經(jīng)濟數(shù)學(xué)微積分 第4版 教案 第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)

第1章函數(shù)、極限與連續(xù)第1章函數(shù)、極限與連續(xù)本章知識結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖教學(xué)要求在初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，加深對函數(shù)概念的理解和對函數(shù)幾何特性（單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性）的了解。理解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義，會求函數(shù)的反函數(shù)，會進行函數(shù)的復(fù)合與分解；了解基本初等函數(shù)的定義域、圖形與性質(zhì)。掌握常用經(jīng)濟函數(shù)的含義、數(shù)學(xué)表達，會建立簡單經(jīng)濟問題的數(shù)學(xué)模型。理解數(shù)列極限、函數(shù)極限的描述性定義和性質(zhì)。理解無窮小的概念和基本性質(zhì)，會利用無窮小的性質(zhì)計算極限；理解高階無窮小、等價無窮小的概念，會比較無窮小。掌握極限的四則運算法則；了解復(fù)合函數(shù)極限運算法則；熟練掌握極限計算。了解極限存在的兩個準則；熟練掌握利用兩個重要極限及無窮小等價替換定理計算極限。理解函數(shù)連續(xù)與間斷的概念，會判斷函數(shù)間斷點的類型；理解函數(shù)的連續(xù)性；了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值定理、介值定理、零點定理）。教學(xué)重難點教學(xué)重點：常用的經(jīng)濟函數(shù)、無窮小的比較、極限運算法則、兩個重要極限、函數(shù)連續(xù)與間斷的概念、函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)難點：反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)、數(shù)列與函數(shù)的極限、極限的存在準則、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容及課時劃分1.1函數(shù)的概念和性質(zhì)2課時1.2反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)2課時1.3常用經(jīng)濟函數(shù)介紹2課時1.4數(shù)列、函數(shù)的極限2課時1.5無窮小與無窮大1課時1.6極限運算法則2課時1.7極限存在準則與兩個重要極限3課時1.8函數(shù)的連續(xù)性2課時習(xí)題課2課時計18課時1.1函數(shù)的概念和性質(zhì)教學(xué)目的：理解函數(shù)的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)重難點：1、教學(xué)重點：鄰域的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)2.教學(xué)難點：函數(shù)的有界性教學(xué)課時：2教學(xué)過程：函數(shù)表示了變量之間的相依關(guān)系，是微積分的研究對象。本章從討論函數(shù)的概念開始,通過對一般函數(shù)特性的概括,引出初等函數(shù),為學(xué)習(xí)“經(jīng)濟數(shù)學(xué)”打下基礎(chǔ).一、區(qū)間與鄰域區(qū)間分為有限區(qū)間與無限區(qū)間.有限區(qū)間有四個:開區(qū)間;閉區(qū)間;半開半閉區(qū)間;;無限區(qū)間有五個：;;;;.鄰域是一種特殊的區(qū)間，是后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)極限、微分、積分等知識時常用一個重要概念。定義1.1設(shè),且,則集合稱為點的-鄰域,記作,也即,這是以點為中心,區(qū)間長度為的開區(qū)間,正數(shù)叫做鄰域的半徑.在數(shù)軸上，表示到點的距離小于的所有點的集合。集合稱為點的去心鄰域,記作,也即.另外,點的左鄰域定義為，點的右鄰域定義為.當(dāng)不必指明鄰域半徑時,上述記號中的正數(shù)可省略,即鄰域、空心鄰域、左鄰域和右鄰域可簡記為,,和.【例1】利用區(qū)間表示不等式的全部解.【解】先對不等式左端分解因式,原不等式為,則或.故.二、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義定義1.2設(shè)是兩個變量，是非空實數(shù)集,如果對于任意的,按照某個對應(yīng)法則,都有唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng),則稱這個對應(yīng)法則是定義在上的函數(shù)。其中叫做自變量,叫做因變量,的取值范圍叫做這個函數(shù)的定義域,通常將定義域記為.當(dāng)?shù)娜”閮?nèi)的所有實數(shù)時,對應(yīng)的函數(shù)值的全體叫做這個函數(shù)的值域.習(xí)慣上常用表示函數(shù)。2.函數(shù)的幾點說明（1）函數(shù)的兩個要素定義域與對應(yīng)法則是函數(shù)的兩個要素.只有兩個函數(shù)具有相同的定義域和相同的對應(yīng)法則時,它們才是相同的函數(shù),否則就不是相同函數(shù).（2）函數(shù)的定義域在求函數(shù)的自然定義域時應(yīng)遵守以下原則:偶次方根下被開方數(shù)非負;分式中分母不能為零;（3）對數(shù)中的真數(shù)大于零;（4）三角函數(shù)中,中;（5）反三角函數(shù)與中;【例2】求函數(shù)的定義域.