求證：平面B￡)E_L平面ACg；

(2)求直線4。與平面瓦)后所成角的正弦值.

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(2,l)是拋物線C：公=2py(p>0)上的一點(diǎn)，直線

/交C于A,3兩點(diǎn).

(1)若直線/過C的焦點(diǎn)，求OAOB的值；

(2)若直線外,用分別與y軸相交于昭N兩點(diǎn)，且QMON=1，試判斷直線/是否過定

點(diǎn)？若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是，請說明理由.

21.已知函數(shù)-l)(aeR).

(1)若a=—1,求函數(shù)的圖象在％=1處的切線方程；

(2)若/(x)<0對任意的恒成立，求a的取值范圍；

(3)求證：JJ—+/J++-^>in(2〃+l),“eN*-

4xl2-l4X22-14H2-11'

22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為F=2+3cosa,(0為參數(shù))，以。為極

y=l+3sini

點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，直線I的極坐標(biāo)方程為psin,+：]=2應(yīng).

(1)求C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為(2,21直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，求PR.而的值.

23.已知函數(shù)/(x)=|2x—4|+,—[.

(1)求不等式的解集；

(2)若函數(shù)/⑺的最小值為人且正數(shù)。，瓦C滿足Q+/7+C=辦求證：幺+%+巳之1.

bca

參考答案

1.答案：B

解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)2=(2-5i)(-1-2i)=-12+i,所以z對應(yīng)的點(diǎn)為(―12,1),位于第二象限.

故選B.

2.答案：C

解析：由已知得，若2a+1=3，解得a=1,此時A={1,3},6={0,1,3}，符合題意；

若2。+1=。-1,解得。=-2,此時4={1,-3},5={-8,-3,3},不符合題意；

若為+l=3a-2,解得a=3,此時4={1,7},8={2,3,7卜不符合題意，

綜上所述：。=1.故選C.

3.答案：B

解析：因?yàn)橹本€mr+2y+m+2=0與直線4x+(相+2)y+2〃z+4=0平行，所以

(加+2)〃7—2x4=0,解得加=2或機(jī)=—4?

當(dāng)機(jī)=2時，直線2x+2y+4=0與直線4x+4y+8=0重合,不符合題意；

當(dāng)m=7時，直線Tx+2y-2=0與直線4x-2y-4=0平行，符合題意.綜上，加=T.

故選B.

4.答案：B

解析：設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為名.若/=1,

當(dāng)"z=1,〃=2,P=3,q=4時,aman=apaq，但是根+〃W，+q,所以"aman=a"/'不是

“/〃+〃=夕+q”的充分條件；

4

若m+n=p+q,^\aman=4琛皿=而2,%%=謂尸=扁尸,所以見&“=apaq,

所以“金4=4%”是"機(jī)+〃=p+q^^的必要條件.綜上,是“帆+71=p+q^^的

必要不充分條件.故選：B.

5.答案：C

解析：因?yàn)楣?工。3,所以O(shè)=C4+AD=CA+LAB=CA+L(C3—C4)=2CA+LC3.

233、,33

所以-〃=2一11

33333

故選：C.

6.答案：A

解析：將函數(shù)y=3sin(3x+"的圖象向右平移/個單位長度得

y=3sin3fx-^兀\+(p=3sinl+I,

9

又y=3sin13x-1+的圖象關(guān)于y軸對稱，所以-]+0=]+E:(keZ),解得

(p=-^-+kn^keZ),當(dāng)左=-1時,陷取得最小值￡.

故選：A.

7.答案：A

解析：記事件A為在某次通電后M、N有且只有一個需要更換，事件B為M需要更換,

則P(A)=03x(1-0.2)+(1-0.3)x0.2=0.38,P(AB)=0.3x(l-0.2)=0.24,

由條件概率公式可得咱加普=熊福

故選:A.

8.答案：C

sinacos〃+cosasin〃

解析：因?yàn)閠an。+tan/?二=5,又cosacos尸=上,

COSOCOS尸

所以sinocos/+cosofsin/?二sin(or+/)=5coscifcos/?=—?

故選：C.

9.答案：B

解析：因?yàn)镴Gsin—+cos—=2cosc，所以

33

＜A7t71.A)_1兀A)

2cosC—2cos—cos—\-sin—sin——2cos-------

(3333J^33J

即35。=＜：05(巴-2],因?yàn)?＜4＜兀,0＜。＜兀，則0＜巴—4＜四,且余弦函數(shù)丁=88%在

(33)333

(0,兀)上單調(diào)遞減，所以C=/4,所以4+3。=兀，又人+5+。=兀，所以3=2。,

3

由正弦定理得上=上，即VCC，所以cosC=逅.

sinBsinC--------------=------4

2sinCcosCsinC

故選：B.

