專題09 余弦定理、正弦定理的應(yīng)用（十大題型+跟蹤訓(xùn)練）（原卷版）

專題09余弦定理、正弦定理的應(yīng)用（十大題型+跟蹤訓(xùn)練）目錄：題型1：正、余弦定理判定三角形形狀題型2：正、余弦定理證明三角形中的恒等式或不等式題型3：求三角形中的邊長或周長的最值或取值范圍題型4：幾何圖形中的計(jì)算題型5：距離測量問題題型6：高度測量問題題型7：角度測量問題題型8：正、余弦定理的其他應(yīng)用題型9：求三角形面積的最值或范圍題型10：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合題型1：正、余弦定理判定三角形形狀1．在中，若，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．直角三角形2．設(shè)中角，，所對的邊分別為，，；若，，；則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能3．在中，若，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定題型2：正、余弦定理證明三角形中的恒等式或不等式4．若A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．5．在中，，，，，則下列關(guān)系不成立的是（

）A． B． C． D．6．在中，內(nèi)角，都是銳角.(1)若，，求周長的取值范圍；(2)若，求證：.題型3：求三角形中的邊長或周長的最值或取值范圍7．在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則的周長的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．記的內(nèi)角的對邊分別為．若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．在銳角中，角的對邊分別為為的面積，且，則的取值范圍為（）A． B．C． D．題型4：幾何圖形中的計(jì)算10．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，D為邊BC上一點(diǎn)，，，則的面積為（

）A． B． C． D．11．已知凸四邊形內(nèi)接于圓，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．12．設(shè)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型5：距離測量問題13．我國遼代著名的前衛(wèi)斜塔（又名瑞州古塔）位于葫蘆島市綏中縣.現(xiàn)存塔身已經(jīng)傾斜且與地面夾角60°，若將塔身看做直線，從塔的第三層地面到第三層頂可看做線段，且在地面的射影為1m，則該塔第三層地面到第三層頂?shù)木嚯x是（

）A． B． C． D．2m14．如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為（

）A． B．C． D．15．某地為響應(yīng)習(xí)近平總書記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測得∠C＝120°，米，米，則A，B間的直線距離約為（

）A．60米 B．130米 C．150米 D．300米題型6：高度測量問題16．如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區(qū)甲秀路，是該市的標(biāo)志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復(fù)原名、現(xiàn)存建筑是宣統(tǒng)元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進(jìn).某研究小組將測量甲秀樓最高點(diǎn)離地面的高度，選取了與該樓底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)與，現(xiàn)測得，，，在點(diǎn)測得甲秀樓頂端的仰角為，則甲秀樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A． B． C． D．17．如圖，某人為測量塔高，在河對岸相距的，處分別測得，，（其中，與塔底在同一水平面內(nèi)），則塔高（

）A．B．C．D．18．某校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量其高度，在地面上共線的三點(diǎn)處分別測得點(diǎn)的仰角為，且，則高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A． B． C． D．題型7：角度測量問題19．一艘游輪航行到處時(shí)看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續(xù)航行到處時(shí)再看燈塔在其南偏東方向，則此時(shí)燈塔位于游輪的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向20．位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營救，甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距10nmile的C處的乙船．乙船也立即朝著漁船前往營救，則＝（

）A． B． C． D．21．北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為，半徑為的球，若地球表面上的觀測者與某顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星處于相同經(jīng)度，且能直接觀測到，設(shè)點(diǎn)的維度（與赤道平面所成角的度數(shù)）的最大值為，則（

）A． B． C． D．題型8：正、余弦定理的其他應(yīng)用22．如圖，已知正方形的邊長為，點(diǎn)從頂點(diǎn)沿著的方向，向頂點(diǎn)運(yùn)動，速度為，同時(shí)，點(diǎn)從頂點(diǎn)沿著的方向，向頂點(diǎn)運(yùn)動，速度為，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．123．某社區(qū)為了美化社區(qū)環(huán)境，欲建一塊休閑草坪，其形狀如圖所示為四邊形，，（單位：百米），，，且擬在、兩點(diǎn)間修建一條筆直的小路（路的寬度忽略不計(jì)），則當(dāng)草坪的面積最大時(shí)，（

