2024屆山西省晉南地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2024屆山西省晉南地區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.為了節(jié)約水資源，某市準(zhǔn)備按照居民家庭年用水量實行階梯水價，水價分檔遞增，計劃使第一檔、第二檔和第三檔

的水價分別覆蓋全市居民家庭的80%,15%和5%.為合理確定各檔之間的界限，隨機抽查了該市5萬戶居民家庭上

一年的年用水量（單位：ml）,繪制了統(tǒng)計圖，如圖所示.下面有四個推斷：

①年用水量不超過180ml的該市居民家庭按第一檔水價交費；

②年用水量不超過240ml的該市居民家庭按第三檔水價交費；

③該市居民家庭年用水量的中位數(shù)在150~180mi之間；

④該市居民家庭年用水量的眾數(shù)約為110mL

其中合理的是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

2.實數(shù)“、6在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）

■-??1?*'A

-la01b2

A.a<.-1B.ab>0C.a-辦VOD.Q+》V0

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OP的圓心坐標(biāo)是（3,a）（a>3）,半徑為3,函數(shù)y=x的圖象被。P截得的弦AB

的長為4后，則a的值是（）

A.4B.3+y/2C.3&D.3+G

4.下列圖案中，，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）

?B儻念Y）

5.下列命題是真命題的是（）

A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.兩條對角線相等的四邊形是平行四邊形

C.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

D.平行四邊形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

6.甲隊修路120m與乙隊修路100m所用天數(shù)相同，已知甲隊比乙隊每天多修10m,設(shè)甲隊每天修路xm.依題意,

下面所列方程正確的是

,120100?120100八120100120100

xx-10xx+10x-10xx+10x

3

7.在/A5C中，NC=90。,AC=9,sinB=-,貝!IAB=()

A.15B.12C.9D.6

8.某學(xué)校組織藝術(shù)攝影展，上交的作品要求如下：七寸照片（長7英寸，寬5英寸）；將照片貼在一張矩形襯紙的正

中央，照片四周外露襯紙的寬度相同；矩形襯紙的面積為照片面積的3倍.設(shè)照片四周外露襯紙的寬度為x英寸（如

圖），下面所列方程正確的是（）

A.(7+x)(5+x)x3=7x5B.(7+x)(5+x)=3x7x5

C.(7+2x)(5+2x)x3=7x5D.(7+2x)(5+2x)=3x7x5

9.為迎接中考體育加試，小剛和小亮分別統(tǒng)計了自己最近10次跳繩比賽，下列統(tǒng)計量中能用來比較兩人成績穩(wěn)定程

度的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

10.有一種球狀細菌的直徑用科學(xué)記數(shù)法表示為2.16x10-3米，則這個直徑是（）

A.216000米B.0.00216米

C.0.000216米D.0.0000216米

11.小昱和阿帆均從同一本書的第1頁開始，逐頁依順序在每一頁上寫一個數(shù).小昱在第1頁寫1,且之后每一頁寫

的數(shù)均為他在前一頁寫的數(shù)加2；阿帆在第1頁寫1,且之后每一頁寫的數(shù)均為他在前一頁寫的數(shù)加1.若小昱在某頁

寫的數(shù)為101,則阿帆在該頁寫的數(shù)為何？（）

A.350B.351C.356D.358

12.要整齊地栽一行樹，只要確定兩端的樹坑的位置，就能確定這一行樹坑所在的直線，這里用到的數(shù)學(xué)知識是（）

A.兩點之間的所有連線中，線段最短

B.經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線

C.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

D.經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.如圖，把正方形鐵片O43C置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點A的坐標(biāo)為（3,0）,點尸（1,2）在正方形鐵片上，

將正方形鐵片繞其右下角的頂點按順時針方向依次旋轉(zhuǎn)90。，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置…，則

正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2017次后，點尸的坐標(biāo)為.

X第一次第二次

。4①②

14.某排水管的截面如圖，已知截面圓半徑OB=10cm,水面寬AB是16cm,則截面水深CD為

15.已知一次函數(shù)的圖象與直線y=；x+3平行，并且經(jīng)過點（-2,-4）,則這個一次函數(shù)的解析式為.