10.答案：D

解析：因?yàn)镹=48xl5i°，

所以

IgN=lg48+lgl510=lg216+10(lg3+lg5)=161g2+101g3+10(l-lg2)=61g2+101g3+10

?6x0.3010+10x0,4771+10=16.577，所以N=IO16-577e(1016,1017).

故選：D.

11.答案：D

解析：由已知得，直線A3的方程為y=3+乩設(shè)橢圓的焦距為2c(c>0),由題意設(shè)點(diǎn)

則為="+/,,即E(G"+。,所以7六+b_b(a+c),又kAR上〈叵,

a\u)kc口——n4

所以e=f=>L即1<e<l,設(shè)直線AB的斜率與直線0E的斜率之比值為m,

44

則m=，又一<e<1,所以一<相<一.

b(a+c)a+ce+1

故選：D.

12.答案:C

解析：連接AE，取AE中點(diǎn)G,設(shè)Cb=m（0（根<4）,連接所，過G作GO垂直于平面

ABCD,

設(shè)GO=〃,。為三棱錐A-DEF的外接球的球心.以D為原點(diǎn)，分別以m,所在

直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（4,0,0）,￡（0,2,0）,0（2,1,n）,F（0,4,m）則球半徑R=OF=OE=OA,

所以H=J13+（m—n）2=,5+/，所以m2一2mn+8=0,貝U〃=加”=—+—>242，

2m2m

當(dāng)且僅當(dāng)根=2夜時取等號，所以凡1n=巫?

故選：C.

13.答案：13

x-^-3<0,

解析：實(shí)數(shù)和滿足約束條件x+2y-220,表示的可行域如圖陰影部分所示.當(dāng)直線

”2

z=x+4y經(jīng)過點(diǎn)A時,z取得最大值.由—3=0,解得％=5，y=2,所以

〔丁=2

205

解析：由題意可知，雙曲線的其中一條漸近線y=3與直線/:x-2y-5=0平行，所以

a

b1

—=—,

a2

又雙曲線的一個焦點(diǎn)在直線/上，所以c=5,又0?=a2+b2，解得a=2行力=0，

22

所以該雙曲線的方程為土—匕=1.

205

15.答案：48

解析：因?yàn)?X+2)4的展開式的通項(xiàng)是Tr+1=2"所以所求常數(shù)項(xiàng)為

-24+2C^-23=48.

16.答案：3

解析：令f(x)=0,則-L令g(x)==2一工一工,貝Ug(x)與h(x)

88

的交點(diǎn)個數(shù)即為了(X)的零點(diǎn)個數(shù)，當(dāng)—1<X4O時,g(X)=0-X=-X￡[0,l),

Xg(x+l)=r(x+l)-(x+l)=r(x)-x=g(x)，所以g(x)是周期為1的函數(shù)在R上

單調(diào)遞減，且網(wǎng)-1)>1,無⑼=工,〃(3)=0,所以可作出g⑴與h(x)的圖象如圖，

8

1

產(chǎn)一8

所以g(x)與/?(%)有3個交點(diǎn)，故"尤)的零點(diǎn)個數(shù)為3.

17.答案：(1)y=-120%+1560

(2)840

名刀十二,1、小日甫^^上口―1+2+3+4+5.-1450+1300+1200+1100+950

解析：(])由題思知九二-----------二3,y=---------------------------------------=11200,

55

所以火(七一,2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5—3)2=10,￡卜「'(％-?=

(l-3)x(1450-1200)+(2-3)x(1300-1200)+(3-3)x(1200-1200)+(4-3)x

(1100—1200)+(5—3)x(950—1200)=—1200,

所以a=3—=1200+120x3=1560，

所以不戴頭盔人數(shù)y與年份序號x之間的線性回歸方程為y=_120x+1560?

(2)當(dāng)％=6時，S=T20X6+1560=840,即預(yù)測該路口2024年不戴頭盔的人數(shù)為840.

18.答案：（1）%=白

2-

⑵Tn=

T-

解析：⑴因?yàn)橐亍?2%-4=0（〃eN）所以其包=；，所以數(shù)列｛4｝是公比為工

的等比數(shù)列，

（2）由（1）知人=」爪」=巴立

"2〃DZ2〃T2〃

E二NT012M—2ri—1

〃222232〃TT

E二pi1012n—2n—1

所以5（=級+聲+夢++^+尹’

工一]

相減得,T」+L+J■上=2212〃刊上」上,

2n22232"2'"1[12"122n+I

1-----

2

所以T=2〃-”-1.

nT

19.答案：（1）見解析

⑵叵

6

解析：（1）證明：在直三棱柱ABC-43G中,明，平面ABC,又AB,ACu平面ABC,

所以例，AB,A4,，4。,又48=4。=2,3。=20,所以432+402=302,所以

AB±AC，

又AB懼=A，A5，A4,u平面所以AC,平面A351A，

又BDu平面A§44,所以AC，.

