安徽省皖江2024年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

安徽省皖江聯(lián)盟2024年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

復(fù)數(shù)詈1=().

1.

2-1

A.iB.1+iC.-iD.1-i

2.過拋物線丁=2內(nèi)(p〉0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于4B兩點(diǎn),若線段A6中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,且|人目=8,則

拋物線的方程是()

A.y2=2xB.y2-4xC.j2=8xD.y2=10x

3.設(shè)a=0.82°5,Z?=sinl,c=lg3,則a,b,c三數(shù)的大小關(guān)系是

A.a<c<bB.a<b<C

C.c<b<aD.b<c<a

22

4.已知雙曲線亍—方=1(b>0)的漸近線方程為&±y=0,則匕=()

A.2百B.73C.與D.473

5.已知數(shù)列工-1是公比為1的等比數(shù)列，且4〉0,若數(shù)列｛?｝是遞增數(shù)列，則由的取值范圍為()

anJ3

A.(1,2)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)

6.已知正項等比數(shù)列｛4｝的前幾項和為S“，且7s2=4S"則公比q的值為()

A.1B.1或工C.—D.tB

222

7.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60。，則雙曲線C的方程不可能為()

22222222

A.土-乙=1B.土-乙=1C.匕-土=1D.匕-土=1

155515312217

8.洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一,

左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖，若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中

分別隨機(jī)選取1個數(shù)，則其和等于11的概率是（).

9.小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12：00-12：10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居

住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是（）

143

A.—B.—C.—D.-

2584

10.在等差數(shù)列｛%｝中，若。2=4,%=8,則%=（）

A.8B.12C.14D.10

11.在等腰直角三角形ABC中，ZC=-,CA=2s/2,。為A5的中點(diǎn)，將它沿CD翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)3間的距離

2

為2如，此時四面體ABC。的外接球的表面積為（）.

20A/5

A.5兀B.-----nC.12萬D.20兀

12.直線y=Ax+l與拋物線C：%2=4＞交于A,5兩點(diǎn)，直線///.,且/與C相切，切點(diǎn)為P,記上鉆的面積

為S,則S—的最小值為（）

9273264

A.----B.------C.------D.------

442727

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知平面向量。與人的夾角為。=（0,—1）,|6|=1,貝!l|2a—勿=.

14.在正方體ABC。-A4CQ］中，已知點(diǎn)尸在直線AB】上運(yùn)動，則下列四個命題中：①三棱錐。-的體積不

變;②。P_LDC；③當(dāng)尸為Ag中點(diǎn)時，二面角P-4G-C的余弦值為g；④若正方體的棱長為2,則\DP\+\BP\

的最小值為&+4及；其中說法正確的是（寫出所有說法正確的編號）

15.已知數(shù)列｛an｝滿足an+l=3a”,且?+%+綜=9,貝！I蜒工（%+%+?=.

3

16.已知數(shù)列｛?｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若%-%=5,貝（J%+8%的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=1----1

17.（12分）在平面直角坐標(biāo)系X。，中，直線/的參數(shù)方程為2a為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為

卜=91

p=4cos0.

（I）求直線/的普通方程及曲線。的直角坐標(biāo)方程；

/、11

（II）設(shè)點(diǎn)P（l,0）,直線/與曲線。相交于A,B,求網(wǎng)+國的值.

18.（12分）橢圓E：[+/=l（a〉6〉0）的離心率為半，點(diǎn)（6,、歷）為橢圓上的一點(diǎn).

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若斜率為左的直線/過點(diǎn)4（0,1）,且與橢圓E交于兩點(diǎn)，3為橢圓E的下頂點(diǎn)，求證：對于任意的實(shí)數(shù)上,

直線BC,BD的斜率之積為定值.

19.（12分）求函數(shù)y=J匚三+\3x+2的最大值.

20.（12分）為了實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興之夢，把我國建設(shè)成為富強(qiáng)民主文明和諧美麗的社會主義現(xiàn)代化強(qiáng)國，黨和

國家為勞動者開拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動的舞臺.借此“東風(fēng)”，某大型現(xiàn)代化農(nóng)場在種植某種大棚有機(jī)無公害的蔬菜時，

為創(chuàng)造更大價值，提高畝產(chǎn)量，積極開展技術(shù)創(chuàng)新活動.該農(nóng)場采用了延長光照時間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比

較兩種方案下產(chǎn)量的區(qū)別，該農(nóng)場選取了40間大棚（每間一畝），分成兩組，每組20間進(jìn)行試點(diǎn).第一組采用延長光

照時間的方案，第二組采用降低夜間溫度的方案.同時種植該蔬菜一季，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)信息如下圖：

