2022-2023學年浙江省名校聯盟高二（下）期末數學試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學年浙江省名校聯盟高二（下）期末數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）集合A＝{x|ax＝1}，B={y|y=x-1A．[0，+∞） B．（0，1] C．[1，+∞） D．（0，1）2．（5分）若直線a在平面α內，直線b在平面α外，則“b⊥a”是“b⊥α”的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件3．（5分）數列{an}首項為1，接下來3項為13，再接下來5項為15，再后面7項為17，以此類推A．115 B．117 C．119 4．（5分）已知一組成對數據（xi，yi）（i＝1，2，…，6）中y關于x的一元非線性回歸方程y＝bx2+1，已知i=16xi2=12，A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣35．（5分）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行、也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽．足球由32塊黑白相間的皮革縫制而成，其中，黑色的皮塊呈正五邊形，每一塊黑皮的周圍都5塊白皮相連；而白色的皮塊呈正六邊形，每一塊白皮的周圍分別連著3塊黑皮、3塊白皮．若制作一個半徑為10cm的足球（正多邊形近似看作平面正多邊形），則一塊黑皮面積約為_____cm2．（注：邊長為a的正五邊形面積≈1.7a2，邊長為a的正六邊形面積≈2.6a2，取3.14）（）A．32.44 B．31.92 C．30.51 D．29.496．（5分）復數z滿足|z﹣1|+|z+1|＝4，則|z|的取值范圍是（）A．[3，2] B．[1，2] C．[2，3] D．[1，3]7．（5分）雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）右焦點為F，離心率為e，PO→=kFO→（kA．﹣9 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣38．（5分）已知a=sin32，A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯得0分。（多選）9．（5分）已知數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，下列說法正確的是（）A．若an＝bn能成立，則Sn＝Tn能成立 B．若an＝bn能成立，則Sn＝Tn恒成立 C．若an＝bn恒成立，則Sn＝Tn恒成立 D．若Sn＝Tn恒成立，則an＝bn恒成立（多選）10．（5分）雙曲線C：x24-y25=1A．該雙曲線漸近線為y=B．過點（3，0）的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若|AB|＝5，則滿足的直線有1條 C．與雙曲線C兩支各有一個交點的直線斜率可以是1.1 D．過點P能作4條僅與雙曲線C有一個交點的直線（多選）11．（5分）函數f（x）＝kx﹣|sinx|在（0，+∞）上有兩個零點α，β（α＜β），下列說法正確的是（）A．β∈B．tanβ-C．tan(D．f（x）在（0，2π）上有2個極值點x1，x2且x2﹣x1＝π（多選）12．（5分）半徑為2的球A上有三個點B，C，P，BC＝2，三棱錐A﹣PBC的頂角均為銳角，二面角P﹣BC﹣A的平面角為α，E為邊BC上一動點，則（）A．若PB＝PC＝2，則cosα=B．若PB＝PC＝2，則cosα=C．若∠PAE的最小值等于α，則三棱錐P﹣ABC體積最小為396D．