【解】欲使函數(shù)有意義，則應(yīng)有即故所求函數(shù)的定義域為.函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法主要有三種:表格法、圖形法和解析法（公式法）.4.幾種特殊的函數(shù)絕對值函數(shù)，。號函數(shù)，，。取整函數(shù)，表示不大于的最大整數(shù).[5.15]=5,[-7.8]=-8,.觀察這三個函數(shù)，易知在定義域的不同部分，函數(shù)分別用不同的算式表示。于是可給出分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)把定義域分成若干個區(qū)間,在不同的區(qū)間內(nèi)用不同的數(shù)學(xué)算式表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).三、函數(shù)的幾何特性研究函數(shù)的目的就是為了了解它所具有的性質(zhì),以便掌握它的變化規(guī)律.1.單調(diào)性定義1.3設(shè)函數(shù)定義域為，區(qū)間.如果對于區(qū)間內(nèi)的任何兩點和，當(dāng),總有（或）,則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）,叫做單調(diào)增區(qū)間(或單調(diào)減區(qū)間).【例3】證明在內(nèi)是單調(diào)遞增的.【證明】任取且,則有,即,也就是說在內(nèi)單調(diào)遞增的.函數(shù)的單調(diào)性與自變量取值范圍有關(guān).例如函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的,在內(nèi)是單調(diào)遞增的，但在內(nèi)不單調(diào).2.奇偶性定義1.4設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.如果對于任意恒有,則稱為奇函數(shù);如果對任意的,恒有,則稱為偶函數(shù).例如在內(nèi)是偶函數(shù);在內(nèi)是奇函數(shù).而是非奇非偶函數(shù)。顯然偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱;奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標原點對稱.【例4】判定函數(shù)與函數(shù)的奇偶性.【解】因為,所以在定義域內(nèi)是偶函數(shù);又因為,所以在定義域內(nèi)是奇函數(shù).思考：任意一個函數(shù)都可表示為偶函數(shù)與奇函數(shù)之和？3.周期性定義1.5設(shè)的定義域為.如果存在非零常數(shù),使得對任意的,都有,則稱為周期函數(shù)，稱為函數(shù)的一個周期.通常所說的周期是指周期函數(shù)的最小正周期,同樣記為.例如正弦函數(shù)中,都是它的周期,其最小正周期.有界性引子：在上的圖像介于水平線與之間，故其為有界函數(shù).定義1.6設(shè)函數(shù)的定義域為,數(shù)集.如果存在正數(shù),使得對所有的,都有,則稱函數(shù)在上有界,或稱是上的有界函數(shù).否則稱在上無界,也就稱為上的無界函數(shù).顯然，如果函數(shù)在上有界，則存在無窮多個這樣的，使得.【例5】函數(shù)在內(nèi)無界,而在內(nèi)有界.可見函數(shù)的有界性同樣與自變量的取值范圍有關(guān).又如：四、作業(yè)習(xí)題1.12（2）（4）；4（1）（5）（6）；5（2）（3)1.2反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)教學(xué)目的：1.理解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的定義，會求函數(shù)的反函數(shù)，會進行函數(shù)的復(fù)合與分解.2.了解基本初等函數(shù)定義域、圖形與性質(zhì)教學(xué)重難點：教學(xué)重點：復(fù)合函數(shù)的概念教學(xué)難點：復(fù)合函數(shù)的分解教學(xué)課時：2教學(xué)過程：反函數(shù)定義1.7設(shè)函數(shù)的定義域為,值域為,如果對中的任何一個實數(shù),有唯一的一個,使成立.那么把看成自變量,看成因變量,由函數(shù)的定義,就成為的函數(shù),稱這個函數(shù)為的反函數(shù),記,其定義域是,值域是.按照習(xí)慣,函數(shù)的反函數(shù)就寫成:.定理1.1（反函數(shù)存在定理）單調(diào)函數(shù)必存在單調(diào)的反函數(shù)，且具有與相同的單調(diào)性．注：求解的反函數(shù)步驟：求出的值域；用表示，即寫出；對換與，得到反函數(shù)以及其定義域.【例1】求的反函數(shù).【解】因為的定義域為，值域為.由，得即因此，所求的反函數(shù)為三角函數(shù)與反三角函數(shù)1.三角函數(shù)余切函數(shù)的定義域為，以為周期，為奇函數(shù)，且在其一個周期內(nèi)是單調(diào)遞減的.（2）正割函數(shù)的定義域為，以為周期，且為偶函數(shù)（3）余割函數(shù)的定義域為，以為周期，且為奇函數(shù).2.反三角函數(shù)反正弦函數(shù)正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加，它的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記為，其定義域為，值域為,在其定義域上單調(diào)增加.