2022-2023學(xué)年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（5分）集合A={x∈N|log12x≥-1}，集合B＝{x∈ZA．{2} B．{0，1，2} C．{1，2} D．?2．（5分）復(fù)數(shù)z的實部與虛部互為相反數(shù)，且滿足z+a=1+5i1-i，a∈A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）函數(shù)f(x)=A． B． C． D．4．（5分）(x+aA．﹣40 B．﹣20 C．20 D．405．（5分）馮老師教高二4班和5班兩個班的數(shù)學(xué)，這兩個班的人數(shù)相等．某次聯(lián)考中，這兩個班的數(shù)學(xué)成績均近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2的圖像如圖所示，其中μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，且P（|X﹣μ|≤σ）＝0.6827，P（|X﹣μA．4班的平均分比5班的平均分高 B．相對于5班，4班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績更分散 C．4班108分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的4.55% D．5班112分以上的人數(shù)與4班108分以上的人數(shù)大致相等6．（5分）冬季兩項是冬奧會的項目之一，是把越野滑雪和射擊兩種不同特點的競賽項目結(jié)合在一起進行的運動，其中冬季兩項男子個人賽，選手需要攜帶槍支和20發(fā)子彈，每滑行4千米射擊一輪，共射擊4輪，每輪射擊5次，若每有1發(fā)子彈沒命中，則被罰時1分鐘，總用時最少者獲勝．已知某男選手在一次比賽中共被罰時3分鐘，假設(shè)其射擊時每發(fā)子彈命中的概率都相同，且每發(fā)子彈是否命中相互獨立，記事件A為其在前兩輪射擊中沒有被罰時，事件B為其在第4輪射擊中被罰時2分鐘，那么P（A|B）＝（）A．12 B．14 C．13 7．（5分）我們知道：y＝f（x）的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形的充要條件是y＝f（x）為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：y＝f（x）的圖象關(guān)于（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是y＝f（x+a）﹣b為奇函數(shù)．若f（x）＝x3﹣3x2的對稱中心為（m，n），則f（2023）+f（2021）+…+f（3）+f（﹣1）+f（﹣3）+f（﹣5）+f（﹣2019）+f（﹣2021）＝（）A．8088 B．4044 C．﹣4044 D．﹣20228．（5分）設(shè)a=9109，b＝ln1.09，c＝e0.09﹣A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，3an+1＝Sn，則下列命題正確的是（）A．a(chǎn)2=13 B．a(chǎn)nC．Sn=(43)n（多選）10．（5分）已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，點M（4，2），點P在圓C上，O為原點，則下列命題正確的是（）A．M在圓上 B．線段MP長度的最大值為5+1C．當(dāng)直線MP與圓C相切時，|MP|＝2 D．MO→?MP→的最大值為（多選）11．（5分）已知f（x）＝x3﹣ax+b，a，b為實數(shù)，則滿足函數(shù)f（x）有且僅有一個零點的條件是（）A．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 B．a(chǎn)＝0，b＝2 C．a(chǎn)＝3，b＝﹣1 D．a(chǎn)＝3，b＝3（多選）12．（5分）已知三棱錐A﹣BCD，BC＝AD=2，其余棱長均為5A．該幾何體外接球的表面積為6π B．直線AB和CD所成的角的余弦值是45C．若點M在線段CD上，則AM+BM最小值為3 D．A到平面BCD的距離是4三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13．（5分）已知平面向量a→，b→，|a→|=1，b→=（1，﹣1），a→⊥（a14．（5分）如圖所示，AC為平面四邊形ABCD的對角線，設(shè)CD＝1，sin∠ACD＝2sin∠CAD，△ABC為等邊三角形，則四邊形ABCD的面積的最大值為．15．（5分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左頂點為A，上頂點為B，O為坐標(biāo)原點，橢圓上的兩點M（xM，yM），N（xxM2+xN2=3b16．