若∠PAE的最小值等于α，則三棱錐P﹣ABC體積最小為15三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）a→=（2，1），b→=（1，﹣1），則a→在b→14．（5分）橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)過點（2，0）且上頂點到x軸的距離為1，直線m過點(1，15．（5分）為了紀念世界地球日，復興中學高三年級參觀了地球自然博物館，觀后某班級小組7位同學合影，若同學A與同學B站在一起，同學C站在邊緣，則同學C不與同學A或B相鄰的概率為．16．（5分）5320的因數有個，從小到大排列后，第24個因數為．四、解答題：本題共6小題，共58分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）如圖幾何體為圓臺一部分，上下底面分別為半徑為1，2的扇形，D1O＝OB，體積為14π（1）求AB；（2）劣弧AB上是否存在M使OB1∥平面AD1M．猜想并證明．18．（12分）△ABC內角A，B，C滿足2cosB（1）求C﹣A的大??；（2）D、E分別為AB、BC上的點，DE→=23AC→，且19．（12分）p，q，n∈N*，2p﹣1＝3q﹣2＝an，遞增數列{an}前n項和為Sn．（1）證明：{an}為等比數列并求Sn；（2）記bn=an+Cn15，?n為使bn∈20．（12分）過（2，0）的直線與C1：y2＝4x交于A，B兩點，直線OA、OB與C2：x2+λx+y2＝0（λ≠0）分別交于C、D．（1）證明：CD中點在x軸上；（2）若A、B、C、D四點共圓，求|AB|所有可能取值．21．（12分）人口老齡化加劇的背景下，我國先后頒布了一系列生育政策，根據不同政策要求，分為兩個時期Ⅰ和Ⅱ．根據部分調查數據總結出如下規(guī)律：對于同一個家庭，在Ⅰ時期內生孩X人，在Ⅱ時期生孩Y人，（不考慮多胞胎）生男生女的概率相等．X服從0﹣1分布且P（x＝0）=15．Y分布Y012Ppp+qp﹣q現已知一個家庭在Ⅰ時期沒生孩子，則在Ⅱ時期生2個孩子概率為124；若在Ⅰ時期生了1個女孩，則在時期生2個孩子概率為16；若在Ⅰ時期生了1個男，則在Ⅱ時期生2個孩子概率為112，樣本點中Ⅰ時期生孩人數與Ⅱ時期生孩人數之比為2（1）求Y的期望與方差；（2）由數據zi（i＝1，2，…，n）組成的樣本空間根據分層隨機抽樣分為兩層，樣本點之比為a：b，分別為xi（i＝1，2，…，k）與yi（i＝1，2，…，m），k+m＝n，總體本點與兩個分層樣本點均值分別為z，x，y，方差分別為s02，s12，22．（12分）A（﹣1，0），B（1，0），P（a，b），kPA+kPB＝λ（λ＞0）．（1）若λ＝1，a?（0，1），證明：eb＞a；（2）是否存在λ使eb＝a有且僅有一組解，若存在，求λ取值集合；若不存在，請說明理由．

2022-2023學年浙江省名校聯盟高二（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）集合A＝{x|ax＝1}，B={y|y=x-1A．[0，+∞） B．（0，1] C．[1，+∞） D．（0，1）【解答】解：∵集合A＝{x|ax＝1}，B={y|y=x∴A?B，∵B＝{y|y≥0}，當a＝0時，A＝?，符合題意；當a＞0時，A＝{x|x=1a當a＜0時，A＝{x|x=1a綜上，a的取值范圍是[0，+∞）．故選：A．2．（5分）若直線a在平面α內，直線b在平面α外，則“b⊥a”是“b⊥α”的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件 C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【解答】解：只有b⊥a不能推出b⊥α，充分性不成立，b⊥α，直線a在平面α內，直線b在平面α外，則b⊥a，必要性成立，故“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分條件．