（1）如果你是該農(nóng)場的負(fù)責(zé)人，在只考慮畝產(chǎn)量的情況下，請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，對于下一季大棚蔬菜的種植，說

出你的決策方案并說明理由；

（2）已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長光照時間的方案，光照設(shè)備每年的成本為0.22千元/畝;

若采用夜間降溫的方案，降溫設(shè)備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農(nóng)場共有大棚100間（每間1畝），農(nóng)場種植的該

蔬菜每年產(chǎn)出巧衣，且該蔬菜市場的收購均價為1千元/千斤.根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，用樣本估計總體，請計算在兩種不同

的方案下，種植該蔬菜一年的平均利潤；

(3)農(nóng)場根據(jù)以往該蔬菜的種植經(jīng)驗，認(rèn)為一間大棚畝產(chǎn)量超過5.25千斤為增產(chǎn)明顯.在進(jìn)行夜間降溫試點(diǎn)的20間大

棚中隨機(jī)抽取3間，記增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為X,求X的分布列及期望.

21.(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，

直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.

(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用(單

位：元)，求X的分布列.

1,

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=5以~+(l-a)x-lnx,aeR.

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

r

(2)若ae=xe-x-lnx+a,證明：Vxje(0,2],3x2e(0,+oo),使/'(xj—g(%2)>2-ln2.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

1+27（1+27）（2+，）2+，+4i—2

試題分析:故選A.

2-i（2-。（2+，）5

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算

【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù)，加減運(yùn)算類似于多項式的合并同類項，乘

法法則類似于多項式的乘法法則，除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實(shí)數(shù)化.

2、B

【解析】

利用拋物線的定義可得,1AB|=|AF|+1|=%1+|+x2+|，把線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,|明=8代入可得p值，

然后可得出拋物線的方程.

【詳解】

設(shè)拋物線y?=2px(p>0)的焦點(diǎn)為居設(shè)點(diǎn)A(x1,yI),B(x2,y2),

由拋物線的定義可知IA31=|AF\+\BF\=xl+-^+x2+^=(xl+x2)+p,

線段A5中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,又|AB|=8,;.8=6+。，可得。=2,

所以拋物線方程為/=4%.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.

3、C

【解析】

利用對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計算公式，將a,b,c與世,工比較即可.

V52

【詳解】

由a=0.82°5>0.8。5=目

1,「.冗小肉[4

一<b=sin1<sin—=——J—</一，

232V44V5

c=lg3<lgV10=|lgl0=1,

所以有選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)值，指數(shù)值和正弦值大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵，注意合理地進(jìn)行等

價轉(zhuǎn)化.

4、A

【解析】

221

根據(jù)雙曲線方程土-當(dāng)=1(6>0),確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)漸近線方程瓜±y=0得到一=G求解.

4b~a

【詳解】

22

因為雙曲線^-—1=1(b>0),

4b2

所以a=2,又因為漸近線方程為gx±y=O,

所以，

a2

所以Z?=2^/3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

先根據(jù)已知條件求解出｛4｝的通項公式，然后根據(jù)｛4｝的單調(diào)性以及4〉0得到為滿足的不等關(guān)系，由此求解出外的

取值范圍.

【詳解】

因為4〉0,數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列,

]1

所以4+1〉4〉0,則[，-1丫1丫+1

)11

化簡得0<一1-<一—1,所以0<q<l.

)36

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列通項公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍，難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性，可根據(jù)為,《+1之間的大

小關(guān)系分析問題.

6、C

【解析】

由7s2=454可得3（%+02）=4（%+%）,故可求4的值.

【詳解】

因為7s2=4邑，所以3(%+02)=4(84-S2)=4(%+%),

故/=：,因｛4｝為正項等比數(shù)列，故q>0,所以“=］；，故選C

【點(diǎn)睛】

一般地，如果｛4｝為等比數(shù)列，S”為其前〃項和，則有性質(zhì)：

(1)若m,n,p,qwN*,m+n=p+，q,則1M=%/%

(2)公比qwl時，則有S“=A+3q",其中43為常數(shù)且人+5=0；

(3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,為等比數(shù)列(S”70)且公比為q".

7、C

【解析】

判斷出已知條件中雙曲線C的漸近線方程，求得四個選項中雙曲線的漸近線方程，由此確定選項.