(如圖1.5）（2）反余弦函數(shù)余弦函數(shù)在[]上單調(diào)增加，它的反函數(shù)稱為反余弦函數(shù)，記為，其定義域為,值域為[].（3）反正切函數(shù)正切函數(shù)在上單調(diào)增加，它的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記為，其定義域為,值域為.（4）反余切函數(shù)余切函數(shù)在上單調(diào)遞增，它的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記為，其定義域為,值域為.注：正弦函數(shù)在除外其他單調(diào)區(qū)間上也具有反函數(shù)，只是此時的反函數(shù)不稱為反正弦函數(shù).顯然，余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)也如此.【例2】求下列各式的值（2）（3）【解】（1）（2）（3）復(fù)合函數(shù)【定義1.8】設(shè)函數(shù),定義域為；,定義域為,值域為.如果,那么稱函數(shù)，為由函數(shù)和構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),其中為自變量，為因變量，稱為中間變量.就是復(fù)合函數(shù)的定義域.習(xí)慣上稱函數(shù)為內(nèi)函數(shù)，函數(shù)為外函數(shù).【例3】設(shè),,構(gòu)造復(fù)合函數(shù)并求其定義域.【解】因的定義域為,的定義域為,值域為,的定義域為，值域為.由于，.故復(fù)合函數(shù)為，定義域為.【例4】分析下列函數(shù)由哪些簡單函數(shù)復(fù)合而成，并求復(fù)合函數(shù)的定義域.（1）（2）（3）【解】（1）由函數(shù)復(fù)合而成，定義域為；（2）由函數(shù)復(fù)合而成，定義域為；（3）由函數(shù)復(fù)合而成，定義域為.四、基本初等函數(shù)與初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)我們接觸到的函數(shù)大部分都是由幾種最常見、最基本的函數(shù)經(jīng)過一定的運算而得到,這幾種函數(shù)就是我們已經(jīng)很熟悉的函數(shù),它們是常值函數(shù)（為常數(shù)）冪函數(shù)（為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)（為常數(shù)，且）對數(shù)函數(shù)（為常數(shù)，且）三角函數(shù)，，，，，反三角函數(shù)，，，這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).作業(yè)：請將基本初等函數(shù)的名稱、表達式、定義域、圖形及性質(zhì)列表表示出來.2.初等函數(shù)初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及有限次復(fù)合運算所得到的，并可以用一個式子表示的函數(shù).注：一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù).但絕對值函數(shù)例外，因為又可表示為，所以絕對值函數(shù)是初等函數(shù).函數(shù)的一般形式為，稱形如的函數(shù)為冪指函數(shù)，其中，均為初等函數(shù)，且，由恒等式因此，冪指函數(shù)是初等函數(shù).例如等都是初等函數(shù).作業(yè)習(xí)題1.21（4）；2（1）（5）（6）；3（2）；4（1）（4）.1.3常用的經(jīng)濟函數(shù)教學(xué)目的：掌握常用經(jīng)濟函數(shù)的含義、數(shù)學(xué)表達，會建立簡單實際問題的數(shù)學(xué)模型教學(xué)重難點：1、教學(xué)重點：常用的經(jīng)濟函數(shù)2、教學(xué)難點：建立簡單實際問題的數(shù)學(xué)模型教學(xué)課時：2教學(xué)過程：在經(jīng)濟問題中，首先分析出問題的變量，然后建立變量之間的函數(shù)關(guān)系，即建立數(shù)學(xué)模型，最后進行求解，達到對實際問題解決的目的.下面介紹幾個常用的經(jīng)濟函數(shù).單利與復(fù)利公式1.單利公式單利是指僅對本金計息，利息不計息的增值方式.設(shè)現(xiàn)有本金,每期利率為,期數(shù)為，則第一期末的本利和為第二期末的本利和為第期末的本利和為2.復(fù)利公式設(shè)現(xiàn)有本金,每期利率為,期數(shù)為.若每期結(jié)算一次,則第一期末的本利和為:,將本利和再存入銀行,第二期末的本利和為:,再把本利和存入銀行,如此反復(fù),第期末的本利和為: , 例如設(shè)為本金，按年為期,年利率為,則第年末的本利和為:.二、需求函數(shù)與供給函數(shù)1.需求函數(shù)商品的需求量是該商品價格的函數(shù),稱為需求函數(shù).用表示對商品的需求量,表示商品的價格,則需示函數(shù)為:,鑒于實際情況,自變量,因變量都取非負值.一般地,需求函數(shù)是價格的遞減函數(shù).在直角坐標系中作出它的圖形稱為需求曲線.實際中，常用以下函數(shù)來近似表示需求函數(shù)：線性需求函數(shù):,其中冪函數(shù)需求函數(shù):,其中指數(shù)需求函數(shù):,其中需求函數(shù)的反函數(shù),稱為價格函數(shù),記作:,也反映商品的需求量與價格的關(guān)系，有時也稱為需求函數(shù).2.供給函數(shù)商品的供給量是該商品價格的函數(shù),稱為供給函數(shù).用表示對商品的需求量,表示商品的價格,則需示函數(shù)為:,鑒于實際情況,自變量,因變量都取非負值.