16.若關(guān)于x的一■元二次方程x2+mx+2n=0有一個根是2,則m+n=.

17.如圖，矩形ABCD中，AD=5,ZCAB=300,點P是線段AC上的動點，點Q是線段CD上的動點，貝！IAQ+QP

的最小值是.

18.如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，AC=AD,BC>AB,AB〃CD,AB=4,BD=2—,tanZBAC=3

VV-

則線段BC的長是.

D

J

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）某校開展“我最喜愛的一項體育活動”調(diào)查，要求每名學(xué)生必選且只能選一項，現(xiàn)隨機抽查了m名學(xué)生，并

將其結(jié)果繪制成如下不完整的條形圖和扇形圖.

請結(jié)合以上信息解答下列問題：m=；請補全上面的條形統(tǒng)計圖；在圖2中，“乒乓球”所對應(yīng)扇形的圓心角的

度數(shù)為;已知該校共有1200名學(xué)生，請你估計該校約有名學(xué)生最喜愛足球活動.

20.（6分）如圖，已知拋物線丁=。/+3。》-4。與*軸負半軸相交于點4,與y軸正半軸相交于點5,OB=OA,

直線/過4、5兩點，點。為線段A8上一動點，過點。作C￡）_Lx軸于點G交拋物線于點E.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若拋物線與x軸正半軸交于點F,設(shè)點D的橫坐標(biāo)為X,四邊形FAEB的面積為S,請寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式,

并判斷S是否存在最大值，如果存在，求出這個最大值；并寫出此時點E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

（3）連接3E,是否存在點。，使得.。5石和_八4。相似？若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

3x+y=10

21.（6分）⑴解方程組:1

[x-2y=l

⑵若點A是平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點，（1）中的解X，y分別為點3的橫、縱坐標(biāo)，求A5的最小值及取得

最小值時點A的坐標(biāo).

22.（8分）觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題

ADAD

在銳角AAbC中，NA、NB、NC的對邊分別是〃、b、c,過A作于D（如圖⑴），則sinB=——,sinC=—,

cb

becacib

即AD=csin5,AD=bsinC,于是csin5=5sinC,即-----=-----,同理有：-----=-----,-----=-----,所以

sinBsinCsinCsinAsinAsinB

a_b_c

sinAsinBsinC

即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述

結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個未知元素.

根據(jù)上述材料，完成下列各題.

圖（1）圖（2）圖（3）

（1）如圖（2）,AABC中，N3=45。，NC=75。，3c=60,則NA=；AC=；

⑵自從去年日本政府自主自導(dǎo)“釣魚島國有化”鬧劇以來，我國政府靈活應(yīng)對，現(xiàn)如今已對釣魚島執(zhí)行常態(tài)化巡邏.某

次巡邏中，如圖（3）,我漁政204船在C處測得A在我漁政船的北偏西30。的方向上，隨后以40海里/時的速度按北

偏東30。的方向航行，半小時后到達5處，此時又測得釣魚島A在的北偏西75。的方向上，求此時漁政204船距釣魚

島A的距離A5.（結(jié)果精確到0.01,76-2.449）

23.（8分）如圖，在AA3c中，AB=AC,。為的中點，DELAB,DFLAC,垂足分別為E、F,求證：DE=DF.

24.（10分）如圖,已知二次函數(shù)y=-x2+法+c與x軸交于A、B兩點,A在B左側(cè)，點C是點A下方，且AC，x軸.

（1）已知A（—3,0）,B（-l,0）,AC=OA.

①求拋物線解析式和直線OC的解析式;

②點P從O出發(fā),以每秒2個單位的速度沿X軸負半軸方向運動,Q從O出發(fā),以每秒V2個單位的速度沿OC方向運動,

運動時間為t.直線PQ與拋物線的一個交點記為M,當(dāng)2PM=QM時，求t的值（直接寫出結(jié)果，不需要寫過程）

⑵過C作直線EF與拋物線交于E、F兩點（E、F在x軸下方），過E作EGLx軸于G,連CG,BF,求證：CG/7BF

25.（10分）如圖，一次函數(shù)丫=1?+1）的圖象與反比例函數(shù)y=Mx>0）的圖象交于點P（n,2）,與x軸交于點A（—4,

0）,與y軸交于點C,PB_Lx軸于點B,點A與點B關(guān)于y軸對稱.