（5分）函數(shù)y＝[x]為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.90]＝0，[lg99]＝1，已知數(shù)列{an}滿足a3＝3，且an＝n（an+1﹣an），若bn＝[lgan]，則數(shù)列{bn}的前2023項和為．四．解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（10分）如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中E為線段DD1的中點．（1）求證：平面A1BD⊥平面ACC1A1；（2）求A1到平面AB1E的距離．18．（12分）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}，a3＝﹣10，a1，a2，a5成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）已知bn=1anan+1，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求使得2S19．（12分）△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且a＝2．（1）若B+C=5π6，b=3（2）已知A＝2C，sinB＝2sinC，求△ABC的面積．20．（12分）三門是“中國青蟹之鄉(xiāng)”，氣候溫暖、港灣平靜、水質(zhì)優(yōu)良，以優(yōu)越的自然環(huán)境成為我國優(yōu)質(zhì)青蟹的最佳產(chǎn)區(qū)．所產(chǎn)的三門青蟹具有“金爪、緋鉗、青背、黃肚”的特征，以“殼薄、皆黃、肉嫩、味美”而著稱，素有“三門青蟹、橫行世界”之美譽；且營養(yǎng)豐富，內(nèi)含人體所需的18種氨基酸和蛋白質(zhì)、脂肪、鈣、磷、鐵等營養(yǎng)成分，被譽為“海中黃金，蟹中臻品”．養(yǎng)殖戶一般把重量超過350克的青蟹標(biāo)記為A類青蟹．（1）現(xiàn)有一個小型養(yǎng)蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中A類青蟹有7只，若從池中抓了2只青蟹．用ξ表示其中A類青蟹的只數(shù)，請寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（2）另有一個養(yǎng)蟹池，為估計蟹池中的青蟹數(shù)目N，小王先從中抓了50只青蟹，做好記號后放回池中，過了一段時間后，再從中抓了20只青蟹，發(fā)現(xiàn)有記號的有x只，若x＝5，試給出蟹池中青蟹數(shù)目N的估計值（以使P（x＝5）取得最大值的N為估計值）．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝xlnx+（2﹣k）x+2k﹣3，k∈z．（1）當(dāng)k＝2時，求曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；（2）若x＞2，總有f（x）＞0，求k的最大值．22．（12分）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），斜率為1的直線l交C于不同于原點的S，T兩點，點M（2，3）為線段ST的中點．（1）求拋物線C的方程；（2）直線y＝kx+1與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，設(shè)切線l1，l2的交點為P．①求證：△PAB為直角三角形．②記△PAB的面積為S，求S的最小值，并指出S最小時對應(yīng)的點P的坐標(biāo)．

2022-2023學(xué)年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．（5分）集合A={x∈N|log12x≥-1}，集合B＝{x∈ZA．{2} B．{0，1，2} C．{1，2} D．?【解答】解：A={x∈N|log12B＝{x∈Z|x2≤4}＝{x∈Z|﹣2≤x≤2}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，則A∩B＝{1，2}．故選：C．2．（5分）復(fù)數(shù)z的實部與虛部互為相反數(shù)，且滿足z+a=1+5i1-i，a∈A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：z+a=1+5i1-故z＝﹣2﹣a+3i，∵復(fù)數(shù)z的實部與虛部互為相反數(shù)，∴﹣2﹣a+3＝0，解得a＝1，故z＝﹣3+3i，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點（﹣3，3）位于第二象限．故選：B．3．（5分）函數(shù)f(x)=A． B． C． D．【解答】解：f（﹣x）＝﹣sinx?ln-x-1-x+1=-sinx?lnx+1x-1=sinx?lnx排除A，C，f（3）＝sin3ln12＜0，排除故選：D．4．（5分）(x+aA．