一般地,商品供給函數(shù)是價格的遞增函數(shù).在直角坐標系中作出它的圖形稱為供給曲線.實際中，常用以下函數(shù)來近似表示供給函數(shù)：線性函數(shù)，其中冪函數(shù),其中指數(shù)函數(shù),其中將需求曲線和供給曲線畫在同一坐標系中.由于需求函數(shù)是遞減函數(shù),供給函數(shù)是遞增函數(shù),它們的圖形必相交于一點,該點叫做均衡點,該點對應(yīng)的價格就是供、需平衡的價格,也叫均衡價格;這一點所對應(yīng)的需求量或供給量就叫做均衡需求量或均衡供給量.稱為均衡條件.【例1】某商品每天的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為，試求市場達到供需平衡時的均衡價格和均衡需求量.【解】由均衡條件，得解得從而.故市場供需均衡時的均衡價格為單位,均衡需求量為個單位.三、成本函數(shù)與平均成本函數(shù)1.成本函數(shù)成本是指生產(chǎn)某種一定數(shù)量產(chǎn)品需要的費用,它包括固定成本和可變成本.如果記總成本為,固定成本為,可變成本為,設(shè)為產(chǎn)品數(shù)量，那么總成本函數(shù)其中.顯然成本函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù),它隨產(chǎn)量的增加而增加.2.平均成本函數(shù)平均成本是指生產(chǎn)單位產(chǎn)品所花費的成本,記為,設(shè)為產(chǎn)品數(shù)量，則平均成本函數(shù)其中稱為平均不變成本，記為；稱為平均可變成本，記為.因此，有四、收益函數(shù)與利潤函數(shù)1.收益函數(shù)生產(chǎn)者銷售一定數(shù)量的產(chǎn)品或勞務(wù)所獲得的全部收入，稱為總收益，記為.生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品時,單位產(chǎn)品的平均收入,即單位產(chǎn)品的平均售價，稱為平均收益,記為.如果記為總收益,為平均收益,為銷售量,則,都是的函數(shù),其中,取正值.如果產(chǎn)品的銷售價格保持不變，銷售量為，則,2.利潤函數(shù)利潤是指收益與成本之差,記為，是銷售量的函數(shù)，則有利潤函數(shù)可能會出現(xiàn)下列三種情形:（1）,表示有盈余；（2）,表示出現(xiàn)虧損；（3）,表示盈虧平衡.我們把盈虧平衡時的產(chǎn)量（銷量）稱為盈虧平衡點（又稱為保本點）.盈虧平衡點在分析企業(yè)經(jīng)營管理、產(chǎn)品定價和生產(chǎn)決策時具有重要意義.【例2】設(shè)每月生產(chǎn)某種商品件時的總成本為:(萬元),每售出一件該商品時的收入是萬元.求總利潤函數(shù)和平均利潤函數(shù).（2）求每月生產(chǎn)件（并售出）的總利潤和平均利潤.【解】（1）由題意銷售價格為，故總收益函數(shù)，又總成本函數(shù)，故總利潤函數(shù)平均利潤函數(shù)（2）由（1）當(dāng)件時，該商品的總利潤（萬元）平均利潤為:(萬元).【例3】某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，據(jù)調(diào)查其需求函數(shù)為，生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是元，而單位產(chǎn)品的變動成本為元，為獲得最大利潤，出廠價格應(yīng)為多少？【解】成本函數(shù)，需求函數(shù)為于是收益函數(shù)利潤函數(shù)當(dāng)時，取得最大利潤元所以該產(chǎn)品的出廠價應(yīng)定為元.作業(yè)習(xí)題1.31；3；4；5；61.4數(shù)列、函數(shù)的極限教學(xué)目的：了解中國古代的極限思想；理解數(shù)列極限、函數(shù)極限的描述性定義和性質(zhì)教學(xué)重難點：1、教學(xué)重點：數(shù)列極限、函數(shù)極限的描述性定義2、教學(xué)難點：數(shù)列極限的性質(zhì)解釋教學(xué)課時：2教學(xué)過程：一、中國古代數(shù)學(xué)家的極限思想劉徽的割圓術(shù)“割圓術(shù)”就是用圓的內(nèi)接正六邊形、正十二邊形、…、正邊形去逼近圓,即用正多邊形的面積（周長）代替圓面積（周長）.隨著正多邊形邊數(shù)的增加，正多邊形的面積（周長）越來越接近于圓面積（周長）.如果設(shè)正六邊形、正十二邊形、……、正邊形的面積分別為,,,…,,如此下去，就構(gòu)成一個無窮數(shù)列,,,…,,…其中.隨著內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)的增加,正多邊形面積也越來越趨向于一個穩(wěn)定的值,這個穩(wěn)定值就是圓的面積.同樣若設(shè)正六邊形,正十二邊形,…,正邊形的周長分別為,,,…,,于是得另一數(shù)列,,,…,,…其中隨著內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)（這里為）的增加,正多邊形周長也越來越趨向于一個穩(wěn)定的值,這個穩(wěn)定值就是圓的周長.2.截杖問題一尺之棰,日取其半,萬世不竭.這是一個無窮數(shù)列，通項為，當(dāng)無限增大時，會無限地變小，并且無限地接近常數(shù)0.“萬世不竭”表示的意思是，雖然每次取下的長度越來越小，但永遠不等于.二、數(shù)列的極限1.數(shù)列極限的定義在“割圓術(shù)”和“截杖問題”中，均涉及到對于一個無窮數(shù)列，當(dāng)項數(shù)無限增大時，通項的變化情況.當(dāng)無限增大時，數(shù)列,,,…,,…的通項無限趨近于；數(shù)列,,,…,,…的通項無限趨近于；數(shù)列的通項為無限趨近于0.