（1）求一次函數(shù)，反比例函數(shù)的表達式；

（2）求證：點C為線段AP的中點；

（3）反比例函數(shù)圖象上是否存在點D,使四邊形BCPD為菱形？如果存在，說明理由并求出點D的坐標(biāo)；如果不存

在，說明理由.

26.（12分）如圖，一座鋼結(jié)構(gòu)橋梁的框架是△ABC,水平橫梁BC長18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中點,

MAD1BC.

（1）求sinB的值；

（2）現(xiàn)需要加裝支架DE、EF,其中點E在AB上，BE=2AE,且EF_LBC,垂足為點F,求支架DE的長.

27.（12分）丁老師為了解所任教的兩個班的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對數(shù)學(xué)進行了一次測試，獲得了兩個班的成績（百

分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息.

①A、B兩班學(xué)生（兩個班的人數(shù)相同）數(shù)學(xué)成績不完整的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成5組:x<60,60Wx<70,70Wx<80,

80<x<90,90<x<100）：

②A、B兩班學(xué)生測試成績在80<x<90這一組的數(shù)據(jù)如下：

A班：80808283858586878787888989

B班：80808181828283848485858686868787878787888889

③A、B兩班學(xué)生測試成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如下：

平均數(shù)中位數(shù)方差

A班80.6m96.9

B班80.8n153.3

根據(jù)以上信息，回答下列問題：補全數(shù)學(xué)成績頻數(shù)分布直方圖；寫出表中m、n的值；請你對比分析A、B兩班學(xué)生

的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況（至少從兩個不同的角度分析）.

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1、B

【解析】

利用條形統(tǒng)計圖結(jié)合中位數(shù)和中位數(shù)的定義分別分析得出答案.

【詳解】

①由條形統(tǒng)計圖可得：年用水量不超過180ml的該市居民家庭一共有(0.25+0.75+1.5+1.0+0.5)=4(萬)，

4

jxl00%=80%,故年用水量不超過180ml的該市居民家庭按第一檔水價交費，正確；

②；年用水量超過240ml的該市居民家庭有(0.15+0.15+0.05)=0.15(萬)，

035

A-^-xi00%=7%/5%,故年用水量超過240ml的該市居民家庭按第三檔水價交費，故此選項錯誤；

③萬個數(shù)據(jù)的中間是第25000和25001的平均數(shù)，

???該市居民家庭年用水量的中位數(shù)在120-150之間，故此選項錯誤；

④該市居民家庭年用水量為110ml有1.5萬戶，戶數(shù)最多，該市居民家庭年用水量的眾數(shù)約為110ml,因此正確,

故選B.

【點睛】

此題主要考查了頻數(shù)分布直方圖以及中位數(shù)和眾數(shù)的定義，正確利用條形統(tǒng)計圖獲取正確信息是解題關(guān)鍵.

2、C

【解析】

直接利用a,b在數(shù)軸上的位置，進而分別對各個選項進行分析得出答案.

【詳解】

選項A,從數(shù)軸上看出，”在-1與0之間，

:.-l<a<0,

故選項A不合題意；

選項5,從數(shù)軸上看出，。在原點左側(cè)，方在原點右側(cè)，

/.a<0,b>。,

:.abVO,

故選項5不合題意；

選項C,從數(shù)軸上看出，a在萬的左側(cè)，

:.a<b,

即a-b<0,

故選項。符合題意；

選項D,從數(shù)軸上看出，〃在-1與0之間，

：.\a\<\b\9

Va<0,b>0,

所以〃+》=例-

故選項。不合題意.

故選：C.

【點睛】

本題考查數(shù)軸和有理數(shù)的四則運算，解題的關(guān)鍵是掌握利用數(shù)軸表示有理數(shù)的大小.