）A．百米 B．百米 C．百米 D．百米24．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里有一個(gè)題目：“問有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知為田幾何．”題意是有一個(gè)三角形的沙田，其三邊長分別為13里、14里、15里、1里為300步，設(shè)6尺為1步，1尺＝0.231米，則該沙田的面積約為（

）（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）A．15.6平方千米 B．15．2平方千米 C．14.8平方千米 D．14.5平方千米題型9：求三角形面積的最值或范圍25．在中，內(nèi)角所對的邊分別是，若，且外接圓的半徑為2，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．26．已知中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，D是AB上的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）且，，則的最大值是（

）A． B． C． D．27．我國南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨(dú)立提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術(shù)”，即的面積，其中分別為的內(nèi)角的對邊，若，且，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．題型10：正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合28．若是垂心，且，則（

）A． B． C． D．29．在中,內(nèi)角所對的邊分別為,且,若為銳角,則的最大值為A． B．C． D．30．在銳角中，角的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．一、單選題1．在中，，則（

）A．為直角 B．為鈍角 C．為直角 D．為鈍角2．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．363．如圖，已知在的內(nèi)接四邊形中，，則（

）A． B． C． D．4．學(xué)校體育館的人字形屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m，A＝30°，則其跨度AB的長為（

）A．12m B．8mC．2m D．4m5．在一幢米高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?，塔基的俯角為，那么這座塔吊的高是（

）A． B． C． D．6．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若a+b＝2，則△ABC的面積的最大值為（）A． B． C． D．7．如圖所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正東方向，且與A相距120km，D在A的北偏東30°方向，且與A相距60km，C在B的北偏東30°方向，且與B相距km，一架飛機(jī)從城市D出發(fā)，以360km/h的速度向城市C飛行，飛行了15min，接到命令改變航向，飛向城市B，此時(shí)飛機(jī)距離城市B有（

）A．120km B．km C．km D．km8．在ΔABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，b=c，且滿足.若點(diǎn)O是ΔABC外一點(diǎn)，∠AOB=θ()，OA=2，OB=4，則平面四邊形OACB面積的最大值（

）A． B． C． D．二、多選題9．在中，下列說法正確的有（

）A．若，則B．若為銳角三角形，則C．若，則一定是等腰三角形D．若為鈍角三角形，且，，，則的面積為10．如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成圖1所示的菱形和圖2所示的正方形弦圖．若直角三角形的斜邊長為10，則以下結(jié)論正確的是（

）A．圖1菱形面積的最大值為100B．圖1菱形的兩條對角線之和的最小值為C．當(dāng)圖2小正方形的邊長為2時(shí)，圖1菱形的一條對角線長為12D．當(dāng)圖1菱形的一個(gè)銳角的余弦值為時(shí)，圖2小正方形的面積為2011．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則的外接圓的面積為B．若，且有兩解，則b的取值范圍為C．若，且為銳角三角形，則c的取值范圍為D．若，且，O為的內(nèi)心，則的面積為12．在銳角中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知，若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題13．在中，邊所對的角分別為，若，，則；.14．如圖所示，為了測量A、B處島嶼的距離，小海在D處觀測，A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西45°方向，則A、B兩島嶼的距離為海里．15．在中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，則該三角形為三角形.16．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則的取值范圍為．四、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)證明：；(2)記邊AB和BC上的高分別為和，若，判斷的形狀．18．在某次地震時(shí)，震中A(產(chǎn)生震動的中心位置)的南面有三座東西方向的城市B，C，D.已知B，C兩市相距20km，C，D相距34km，C市在B，D兩市之間，如圖所示，某時(shí)刻C市感到地表震動，8s后B市感到地表震動，20s后D市感到地表震動，已知震波在地表傳播的速度為每秒1.5km.求震中A到B，C，D三市的距離.19．在①；②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題．在中，內(nèi)角所對的邊分別是，且______．(1)求角的大小；(2)若點(diǎn)滿足，且線段，求面積的最大值．20．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，，.(1)求索道AB的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3min，乙步行的速度應(yīng)控