2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破幾何最值（訓(xùn)練）

題型六幾何最值（專題訓(xùn)練）

1.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，ASC和一ADE是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角

三角形，把以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)”為射線80、CE的交點(diǎn).若AB=6,

AD=1.以下結(jié)論：

①BD=CE；②B"CE；

③當(dāng)點(diǎn)E在54的延長(zhǎng)線上時(shí)，MC=土衛(wèi)；

2

④在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段MB最短時(shí)，MBC的面積為

其中正確結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】證明，54。段C4E即可判斷①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②，證明

MCA/3-I

NOCMs/EOl得出,即可判斷③；以A為圓心，為半徑畫(huà)圓，當(dāng)CE在；A

2

的下方與（A相切時(shí)，"8的值最小，可得四邊形4EMD是正方形，在Rt上歸C中

MC=^BC2-MB2=A/2+1，然后根據(jù)三角形的面積公式即可判斷④.

【詳解】解：：ASC和4組是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

BA=CA,DA^EA,ABAC=ZDAE=90°,

/BAD=/CAE,

：.,BAD^CAE,

：.ZABD^ZACE,BD=CE,故①正確；

設(shè)ZABD=ZACE=a,

：.ZDBC=45°-a,

：.ZEMB=ZDBC+ZBCM=ZDBC+ZBCA+ZACE=45°-a+45°+cz=90o,

BD1CE,故②正確;

NDCMsNECA

,MCCD

'*AC-ET

,:AB=BAD=I.

?,CD=AC—AD=A/3—1，CE=AE1+AC2=2

.MCV3-1

"V3-2

MC=3-，,故③正確；

2

...當(dāng)CE■在（A的下方與.4相切時(shí)，Affi的值最小，ZADM=ZDAE=ZAEM=90°

四邊形AEMD是矩形，

又

/.四邊形AEMD是正方形，

/.MD=AE=l,

,?*BD=EC=dAC°-AE2=應(yīng),

：?MB=BD-MD=母一1,

在RtMBC中，MC=ylBC2-MB2

??_P5取得最小值時(shí)，MC=VAB2+AC,2—MB2=<^3+3-^A/2—1)=5/2+1

???SBMC=|MBXMC=1(V2-1)(V2+1)=1

故④正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，垂線段最短，

全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=2,AD=3,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將AEF沿EF所在直線翻折，得到A'E產(chǎn)，則4C的長(zhǎng)的最小值是(

C.V13-1D.V10-1

【答案】D

【詳解】

以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)度為半徑作圓，連接CE,當(dāng)點(diǎn)A'在線段CE上時(shí)，A'C的長(zhǎng)取最小

在RLBCE中，BE=1AB=1,BC=3,4=90，

.-.CE=VBE2+BC2=回，

A'C的最小值=CE-A'E=710-1.

故選D.

3.如圖，ZiABC中，AB=AC=10,tanA=2,BELAC于點(diǎn)E,D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

。。+好3。的最小值是（）

5

【答案】B

【詳解】

如圖，作DH_LAB于H,CM_LAB于M.

ZAEB=90°,

BE

*.*tanA=-----=2,設(shè)AE=a,BE=2a,

AE

則有：100=a2+4a2,

/.a2=20,

/.a=2君或-2石（舍棄），

BE=2a=4y/s，

VAB=AC,BE±AC,CM±AB,

.?.CM=BE=4正（等腰三角形兩腰上的高相等））

VZDBH=ZABE,ZBHD=ZBEA,

:,sin/DBH=迫=處=6，

BDAB5

,-.DH=—BD,

5

??.CD+上BD=CD+DH,

5

???CD+DH2CM,

二.CD+半BDN46,

ACD+^BD的最小值為4J弓.

故選B.

4.如圖，在RtM3c中，ZC=90°，AC=4BC=3,點(diǎn)0是AB的三等分點(diǎn)，半圓0

則MN的最小值和最大值之和是（)

D.8

【答案】B

【詳解】

如圖，設(shè)。。與AC相切于點(diǎn)D,連接OD,作OPLBC垂足為P交。O于F,

此時(shí)垂線段OP最短，PF最小值為。尸―。尸，

VAC=4,BC=3,

：.AB=5

；NOPB=9(f，

：.OPAC

:點(diǎn)。是AB的三等分點(diǎn),

。5=<5=竺OPOB2

33AC~AB3

8

OP

3

:。。與AC相切于點(diǎn)D,

OD±AC,

:.OD//BC，

.OP_OA_1

"BC~AB~3

OD=1,

o5

MN最小值為OP-OF=——1=—,

33

如圖，當(dāng)N在AB邊上時(shí)，M與B重合時(shí)，MN經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng),

土10,13

MN最大值=---1-1=一,

33

513z

-+——=6,

33

AMN長(zhǎng)的最大值與最小值的和是6.