3、B

【解析】

試題解析：作PC，x軸于C,交AB于D,作PEJ_AB于E,連結(jié)PB,如圖，

/.OC=3,PC=a,

把x=3代入y=x得y=3,

AD點坐標(biāo)為(3,3),

/.CD=3,

???△OCD為等腰直角三角形，

/.△PED也為等腰直角三角形，

VPE1AB,

.1111

/.AE=BE=—AB=—x4y/2=2^/2，

在RtAPBE中,PB=3,

???PE=)32-(2及y=i，

.?.PD=0PE=0,

a=3+y/2.

故選B.

考點：L垂徑定理；2.一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；3.勾股定理.

4、D

【解析】

分析：根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念分別分析得出答案.

詳解：A.是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項正確.

故選D.

點睛：本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形沿對稱軸折疊后可重合;

中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180。后與原圖形重合.

5、C

【解析】

根據(jù)平行四邊形的五種判定定理(平行四邊形的判定方法：①兩組對邊分別平行的四邊形；②兩組對角分別相等的四

邊形；③兩組對邊分別相等的四邊形；④一組對邊平行且相等的四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形)和平行四邊形

的性質(zhì)進行判斷.

【詳解】

A、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不是平行四邊形；故本選項錯誤；

8、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.故本選項錯誤；

C、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.故本選項正確；

。、平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.故本選項錯誤；

故選：C.

【點睛】

考查了平行四邊形的判定與性質(zhì).平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時

要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.

6、A

【解析】

分析：甲隊每天修路xm,則乙隊每天修(x-10)m,因為甲、乙兩隊所用的天數(shù)相同，所以，當(dāng)=」29_。故選A。

xx-10

7、A

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義直接求解.

【詳解】

在RtAABC中，ZC=90°,AC=9,

??—―,

AB5

解得AB=L

故選A

8、D

【解析】

試題分析：由題意得；如圖知；矩形的長="7+2*”寬=5+2x.?.矩形襯底的面積=3倍的照片的面積，可得方程為

(7+2X)(5+2X)=3x7x5

考點：列方程

點評：找到題中的等量關(guān)系，根據(jù)兩個矩形的面積3倍的關(guān)系得到方程，注意的是矩形的間距都為等量的，從而得到

大矩形的長于寬，用未知數(shù)x的代數(shù)式表示，而列出方程，屬于基礎(chǔ)題.

9^D

【解析】

根據(jù)方差反映數(shù)據(jù)的波動情況即可解答.

【詳解】

由于方差反映數(shù)據(jù)的波動情況，所以比較兩人成績穩(wěn)定程度的數(shù)據(jù)是方差.

故選D.

【點睛】

本題主要考查了統(tǒng)計的有關(guān)知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差.反映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計量有平均數(shù)、中

位數(shù)、眾數(shù)、方差等，各有局限性，因此要對統(tǒng)計量進行合理的選擇和恰當(dāng)?shù)倪\用.

10、B

【解析】

絕對值小于1的負數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為辦10”,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是

負指數(shù)塞，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【詳解】

2.16x10米=0.00216米.

故選艮

【點睛】

考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為d10-",其中仁同＜10,〃為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面

的0的個數(shù)所決定.

11、B

【解析】

根據(jù)題意確定出小昱和阿帆所寫的數(shù)字，設(shè)小昱所寫的第n個數(shù)為101,根據(jù)規(guī)律確定出n的值，即可確定出阿帆在

該頁寫的數(shù).

【詳解】

解：小昱所寫的數(shù)為1,3,5,1,101,...；阿帆所寫的數(shù)為1,8,15,22,

設(shè)小昱所寫的第n個數(shù)為101,

根據(jù)題意得：101=1+(n-1)x2,

整理得：2(n-1)=100,即n-l=50,

解得：n=51,

則阿帆所寫的第51個數(shù)為1+(51-1)xl=l+50xl=l+350=2.

故選B.

【點睛】

此題考查了有理數(shù)的混合運算，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

12、B

【解析】

本題要根據(jù)過平面上的兩點有且只有一條直線的性質(zhì)解答.

【詳解】

根據(jù)兩點確定一條直線.

故選:B.

【點睛】

本題考查了“兩點確定一條直線”的公理，難度適中.

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.)

13、(6053,2).

【解析】

根據(jù)前四次的坐標(biāo)變化總結(jié)規(guī)律，從而得解.

