北京市十一所學(xué)校新高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷及答案解析

北京市十一所學(xué)校新高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．3．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．4．已知，滿足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．5．已知雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則的值是()A． B． C． D．8．函數(shù)（其中，，）的圖象如圖，則此函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．9．如圖，在三棱錐中，平面，，現(xiàn)從該三棱錐的個(gè)表面中任選個(gè)，則選取的個(gè)表面互相垂直的概率為（）A． B． C． D．10．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．11．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．12．下列選項(xiàng)中，說法正確的是（）A．“”的否定是“”B．若向量滿足，則與的夾角為鈍角C．若，則D．“”是“”的必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是___________14．如圖所示，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，,則異面直線與所成的角為____.15．若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則展開式中x的系數(shù)為_____16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，為邊上一點(diǎn)，，.（1）求；（2）若，，求.18．（12分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大小；（2）求點(diǎn)到平面的距離.19．（12分）如圖，已知四邊形的直角梯形，∥BC，，，，為線段的中點(diǎn)，平面，，為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．（1）若，（ⅰ）求證：PC∥平面；（ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）否存在實(shí)數(shù)滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，確定的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（12分）近年來，隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時(shí)選擇戴口罩，在一項(xiàng)對(duì)人們霧霾天外出時(shí)是否戴口罩的調(diào)查中，共調(diào)查了人，其中女性人，男性人，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)畫出等高條形圖如圖所示：（1）利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說明理由；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立一個(gè)列聯(lián)表；（3）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.附：21．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求的面積的值（或最大值）．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，三邊，，與面積滿足關(guān)系式：，且，求的面積的值（或最大值）．22．（10分）聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織對(duì)某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：年份20102012201420162018需求量（萬噸）236246257276286（1）由所給數(shù)據(jù)可知，年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系，我們以“年份—2014”為橫坐標(biāo)，“需求量”為縱坐標(biāo)，請(qǐng)完成如下數(shù)據(jù)處理表格：年份—20140需求量—2570（2）根據(jù)回歸直線方程分析，2020年聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬噸，問是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】分析：題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出.詳解：由題設(shè)有，故，故選A.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】由題意，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，得展開式的通項(xiàng)為，則展開式的通項(xiàng)為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛：此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低檔題，也是常考知識(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，從而問題可得解.4、D【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價(jià)于，作直線，向上平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)最大，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．5、D【解析】

設(shè)，利用余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，由雙曲線的定義可知：因此再由雙曲線的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線的漸近線方程為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、C【解析】

設(shè)，計(jì)算可得，再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè)，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像，，得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.7、C【解析】

利用先求出，然后計(jì)算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，,,故當(dāng)時(shí)，,數(shù)列是等比數(shù)列,則，故,解得,故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和的表達(dá)形式，只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).8、B【解析】

由圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，通過圖象經(jīng)過點(diǎn)，求出，從而得出函數(shù)解析式.【詳解】解：由圖象知，，則，圖中的點(diǎn)應(yīng)對(duì)應(yīng)正弦曲線中的點(diǎn)，所以，解得，故函數(shù)表達(dá)式為．故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象及性質(zhì)，三角函數(shù)的解析式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)線面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，這樣可確定垂直平面的對(duì)數(shù)，再求出四個(gè)面中任選2個(gè)的方法數(shù)，從而可計(jì)算概率．【詳解】由已知平面，，可得，從該三棱錐的個(gè)面中任選個(gè)面共有種不同的選法，而選取的個(gè)表面互相垂直的有種情況，故所求事件的概率為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率，解題關(guān)鍵是求出基本事件的個(gè)數(shù)．10、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.11、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，排除C和D.當(dāng)時(shí)，，，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題.12、D【解析】

對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，即可判斷出；對(duì)于B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角；對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí)，滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；對(duì)于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷．【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，因此A不正確；選項(xiàng)B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角，因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正確；選項(xiàng)D若“”，則且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要條件，故正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先還原幾何體，再根據(jù)柱體體積公式求解【詳解】空間幾何體為一個(gè)棱柱，如圖，底面為邊長(zhǎng)為的直角三角形，高為的棱柱，所以體積為【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及柱體體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題14、【解析】

要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，找出邊的中點(diǎn)，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【詳解】取的中點(diǎn)E,連AE,,易證，∴為異面直線與所成角，設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為，易算得∴在∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，本題是一個(gè)典型的異面直線所成的角的問題，解答時(shí)也是應(yīng)用典型的見中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，注意求角的三個(gè)環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求．15、2025【解析】

利用賦值法，結(jié)合展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和列方程，由此求得的值.再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中的系數(shù).【詳解】依題意，令，解得，所以，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為：令，得，所以的系數(shù)為.故答案為：2025【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，考查二項(xiàng)式展開式指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

本題先根據(jù)公式初步找到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可解得的值，即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列的表達(dá)式計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算出前項(xiàng)和，再代入不等式進(jìn)行計(jì)算可得最小正整數(shù)的值．【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．則，．，，成等差數(shù)列，，即，解得．．，．．．，．即，，即，，，，即．滿足的最小正整數(shù)的值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和，考查了轉(zhuǎn)化思想、方程思想，考查了不等式的計(jì)算、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）4【解析】

（1），利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可；（2）設(shè)，在中，用正弦定理將用x表示，在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】（1）∵，∴，所以，.（2）∵，∴設(shè)，，在中，由正弦定理得，，∴，∴，∵，∴∴.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）建立空間坐標(biāo)系，通過求向量與向量的夾角，轉(zhuǎn)化為異面直線與直線所成的角的大?。唬?）先求出面的一個(gè)法向量，再用點(diǎn)到面的距離公式算出即可．【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建系，設(shè)所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為，異面直線與直線所成的角的大小為．（2）因?yàn)?，，設(shè)是面的一個(gè)法向量，所以有即，令，，故，又，所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點(diǎn)到面的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．19、（1）（?。┳C明見解析（ⅱ）（2）存在，【解析】

（1）（i）連接交于點(diǎn)，連接，，依題意易證四邊形為平行四邊形，從而有，，由此能證明PC∥平面（ii）推導(dǎo)出，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；（2）設(shè)，求出平面的法向量，利用向量法求解.【詳解】（1）（?。┳C明：連接交于點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以,因?yàn)?，所以因?yàn)椤嗡运倪呅螢槠叫兴倪呅危杂忠驗(yàn)?，所以又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．（ⅱ）解：如圖，在平行四邊形中因?yàn)?，，所以以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則，，，所以，，，平面的法向量為設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，設(shè)平面和平面所成的銳二面角為，則所以銳二面角的余弦值為（2）設(shè)所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，所以解得所以存在滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題二查線面平行的證明，考查銳二面角的余弦值的求法，考查滿足線面角的正弦值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線，線面，面面的位置關(guān)系等知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）圖形見解析，理由見解析；（2）見解析；（3）犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系【解析】

（1）利用等高條形圖中兩個(gè)深顏色條的高比較得出性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系；（2）填寫列聯(lián)表即可；（3）由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論．【詳解】解：（1）在等高條形圖中，兩個(gè)深色條的高分別表示女性和男性中霧霾天外出戴口罩的頻率，比較圖中兩個(gè)深色條的高可以發(fā)現(xiàn)，女性中霧霾天外出帶口罩的頻