故選B.

6.（2023?山東東營(yíng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,P分別在邊。C,

上，且BF=CE,AE平分/CAD,連接。尸，分別交AE,AC于點(diǎn)G,M,尸是線段

AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸N_LAC垂足為N,連接有下列四個(gè)結(jié)論：①AE垂直

平分。0；②PM+/W的最小值為3萬(wàn)；③CF2=GEAE；@8^=642.其中正確的

是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

【答案】D

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形全等即可證明NZME=NFDC,通過(guò)等量轉(zhuǎn)化即可求證

AG±DM,利用角平分線的性質(zhì)和公共邊即可證明.ADGM一AMG（ASA）,從而推出①的

結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果可證明推出O￡2=GE.AE,通過(guò)等量代換可推

出③的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果和勾股定理推出AM和CM長(zhǎng)度，最后通過(guò)面積法即可求

證④的結(jié)論不對(duì)；結(jié)合①中的結(jié)論和③的結(jié)論可求出尸河+PN的最小值，從而證明②不對(duì).

【詳解】解：鉆8為正方形,

：.BC=CD=AD,ZADE=ZDCF=9Q°,

BF=CE,

:.DE=FC,

ADE^DCF(SAS),

:.NDAE=/FDC,

ZADE=90°,

ZADG+ZFDC=90°f

ZADG+ZDAE=90°f

.\ZAGD=ZAGM=90°.

AE平分NCW,

:.ZDAG=ZMAG.

AG=AGf

ADG^AMG(ASA).

:.DG=GM,

ZAGD=ZAGM=90°,

二四垂直平分血/,

故①正確.

由①可知，ZADE=/DGE=90°,/DAE=NGDE,

ADE：DGE,

DEAE

"~GE~~DE'

:.DE2=GEAE,

由①可知OE=C5,

:.CF2=GEAE.

故③正確.

MCD為正方形，且邊長(zhǎng)為4,

在Rt/XABC中，AC=V2AB=4A/2.

由①可知，ADG^AMG(ASA),

.-.AM=AD=4,

CM=AC-AM=A42-4.

由圖可知，DMC和△ADM等高，設(shè)高為工

?q—c_c

…uADM-uADC°DMC，

4xh_4x4卜&-4〉/2,

2'

，/z=20,

:.S,=--AM-h=-x4x2y/2=4y/2.

nM22

故④不正確.

由①可知，ADG^AMG(ASA),

:.DG=GM,

關(guān)于線段AG的對(duì)稱點(diǎn)為。，過(guò)點(diǎn)。作DN'LAC,交AC于N',交AE于P,

,尸河+PN最小即為。N',如圖所示，

由④可知AADM的高〃=20即為圖中的DN',

DN'=272.

故②不正確.

綜上所述，正確的是①③.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的綜合題，涉及到三角形相似，最短路徑，三角形全等，三角

形面積法，解題的關(guān)鍵在于是否能正確找出最短路徑以及運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

7.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4,且NABC=NABE=60°,G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上

任意一點(diǎn)，將4ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AEBF,當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)（）

2百373

丁F3

【答案】D

【詳解】

VWAABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AEBF,

；.BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

.?.△BFG是等邊三角形.

；.BF=BG=FG,.

AG+BG+CG=FE+GF+CG.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，

當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng),

過(guò)E點(diǎn)作EF±BC交CB的延長(zhǎng)線于F,

.?.ZEBF=180°-120°=60°,

VBC=4,

；.BF=2,EF=2幣,在RtAEFC中,

：EF2+FC2=EC2,

；.EC=4技

VZCBE=120°,

/.ZBEF=30°,

,：ZEBF=ZABG=30°,

；.EF=BF=FG,

14A/3

.?.EF=-CE=-1^-,

33

故選：D.