下面再看幾個數(shù)列的通項在無限增大時的變化趨勢：（1）數(shù)列，其通項隨的增大而逐漸減小,越來越趨近于；（2）數(shù)列，其通項隨的增大而增大,越來越趨近于；（3）數(shù)列，其通項隨的增大而增大,且無限增大；（4）數(shù)列，其通項隨著的變化在的兩側(cè)跳動,并隨著的增大而趨近于；（5）數(shù)列，其通項隨著的增大始終交替取值和,而不趨向于某一個確定的常數(shù)；（6）數(shù)列的各項都是同一個數(shù),故當(dāng)越來越大時,該數(shù)列的項也總是確定的常數(shù).定義1.9當(dāng)無限增大時,如果數(shù)列的通項無限趨近于某個常數(shù),那么就稱數(shù)列收斂,常數(shù)稱為數(shù)列的極限,記為或否則稱數(shù)列發(fā)散.根據(jù)定義，數(shù)列（1），（2），（4），（6）為收斂的數(shù)列,它們的極限分別是,,,.也即,,,.而數(shù)列（3），（5）為發(fā)散的數(shù)列.下面給出以后常用的一些數(shù)列極限：（1）（為常數(shù)）（2）（為常數(shù)且）（3）（為常數(shù)且） （4）（為常數(shù)且）（5）2.收斂數(shù)列的重要性質(zhì)一般地，收斂數(shù)列具有如下性質(zhì).性質(zhì)1收斂數(shù)列是有界的.性質(zhì)2收斂數(shù)列的極限是唯一的.函數(shù)的極限1.自變量趨于無窮時的極限（即當(dāng)時,函數(shù)）自變量趨于無窮（記）可分為兩種情況:自變量趨于正無窮（記）和自變量趨于負無窮（記）.【例1】考察下列函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)（1）（2）（3）【解】（1）當(dāng)時有,當(dāng)時也有,所以當(dāng)時有.（2）當(dāng)時有,當(dāng)時有,所以當(dāng)時不能趨向于一個確定的常數(shù).（3）無論是還是時,都不能趨向于一個確定的常數(shù),所以當(dāng)時也不能趨向于一個確定的常數(shù).定義1.10設(shè)函數(shù)在自變量充分大時總有定義，如果當(dāng)自變量無限增大時,函數(shù)值無限趨近某個確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當(dāng)時的極限,記作或否則，稱函數(shù)當(dāng)時的極限不存在.定義1.11設(shè)函數(shù)在自變量充分小時總有定義，如果當(dāng)自變量無限減小時,函數(shù)值無限趨近某個確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當(dāng)時的極限,記為或否則，稱函數(shù)當(dāng)時的極限不存在.例如，，，【定義】設(shè)函數(shù)在自變量充分大時總有定義，如果自變量無限增大時,函數(shù)值無限接近一個確定的常數(shù),則稱為函數(shù)當(dāng)趨于無窮（）時的極限,記為或由于包含了和兩種情況，因此可以得到：定理1.2函數(shù)當(dāng)時極限存在的充分必要條件是函數(shù)當(dāng)時和時極限都存在且相等.即2.自變量趨于有限值時的極限（即當(dāng)時,函數(shù)）【例2】討論當(dāng)逐漸靠近時,函數(shù)值的變化情況.【解】我們列出自變量時的某些值,考察對應(yīng)函數(shù)值的變化趨勢0.90.990.999…1…1.0011.011.101.111.01011.001001…1…0.9990010.99010.91從表中可看出,當(dāng)越靠近,對應(yīng)函數(shù)值越靠近常數(shù),即時,.【例3】討論當(dāng)趨于時,函數(shù)值的變化趨勢.【解】列出自變量時的某些值,考察對應(yīng)函數(shù)值的變化趨勢0.750.90.990.9999…1…1.0000011.011.251.51.751.91.991.9999……2.0000012.012.252.5當(dāng)時,【例4】討論當(dāng)趨于時,函數(shù)的變化趨勢.當(dāng)趨于時，無限地增大，不趨近于某個確定的常數(shù).【例5】討論當(dāng)趨于時，函數(shù)的變化趨勢.將函數(shù)的值列表如下…-1010-1…10-101當(dāng)無限趨近于時，函數(shù)的圖形在與之間無限次地擺動，即不趨近于某個確定的常數(shù).定義1.12設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)無限趨向于時,函數(shù)值無限趨近某個確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當(dāng)時的極限,記為或否則，稱函數(shù)當(dāng)時的極限不存在.例如，，，不存在，不存在.【例6】求.【解】從正弦函數(shù)的圖形中可看出,當(dāng)時,,即定義1.13設(shè)函數(shù)在的左鄰域（可除外）內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量從的左側(cè)趨于（記作）時,函數(shù)值趨于一個確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當(dāng)時的左極限,記為或.設(shè)函數(shù)在的右鄰域（可除外）內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量從的右側(cè)趨于（記作）時,函數(shù)值趨于一個確定的常數(shù),那么稱為函數(shù)當(dāng)時的右極限,記為或.左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.由定義1.12和定義1.13，可以得出：定理1.3函數(shù)當(dāng)時的極限存在的充分必要條件是函數(shù)當(dāng)時的左極限、右極限都存在且相等.