故選：D．3．（5分）數列{an}首項為1，接下來3項為13，再接下來5項為15，再后面7項為17，以此類推A．115 B．117 C．119 【解答】解：由題意可知，數列{an}的項數構成以1為首項，以2為公差的等差數列，記為{bn}，則bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，前n項和為n(1+2n-令n2＝100可得n＝10，而原數列有b1個1b1，b2個1b2，…b故a100=1故選：C．4．（5分）已知一組成對數據（xi，yi）（i＝1，2，…，6）中y關于x的一元非線性回歸方程y＝bx2+1，已知i=16xi2=12，A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：∵i=16x∴16i=16則3＝2b+1，解得b＝1．故選：B．5．（5分）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行、也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽．足球由32塊黑白相間的皮革縫制而成，其中，黑色的皮塊呈正五邊形，每一塊黑皮的周圍都5塊白皮相連；而白色的皮塊呈正六邊形，每一塊白皮的周圍分別連著3塊黑皮、3塊白皮．若制作一個半徑為10cm的足球（正多邊形近似看作平面正多邊形），則一塊黑皮面積約為_____cm2．（注：邊長為a的正五邊形面積≈1.7a2，邊長為a的正六邊形面積≈2.6a2，取3.14）（）A．32.44 B．31.92 C．30.51 D．29.49【解答】解：由題意知，黑白皮塊的個數比為3：5，所以黑皮有32×38=12又因為邊長為a的正五邊形面積≈1.7a2，邊長為a的正六邊形面積≈2.6a2，π＝3.14，所以12×1.7a2+20×2.6a2＝4×3.14×102，解得a2=1256所以1.7a2＝29.49．故選：D．6．（5分）復數z滿足|z﹣1|+|z+1|＝4，則|z|的取值范圍是（）A．[3，2] B．[1，2] C．[2，3] D．[1，3]【解答】解：∵復數z滿足|z﹣1|+|z+1|＝4，∴復數z對應的點的軌跡是以F1（﹣1，0），F2（1，0）為焦點，兩條坐標軸為對稱軸，長軸長為4的橢圓，即2a＝4，解得a＝2，∴該橢圓的短軸長b=4-1|z|表示橢圓上的點到原點的距離，則|z|的最大值為橢圓的長半軸a，最小值為短半軸b，故|z|的取值范圍為[3，2]．故選：A．7．（5分）雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）右焦點為F，離心率為e，PO→=kFO→（kA．﹣9 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣3【解答】解：由題意，右焦點F（c，0），由PO→=kFO→（k＞1），可得P（kc，0），|PF|＝（k以P為圓心，|PF|長為半徑的圓的方程為：（x﹣kc）2+y2＝（k﹣1）2c2，(x-kc)2+y2=(k-1)2c2b2x2-a2y2=由圓與雙曲線有公共點，所以△≥0，即4k2c2a4﹣4c2a2（2kc2﹣c2﹣b2）≥0，結合b2＝c2﹣a2，化簡可得（k﹣1）[（k+1）a2﹣2c2]≥0，∵k＞1，∴（k+1）a2﹣2c2≥0，即k≥2e2﹣1，所以k﹣8e≥2e2﹣8e﹣1＝2（e﹣2）2﹣9，當e＝2時，取得最小值﹣9．故選：A．8．