【詳解】

兩條漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與X軸的夾角時要分為兩種情況.依題意，雙曲漸近線與X軸的夾角為30?；?0。,

雙曲線。的漸近線方程為>=±￡%或'=土百X.A選項漸近線為y=±gx,B選項漸近線為y=C選項

122

漸近線為y=土5X，D選項漸近線為y=土瓜.所以雙曲線C的方程不可能為，一%=1?

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

基本事件總數(shù)〃=4x5=20,利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個，由此能求出其和等于11的概率.

【詳解】

解：從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個數(shù)，

基本事件總數(shù)〃=4*5=20,

其和等于11包含的基本事件有：(9,2),(3,8),(7,4),(5,6),共4個，

41

???其和等于11的概率。=與=1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

x<y

設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時間分別為羽y,以12：00點(diǎn)為開始算起，則有"「在平面直角

10?101倉。0—1倉65a

P=22=3.

'10,108

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

10、C

【解析】

將出，%分別用/和d的形式表示，然后求解出％和d的值即可表示%.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項為由,公差為d,

a+J=4,.、

則由。2=4,。4=8,得〈解得q=2,d=2,

%+3d=8,

所以。7=%+6d=14.故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值，可通過構(gòu)建4和d的方程組求通項公式.

11、D

【解析】

如圖，將四面體ABC。放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上

下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，這樣根據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.

【詳解】

AABC中，易知AB=4>CD-AD-BD—2

翻折后AB=2^3,

2x2x22

,-.ZADB=120，

設(shè)MDB外接圓的半徑為r,

=2r=4,:.r=2,

sin120

如圖：易得CD,平面4犯，將四面體ABC。放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，設(shè)幾何體

外接球的半徑為R,

火2=/+]2=2?+/=5,

???四面體ABCD的外接球的表面積為S=4%R2=20萬.

故選：D

c

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑

時，一般可以用補(bǔ)形法，因正方體，長方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長方體,

比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.

12、D

【解析】

設(shè)出坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式求得卜固，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得P到A3的距離,

得到NPAB的面積為S,作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值.

【詳解】

/\/、[y=kx+l

設(shè)B[x2,y2）9聯(lián)立彳2_,得/_4丘—4=0

x=4y

則%+%2=4左，X+%=人（石+%2）+2=4左2+2

2

則\AB\=yl+y2+p=4k+4

f1

由x?=4y,得y=:—=4>y'=-x

J42

2

設(shè)P（l，%），則gxg=k==2k,y0=k

則點(diǎn)P到直線丁=丘+1的距離1=病121

從而s=J明.d=2（左2+i）.京Z

S-|AB|=2（Z:2+l）-7^+l-4（^+l）=2J3-4J2（4Z>l）.

令/(x)-2x3-4x2nf(x)=6/-8x(x>1)

當(dāng)iWxwg時，/,(x)<0；當(dāng)x>g時，/'(x)>0

故/(Hmm=/[g]=—即5-|4耳的最小值為一￡

本題正確選項：D

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用

構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、V13

【解析】

根據(jù)已知求出利用向量的運(yùn)算律，求出|2”次即可.

【詳解】

由a=(G,—1)可得|a|=J(百了+(—1)2=2，

-一--71

則a?b=|a|?161cosy=1,

所以12。一〃|=J(2a-/?)2=J4a-4a?b+b=\/13?

故答案為:厄

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、①②④

【解析】

①???A耳〃DC-〃平面DBG,得出AB1上任意一點(diǎn)到平面D8C1的距離相等，所以判斷命題①；

②由已知得出點(diǎn)尸在面DCG2上的射影在DC上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題②；

③當(dāng)P為A片中點(diǎn)時，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系。-盯z,如下圖所示，運(yùn)用二面角的空間向量求解方法

可求得二面角P-AG-C的余弦值，可判斷命題③；

④過A片作平面交4。于點(diǎn)“，做點(diǎn)。關(guān)于面A4M對稱的點(diǎn)G,使得點(diǎn)G在平面A3與4內(nèi)，根據(jù)對稱

性和兩點(diǎn)之間線段最短，可求得當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)q時，。，45在一條直線上，|。月+忸尸|取得最小值|GB|.可判斷命題

④.

【詳解】

①ABJ/Dq，二AB}H平面DBC],所以A用上任意一點(diǎn)到平面DBCX的距離相等，所以三棱錐D-C.BP的體積

不變，所以①正確；

②P在直線AB】上運(yùn)動時，點(diǎn)尸在面。eq。上的射影在DG上，所以O(shè)P在面DCG2上的射影在。。上，又

DC,±CD,,所以。P_L2C,所以②正確；

③當(dāng)P為A片中點(diǎn)時，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系。-孫z,如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為2.