即【例7】設(shè)函數(shù),求.【解】函數(shù)的圖像如圖1.16所示.當(dāng)時,;當(dāng)時,;根據(jù)定理1.3有.【例8】試討論函數(shù),在處的左、右極限.【解】函數(shù)的圖形如圖1.17所示,當(dāng)時,;當(dāng)時,.由定理1.3有在處不存在極限.3.函數(shù)極限的性質(zhì)性質(zhì)1（唯一性）若,則是唯一的.性質(zhì)2（局部有界性）如果,那么函數(shù)在某個內(nèi)有界.性質(zhì)3（局部保號性）如果（或）,那么函數(shù)在某個內(nèi)恒有（或）.由性質(zhì)3還可得到下面的推論.推論1如果在某個內(nèi),恒有（或）,且,那么有（或）.推論2如果在某個內(nèi),恒有（或）,且,,那么有（或）.對于性質(zhì)2和性質(zhì)3，自變量的趨近方式為其他形式時，也可以得到類似的局部有界性和局部保號性以及推論.作業(yè)習(xí)題1.41（1）（3）；2（1）（2）（5）；3(2);41.5無窮小與無窮大教學(xué)目的：1.理解無窮小的概念與基本性質(zhì)；2.利用無窮小的性質(zhì)計算極限；3.理解高階無窮小和等價無窮小的概念，掌握無窮小階的比較方法.教學(xué)重難點：1、教學(xué)重點：無窮小的概念與性質(zhì)，無窮小階的比較，利用等價無窮小求極限2、教學(xué)難點：無窮小階的比較教學(xué)課時：1教學(xué)過程：本節(jié)討論兩類極限值很特殊的極限,即極限值為零與極限值趨向無窮大的兩類.一、無窮小與無窮大的概念先觀察,,共同特點是:極限值為零.定義1.14如果當(dāng)（）時,函數(shù)極限值為零,即，則稱函數(shù)為（）時的無窮小.再觀察觀察共同特點是：極限為無窮大.定義1.15在自變量的某個變化過程中，如果函數(shù)的絕對值無限增大,那么稱函數(shù)為該過程中的無窮大，記為；如果函數(shù)為正且絕對值無限增大，那么則稱函數(shù)為該過程中的正無窮大，記為；如果函數(shù)為負且絕對值無限增大，那么稱函數(shù)為該過程中的負無窮大，記為.例如，,,定理1.4在自變量同一變化過程中，如果為無窮小，且，那么為無窮大；如果為無窮大，那么為無窮小.為了敘述方便,本書中可表示自變量的六種變化過程中任意一種情況下的極限：，，，，，.無窮小與函數(shù)極限有著密切的關(guān)系：定理1.5的充分必要條件是,其中.【證】必要性設(shè)，則由極限的定義有令,則即是同一變化過程中的無窮小.充分性如果,其中，則由極限定義有證畢.二、無窮小的性質(zhì)性質(zhì)1有限個無窮小的和或差仍為無窮?。恍再|(zhì)2有限個無窮小之積仍為無窮?。恍再|(zhì)3無窮小與有界量之積為無窮小.【例1】求極限.【解】當(dāng)時,，為有界函數(shù)；當(dāng)時，為無窮小量，由無窮小的性質(zhì)3可知類似地可得無窮小階的比較考慮變量,,，當(dāng)時,變量,,都是無窮小,即當(dāng)時,它們都趨于零.但很明顯,三者趨于的快慢程度不同,最快,最慢.為比較這種快慢程度,我們引進無窮小“階”的概念.定義1.16設(shè),,且（1）如果,那么稱是比高階的無窮小,記為；（2）如果（為常數(shù)）,那么稱和是同階無窮??；特別地,如果,那么稱與是等價無窮小,記為；（3）如果,那么稱是比低階的無窮小.定理1.6（無窮小等價替換定理）設(shè)為同一過程中的無窮小，，，且極限存在，那么=【證】由，得，于是=定理1.6表明，求兩個無窮小之比的極限時，分子或分母可以用等價無窮小來替換.該定理在極限計算中可以簡化運算.關(guān)于該定理在極限計算中的應(yīng)用將在本章第七節(jié)詳細介紹.作業(yè)習(xí)題1.51（1）（3）；2（1）（5）；3；5（2）（4）.1.6極限的運算法則教學(xué)目的：1.掌握極限的四則運算法則；了解復(fù)合函數(shù)極限運算法則2.熟練掌握極限的計算教學(xué)重難點：1、教學(xué)重點：極限的四則運算法則、復(fù)合函數(shù)極限運算法則2、教學(xué)難點：根據(jù)極限的不同情形，采取相應(yīng)的計算方法教學(xué)課時：2教學(xué)過程：一、極限的四則運算在下列同一命題中，考慮的是的同一變化過程.定理1.7如果,,其中為常數(shù)，那么（1）（為常數(shù)）（3）（4）（）下面只證（1）和（4），（2）、（3）可類似證明.【證】由,及定理1.5，有,其中為同一變化過程中的無窮小.于是有由無窮小的性質(zhì)可知，，為同一過程中的無窮小.因此，由定理1.5可得（）定理中的式子推廣到有限個函數(shù)的情形,即若,,,,則有;.我們稱定理為極限的四則運算法則.下面舉例介紹幾種類型極限的計算.1、（其中為多項式）一般地,用極限四則運算法則可得到,對于任一個次多項式函數(shù),都有.而關(guān)于有理函數(shù)當(dāng)時的極限，當(dāng)時，根據(jù)定理1.7（4）有而當(dāng)時，需根據(jù)情況選擇適當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ā纠?】求【解】因為分母的極限,由定理1.7的（4）式得,.【例3】求（1）（2）【解】（1），因為,但當(dāng),而時,有，從而得到.例3的求解方法可推廣到一般情形.設(shè)（1）若則 ；（2）若則必有公因子，將因式分解，并將分解后的的公因子約去，然后再利用定理1.7的（4）式求解.思考：求2、（其中表示次多項式，表示次多項式）【例4】求（1）（2）【解】（1）因為,所以（2）一般地,當(dāng)時，有.【例5】求【解】【例6】已知，求常數(shù).【解】由于所以，，即思考：已知，求常數(shù).3.需經(jīng)適當(dāng)變形再求極限【例7】求【解】從而有思考：求【例8】求【解】而,所以有二、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理1.8（復(fù)合函數(shù)的極限運算法則或變量替換定理）設(shè)與構(gòu)成復(fù)合函數(shù).