（5分）已知a=sin32，A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：由已知得a=sin3因為y＝cosx在區(qū)間[0，π]上單調遞減，且0＜π2-3所以cos(π2-3令f（x）＝x﹣sinx，x∈（0，+∞），則f′（x）＝1﹣cosx＞0，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以f（x）＞f（0）＝0，即x＞sinx，所以a=sin32＜令g(x)=令h(x)=令m(x)=1-12x2-令n（x）＝﹣x+sinx，則當x≥0時，n′（x）＝﹣1+cosx≤0，所以n（x）在x≥0內單調遞減，所以m′（x）＝n（x）＜n（0）＝0，所以m（x）在x≥0內單調遞減，所以h′（x）＝m（x）＜m（0）＝0，所以h（x）在x≥0內單調遞減，所以g'（x）＝h（x）＜h（0）＝0，所以g（x）在x≥0內單調遞減，所以g（x）＜g（0）＝0，即cosx≤1-12所以c=cos12＜1-12×14+1綜上：a＜c＜b．故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯得0分。（多選）9．（5分）已知數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，下列說法正確的是（）A．若an＝bn能成立，則Sn＝Tn能成立 B．若an＝bn能成立，則Sn＝Tn恒成立 C．若an＝bn恒成立，則Sn＝Tn恒成立 D．若Sn＝Tn恒成立，則an＝bn恒成立【解答】解：對于A，若{an}：0，0，0，1，1，1，…，{bn}：0，1，0，0，0，0，?，an＝bn能成立，Sn＝Tn也能成立，故A正確；對于B，若{an}：0，0，0，1，1，1，…，{bn}：0，1，0，0，0，0，…，an＝bn能成立，Sn＝Tn不能恒成立，故B錯誤；對于C，若an＝bn恒成立，則二者是相同數列，即Sn＝Tn恒成立，故C正確；對于D，若Sn＝Tn恒成立，則Sn﹣1＝Tn﹣1，當n≥2時，兩式作差得an＝bn，當n＝1時，若S1＝T1，則a1＝b1，故D正確．故選：ACD．（多選）10．（5分）雙曲線C：x24-y25=1A．該雙曲線漸近線為y=B．過點（3，0）的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若|AB|＝5，則滿足的直線有1條 C．與雙曲線C兩支各有一個交點的直線斜率可以是1.1 D．過點P能作4條僅與雙曲線C有一個交點的直線【解答】解：對于A，雙曲線C：x24-y25=1對于B，由于雙曲線的實軸長為2a＝4，所以過焦點F與左右兩支都相交的直線被雙曲線截得的弦長的取值范圍是[4，+∞），所以存在關于x軸對稱的兩種情況，使其弦長為5，另外當直線垂直于x軸時，經計算可得弦長正好是5，故滿足條件的直線有三條，故B錯誤；對于C，由于雙曲線的漸近線的斜率為±52，焦點在x若直線l與雙曲線C的兩支各有一個交點，則直線l的斜率k∈（-52，因為1.1∈（-52，52對于D，由于P（1，2）點在雙曲線的兩條漸近線的上方，如圖所示：故過能作4條直線與雙曲線C僅有一個交點，其中兩條與漸近線平行，另外兩條與雙曲線相切，故D正確．故選：ACD．（多選）11．（5分）函數f（x）＝kx﹣|sinx|在（0，+∞）上有兩個零點α，β（α＜β），下列說法正確的是（）A．β∈B．tanβ-C．tan(D．f（x）在（0，2π）上有2個極值點x1，x2且x2﹣x1＝π【解答】解：由于函數f（x）＝kx﹣|sinx|在（0，+∞）上有兩個零點α，β（α＜β），故函數y＝kx，y＝|sinx|的圖象在（0，+∞）上有兩個不同的交點，作出函數y＝kx，y＝|sinx|的圖象如圖：要滿足題意，需滿足y＝kx與y＝|sinx|在（π，2π）間的圖象相切，由圖象可知α∈當x∈（0，π]時，y＝sinx，當x∈（π，2π）時，y＝﹣sinx，由于α＜β，則設y＝kx與y＝|sinx|在（π，2π）間的圖象相切時的切點為（β，﹣sinβ），此時y′＝﹣cosx，則k=-cosβ=-sinβ于是tan(β+對于A，當x∈（π，2π）時，f（x）＝kx+sinx，此時k=由于f（β）＝kβ+sinβ＝0，即f（β）＝﹣βcosβ+sinβ＝0，令h(即h(h(5π故h（x）＝﹣xcosx+sinx在(5π4，3對于B，當x∈（0，π]時，f（α）＝kα﹣sinα＝0，即α=當x∈（π，2π）時，tanβ＝β，f（β）＝kβ+sinβ＝0，即β=故tanβ-α=對于D，當x∈（0，π]時，f（x）＝kx﹣sinx，f′（x）＝﹣cosβ﹣cosx＝cos（β﹣π）﹣cosx，β﹣π∈（0，π），當0＜x＜β﹣π時，f′（x）＜0，當β﹣π＜x＜π時，f′（x）＞0，即f（x）在（0，β﹣π）單調遞減，在（β﹣π，π）單調遞增，即x＝β﹣π為函數在（0，π]內的一個極小值點；當x∈（π，2π）時，f（x）＝kx+sinx，f′（x）＝﹣cosβ+cosx，當π＜x＜β時，f′（x）＜0，當β＜x＜2π時，f′（x）＞0，即f（x）在（π，β）單調遞減，在（β，2π）單調遞增，即x＝β為函數在（π，2π）內的一個極小值點；即f（x）在（0，2π）上有2個極值點，設為x1，x2（x1＜x2），則x1＝β﹣π，x2＝β，故x2﹣x1＝π，D正確；故選：ACD．（多選）12．（5分）半徑為2的球A上有三個點B，C，P，BC＝2，三棱錐A﹣PBC的頂角均為銳角，二面角P﹣BC﹣A的平面角為α，E為邊BC上一動點，則（）A．若PB＝PC＝2，則cosα=B．若PB＝PC＝2，則cosα=C．若∠PAE的最小值等于α，則三棱錐P﹣ABC體積最小為396D．若∠PAE的最小值等于α，則三棱錐P﹣ABC體積最小為15【解答】解：如圖所示：當PB＝PC＝2時，三棱錐A﹣PBC為正四面體，點A在底面BCP內的射影為△BCP的中心M，即AM⊥平面BCP，連接PM延長交BC于F，易知，F為BC的中點，連接AF，所以AF⊥BC，PF⊥BC，故二面角P﹣BC﹣A的平面角為∠AFM，即∠AFM＝α，在Rt△AMF中，AF=2sinπ所以cosα=MFAF=1如圖所示：因為三棱錐A﹣PBC的頂角均為銳角，所以BP＜22因為點A在底面BCP內的射影為△BCP的外心M，即AM⊥平面BCP，過點A作AG⊥BC于G，連接MG，因為△ABC為等邊三角形，所以G為BC的中點，又易知BC⊥平面AMG，所以二面角P﹣BC﹣A的平面角為∠AGM，即∠AGM＝α，因為VP-ABC=13×根據三余弦定理可知，∠PAE的最小值為直線AP與平面ABC所成的角，即當P，M，G三點共線時（E，G重合），∠PAE最小，此時∠PAE＝∠AGM，且h＝2sin∠PAE最小，故PG＝AP＝2，而AG=3，所以三棱錐P﹣ABC體積最小為故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）a→=（2，1），b→=（1，﹣1），則a→在b→【解答】解：a→=（2，1），b→=（則a→?b故a→在b→上的投影向量為：故答案為：(114．（5分）橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)過點（2，0）且上頂點到x軸的距離為1，直線m過點(1，12)與橢圓E交于A，B【解答】解：已知橢圓E過點（2，0）且上頂點到x軸的距離為1，所以a＝2，b＝1，此時橢圓E：x24+y2易知124即點(1，1此時直線m與橢圓E相交，當直線斜率不存在時，此時直線m的方程為x＝1，設A（1，y0），易得B（1，﹣y0），而AB中點為（1，0）在坐標軸上，所以x＝1符合題意；當直線斜率存在時，不妨設直線m：y-12=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，聯立y-12=k(x-1)x24+y2=1，消去y并整理得（1+4k2）x2+由韋達定理得x1+x2=-所以y1+y2＝k（x1+x2﹣2）+1=1-2因為AB中點在坐標軸上，所以x1+x2＝0或y1+y2＝0，解得k＝0或k=1此時直線m的方程為y=12或y=綜上，直線m的方程為y=12或y=12x或故答案為：y=12或y=12x或15．