8.（2023?浙江臺(tái)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，。的圓心。與正方形的中心重合，已知匚。的

半徑和正方形的邊長(zhǎng)都為4,則圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值為（）.

A.0C.4+2應(yīng)D.4-2a

【答案】D

【分析】設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為4B、aD,連接。4并延長(zhǎng)，交|。于點(diǎn)E,由題意

可得，E4的長(zhǎng)度為圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值，求解即可.

【詳解】解：設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為AB、C、D,連接Q4并延長(zhǎng)，交《。于點(diǎn)E,過(guò)

點(diǎn)。作如下圖：

則EA的長(zhǎng)度為圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值，

由題意可得：OE=AB=4,AF=OF=-AB=2

2

由勾股定理可得：OA=yJOF2+AF2=2A/2-

AE=4-2&，

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓與正多邊形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A與正多邊形

的性質(zhì)，確定出圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值的位置.

9.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）如圖，E,歹是正方形ABCD的邊48的三等分點(diǎn)，P是

對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸E+尸尸取得最小值時(shí)，%的值是.

【分析】作點(diǎn)/關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)尸，，連接所'交AC于點(diǎn)P,此時(shí)尸E+尸尸取得最小值,

過(guò)點(diǎn)尸'作AD的垂線段，交AC于點(diǎn)K,根據(jù)題意可知點(diǎn)p落在AD上，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為

Kp，

求得AK的邊長(zhǎng)'證明△AEPs△在，p’可得六=2,即可解答.

【詳解】解：作點(diǎn)/關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)/，，連接EF'交AC于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線

段，交AC于點(diǎn)K,

由題意得：此時(shí)「落在A￡＞上，且根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，當(dāng)尸點(diǎn)與尸'重合時(shí)PE+尸尸取得最小

值，

2

設(shè)正方形A3CD的邊長(zhǎng)為。，則==

四邊形ABCD是正方形，

:.NF'AK=45。,/PAE=45°,ACfa

F'K±AF',

NF'AK=NF'KA=45°,

272

AK=—!—a,

3

ZF'PK=ZEPA,

:△E'Kps^w,

.F'K_KP'

??——2?

AEAPr

10

/.APf=-AK=-42a,

39

7

:.CP'=AC—AP'=—國(guó),

9

.AP_2

??7=一,

CP'7

Apa

???當(dāng)PE+M取得最小值時(shí)，器的值是為

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的最值問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的證明與性質(zhì)，正方形

的性質(zhì)，正確畫(huà)出輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=8,點(diǎn)C是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段BC繞

點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段80,連接8,在A8的上方作RtADCE,使

/。可=90,NE=30,點(diǎn)/為DE的中點(diǎn)，連接AF,當(dāng)"最小時(shí)，ABCD的面積為

【答案】舊

【分析】連接CEBF,BF,切交于點(diǎn)P,由直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得所

垂直平分CF,NASB=60。為定角，可得點(diǎn)/在射線班'上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AFL3尸時(shí)，AF最小，

由含30度角直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：連接CEBF,BF,2交于點(diǎn)尸，如圖，

VZDCE=9Q,點(diǎn)產(chǎn)為DE的中點(diǎn)，

FC=FD,

**'NE=3U,

：.ZFDC=60°,

。比9是等邊三角形，

ZDFC=ZFCD=6O°；

?..線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD,

BC=BD,

'：FC=FD,

.?.8尸垂直平分CP,/ASF=60。,

...點(diǎn)尸在射線8尸上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)AF_L3-時(shí)，AF最小，

止匕時(shí)NFAB=90°-ZABF=30°,

BF=-AB=4；

2

,/NBFC=-ZDFC=30°,

2

ZFCB=Z.BFC+ZABF=90°,

：.BC=-BF=2,

2

PB=-BC=1,

2

由勾股定理得PC=^BC--PB1=73-

/.CD=2PC=273,

：?SABCD=；CD.PB=gx2尋I=6

故答案為：＞/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，斜邊中線性質(zhì)，勾股定

理，線段垂直平分線的判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定點(diǎn)廠的運(yùn)動(dòng)路徑是關(guān)鍵與難點(diǎn).

11.如圖，RtzXABC中，ABLBC,AB=6,5c=4,P是/XABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且滿足ZPAB+ZPBA=90°,則線段CP長(zhǎng)的最小值為.