如果，，那么有【例9】求【解】令，由于，所以推論（冪指函數(shù)的極限）如果，，那么有作業(yè)習(xí)題1.61（1）（3）（4）；2（6）（8）（11）；31.7極限存在準則與兩個重要極限教學(xué)目的：1.了解極限存在準則2.熟練掌握利用兩個重要極限、無窮小替換定理進行極限計算教學(xué)重難點：1、教學(xué)重點：兩個重要極限、利用無窮小替換定理計算極限2、教學(xué)難點：利用第二個重要極限進行極限計算教學(xué)課時：3教學(xué)過程：一、極限存在準則1.夾逼準則準則Ⅰ（數(shù)列收斂的夾逼準則）如果數(shù)列滿足下列條件:(1)(2)那么數(shù)列的極限存在，且.【例1.30】求【解】由于而，由夾逼準則得注：此例也說明無限個無窮小的代數(shù)和不一定是無窮小.【例1】求【解】而，由夾逼準則得準則（函數(shù)收斂的夾逼準則）如果函數(shù)滿足下列條件：（1）當(dāng)（或）時,有（2）那么存在，且等于.2.單調(diào)有界準則如果數(shù)列滿足，那么稱數(shù)列是單調(diào)增加的；如果數(shù)列滿足，則稱數(shù)列是單調(diào)減少的；單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.準則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限.二、兩個重要極限1.（屬于型）【證明】因為是一個偶函數(shù),所以只要能證明成立即可.另外,由,不妨限制在內(nèi)取值.如圖1.18所示,設(shè)單位圓心為,在圓周上取一定點,在圓周上任取一點使.過點作圓周的切線交的延長線于,連結(jié),則得、扇形、三個圖形,設(shè)其面積分別為,則有關(guān)系.即,.因為,所以,得,即.因為,,于是由夾逼準則得,從而.當(dāng)，該極限可以推廣：為自變量某一變化過程中的無窮小。如【例2】求【解】（方法一）令,則當(dāng)時,,所以（方法二）方法一，采用了變量替換法；方法二，直接將待求極限“湊”成第一個重要極限的形式.一般地,.【例3】求【解】因為,所以.【例4】求圓的內(nèi)接正邊形周長所構(gòu)成數(shù)列的極限值【解】我們已計算出:,令,則當(dāng)時,,所以.2.（屬于型）這里僅從數(shù)列各項數(shù)值的變化趨勢來說明.當(dāng)時的情況:從以上表可看出,當(dāng)時,數(shù)列是數(shù)值不超過3的單調(diào)增加數(shù)列.由極限存在準則Ⅱ可知，該數(shù)列存在極限，其極限就是無理數(shù),于是有在基礎(chǔ)上，可以證明當(dāng)或時，函數(shù)的極限存在且等于，即有.若令，當(dāng)時，，則有該極限的推廣形式其中為自變量某個變化過程中的同一個無窮大量.【例5】求【解】【例6】求【解】.觀察例1.35與例1.36發(fā)現(xiàn)兩者本質(zhì)上是相同的.【例7】求【解】【例8】求【解】方法一：因為,所以有方法二：.三、利用無窮小等價替換定理進行極限計算常用的等價無窮小有：當(dāng)時，，，為常數(shù)【例9】證明當(dāng)時，（1）（2）（3）（4）為常數(shù).【證】（1）（2）令，當(dāng)時，，則有（3）令，即，當(dāng)時，，則有，由本例（2）所以（4），由本例（2）、（3）可得【例10】求【解】因為當(dāng)時，，，所以一般地，思考：求【例11】求【解】因為當(dāng)時，，所以【例12】求【解】因為當(dāng)時，，所以【例13】求【解】因為當(dāng)時，，所以思考：求利用等價無窮小替換計算極限需要注意，它適用于乘除法，一般不適用于加減.【例14】求【解】因為當(dāng)時，，，所以連續(xù)復(fù)利設(shè)一筆貸款（稱本金,也稱現(xiàn)值），年利率為，由復(fù)利公式可知,年末的本利和（也稱未來值）為如果一年分期計息，年利率為，那么每期利率為，于是一年末的本利和為年末的本利和為該公式稱為離散復(fù)利公式.如果計息期數(shù)，即每時每刻計息（也稱為連續(xù)復(fù)利），年利率為，那么年末的本利和為該公式稱為連續(xù)復(fù)利公式.【例15】某人為孩子準備教育基金，希望10年后價值20萬元，如果按年利率6%的連續(xù)復(fù)利計息，問現(xiàn)在大約需要存入多少錢？如果以6%的年利率按年復(fù)利計息，問現(xiàn)在大約需要存入多少錢？【解】設(shè)按連續(xù)復(fù)利計息，現(xiàn)在大約需存入元，按年復(fù)利計息，現(xiàn)在大約需存入元.本題中兩個問題都是貼現(xiàn)問題，據(jù)題意，有，，得，，得所以，按連續(xù)復(fù)利計息，現(xiàn)在大約需存入10976.32元，按年復(fù)利利息，現(xiàn)在大約需存入111678.99元.作業(yè)習(xí)題1.71（4）（5）（8）；2（3）（4）；4（2）；5（5）（8）.1.8函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的：1.理解函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；2.會判斷間斷點的類型；3.了解初等函數(shù)的連續(xù)性；4.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值定理、介值定理、零點定理）教學(xué)重難點：1、教學(xué)重點：函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；會判斷函數(shù)間斷點的類型2、教學(xué)難點：間斷點類型的判斷，初等函數(shù)的連續(xù)性與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)課時：2教學(xué)過程：函數(shù)的連續(xù)與間斷1.