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【解答】解：令x＝1，可得(x+ax)(x-2解得a＝1，則展開式即（x+1x）而(x-2x)5的展開式的通項公式為Tr+1=C5r?（﹣2故（x+1x）(x-2x)5的展開式中常數(shù)項為C53?（﹣2故選：A．5．（5分）馮老師教高二4班和5班兩個班的數(shù)學(xué)，這兩個班的人數(shù)相等．某次聯(lián)考中，這兩個班的數(shù)學(xué)成績均近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2的圖像如圖所示，其中μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，且P（|X﹣μ|≤σ）＝0.6827，P（|X﹣μA．4班的平均分比5班的平均分高 B．相對于5班，4班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績更分散 C．4班108分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的4.55% D．5班112分以上的人數(shù)與4班108分以上的人數(shù)大致相等【解答】解：對于A，4班的平均分為98分，5班的平均分為100分，則4班的平均分比5班的平均分低，故A錯誤，對于B，5班的圖象比4班的圖象更“矮胖”，則相對于4班，5班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績更分散，故B錯誤，對于C，4班f(x)=12則P（X＞108）=12[1-P對于D，5班f(x)=12則P（X＞112）=1∵兩個班的人數(shù)相等，∴5班112分以上的人數(shù)與4班108分以上的人數(shù)大致相等．故選：D．6．（5分）冬季兩項是冬奧會的項目之一，是把越野滑雪和射擊兩種不同特點的競賽項目結(jié)合在一起進行的運動，其中冬季兩項男子個人賽，選手需要攜帶槍支和20發(fā)子彈，每滑行4千米射擊一輪，共射擊4輪，每輪射擊5次，若每有1發(fā)子彈沒命中，則被罰時1分鐘，總用時最少者獲勝．已知某男選手在一次比賽中共被罰時3分鐘，假設(shè)其射擊時每發(fā)子彈命中的概率都相同，且每發(fā)子彈是否命中相互獨立，記事件A為其在前兩輪射擊中沒有被罰時，事件B為其在第4輪射擊中被罰時2分鐘，那么P（A|B）＝（）A．12 B．14 C．13 【解答】解：由題意得P（B）=C31C51C∴P（A|B）=P(AB故選：C．7．（5分）我們知道：y＝f（x）的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形的充要條件是y＝f（x）為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：y＝f（x）的圖象關(guān)于（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是y＝f（x+a）﹣b為奇函數(shù)．若f（x）＝x3﹣3x2的對稱中心為（m，n），則f（2023）+f（2021）+…+f（3）+f（﹣1）+f（﹣3）+f（﹣5）+f（﹣2019）+f（﹣2021）＝（）A．8088 B．4044 C．﹣4044 D．﹣2022【解答】解：根據(jù)題意，令g（x）＝f（x+1）+2，則g（x）＝（x+1）3﹣3（x+1）2+2＝x3﹣3x，所以g（﹣x）＝﹣x3+3x＝﹣g（x），則g（x）為奇函數(shù)，所以f（x）的圖象關(guān)于（1，﹣2）對稱，即f（x）+f（2﹣x）＝﹣4，f（2023）+f（2021）+…+f（3）+f（﹣1）+f（﹣3）+f（﹣5）+f（﹣2019）+f（﹣2021）＝f（2023）+f（﹣2021）+f（2021）+f（﹣2019）+……+f（3）+f（﹣1）＝1011×（﹣4）＝﹣4044．故選：C．8．（5分）設(shè)a=9109，b＝ln1.09，c＝e0.09﹣A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：令f（x）＝ex﹣1﹣x，（x≥0），∵f'（x）＝ex﹣1，∴當(dāng)x＞0時，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＞0時，f'（x）＞f（0）＝0，即ex﹣1＞x，∴e0.09﹣1＞0.09，令g（x）＝ln（1+x）﹣x，（x≥0），∵g'（x）=-x∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＞0時，g（x）＜G（0）＝0，∴c∴l(xiāng)n（1+x）＜x，∴l(xiāng)n1.03＜g（0）＝0，（x≥0），∴l(xiāng)n（1+x）＜x，∴l(xiāng)n1.09＜0.09，∴c＞b，令h（x）＝ln（1+x）-x1+x，（x∵h(yuǎn)′（x）=1∴當(dāng)x＞0時，h'（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＞0時，h（x）＞h（0）＝0，即ln（1+x）＞x∴l(xiāng)n1.09＞0.09∴b＞a，綜上，c＞b＞a．