則：4(2,0,0),4(2,2,2),尸(2,1,1),4(2,0,2),6(0,2,2),。(0,2,0),所以

4G=(-2,2,0),B4I=(0,-l,l),CC；=(0,0,2),

Tn-A.C=0—2x+2y=0

設(shè)面ACP的法向量為加=(xjz),貝！|Qi}，即二，令x=l,則y=l,z=l,.?.根=(1,1,1),

mP\=0[-y+z=0

〃?AG=0—2%+2y=0

設(shè)面AGC的法向量為〃=(%,yz),?i八，即c八”=(1,1,。)，

nCq=0[2z=0

m-n2_V6

/.cos<m,n>,由圖示可知，二面角P—AC—c是銳二面角，所以二面角P—AG—c

|/n|-\n\3

的余弦值為逅，所以③不正確;

3

④過ABt作平面AB.M交4。于點(diǎn)M,做點(diǎn)。關(guān)于面ABtM對稱的點(diǎn)G,使得點(diǎn)G在平面ABB,A.內(nèi)，

則。尸=GP,D4=GA,DG，Ag,所以快叫+忸尸|=@4+忸尸|,當(dāng)點(diǎn)「在點(diǎn)片時，在一條直線上,

+怛”取得最小值

因為正方體的棱長為2,所以設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G（2,加,〃），DG=（2,m,n）,做=（0,2,2）,所以

DG?AB{=2m+2n=0,

所以根=―〃9又DA=GA=2,所以機(jī)=—J5,n-y/2，

所以G（2,—0,0）,B（2,2,0）,|G邳=42—2）2+-后一2『+（行—=,8+4后，故④正確.

故答案為：①②④.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查空間里的線線，線面，面面關(guān)系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運(yùn)用對稱的

思想，兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解，屬于難度題.

15、-5

【解析】

數(shù)列｛4｝滿足一=3%知，數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列，再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得l°g/%+%+%）的值即

3

可.

【詳解】

a=

n+\3ati9

???數(shù)列｛4｝是以3為公比的等比數(shù)列,

又。2+&+。6=9,

35

.，.%+%+%=9x3=39

「.10g](“5+%+%)=—log?35=—5

3

故答案為：-5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列定義，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項公式，是中檔題.

16、40

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為4,根據(jù)。3-%=5,可得可=式；_1）'因為

5(7+8)（9、

%+8%-+=54-1+」一+2，根據(jù)均值不等式，即可求得答案.

(7—1I"I）

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,

。3。2—5f

5

CL-----------,

綱-1)

等比數(shù)列｛%｝的各項為正數(shù)，

/.q>l9

/,、5年+8)

%+8%=aiQ\Q+8J=-----

(9)

=5q-l+——+2>40,當(dāng)且僅當(dāng)q—1=3,

Iq—iJ

即q=4時，%+8%取得最小值40.

故答案為：40.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求數(shù)列值的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項公式和靈活使用均值不等式，考查了分析能力和

計算能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)l-.x+43y-l=Q,C:(x-2)2+y2=4；(II)半.

【解析】

X—1------1

(I)由2。為參數(shù))直接消去參數(shù)乙可得直線的普通方程，把夕=4cos。兩邊同時乘以。，結(jié)合

1

y=-t

V2

yO2=x2+y2,x=pcos?？傻们€的直角坐標(biāo)方程；

X=1------1

(II)把2代入必+丁一4%=0,化為關(guān)于/的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)/的幾何意義

y=-t

I2

求解.

【詳解】

[1鳳

解：(I)由2a為參數(shù))，消去參數(shù)/,可得x+ey-l=O.

y=-t

I2

P=4cos6,:.p-=^pcosd,即￡+/-4x=0.

曲線的直角坐標(biāo)方程為(x—2)2+丁=4；

X—1------1x—\------1

(II)把2\2代入爐+/一4x=0,得/+后―3=0.

y--ty=-t

[2I2

設(shè)A,3兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為％,t2

貝(J?1+f2=,中2=一3?

不妨設(shè)乙<0,>0,

.11_11_聞+NL施+.)2-4他_715

照閥用同*kl3

【點(diǎn)睛】

本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，明確直線參數(shù)方程中參數(shù)/的幾何意義是解題的關(guān)鍵，

是中檔題.