連續(xù)與間斷的定義定義1.17設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,且則稱函數(shù)在處連續(xù),稱為函數(shù)的連續(xù)點，否則，稱為函數(shù)的間斷點.定義1.17說明，函數(shù)在處連續(xù)就是函數(shù)同時滿足下列三個條件：（1）函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義；（2）函數(shù)在處的極限存在，即；（3）函數(shù)在處的極限等于該點的函數(shù)值，即.設(shè)，稱為自變量在處的增量（增量可正可負），這時，則稱為函數(shù)在處的對應(yīng)增量.圖1.19圖1.19定義1.18設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,若或則稱函數(shù)在處連續(xù).【例1】證明：函數(shù)在處連續(xù)。證明:而在處連續(xù)又如函數(shù),因為,所以該函數(shù)在處連續(xù).2、左右連續(xù)定義1.19如果函數(shù)在內(nèi)有定義，且,則稱函數(shù)在處左連續(xù)；如果函數(shù)在內(nèi)有定義，且,則稱函數(shù)在處右連續(xù).定理1.9函數(shù)在處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)，即【例2】判斷函數(shù)在處是否連續(xù).【解】因為所以，函數(shù)在處既左連續(xù)又右連續(xù)，由定理1.9，函數(shù)在處連續(xù).可以證明絕對值函數(shù)在處連續(xù),符號函數(shù)在處不連續(xù).3．區(qū)間上連續(xù)如果函數(shù)在區(qū)間上每一點處都連續(xù)，那么稱函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，或稱函數(shù)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)在內(nèi)任一點處連續(xù)，且在點右連續(xù)，在點左連續(xù)，那么稱函數(shù)在上連續(xù).【例3】證明在上連續(xù).【證】任取，則由，得又于是，當(dāng)時，由夾逼準則得，即所以函數(shù)在處連續(xù)，由的任意性，得到在上連續(xù).可以證明，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.4.間斷點的分類間斷點的分類表示如下圖：例如是函數(shù)的可去間斷點，是符號函數(shù)的跳躍間斷點.又如就是函數(shù)的無窮間斷點，就是函數(shù)的振蕩間斷點.注：函數(shù)的可去間斷點有兩種情況：（1）函數(shù)在該點處左右極限存在且相等，但函數(shù)在該點無定義；（2）函數(shù)在該點的極限值不等于函數(shù)值.【例4】討論函數(shù)在和處的連續(xù)性，并判別間斷點的類型.【解】在處，因為,所以但函數(shù)定義域中不含,在處無定義.可采取補充定義的方式，令，使函數(shù)在處連續(xù)，所以是函數(shù)的可去間斷點.在處，因為，所以不存在.因此，函數(shù)在處間斷.由于函數(shù)在的左極限和右極限不相等，所以是函數(shù)的跳躍間斷點.【例5】設(shè)，求的間斷點并判別其類型.【解】根據(jù)的定義域可知，函數(shù)僅在和處無定義，所以和是函數(shù)的間斷點.在處，有所以，是函數(shù)的可去間斷點.在處，有所以，是函數(shù)的無窮間斷點.二、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)函數(shù)在其連續(xù)點上的性質(zhì)定理1.10（1）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零處）是連續(xù)函數(shù)；（2）連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù).設(shè)函數(shù)在處連續(xù),而函數(shù)在處也連續(xù),則復(fù)合函數(shù)在處連續(xù),即有【例6】求【解】2.初等函數(shù)的連續(xù)性定理1.11一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的.【例7】求【解】.【例8】求下列極限：（1）（2）【解】（1）令，則觀察例1.53（2），發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，就得到得到，即.三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義1.20設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,如果存在,使得對任意的,有那么稱分別為函數(shù)在上的最大值和最小值,最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.點分別稱為的最大值點和最小值點.定理1.12（最值定理）如果函數(shù)在上連續(xù),那么在上必取得最大值和最小值.由定理1.12可得出下面的推論推論1（閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理）若函數(shù)在上連續(xù),則函數(shù)在上有界.定理1.13（介值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且，,則對于與之間任意實數(shù)，至少存在一點,使得定理1.14（零點定理）如果函數(shù)在上連續(xù),且,那么