故選：D．二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，3an+1＝Sn，則下列命題正確的是（）A．a(chǎn)2=13 B．a(chǎn)nC．Sn=(43)n【解答】解：由a1＝1，3an+1＝Sn……①，可得3a2＝S1＝a1＝1，∴a2=1當(dāng)n≥2時，有3an＝Sn﹣1……②，①﹣②可得3an+1﹣3an＝Sn﹣Sn﹣1＝an，即an+1a∴an=1Sn＝1+13[1-(S5?S7=(43)4×(43)6=(43)10即S5?S7=S62故選：AC．（多選）10．（5分）已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，點M（4，2），點P在圓C上，O為原點，則下列命題正確的是（）A．M在圓上 B．線段MP長度的最大值為5+1C．當(dāng)直線MP與圓C相切時，|MP|＝2 D．MO→?MP→的最大值為【解答】解：∵（4﹣2）2+（2﹣3）2＝5＞1，∴點M（4，2）在圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1外，故A錯誤；由圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，可得圓心C（2，3），半徑r＝1，∴|MC|=(4-2)2+(2-3)2=5當(dāng)直線MP與圓C相切時，||MP|=|MC|2設(shè)P（x，y），則MO→=（﹣4，﹣2），MP→=（x﹣4，∴MO→?MP→=-4（x﹣4）﹣2（y﹣2）＝﹣4x﹣2設(shè)z＝﹣4x﹣2y，直線2x﹣y+z＝0與圓C有公共點，∴|8+6+z|16+4≤1，解得|14+z|∴﹣25-14≤z≤25-14，MO→?MP→的最大值為25+20﹣14＝2故選：BC．（多選）11．（5分）已知f（x）＝x3﹣ax+b，a，b為實數(shù)，則滿足函數(shù)f（x）有且僅有一個零點的條件是（）A．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 B．a(chǎn)＝0，b＝2 C．a(chǎn)＝3，b＝﹣1 D．a(chǎn)＝3，b＝3【解答】解：對于選項A：當(dāng)a＝﹣1，b＝2時，f（x）＝x3+x+2，函數(shù)定義域為R，可得f'（x）＝3x2+1＞0在R上恒成立，所以f（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x→﹣∞時，f（x）→﹣∞；當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞，且f（x）的圖象連續(xù)不斷，所以f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，則此時f（x）有且只有一個零點，故選項A正確；對于選項B：當(dāng)a＝0，b＝2時，f（x）＝x3+2，函數(shù)定義域為R，可得f'（x）＝3x2≥0在R上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，等號成立，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x→﹣∞時，f（x）→﹣∞；當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞，且f（x）的圖象連續(xù)不斷，所以f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，則此時f（x）有且只有一個零點，故選項B正確；對于選項C：當(dāng)a＝3，b＝﹣1時，f（x）＝x3﹣3x﹣1，函數(shù)定義域為R，可得f'（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），當(dāng)x＜﹣1時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)﹣1＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在x＝﹣1處取得極大值，極大值f（﹣1）＝1，在x＝1處取得極小值，極小值f（1）＝﹣3，當(dāng)x→﹣∞時，f（x）→﹣∞；當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞，且f（x）的圖象連續(xù)不斷，所以f（x）的圖象與x軸有兩個交點，則函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點，故選項C錯誤；對于選項D：當(dāng)a＝3，b＝3時，f（x）＝x3﹣3x+3，函數(shù)定義域為R，可得f'（