經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分 第4版 課件 1-4 數(shù)列、函數(shù)的極限

二、數(shù)列的極限四、小結(jié)三、函數(shù)的極限1.4數(shù)列、函數(shù)的極限一、中國(guó)古代數(shù)學(xué)的極限思想經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1.割圓術(shù)播放——?jiǎng)⒒找弧⒅袊?guó)古代數(shù)學(xué)的極限思想1.割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?.割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?.割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?.割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?.割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?.割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?.割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?.割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?.割圓術(shù)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒照呅蔚拿娣e正十二邊形的面積正形的面積2.截杖問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”二、數(shù)列的極限例如注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)播放二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限當(dāng)

無限增大時(shí),是否無限接近于某一確定的數(shù)值?通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:稱該數(shù)列在n無限增大時(shí)的極限為1.問題定義發(fā)散收斂收斂發(fā)散收斂數(shù)列極限的幾何意義：aN當(dāng)時(shí)，xn與a越來越接近.性質(zhì)1（極限的唯一性）收斂數(shù)列的極限必唯一.收斂數(shù)列必為有界數(shù)列.性質(zhì)2（有界性）注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.常用數(shù)列極限：收斂數(shù)列的性質(zhì)：數(shù)列是發(fā)散的.三、函數(shù)極限我們將主要研究以下兩種情形：（1）自變量x的絕對(duì)值無限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化情況；（2）自變量無限接近于有限值x0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化情況.1.自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限播放例2通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:稱該函數(shù)在x無限增大時(shí)的極限為0.問題定義結(jié)論：自變量趨于無窮（x→∞）可分為兩種情況:

x→+∞,

x→-∞當(dāng)自變量x無限增大時(shí),函數(shù)值f(x)無限接近一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)y=f(x)當(dāng)x→+∞時(shí)的極限,記為當(dāng)自變量x無限減小時(shí),函數(shù)值f(x)無限接近一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)y=f(x)當(dāng)x→-∞時(shí)的極限,記為幾何解釋:當(dāng)時(shí)，函數(shù)值與A的差距越來越小2.自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限x0.90.990.999…1…1.0011.011.10y1.111.01011.001001…1…0.9990010.99010.91當(dāng)x→1時(shí)，y無限趨近于1，稱x→1時(shí)函數(shù)的極限為1.問題

x0.750.90.990.9999…1…1.0000011.011.251.5

f(x)1.751.91.991.9999……2.0000012.012.252.5例3、例4中：

設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某去心鄰域U0(x0)內(nèi)有定義,如果當(dāng)x無限接近x0時(shí),函數(shù)值f(x)就無限接近一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0(x→x0)時(shí)的極限,記為否則，稱該極限不存在.定義(2)幾何解釋:注意：在x0的某去心δ鄰域內(nèi)，對(duì)應(yīng)的f(x)的值與A的差距隨著x與x0的靠近越來越小.(3)左、右極限（單側(cè)極限）結(jié)論：

設(shè)函數(shù)f(x)在x0的左鄰域U-(x0)（x0可除外）內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量x從x0的左側(cè)趨于x0,函數(shù)值f(x)趨于一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為f(x)當(dāng)x→x0的左極限,記為類似可以定義右極限.例5證：左右極限存在但不相等,例6證性質(zhì)2（函數(shù)極限的局部有界性