22

18、(1)上+匕=1；(2)證明見解析

64

【解析】

(D運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，解得。，b,進(jìn)而得到橢圓方程；(2)設(shè)直線/：y=依+1,代入橢圓方程,

運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，以及點(diǎn)在直線上滿足直線方程，化簡整理，即可得到定值.

【詳解】

2

(1)因為e=@，所以°=立。，a=b-+[—a]①

3313J

Qr\

又橢圓過點(diǎn)(后應(yīng))，所以靛+乒=1②

由①②，解得/=6,片=4

22

所以橢圓石的標(biāo)準(zhǔn)方程為二十匕=1.

64

(2)證明設(shè)直線/：y=kx+l,

聯(lián)立<64得(3左2+2)x?+6右—9=0,

y=kx+\

設(shè)C6,%),。(巧,%),

6k9

貝n!lJx+x=---；——,xx,=----——

1-23k2+223左2+2

易知磯0,-2)

2

,,_%+2y2+2_kxi+3kx2+3kxlx2+3k(xl+x2)+9

故~BC'~BD~—-------------------------------------------

石X?玉%2X?

,23^(x+x)92k(、\

=k-+—~也2+—+93k---(3k1+2\=-2

XyX2XjX23''

所以對于任意的k,直線BC,BD的斜率之積為定值.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理

和直線的斜率公式，化簡整理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

19、巫

3

【解析】

試題分析：由柯西不等式(ab+cd)2<(?2+c2)(屋+/)得(+J3X+2)2=(J3-3x-R+<3x+2?8

<(3-3%+3%+2)(1+l)=y

試題解析：因為(Ji二7+j3x+2『=(,3-3x-R+,3x+2-?

<(3-3%+3x+2)(1+l)=y,

所以y=4差5.

3-3%3%+2_

-----=------/

等號當(dāng)且僅當(dāng)11,即％=二時成立.

——1。

所以y的最大值為2姮.

3

考點(diǎn)：柯西不等式求最值

20、(1)見解析；(2)(i)該農(nóng)場若采用延長光照時間的方法，預(yù)計每年的利潤為426千元；(ii)若采用降低夜間溫

3

度的方法，預(yù)計每年的利潤為424千元；(3)分布列見解析，E(X)=-.

【解析】

(1)估計第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)和第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)來選擇.

(2)對于兩種方法，先計算出每畝平均產(chǎn)量，再算農(nóng)場一年的利潤.

(3)估計頻率分布直方圖可知，增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間，由題意可知，X的可能取值有0,1,2,3,再算出相

應(yīng)的概率，寫出分布列，再求期望.

【詳解】

(1)第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為5.05x0.1+5.15x0.2+5.25x0.4+5.35x0.3=5.24千斤/畝，

544232

第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)為5.18x—+5.20X—+5.22x—+5.24x—+5.26x—+5.28x—=5.22千斤/畝，

一1-202020202020

可知第一組方法較好，所以采用延長光照時間的方法；(

(2)(i)對于采用延長光照時間的方法：

每畝平均產(chǎn)量為5.05x0.1+5.15x0.2+5.25x0.4+5.35x0.3=5.24千斤.

該農(nóng)場一年的利潤為(5.24x2x1—6—0.22)x100=426千元.

(ii)對于采用降低夜間溫度的方法：

F3.nd5.18x5+5.20x4+5.22x4+5.24x2+5.26><3+5.28x2=/廣

每畝平均產(chǎn)量為----------------------------------------------------=5.22千斤，

20

:.該農(nóng)場一年的利潤為(5.22x2x1—6—0.2)x100=424千元.

因此，該農(nóng)場若采用延長光照時間的方法，預(yù)計每年的利潤為426千元；若采用降低夜間溫度的方法，預(yù)計每年的利

潤為424千元.

(3)由圖可知，增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間，由題意可知，

X的可能取值有0,1,2,3,

C391

P(x=o)=壽

C20228

35

P(x=i)令

C2076

42

P（X=2）=*cc5

^2038

「31

P（X=3）=片

^20114

所以X的分布列為

X0123

913551

P

2287638114

35513

所以E（X）=lx—+2義一+3又一=—

V'76381144

【點(diǎn)睛】

本題主要考查樣本估計總體和離散型隨機(jī)變量的分布列，還考查了數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

3

21、(1)—;(2)見解析.

【解析】

(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計算出所求事件的概率；

(2)由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值有200、300、400,計算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率，由此可得出

隨機(jī)變量X的分布列.

【詳解】

233

(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A,則P(A)==x—=「；

(2)由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為200、300、400.

團(tuán)+C；C；國3

貝！|P(X=200)=P（X=300）=

方10