【詳解】

第一次Pi(5,2),第二次P2(8,1),第三次P3(10,1),第四次P4(13,1),第五次P5(17,2),...

發(fā)現(xiàn)點P的位置4次一個循環(huán)，

；2017+4=504余1,

P2017的縱坐標(biāo)與Pi相同為2,橫坐標(biāo)為5+3x2016=6053,

?,.Pion(6053,2),

故答案為(6053,2).

考點：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；規(guī)律型：點的坐標(biāo).

14、4cm.

【解析】

由題意知ODLAB,交AB于點C,由垂徑定理可得出BC的長，在RSOBC中，根據(jù)勾股定理求出OC的長，由

CD=OD-OC即可得出結(jié)論.

【詳解】

由題意知ODLAB,交AB于點E,

VAB=16cm,

11

BC=—AB=—xl6=8cm,

22

在RtAOBE中，

VOB=10cm,BC=8cm,

?*-OC=7OB2-BC2=V102-82=6(cm),

:.CD=OD-OC=10-6=4(cm)

故答案為4cm.

【點睛】

本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意在直角三角形運用勾股定理列出方程是解答此題的關(guān)鍵.

1

15、y=—x-1

2

【解析】

分析：根據(jù)互相平行的兩直線解析式的左值相等設(shè)出一次函數(shù)的解析式，再把點(-2,-4)的坐標(biāo)代入解析式求解

即可.

詳解：???一次函數(shù)的圖象與直線產(chǎn);比+1平行，.??設(shè)一次函數(shù)的解析式為尸;尤+4

???一次函數(shù)經(jīng)過點(-2,-4),.\!x(-2)+b=-4,解得：b=-l,所以這個一次函數(shù)的表達式是：產(chǎn)gx-L

故答案為-1.

點睛：本題考查了兩直線平行的問題，熟記平行直線的解析式的左值相等設(shè)出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

16、-1

【解析】

根據(jù)一元二次方程的解的定義把X=1代入xi+mx+ln=0得到4+lm+ln=0得n+m=-l,然后利用整體代入的方

法進行計算.

【詳解】

VI(n/0)是關(guān)于x的一元二次方程x1+mx+ln=O的一個根，

/.4+lm+ln=0,

?*.n+m=-l,

故答案為T.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解(根)：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含

有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

17、573

【解析】

作點A關(guān)于直線CD的對稱點E,作EP_LAC于P,交CD于點Q,此時QA+QP最短，由QA+QP=QE+PQ=PE可

知，求出PE即可解決問題.

【詳解】

解：作點A關(guān)于直線CD的對稱點E,作EPLAC于P,交CD于點Q.

?..四邊形ABCD是矩形，

.\ZADC=90°,

ADQ1AE,VDE=AD,

；.QE=QA,

:.QA+QP=QE+QP=EP,

二此時QA+QP最短（垂線段最短），

?.?/CAB=30。，

；.NDAC=60。，

在RtAAPE中，；NAPE=90°,AE=2AD=10,

,EP=AE?sin60°=lOx型=56

2

故答案為5班.

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)、最短問題、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是利用對稱以及垂線段最短找到點P、Q的位置,

屬于中考?？碱}型.

18、6

【解析】

作DE±AB,交BA的延長線于E,作CF±AB,可得DE=CF,且AC=AD,可證RtAADE^RtAAFC,可得AE=AF,

ZDAE=ZBAC,根據(jù)tan/BAC=/DAE=,可設(shè)DE=37a,AE=a,根據(jù)勾股定理可求a的值，由此可得

三=V

BF,CF的值.再根據(jù)勾股定理求BC的長.

【詳解】

如圖：

作DELAB,交BA的延長線于E,作CFLAB,

VAB//CD,DE_LAB_L,CF±AB

；.CF=DE,且AC=AD

/.RtAADE^RtAAFC

；.AE=AF,ZDAE=ZBAC

?.?tanZBAC=3.-

?,.tanZDAE=3,-

.?.設(shè)AE=a,DE=37a

在RtABDE中，BD2=DE2+BE2

/.52=(4+a)2+27a2

解得a2=-,（不合題意舍去）

AAE=1=AF,DE=37=CF

\-

.*.BF=AB-AF=3

在RtABFC中,BC『二：；+二二二6

【點睛】

本題是解直角三角形問題，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建輔助線是本題的關(guān)鍵，利用三角形全等證明邊相等，并借助同角的三角函數(shù)值

求線段的長，與勾股定理相結(jié)合，依次求出各邊的長即可.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)150,(2)36°,(3)1.

