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第2講數(shù)論專(zhuān)題(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、復(fù)習(xí)帶余除法、同余性質(zhì)、中國(guó)剩余定理問(wèn)題;2、熟悉數(shù)論常見(jiàn)的解題思路?!局R(shí)梳理】1、同余問(wèn)題:若a,b除以c的余數(shù)相同,那么(a-b)能被c整除。2、余數(shù)的三大性質(zhì):(1)和的余數(shù)等于余數(shù)的和;(2)差的余數(shù)等于余數(shù)的差;(3)積的余數(shù)等于余數(shù)的積?!镜淅觥俊纠?】滿足被4除余1,被5除余1,被6除余1的最小自然數(shù)是____。[4,5,6]=6060+1=61【趁熱打鐵-1】滿足被5除余3,被6除余3,被7除余3的最小自然數(shù)是____。[5,6,7]=210210+3=213【例2】有一個(gè)自然數(shù)分別去除360、314、245得到相同的余數(shù),這個(gè)自然數(shù)最大可能是多少?360-314=46314-245=69360-245=115(46,69,115)=23∴最大可能是23.【趁熱打鐵-2】692、608、1126三個(gè)數(shù)分別除以同一個(gè)自然數(shù),得到的余數(shù)相同,這個(gè)自然數(shù)是多少?1126-692=434692-608=84(434,84)=14∵14的約數(shù)有1,2,7,14,且692、608、1126除以1或者2都沒(méi)有余數(shù),∴這個(gè)自然數(shù)是7或者14.【例3】有3個(gè)吉利數(shù):888,518,666,用它們分別除以同一個(gè)自然數(shù),所得余數(shù)依次為a,a+7,a+10,求這個(gè)自然數(shù).518-7=511,666-10=656,即888、511、656除以這個(gè)自然數(shù)余數(shù)都為a,888-511=377,888-656=232,(377,232)=29所以這個(gè)自然數(shù)為29。【趁熱打鐵-3】有一個(gè)自然數(shù),用它去除226余a,去除411余a+1,去除527余a+2,則a=19?!哂么藬?shù)去除410余a,去除525余a,即除226、410、525的余數(shù)相同。410-226=184,525-410=115,(184,115)=23∴此自然數(shù)是:23,∴226÷23=9……19,即:a=19。【例4】一個(gè)小于200的自然數(shù),被7除余2,被8除余3,被9除余1,這個(gè)數(shù)是多少?∵[7,8]=56,這個(gè)數(shù)是:56-5=51或56×2-5=107或56×3-5=163又∵163÷9=18……1∴這個(gè)數(shù)是163.【趁熱打鐵-4】滿足被5除余3,被6除余1,被7除余2的最小自然數(shù)是多少?∵(6,7)=42,這個(gè)數(shù)是:42-5=37或42×2-5=79或42×3-5=121或42×4-5=163又∵163÷5=32……3∴這個(gè)數(shù)是163.【例5】一堆蘋(píng)果,2個(gè)2個(gè)地?cái)?shù)剩1個(gè),3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)剩2個(gè),4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)剩3個(gè),5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)剩4個(gè),6個(gè)6個(gè)地?cái)?shù)剩5個(gè),求這堆蘋(píng)果至少有多少個(gè)?[2,3,4,5,6]=6060-1=59(個(gè))【趁熱打鐵-5】有一袋奶糖發(fā)給學(xué)前班的小朋友,每人得8,最后刻下1糖,每人得10最后也剩下1顆糖,每人得12顆,最后還是剩下1顆糖。這袋奶糖至少有多少顆?[8,10,12]=120120+1=121(顆)【例6】某歌舞團(tuán)200多人在大廳列隊(duì)排練,若排成7排則多2人,排成5排則多4人,排成6排則多3人,問(wèn)該歌舞團(tuán)共有多少人?設(shè)改歌舞團(tuán)的人數(shù)為m,則4m除以7余1,4m除以5余1,4m除以6沒(méi)有余數(shù)。[7,5]=35,且m>200,則4m>800?!?m=35×23+1=806(舍去)或4m=35×24+1=841(舍去)或4m=35×25+1=876(滿足題意)∴該歌舞團(tuán)的人數(shù)為:876÷4=219(人)【趁熱打鐵-6】某整數(shù)除以5余4,除以7余2,除以11余8,這個(gè)整數(shù)最小是多少?