【答案】2：

【詳解】

VZPAB+ZPBA=90°

.?.ZAPB=90°

...點(diǎn)P在以AB為直徑的弧上（P在AABC內(nèi)）

設(shè)以AB為直徑的圓心為點(diǎn)O,如圖

接OC,交。。于點(diǎn)P,此時(shí)的PC最短

VAB=6,

；.OB=3

VBC=4

OC=yjOB^+BC1=V32+42=5

.\PC=5-3=2

12.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1,F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為.

【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)，本題是求CG最小值，可以將

F點(diǎn)看成是由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，由此作出G點(diǎn)軌跡：

考慮到F點(diǎn)軌跡是線段，故G點(diǎn)軌跡也是線段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線段位置，

初始時(shí)刻G點(diǎn)在5位置，最終G點(diǎn)在G?位置（&不一定在CD邊），G&即為G

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡.

B

CG最小值即當(dāng)CG，G&的時(shí)候取至ij,作CH±G&于點(diǎn)乩CH即為所求的最

小值.

根據(jù)模型可知：GO?與AB夾角為60°,故GC2，EG|.

=1,CFJC￡=I

過(guò)點(diǎn)E作EFXCH于點(diǎn)F,則HF=

55

所以CH=2,因此CG的最小值為5.

13.如圖，矩形ABCZ）中，AB=4,BC=6,點(diǎn)P是矩形ABCZ）內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且5ApAB=^APCD，

則PC+PD的最小值為

【答案】2屈

【詳解】

ABCD為矩形,

?,AB=DC

又,SPAB=SPCD

點(diǎn)P到AB的距離與到CD的距離相等，即點(diǎn)P線段AD垂直平分線肱V上,

連接AC,交MN與懸P,止匕時(shí)PC+?D的值最小，

且PC+PD=AC=6跖記=岑百=卮=2岳

故答案為：2瓦

14.如圖，在4ABC中，NACB=90°,ZA=30°,AB=5,點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP,

以BP為邊作等邊△BPQ,連接CQ,則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CQ長(zhǎng)度的最小值是

【答案】

4

【詳解】

解：如圖，取AB的中點(diǎn)E,連接CE,PE.

VZACB=90°,NA=30°,

ZCBE=60°,

VBE=AE,

.'.CE=BE=AE,

???△BCE是等邊三角形，

.'.BC=BE,

VZPBQ=ZCBE=60°,

.??NQBONPBE,

???QB=PB,CB=EB,

AAQBC^APBE(SAS),

.\QC=PE,

???當(dāng)EPLAC時(shí)，QC的值最小，

在Rt^AEP中，???AE=|,NA=30°,

15

.'.PE=-AE=-,

24

ACQ的最小值為"

4

故答案為：

4

15.如圖，在正方形ABCD中，AB=8,AC與BD交于點(diǎn)0,N是A0的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上,

且BM=6.P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，貝IPM-PN的最大值為.

【答案】2

【分析】作以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N',連接PN',MN',依據(jù)PM-PN=PM-PN'WMN',

1

可得當(dāng)P,M,N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“="，再求得JCM=JCN=1上，即可得出PM〃AB〃CD,

BMAN'3

ZCMN'=90°,再根據(jù)CM為等腰直角三角形，即可得至ijCM=MN'=2.

【解答】解：如圖所示，作以BD為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N',連接PN',MN',

根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，PN=PN',

APM-PN=PM-PN'WMN',

當(dāng)P,M,N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”，

???正方形邊長(zhǎng)為8,

AC=V2AB=8A/2，

0為AC中點(diǎn),

.?.A0=0C=4A/2,

：N為0A中點(diǎn)，

；.0N=2也，

；.ON=CN'=2A/2,

=6也，

:BM=6,

ACM=AB-BM=8-6=2,

.CMCM_1

"BM~~AN7~3

；.PM〃AB〃CD,ZCMN'=90°,

：NN'CM=45°,

?,.△N'CM為等腰直角三角形，

.?.CM=MN'=2,

即PM-PN的最大值為2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般

要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn).

16.如圖，ABC是等邊三角形，AB=6,N是"的中點(diǎn)，AQ是8C邊上的中線，M是

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接則+的最小值是

A

【答案】36

【分析】

根據(jù)題意可知要求BM+MN的最小值，需考慮通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化BM,MN的值，從而找出其最

小值，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出CN,即可求出答案.