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），當(dāng)x＜﹣1時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)﹣1＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在x＝﹣1處取得極大值，極大值f（﹣1）＝5，在x＝1處取得極小值，極小值f（1）＝1，當(dāng)x→﹣∞時，f（x）→﹣∞；當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞，且f（x）的圖象連續(xù)不斷，所以f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，則此時f（x）有且只有一個零點，故選項D正確．故選：ABD．（多選）12．（5分）已知三棱錐A﹣BCD，BC＝AD=2，其余棱長均為5A．該幾何體外接球的表面積為6π B．直線AB和CD所成的角的余弦值是45C．若點M在線段CD上，則AM+BM最小值為3 D．A到平面BCD的距離是4【解答】解：對于A，如圖，三棱錐A﹣BCD放入長方體ANCH﹣EDFB中，三棱錐A﹣BCD各棱長為其面的對角線，由題意可得AH2+所以長方體ANCH﹣EDFB的對角線長為AH因為三棱錐A﹣BCD與長方體ANCH﹣EDFB有相同的外接球，長方體ANCH﹣EDFB的對角線長為外接球的直徑，所以外接球的表面積為4πr2＝4π×64=6π對于B，如圖，連接NF，交CD與O點，因為AB∥NF，所以∠COF（或其補角）為直線AB和CD所成的角，因為CD=5，AB=5，AE＝CF＝由余弦定理可得cos∠COF=CO2對于C，以CD為軸旋轉(zhuǎn)△ACD至△ACD與△BCD在同一個平面內(nèi)，因為BC＝AD，BD＝CA，所以四邊形BCAD為平行四邊形，連接BA交CD于M，即M為CD中點時，AM+BM最小，在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD=B在△BCM中，由余弦定理得BM2＝BC2+CM2﹣2BC×CMcos∠BCD=54+2﹣所以AM+BM的最小值為32×2=3，故對于D，由A選項可知，長方體ANCH﹣EDFB的體積為2×1×1＝2，VH﹣ACB＝VF﹣BCD＝VN﹣ACD＝VE﹣ABD=13×12×2=13，所以由C選項cos∠BCD=所以S△BCD=12BC×CDsin∠BCD所以A到平面BCD的距離為2313故選：ACD．三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13．（5分）已知平面向量a→，b→，|a→|=1，b→=（1，﹣1），a→⊥（a【解答】解：∵a→⊥（a→-b→），∴a∴a→2-a→?b→=∵b→=（1，﹣1），∴b∴|a故答案為：13．14．（5分）如圖所示，AC為平面四邊形ABCD的對角線，設(shè)CD＝1，sin∠ACD＝2sin∠CAD，△ABC為等邊三角形，則四邊形ABCD的面積的最大值為543【解答】解：在△ACD中，由正弦定理得：ADsin∴AD=CD?sin∠由余弦定理得：AC2＝AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠D＝5﹣4cos∠D，∴四邊形ABCD的面積S＝S△ABC+S△ACD==3=5∵∠D∈（0，π），∴∠D∴當(dāng)∠D-π3=故答案為：5315．（5分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左頂點為A，上頂點為B，O為坐標(biāo)原點，橢圓上的兩點M（xM，yM），N（xxM2+xN2=3b【解答】解：由△OAN與△OBM的面積相等可得：12a?yN=12b?∴xM2a∴3b2-x∴b2a2=13，∴a2＝3b2＝3（∴e=c故答案為：6316．（5分）函數(shù)y＝[x]為數(shù)學(xué)家高斯創(chuàng)造的取整函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.90]＝0，[lg99]＝1，已知數(shù)列{an}滿足a3＝3，且an＝n（an+1﹣an），若bn＝[lgan]，則數(shù)列{bn}的前2023項和為4962．【解答】解：∵an＝n（an+1﹣an），∴（1+n）an＝nan+1，即an∴{ann∴ann∴an＝n，記{bn}的前n項和為Tn，當(dāng)1?n?9時，0?lgan＜1時，bn＝[lgan]＝0；當(dāng)10?n?99時，1?lgan＜2時，bn＝1；當(dāng)100?n?999時，2?lgan＜3時，bn＝2；當(dāng)1000?n?2023時，3?lgan＜4時，bn＝3；∴T2023＝[lga1]+[lga2]+?+[lga2023]＝90×1+900×2+1024×3＝4962．故答案為：4962．四．解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（10分）如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中E為線段DD1的中點．