設(shè)這個(gè)整數(shù)最小是m,則3m除以5余2,除以11余2,除以7余6,[5,11]=55∴3m=55×1+2=57(舍去)或3m=55×2+2=112(舍去)或3m=55×3+2=167或3m=55×4+2=222(舍去)或3m=55×5+2=277(舍去)或3m=55×6+2=332(舍去)或3m=55×7+2=387(舍去)或3m=55×8+2=442(舍去)或3m=55×9+2=497(舍去)或3m=55×10+2=552(滿足題意:552÷7=78……6)∴這個(gè)整數(shù)最小是:552÷3=184.【例7】如果一個(gè)自然數(shù)a除以6余4,除以9余4,且a共有6個(gè)不同的約數(shù),那么a最小是多少?(6,9)=18∴a=18×1+4=22,22的因數(shù)有1、2、11、22(舍去)或a=18×2+4=40,40的因數(shù)有1、2、4、5、8、10、20、40(舍去)或a=18×3+4=58,58的因數(shù)有1、2、4、7、8、14、28、56(舍去)或a=18×4+4=76,76的因數(shù)有1、2、4、19、38、76(滿足題意)∴a最小是76.【趁熱打鐵-7】一個(gè)自然數(shù)分別用7、8、9去除,余數(shù)分別為1、2、3,三個(gè)商數(shù)的和為570,這個(gè)自然數(shù)是____.∵[7,8,9]=504,三個(gè)商數(shù)的和是570,∴(72+63+56)n-3=570,n=3∴這個(gè)自然數(shù)是504×3-6=1506.【例8】在一根長(zhǎng)木棍上分別用紅、黃、藍(lán)三種顏色做標(biāo)記,將木棍分成了10等份、12等份和15等份。如果沿這三種標(biāo)記把木棍鋸斷,木棍總共被鋸成多少段?∵[10,12,15]=0,∴設(shè)這根木棍長(zhǎng)60厘米。∵60÷10=6(厘米),60÷12=5(厘米),60÷15=4(厘米)[4,5]=20,[5,6]=30,[4,6]=12∴60÷30-1=1(條),60÷20-1=2(條),60÷12-1=4(條)又∵10等份的為第一種刻度線,共:10-1=9(條)12等份的為第二種刻度線,共:12-1=11(條)15等份的為第三種刻度線,共:15-1=14(條)∴標(biāo)記一共有:9+11+14-1-2-4=27(條)∴木棍總共被鋸成:27+1=28(段)【趁熱打鐵-8】深冬的一個(gè)早晨,小明和爸爸踏著積雪,一前一后沿著圓形跑道從同一起點(diǎn)朝同一方向跑步鍛煉,爸爸每步50厘米,小明每步30厘米,雪地上的腳印時(shí)有重合,一圈跑下來(lái),一共留有1680個(gè)腳印。這個(gè)跑道一圈的長(zhǎng)度是多少米?解:[50,30]=150,第一次兩人腳印重合時(shí),爸爸走的步數(shù):150÷5=3(步),小明走的步數(shù):150÷3=5(步),即爸爸3步與小明5步時(shí)腳印重合一次,此時(shí)有3+5-1=7個(gè)腳印,距離是150厘米,總共有1680個(gè)腳印,應(yīng)重合的次數(shù):1680÷7=240(次)所以這條路長(zhǎng)是240×150=36000(厘米)36000厘米=360米;答:這個(gè)跑道一圈長(zhǎng)360米.【過(guò)關(guān)精煉】1、某數(shù)除以11余8,除以13余10,除以17余12,那么這個(gè)數(shù)的最小可能值是_______.解:因?yàn)榇藬?shù)加3以后,能被11,13整除,除以17余15,[11,13]=143,143÷17=8……7,7×7=49,49÷17=2……15.∴最小可能是:143×7-3=998.2、一個(gè)數(shù)除以5余2,除以7余2,除以11余9,滿足條件的最小自然數(shù)是____.[5,7]=3535÷11=3……22×9=18,18÷11=1……7∴最小是:35×9+2=3173、有一個(gè)數(shù),除以3余數(shù)是2,除以4余數(shù)是1.問(wèn)這個(gè)數(shù)除以12余數(shù)是幾?設(shè)這個(gè)數(shù)為m,則5m除以3余1,除以4余1,[3,4]=12∴5m可能是12×n+1,∴m最小是5;5÷12=0……5∴這個(gè)數(shù)除以12余數(shù)是5.4、用紅筆在一根木棍上做了三次記號(hào),第一次把木棍分成12等份,第二次把木棍分成15等份,第三次把木棍分成20等份,然后沿著這些紅記號(hào)把木棍鋸開(kāi)。一共鋸成多少小段?∵[12,15,20]
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