【解析】

解：連接CN,與AD交于點(diǎn)M,連接BM.（根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線垂直距離最短），

AD是BC邊上的中線即C和B關(guān)于AD對(duì)稱，則BM+MN=CN,則CN就是BM+MN的最小值.

?/ABC是等邊三角形，AB=6,N是A3的中點(diǎn),

.?.AC=AB=6,AN=1AB=3,CN±AB,

CN=y/AC2-AN2=A/62-32=A/27=3V3.

即BM+MN的最小值為3&.

故答案為：3G.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.

17.如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD,則2AD+3BD的最小值是.

【分析】首先對(duì)問(wèn)題作變式2AD+3BD=31gAO+Br)],故求gAD+80最小值即可.

考慮到D點(diǎn)軌跡是圓，A是定點(diǎn)，且要求構(gòu)造2仞，條件已經(jīng)足夠明顯.

3

當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC邊時(shí)，DA=3,此時(shí)在線段CD上取點(diǎn)M使得DM=2,則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,

2

始終存在DM=—DA.

3

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值，直接連接BM,BM長(zhǎng)度的3倍即為本題答案.

18.如圖，四邊形ABCD中，AB〃CD,ZABC=60°,AD=BC=CD=4,點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足NAMD=90°,則點(diǎn)M到直線BC的距離的最小值為

【答案】36-2

【解析】

【分析】

取AD的中點(diǎn)0,連接0M,過(guò)點(diǎn)M作MELBC交BC的延長(zhǎng)線于E,點(diǎn)點(diǎn)0作0F_LBC于F,交

CD于G,貝”0M+ME20F.求出0M,0F即可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：取AD的中點(diǎn)0,連接0M,過(guò)點(diǎn)M作ME1BC交BC的延長(zhǎng)線于E,點(diǎn)點(diǎn)0作0FLBC于F,

交CD于G,貝!J0M+ME20F.

VZAMD=90°,AD=4,OA=OD,

1

???0M=—AD=2,

2

VAB//CD,

???NGCF=NB=60°,

AZDG0=ZCGE=30°,

,.?AD=BC,

???NDAB=NB=60°,

AZADC=ZBCD=120°,

AZD0G=30°=ZDG0,

???DG=D0=2,

VCD=4,

???CG=2,

???0G=25GF=50F=3G

???ME20F-0M=3相-2,

???當(dāng)0,M,E共線時(shí)，ME的值最小，最小值為36-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形，垂線段最短，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

19.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=6,且NABC=60°,M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM,

BM,CM,則AM+BM+CM的最小值為.

【答案】673

【詳解】

將△BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得至iJzXBNE,；BM=BN,NMBN=NCBE=60。,.\MN=BM\,MC=NE

Z.AM+MB+CM=AM+MN+NE.當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E.

：AB=BC=BE=6,ZABH=ZEBH=60°,.,.BH±AE,AH=EH,ZBAH=30°,；.BH=；AB=3,AH=6

BH=37L；.AE=2AH=6G

故答案為6^3.

20.如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為BC邊上的任意一點(diǎn)，把△P6E沿PE折疊,

得到△PBE,連接CF.若AB=10,BC=12,則CF的最小值為

【答案】8

【解析】

【分析】

點(diǎn)F在以E為圓心、EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E、F、C共線時(shí)時(shí)，此時(shí)FC的值最小，根據(jù)

勾股定理求出CE,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE=EF=5即可.

【詳解】

解：如圖所示，點(diǎn)F在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E、F、C共線時(shí)時(shí)，此時(shí)CF

的值最小，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBPg/XEFP,

.\EF±PF,EB=EF,

是AB邊的中點(diǎn)，AB=10,

.\AE=EF=5,

VAD=BC=12,

CE=^BE2+BC2=V52+122=13，

；.CF=CE-EF=13-5=8.

故答案為8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用，靈活應(yīng)

用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.