因?yàn)閠an^DBA=—=tan/4AAi=編=g，所以/DBA=ZB,AA.，又

AB2M2ir

JT

ZABD+ZADB=-,

2

所以Ng"+ZADB=],所以3。，AB1，

又AB】AC=A,AB1,ACu平面AC4,所以平面AC%

又5Du平面BDE，所以平面BOE，平面AC%

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB，AC，AA；所在的直線分別為x軸,y軸,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以5（2,0,0）,0（0,0,1）,￡（0,2,2）

A（0,0,4）,C（0,2,0）.設(shè)平面BDE的法向量為"=（尤,y,z）,

T7/、/、-1、1n-BD=-2x+z=Q,.

又3D=(-2,0,1),BE=(-2,2,2),所以《令x=l,

ri-BE=-2x+2y+2z=0,

解得丁=-1，2=2，所以平面應(yīng)）后的一個法向量”=（1,-1,2）.

又C4,=（0,-2,4）,設(shè)直線4。與平面5。石所成角的大小為。，

△/「八2+8730

所以sm8=cos（n,CA）=~~~,——1=.,——/.=-------,

'/Ml8r71+1+4x^4+166

即直線A,C與平面BOE所成角的正弦值為叵.

6

20.合案：（1）Q4-OB=司馬+K%=-4+1=—3

（2）直線/恒過定點(diǎn)（0,-1）

解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P（2,l）是拋物線C：f=2加（°〉0）上的一點(diǎn),

所以22=2°,解得°=2,所以。的方程為必=4門

所以C的焦點(diǎn)為(0,1).顯然直線I的斜率存在,設(shè)直線I的方程為

y=kx+\,A(x{,yi),B(x2,y2)

由＜"+L得/_4依—4=0,所以玉+W=44，％%2=T,

x=4y

22

所以X〉=a.±=1,

1244

所以04?05=百％+%%=T+l=-3.

日-1

(2)設(shè)顯然直線期的斜率存在，且斜率為必-1—T西+2,

玉一2七一24

所以直線小的方程為y-1=空(尸2),

所以％=1+*；2.(—2)=—；X],即OM=(0,-；xJ,

同理可得,ON=1o,-

所以O(shè)M-ON=(―j]―=1，所以玉々=4,即/=—，①

X；X；

顯然直線I的斜率存在，且斜率為%—必=%一直=芯+々,

x2一再馬一百4

2

所以直線/的方程為y—卜七三(…J,②

(4、

將①式代入②式,整理得xlH—x-4y-4=0,

所以直線/恒過定點(diǎn)(0,-1).

21.答案：(1)3x—y—3=0

(2)g.+s]

(3)見解析

解析：(1)若〃=一1,貝!J/(x)=xlnx+x2-l,所以r(x)=lnx+l+2x,

所以廣⑴=3,又/⑴=0,所以函數(shù)外力的圖象在x=l處的切線方程為y-0=3(%f,

即3x-y-3=0.

(2)若/(x)<0對任意的xe(l,+oo)恒■成立，即lnx-a<0對任意的1￡(1,y)恒

X

成立.

^g（x）=lnx-afx-^j，x>l,^fyAg,（x）=--afl+^-l=ax+^xa

若aW0，貝1Jg'(x)〉0，所以g(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g⑴=0,不符合題意.

若a>0,方程_CLX^+x_a=0的判別式A=l_4",

當(dāng)aIT">。，即0<a一時，令g'(x)>0,解得1<%<匕正還，令g'(x)<0,

22a

解得X〉1+J1-城，所以g(x)在1,1+力”］上單調(diào)遞增，在1+上單

2aci\u

調(diào)遞減，所以gg(l)=0,不符合題意;

當(dāng)A=1-<0,即a2g時，則/(%)W0,所以g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以

g(x)vg(1)=0，符合題意.

綜上，。的取值范圍為

(3)證明：由(2)知，當(dāng)九>1〃=，時,1!1%<耳％-工］,令尤=也把(〃wN*

221X)2n-lv

/、

2n+l12n+l1

所以In<———--，所以——-->In（2〃+1）-In（2九一1）,

2n—122n—12n+l4n2-lW-lV7V7

2n-l?

所以

4x14x24〃

---n---1--------H------>ln3-Ini+ln5-ln3++In（2zi+1）-In（2n-1）=ln（2n+l）

4xl2-l4x22—1W-1

4x14x24n

即0n---------1--------bH------>ln（2zi+l）,nGN

4xl2-l4X22-1W-l

22.答案：（1）%+y_4=0

（2）PA-PB=I.卜,21c。s兀二一8

解析：（1）因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為r=2+3cosa,（￡為參數(shù)），

y=l+3sino

所以（x—2）2+（>一1）2=（3coso）2+（3sin