（5分）為了紀念世界地球日，復興中學高三年級參觀了地球自然博物館，觀后某班級小組7位同學合影，若同學A與同學B站在一起，同學C站在邊緣，則同學C不與同學A或B相鄰的概率為0.8．【解答】解：根據題意，先計算“同學A與同學B站在一起，同學C站在邊緣”的情況數目：先讓同學C站在邊緣，有2種方法，再將同學A與同學B看成一個整體，與剩下4人排列，有種方法，故同學A與同學B站在一起，同學C站在邊緣，共有2×240＝480種方法，再計算“同學A與同學B站在一起，同學C站在邊緣，則同學C不與同學A或B相鄰”的情況數目：若同學C不與同學A或B相鄰的有：先讓同學C站在邊上，有2種方法，再讓除ABC之外的4人去站剩下的4個位置，有種方法，最后讓同學A與同學B組成的整體從與同學C不相鄰的4個位置中選一個位置，有2×4＝8種方法，所以由分步乘法原理可得同學C不與同學A或B相鄰的共有2×8×24＝384種方法，故要求的概率；故答案為：0.8．16．（5分）5320的因數有32個，從小到大排列后，第24個因數為280．【解答】解：根據題意，5320＝2×2×2×5×7×19，當5320的因數是1個質數時，有4種情況，當5320的因數是2個質數的乘積時，有1+C3當5320的因數是3個質數的乘積時，有1+C31+當5320的因數是4個質數的乘積時，有1+C3當5320的因數是5個質數的乘積時，有4種情況，當5320的因數是6個質數的乘積時，有1種情況，另外，其因數還有1，則5320的因數有4+7+8+7+4+1+1＝32個；按從小到大的順序排列為：1，2，4，5，7，8，10，14，19，20，28，35，38，40，56，70，76，95，133，140，152，190，266，280，380，532，665，760，1064，1330，2660，5320；其第24個因數為280．故答案為：32；280．四、解答題：本題共6小題，共58分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）如圖幾何體為圓臺一部分，上下底面分別為半徑為1，2的扇形，D1O＝OB，體積為14π（1）求AB；（2）劣弧AB上是否存在M使OB1∥平面AD1M．猜想并證明．【解答】解：（1）由題意知，D1O＝OB＝2，設∠A1D1B1＝∠AOB＝α，上底的面積為S1，下底的面積為S2，則S1=12×1×1×α=α2，S所以該幾何體的體積V=13（S1+S2+S1S2）?D1O=13（α2+2α在△AOB中，由余弦定理得，AB2＝OA2+OB2﹣2OA?OB?cos∠AOB＝4+4﹣2×2×2×cos23π＝12所以AB＝23．（2）不存在，證明如下：過點O作OB的垂線交劣弧AB于N，由（1）可知∠AOB=2故以ON，OB，OD1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則O（0，0，0），A(3，-1，0)，D1（0，0，2），B1設M（2cosβ，2sinβ，0），其中-π6＜則OB1→=（0，1，2），AD1→=(-3設平面AD1M的法向量為n→=（x，y，z），則n→因為-π6＜β＜π2，所以2sin取x＝2sinβ+1，則y=3-2cosβ，z=3sinβ+cosβ若OB1∥平面AD1M，則OB1即3-2cosβ+2（3sinβ+cosβ)=3+23sinβ=0=0，整理得2sinβ+1＝所以OB1∥平面AD1M不成立，故劣弧AB上不存在M使OB1∥平面AD1M．18．（12分）△ABC內角A，B，C滿足2cosB（1）求C﹣A的大??