21.如圖所示，ZAOB=3Q，點(diǎn)P為NAO3內(nèi)一點(diǎn)，。尸=8,點(diǎn)分別在04,03上，

求APMN周長(zhǎng)的最小值

■P

【答案】APMN周長(zhǎng)的最小值為8

【詳解】

如圖，作P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)片、P2,連結(jié)。片、。鳥(niǎo)，片鳥(niǎo)交OA.OB于M、N,此時(shí)APMN

周長(zhǎng)最小，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知PM=￡M,PN=P[N,:.APMN=RM+MN+P?N=PR，

且ZA0P=/A04，ABOP=ZBOP2,N《Og=2NAO8=60。，OPi=OP2=OP=S,A[4。為等

邊三角形，4鳥(niǎo)=。4=8即八/加亞周長(zhǎng)的最小值為8.

22.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖1,一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，M,

⑴將「.CDE繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M,N距離的最大值和最小值;

⑵將.CDE繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。（如圖2）,求的長(zhǎng).

【答案】（1）最大值為3,最小值為1

⑵4

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，得出C",CN的值，進(jìn)而根據(jù)題意求得最大值

與最小值即可求解；

（2）過(guò)點(diǎn)N作NPLMC,交MC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得ZMav=12O。，進(jìn)

而得出NNCP=60。，進(jìn)而可得CP=1,勾股定理解Rt_NCP,Rt_MCP,即可求解.

【詳解】（1）解：依題意，CM=-DE=1,CN=-AB=2,

22

當(dāng)加在NC的延長(zhǎng)線上時(shí)，",N的距離最大，最大值為CN+C7V=l+2=3,

當(dāng)M在線段CN上時(shí)，M,N的距離最小，最小值為。V—C7V=2—1=1；

???，CD石繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,

：.ZBCE=120°,

ZBCN=Z.ECM=45°,

???ZMCN=ZBCM-ZECM=ZBCE=120°,

ZNCP=60°,

；?NCNP=30。,

：.CP=-CN=1,

2

在RtCNP中,NP=yjNC2-CP2=A/3>

在RtAAWP中，MP=MC+CP=1+1=2,

MN=>]NP2+MP2=V3+4=V7.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含

30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

23.在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB=2&;

（1）如圖1,將4ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ADCF,連接EF；

①把圖形補(bǔ)充完整（無(wú)需寫畫(huà)法）；②求肝2的取值范圍；

⑵如圖2,求BE+AE+DE的最小值.

【答案】（1）①補(bǔ)圖見(jiàn)解析；②8<石尸2<16;（2）28+2

【詳解】

（1）①如圖4DCF即為所求;

②,/四邊形ABCD是正方形，

，BC=AB=20,ZB=90°,ZDAE=ZADC=45°,

；.AC=VAB2+BC2=V2AB=4，

?/AADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到aDCF,

.,.ZDCF=ZDAE=45°,AE=CF,

/.ZECF=ZACD+ZDCF=900,

設(shè)AE=CF=x,EF2=y,則EC=4r,

；.y=(4^<)J+x2=2x2-8x+160(0VxW4).

即y=2(x-2)2+8,

V2>0,

；.x=2時(shí)，y有最小值，最小值為8,

當(dāng)x=4時(shí)，y最大值=16,

/.8^EF2<16.

(2)如圖中，將4ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AAFG,連接EG,DF.作FH_LAD于H.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，4AEG是等邊三角形，

；.AE=EG,

「DFWFG+EG+DE,BE=FG,

AAE+BE+DE的最小值為線段DF的長(zhǎng).

在RtZ\AFH中，ZFAH=30°,AB=2&=AF,

1r-,-----------r-

?'-FH=—AF=V2>AH=y]AF2-FH2=A/6，

在RtZ\DFH中，DF=dFH、DH2=J(2&+府=2^3+2,

ABE+AE+ED的最小值為26+2.

24.(2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題)1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：

給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)4B,C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位

置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里

拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題.

(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法,請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：(其中①處從“直角”和“等邊”

中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處

填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn))

當(dāng),ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，

如圖1,將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到，A'P'C,連接PP,

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>AB,

由②可知,當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時(shí)，B4+P3+PC取最小值，如圖2,最小

值為A3,此時(shí)的尸點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有ZAPC=NBPC=ZAPB=③；

已知當(dāng)11ABe有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若

ZBAC>120°,則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn).

