2025優(yōu)化設(shè)計(jì)一輪課時(shí)規(guī)范練37　正弦定理和余弦定理

課時(shí)規(guī)范練37正弦定理和余弦定理一、基礎(chǔ)鞏固練1.(2024·四川南充模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若b2=a2+c2-ac,則B=()A.π3 B.π6 C.2π32.△ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知A=π4,a=2,b=3,則B的大小為(A.π6 B.C.π6或5π3.(2024·黑龍江牡丹江模擬)在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,則此三角形中的最大角的大小為()A.150° B.135° C.120° D.90°4.(2024·江蘇常州模擬)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,△ABC的面積為43,A=60°,b2+c2=3bc,則a=()A.4 B.42 C.8 D.825.(2024·甘肅酒泉模擬)在△ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a2b2=sinAA.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6.(2024·河南開(kāi)封模擬)在△ABC中,AB=7,BC=3,C=2π3,則△ABC的面積為(A.1534 B.C.43 D.637.(2021·全國(guó)乙,文15,理15)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為3,B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

8.(2024·河南五市模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且46cosA=absinB+acsinC.若△ABC的面積S=62,則a的最小值為9.(2023·全國(guó)乙,理18)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.(1)求sin∠ABC;(2)若D為BC上一點(diǎn),且∠BAD=90°,求△ADC的面積.10.(2024·山東濰坊模擬)在四邊形ABCD中,∠BAD=π2,∠ACD=π3,AD=3,S為△ABC的面積,且2S=-(1)求角B;(2)若cosD=12,求四邊形ABCD的周長(zhǎng)二、綜合提升練11.(多選題)(2024·黑龍江齊齊哈爾模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且asinB=3bcosA,則()A.A=πB.若B=π4,則3b=2C.若a=3,b+c=3,則bc=2D.若a=2,則△ABC的面積的最小值為312.(2023·全國(guó)甲,理11)已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,則△PBC的面積為()A.22 B.32 C.42 D.6213.(多選題)(2024·河北衡水二中期末)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,下列結(jié)論正確的是()A.若asinA=bsinB,則△ABC為等腰三角形B.若acosA=bcosB,則△ABC為等腰三角形C.若B=60°,b2=ac,則△ABC為等邊三角形D.若A=30°,b=10,a=4,則B有兩解14.(2020·全國(guó)Ⅰ,理16)如圖,在三棱錐P-ABC的平面展開(kāi)圖中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=.

15.(2024·山東聊城模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3c2.(1)證明:a+6ccosB=0;(2)若b=1,求△ABC面積的最大值.