（1）求證：平面A1BD⊥平面ACC1A1；（2）求A1到平面AB1E的距離．【解答】（1）證明：∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，∴AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD．又BD⊥AC，AA1∩AC，∴BD⊥平面ACC1A1，BD?平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面ACC1A1，（2）解：以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AA1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B1（1，0，1），E（1，1，12），A1（0，0，1∴AB1→=（1，0，1），AE→=（1，1，12），A設(shè)平面AB1E的一個法向量為n→=（x，y，∴n→?AB1→=x+z=0n→∴平面AB1E的一個法向量為n→=（﹣2，1，設(shè)求A1到平面AB1E的距離為d，則d=|即點A1到平面AB1E的距離為2318．（12分）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}，a3＝﹣10，a1，a2，a5成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）已知bn=1anan+1，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求使得2S【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，得a3=-10a∴a1=-2d=-4，an＝﹣（2）bn=12S由13+2658∈(3，4)且n∈19．（12分）△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且a＝2．（1）若B+C=5π6，b=3（2）已知A＝2C，sinB＝2sinC，求△ABC的面積．【解答】解：（1）因為B+C=5π6，b=3c，由正弦定理可得可得3sin（56π﹣B）＝sinB，整理可得tanB=-3，而B∈（0，π），可得B=23π，C由正弦定理可得asinA=bsinB，所以b=212?32=23設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑r，所以S△ABC=12bcsinA=12（a+b+即23×2×12=（2+2+23）r，解得r＝所以△ABC內(nèi)切圓的半徑長23-3（2）因為A＝2C，sinB＝2sinC，可得sin（A+C）＝2sinC，即sin3C＝2sinC，可得2sinCcos2C+cos2CsinC＝2sinC，因為sinC≠0，可得2cos2C+2cos2C﹣1＝2解得cosC＝±32，可得C=π6或C因為A＝2C，所以A=π3，C=π6由正弦可得asinA=csinC，即2所以S△ABC=12ac=120．（12分）三門是“中國青蟹之鄉(xiāng)”，氣候溫暖、港灣平靜、水質(zhì)優(yōu)良，以優(yōu)越的自然環(huán)境成為我國優(yōu)質(zhì)青蟹的最佳產(chǎn)區(qū)．所產(chǎn)的三門青蟹具有“金爪、緋鉗、青背、黃肚”的特征，以“殼薄、皆黃、肉嫩、味美”而著稱，素有“三門青蟹、橫行世界”之美譽；且營養(yǎng)豐富，內(nèi)含人體所需的18種氨基酸和蛋白質(zhì)、脂肪、鈣、磷、鐵等營養(yǎng)成分，被譽為“海中黃金，蟹中臻品”．養(yǎng)殖戶一般把重量超過350克的青蟹標(biāo)記為A類青蟹．（1）現(xiàn)有一個小型養(yǎng)蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中A類青蟹有7只，若從池中抓了2只青蟹．用ξ表示其中A類青蟹的只數(shù)，請寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（2）另有一個養(yǎng)蟹池，為估計蟹池中的青蟹數(shù)目N，小王先從中抓了50只青蟹，做好記號后放回池中，過了一段時間后，再從中抓了20只青蟹，發(fā)現(xiàn)有記號的有x只，若x＝5，試給出蟹池中青蟹數(shù)目N的估計值（以使P（x＝5）取得最大值的N為估計值）．【解答】解：（1）由題意可知，ξ的取值為0，1，2，P(ξ=0)=C43故ξ的分布列為：ξ012P129195431753175E(（2）設(shè)f（N）＝P（x＝5）=Cf(（N2﹣68N+931）﹣（N2﹣63N﹣64）＝﹣5N+995，所以N＝199時，f（N+1）＝f（N），N＞199時，f（N+1）＜f（N），N＜199時，f（N+1）＞f（N），所以當(dāng)N＝199或200時，P（x＝5）最大，估計蟹池中青蟹數(shù)目為19