（2）如圖4,在1aAsc中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且AC=3,BC=4,/AC3=30。，己知點(diǎn)尸

為，ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求申+P3+PC的值；

（3汝口圖5,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知

AC=4km,BC=2^km,ZACB=60°.現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A,B,C三個(gè)村莊鋪

設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊C的鋪設(shè)成本分別為a元/km,a元/km,元/km,

選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為_(kāi)_________元.（結(jié)果用含a的式子表

示）

【答案】（1）①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；④A.

⑵5

⑶2屈a

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）的方法將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到二APC,即可得出可知當(dāng)3,

P,P',A在同一條直線上時(shí)，B4+PS+PC取最小值，最小值為A3,在根據(jù)/ACB=30。

可證明ZACA=ZACP+ZBCP+ZPCP=90°,由勾股定理求A3即可,

(3)由總的鋪設(shè)成本=a(尸A+P3+0PC),通過(guò)將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

AP'C,得到等腰直角aPPC,得到0PC=PP，即可得出當(dāng)8,P,P',A在同一條直

線上時(shí)，尸‘A+PS+尸P取最小值，即PA+PB+GPC取最小值為A3,然后根據(jù)已知和旋

轉(zhuǎn)性質(zhì)求出即可.

【詳解】(1)解：：PC=P'C,ZPCP=60。,

???△PCP為等邊三角形；

PP'=PC,ZP'PC=ZPP'C=60°,

又PA=R4,PA+PB+PC=PA+PB+PP'>AB,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)3,P,P',A在同一條直線上時(shí)，P4+P3+PC取最小值,

最小值為此時(shí)的尸點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，

二/3PC+/P'PC=180°,NA'PC+/PPC=180。，

ZBPC=120°,ZA'PC=120°,

又：APC=A'PC,

，ZAPC=ZAP'C=120°,

：.ZAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120。，

ZAPC=ZBPC=ZAPB=120。；

?/ZS4C>120°,

BC>AC,BC>AB,

：.BC+AB>AC+AB,BC+AOAB+AC,

三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小.

又.??已知當(dāng)ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).

該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A,

故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；@A.

(2)將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到APC,連接PP,

由(1)可知當(dāng)8,P,P',A在同一條直線上時(shí)，F(xiàn)4+P3+尸C取最小值，最小值為A3,

A'

/力

ZACP^ZACP1,

：.ZACP+ZBCP=ZA'CP+NBCP=ZACB=30°,

又：zpcr=60°

...ZBC4,=ZA'CP+ZBCP+ZPCP'=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A'C=3,

A'B=y/BC2+A'C2=742+32=5，

上4+PB+PC最小值為5,

(3)?:總、的鋪設(shè)成本=PA.a+PB.a+PC.在a=a(PA+PB+應(yīng)PC)

當(dāng)PA++y/2PC最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，

將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到.A'PC,連接PP,AB

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：PC=PC,"CP'=/AG4'=90。，PA=PA,A'C=AC=4km,

PP'=及PC，

PA+PB+&PC=P'A'+PB+PP'，

當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PP取最小值，即PA+PB+VIPC取最小

值為A3,

過(guò)點(diǎn)A，作A"_LBC,垂足為

VZACB=60°,ZACA'=90°,

ZA'CH=30°,

/.A'H=-A'C=2km,

2

HC=VAC2-AH2=V42-22=26(km)，

BH=BC+CH=2A/3+2百=4g(km),

AB=yjAH2+BH2=7(4A/3)2+22=2a(km)

PA+PB+6.PC的最小值為2而km

總的鋪設(shè)成本=PA,a+PB.a+PC.?=a(PA+PB+y/2PC)=2413a(元)

故答案為：2y/^>a

【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定

與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助

線是解本題的關(guān)鍵.

25.(2023?重慶?統(tǒng)考中考真題)在RtABC中，ZACB=90°,48=60。，點(diǎn)。為線段AB上

一動(dòng)點(diǎn)，連接co.

(1)如圖1,若AC=9,BD=6,求線段AD的長(zhǎng).

(2)如圖2,以C。為邊在上方作等邊;CDE,點(diǎn)/是DE的中點(diǎn)，連接3/并延長(zhǎng)，交CD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若NG=ZBCE,求證：GF=BF+BE.