課時(shí)規(guī)范練37正弦定理和余弦定理1.A解析由b2=a2+c2-ac,得ac=a2+c2-b2.由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac2.D解析由正弦定理可得asinB=bsinA,則2sinB=3×22,則sinB=32.由于B∈(0,π),3.C解析由正弦定理得,a∶b∶c=3∶5∶7,設(shè)a=3k(k>0),則b=5k,c=7k,所以C最大.由余弦定理得,cosC=a2+因?yàn)?°<C<180°,所以C=120°.4.B解析由題可得,△ABC的面積為43=12bcsinA=34bc,又b2+c2=3bc,由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA=3bc-bc=2bc=32,可得a=425.D解析(方法1)由題得,a2cosAsinB=b2cosBsinA.結(jié)合正弦定理、余弦定理,得a2·b2+c2-a22bc·b=b2·a2+c2-b22ac·a,整理得,a2(b2+c2-a2)=b2(則(a2+b2)(a2-b2)+c2(b2-a2)=0,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,則a=b或a2+b2=c2.故△ABC為等腰三角形或直角三角形.(方法2)由正弦定理,得a2b2=sin2Asin所以sinAsinB=cosBcosA,所以sinAcosA=sinBcosB,則sin所以2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=π2,即△ABC是等腰三角形或直角三角形6.A解析在△ABC中,AB=7,BC=3,C=2π3,由余弦定理可得,AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos即49=CA2+9-6CA×(-12),所以CA2+3CA-40=解得CA=5或-8(舍去),所以S△ABC=12CA·CB·sinC=12×57.22解析由題意可知△ABC的面積S=12acsin60°=3,整理得ac=4結(jié)合已知得a2+c2=3ac=12.因?yàn)锽=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×cos60°=8,所以b=228.2解析由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得,bsinC=csin由題可得,46bccosA=acsinB+absinC=2acsinB=2bcsinA,所以sinA=26cosA.又0<A<π,所以cosA>0,所以0<A<π因?yàn)閟in2A+cos2A=25cos2A=1,所以cosA=15,sinA=265.因?yàn)椤鰽BC的面積S=12bcsinA=65bc=62,所以bc=52.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2×52×15≥2bc-1=4,當(dāng)且僅當(dāng)9.解(1)在△ABC中,由余弦定理和題設(shè)可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=2×2+1×1-2×2×1×cos120°=7,故BC=7.由正弦定理得sin∠ABC=ACBC·sin因此sin∠ABC=1(2)由(1)和題設(shè)得cos∠ABC=1故tan∠ABC=sin∠ABCcos∠ABC=35.所以△ADC的面積為12AC·AD·sin(120°-90°)=10.解(1)由2S=-3BA在△ABC中,2×12AB×BCsinB=-3AB×BCcosB,即sinB=-3cosB,可得tan因?yàn)锽∈(0,π),所以B=2(2)由cosD=12,D∈(0,π),所以D=π3,所以△ABCAC=3,∠CAD=π3,所以∠BAC=π6,∠由正弦定理,知ACsinB=ABsin∠ACB,故四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2+2311.BC解析對(duì)于A,由正弦定理,得sinAsinB=3sinBcosA.因?yàn)閟inB≠0,則sinA=3cosA,故tanA=3,可得A=π3,故A錯(cuò)誤對(duì)于B,由正弦定理,得ba=sinBsinA=sinπ4sin對(duì)于C,由余弦定理,得b2+c2-bc=3,則(b+c)2-3bc=3,代入b+c=3,解得bc=2,故C正確;對(duì)于D,由余弦定理,得b2+c2-bc=4≥2bc-bc=bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí),等號(hào)成立,則S△ABC=34bc≤3,故D錯(cuò)誤.故選12.C解析在四棱錐P-ABCD中,由PC=PD=3,得△CDP是等腰三角形.設(shè)CD的中點(diǎn)為E,AB的中點(diǎn)為F,由幾何知識(shí)得,△CDP關(guān)于PE對(duì)稱,點(diǎn)P在平面PEF內(nèi),且PA=PB.在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=4,由勾股定理得,AC=AB2+在△ACP中,∠PCA=45°,由余弦定理得,PA2=PC2+AC2-2AC·PC·cos∠PCA,解得PA=17,∴PB=PA=17在△BCP中,由余弦定理得,PB2=PC2+BC2-2PC·BC·cos∠BCP,解得cos∠BCP=13∴sin∠BCP=1-cos2∠BCP=223.∴S△PBC=1213.AC解析對(duì)于A,若asinA=bsinB,由正弦定理可得a2=b2,則a=b,所以△ABC為等腰三角形,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)閍cosA=bcosB,由正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB.因?yàn)锳,B中至少有一個(gè)是銳角,則sinAcosA=sinBcosB>0,從而可知A,B均為銳角,由sinAcosA=sinBcosB,可得sin2A=sin2B.因?yàn)锳,B∈(0,π2),則2A,2B∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π所以A=B或A+B=π2,故△ABC為等腰三角形或直角三角形,故B錯(cuò)誤對(duì)于C,因?yàn)锽=60°,b2=ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos60°=a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,所以a=c,因此△ABC為等邊三角形,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)锳=30°,b=10,a=4,由正弦定理asinA=bsinB,得sinB=bsinAa=10×1214.-14解析由題意得BD=2AB=6,BC=AC2∵D,E,F重合于一點(diǎn)P,∴AE=AD=3,BF=BD=6,∴在△ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=12+(3)2-2×1×3cos30°=1,∴CE=CF=1∴在△BCF中,由余弦定理,得cos∠FCB=BC215.(1)證明由正弦定理得,4sin2Acos2B+4sin2Bsin2A=3sin2B-3sin2C,即4sin2A=3sin2B-3sin2C.由正弦定理得,4a2=3b