；（2）D、E分別為AB、BC上的點，DE→=23AC→，且【解答】解：（1）2cosB+1tanA即2cosAcosB+所以3sinA-cosA所以sin(因為0＜C＜π，則-π因為0＜A＜π，則-π所以A-π6所以C-A=綜上所述，C-（2）解：如下圖所示：因為D、E分別為AB、BC上的點，DE→=23AC所以BDAB=BEBC=DE因為DE∥BC，則∠BDE＝∠A，∠CDE＝∠ACD，因為DE平分∠CDB，所以∠BDE＝∠CDE，則∠A＝∠ACD，故AD＝CD，所以∠BCD設AD＝m，則CD＝m，BD＝2m，其中m＞0，在△BCD中，由正弦定理可得CDsinB所以sinB=因為CD＜BD，則B為銳角，即0＜故cosB=所以A+因為A+C=故π4因為cos(2又因為cos(2所以cos(19．（12分）p，q，n∈N*，2p﹣1＝3q﹣2＝an，遞增數列{an}前n項和為Sn．（1）證明：{an}為等比數列并求Sn；（2）記bn=an+Cn15，?n為使bn∈【解答】解：（1）證明：由于p，q，n∈N*，2p﹣1＝3q﹣2＝an，當p＝1，q＝1時，a1＝1；當p﹣1＝2k，k∈N時，2p﹣1依次取值為1，4，16，64，…，4k，…，（k∈N）時，總存在q∈N*，使得2p﹣1＝3q﹣2成立，證明該結論，只需證明4k+2能被3整除，由于4=3(C即4k+2能被3整除，即上述結論成立；當p﹣1＝2k+1，k∈N時，2p﹣1＝22k+1＝2×（4k+2）﹣4，由于4k+2能被3整除，則2p﹣1+2＝2×（4k+2）﹣2不是3的倍數，即p﹣1＝2k+1，k∈N時，不適合題意；綜上所述，{an}為遞增數列：1，4，16，64，…，4k，…，（k∈N*），故an+1an=4，即數列{an}是以a1則Sn（2）由（1）可得an=4由題意，?n為使bn∈N*成立的最小正整數，當n＝1時，b1=1+Cn15∈N當n＝2時，b2=4+Cn15∈N當n＝3時，b3=16+Cn15∈N當n＝4時，b4=64+Cn15∈N當n﹣1＝2k，k∈N時，42＝15（Ck015k﹣1+Ck115k﹣2+?+Ckk-當n﹣1＝2k+1，k∈N時，42k+1＝4×16k＝4×15（Ck015k﹣1+Ck115k﹣故此時使bn∈N*成立的最小正整數為11，故{?n}為周期數列：14，11，14，11，…，周期為2，則C2023＝C2×1011+1＝C1＝14．20．（12分）過（2，0）的直線與C1：y2＝4x交于A，B兩點，直線OA、OB與C2：x2+λx+y2＝0（λ≠0）分別交于C、D．（1）證明：CD中點在x軸上；（2）若A、B、C、D四點共圓，求|AB|所有可能取值．【解答】證明：（1）由題意，作圖如下：因為過（4，0）的直線與C1：y2=4所以可設直線方程為x＝ny+4，令A（x1，y1），B（x2，y2），則y1所以x=ny+4y2=4x，可得：y2﹣4ny﹣16＝0，Δ＝所以y1OA的方程y=y1x1聯立y=4y1x同理可得xD=-yC又y1y2＝﹣16，即y1y2+16＝0，所以yC+yD＝0，所以CD中點在x軸上．解：（2）因為若A，B，C，D四點共圓，所以|OA||OC|＝|OB||OD|，又A，O，C三點共線，B，O，D三點共線，所以OA→又A（x1，y1），B（x2，y2），C(-λ所以-λx又因為λ≠0，所以y144解得y12=y22，（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，又y1≠y2，y1則4n＝0，即n＝0，所以x=4y2=4x所以A（4，4），B（4，﹣4），所以|AB|＝8．21．（12分）人口老齡化加劇的背景下，我國先后頒布了一系列生育政策，根據不同政策要求，分為兩個時期Ⅰ和Ⅱ．根據部分調查數據總結出如下規(guī)律：對于同一個家庭，在Ⅰ時期內生孩X人，在Ⅱ時期生孩Y人，（不考慮多胞胎）生男生女的概率相等．X服從0﹣1分布且P（x＝0）=15．Y分布Y012Ppp+qp﹣q現已知一個家庭在Ⅰ時期沒生孩子，則在Ⅱ時期生2個孩子概率為124；若在Ⅰ時期生了1個女孩，則在時期生2個孩子概率為16；若在Ⅰ時期生了1個男，則在Ⅱ時期生2個孩子概率為112，樣本點中Ⅰ時期生孩人數與Ⅱ時期生孩人數之比為2（1）求Y的期望與方差；（2）由數據zi（i＝1，2，…，n）組