⑶在CD取得最小值的條件下，以CD為邊在CO右側(cè)作等邊口CDE.點(diǎn)M為O)所在直線上

一點(diǎn)，將一跳河沿3”所在直線翻折至，ABC所在平面內(nèi)得到BNM.連接AN,點(diǎn)尸為

AN的中點(diǎn)，連接CP,當(dāng)CP取最大值時(shí)，連接3P,將’8。尸沿2。所在直線翻折至。45。

所在平面內(nèi)得到BCQ,請(qǐng)直接寫出此時(shí)等的值.

【答案】(1)573

(2)見(jiàn)解析

(3)空

【分析】(1)解RtABC,求得A3,根據(jù)AD=AB-應(yīng))即可求解；

(2)延長(zhǎng)FB使得FH=BG,連接EH,可得一GFD空HFE(SAS),根據(jù)

/DEC=NDBC=60。,得出B,C,O,E四點(diǎn)共圓，則N￡DB=NBCE,NBEC=NBDC,得

出NBEH=60°-ZBEC=60°-ZBDC=ZEDB,結(jié)合已知條件得出=ZBEH,可得

EB=BH,即可得證；

(3)在C。取得最小值的條件下，即CDLAB,設(shè)AB=4a,則3C=2a,AC=2^a,根

據(jù)題意得出點(diǎn)N在以8為圓心，。為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取48的中點(diǎn)S,連接SP,則SP是

ASN的中位線，P在半徑為1。的1S上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)CP取最大值時(shí)，即尸,S,C三點(diǎn)共線時(shí),

此時(shí)如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PTLAC于點(diǎn)T,過(guò)點(diǎn)N作順_LAC于點(diǎn)R,連接PQ,交NR于點(diǎn)U,

則四邊形巴/T是矩形，得出尸。是，AA火的中位線，同理可得P7是次的中位線，

△BCS是等邊三角形，將1aBeP沿2C所在直線翻折至11ABe所在平面內(nèi)得到BCQ,則

NQCP=2NBCP=120°,在RtNU。中，勾股定理求得NQ,進(jìn)而即可求解.

【詳解】(1)解：在RtABC中，ZACB=90°,^B=60°,

2

?/BD=y/3,

AD=AB-BD=5y/3;

(2)證明：如圖所示，延長(zhǎng)FB使得FH=FG,連接EH,

:尸是OE的中點(diǎn)則=FH=FG,ZGFD=ZHFE,

：.SGFD^HFE（SAS）,

ZH=ZG,

：.EH//GC,

/.ZHEC=ZECD=60°

DEC是等邊三角形，

：.ZDEC=ZEDC=60°,

,/NDEC=NDBC=60°,

???瓦C,D,E四點(diǎn)共圓,

:.NEDB=ZBCE,NBEC=NBDC,

：.ZBEH=60°-ZBEC=60°-ZBDC=ZEDB,

???ZG=ZBCE=ZBDE=ZH,

：?ZH=ZBEH,

EB=BH,

：.FH=FG=BF+BH=BF+EB；

(3)解：如圖所示，

在CO取得最小值的條件下，即CDLAB,

設(shè)AB—4a,則BC=2a,AC=26a，

?八門ACxBC2>j3ax2a后1

AB4〃2

???將一BEM沿BM所在直線翻折至，ABC所在平面內(nèi)得到.BNM.

：.BE=BN

???點(diǎn)N在以3為圓心，〃為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

取的中點(diǎn)S,連接SP,

則S尸是ABN的中位線，

???尸在半徑為,。的（S上運(yùn)動(dòng)，

2

當(dāng)CP取最大值時(shí)，即P,S,C三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PTLAC于點(diǎn)T,過(guò)點(diǎn)N作

人次，4。于點(diǎn)尺,

???S是A5的中點(diǎn)，ZABC=60°

：.SC=SB=BC,

???△BCS是等邊三角形，

則NPCfi=60。，

ZPCA=ZACB-ZBCP=30°,

?:BC=2a,AB=4a,

：.CS=BC=2a,PS=-a

2

：.PC^-a,PT=PCxsinZPCT=-PC^-a,TC="PT=』瓜

2244

?/AC=26a,

o

AT——y/Sci,

4

如圖所示，連接尸。，交NR于點(diǎn)U,則四邊形PORT是矩形，

APU//AR,P是AN的中點(diǎn)，

.NU_NP-

9t~UR~~PA~

即PD是4\放的中位線，同理可得PT是AA火的中位線,

.?.NU=UR=PT=-a,P