【解析】

(1)根據(jù)圖中信息列式計算即可；

(2)求得“足球”的人數(shù)=150x20%=30人，補全上面的條形統(tǒng)計圖即可；

(3)360。、乒乓球”所占的百分比即可得到結(jié)論；

(4)根據(jù)題意計算即可.

【詳解】

(1)m=21vl4%=150,

(2)“足球”的人數(shù)=150x20%=30人，

補全上面的條形統(tǒng)計圖如圖所示；

(3)在圖2中，“乒乓球”所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為360。、黑=36。；

(4)1200x20%=l人，

答：估計該校約有1名學(xué)生最喜愛足球活動.

故答案為150,36°,1.

小人教

【點睛】

本題考查了條形統(tǒng)計圖，觀察條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖獲得有效信息是解題關(guān)鍵.

20、(1)y=-x2-3x+4；(2)S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=—2*—8x+10(YWxW0),S存在最大值，最大值為

18,此時點E的坐標(biāo)為(-2,6).(3)存在點O,使得DBE和ZMC相似，此時點。的坐標(biāo)為(-2,2)或(-3,1).

【解析】

（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點4、5的坐標(biāo)，結(jié)合Q4=05即可得出關(guān)于。的一元一次方程，解之

即可得出結(jié)論；

（2）由點4、5的坐標(biāo)可得出直線AB的解析式（待定系數(shù)法），由點。的橫坐標(biāo)可得出點。、E的坐標(biāo)，進而可得出

DE的長度，利用三角形的面積公式結(jié)合S=SABE+SABF即可得出s關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)

即可解決最值問題；

（3）由NA￡）C=N5D￡、ZACD=90，利用相似三角形的判定定理可得出：若要DBE和ZMC相似，只需

ZDEB=90或ZDBE=90，設(shè)點D的坐標(biāo)為（m,m+4）,則點E的坐標(biāo)為（m,-m2-3m+4）,進而可得出DE、

8。的長度.①當(dāng)ND3E=90時，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出=進而可得出關(guān)于機的一元二次

方程，解之取其非零值即可得出結(jié)論；②當(dāng)N3ED=90時，由點3的縱坐標(biāo)可得出點E的縱坐標(biāo)為4,結(jié)合點E

的坐標(biāo)即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出結(jié)論?綜上即可得出結(jié)論.

【詳解】

（1）當(dāng)>=0時，Wax2+3ax-4a=0?

解得：占=-4,x2=1,

，點A的坐標(biāo)為（-4,0）.

當(dāng)％=0時，y-ax2+3ax-4-a--4a，

二點3的坐標(biāo)為（0,Ta）.

OA=OB,

—4a=4,解得：a=—l9

.?拋物線的解析式為y=——_3%+4.

（2）點A的坐標(biāo)為（-4,0）,點5的坐標(biāo)為（0,4）,

直線AB的解析式為y=x+4.

點。的橫坐標(biāo)為無，則點。的坐標(biāo)為（x,x+4）,點E的坐標(biāo)為（％—尤2—3無+4）,

DE=-x2_3x+4_（x+4）=_%2—4x（如圖1）.

點尸的坐標(biāo)為（1,0）,點4的坐標(biāo)為（-4,0）,點5的坐標(biāo)為（0,4）,

:.AF=5,OA=4,05=4,

11

9229

:.S=SABE+S=-OADE+-AFOB=-2X-SX+10=-2（X+2）+18.

-2<0,

,當(dāng)x=-2時，S取最大值，最大值為18,此時點E的坐標(biāo)為（-2,6）,

.?.S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=—2*—8x+10（TWxW0）,S存在最大值，最大值為18,此時點E的坐標(biāo)為（-2,6）.

（3）ZADC=NBDE,ZACD=90，

二若要DB石和—ZMC相似，只需NQEB=90或NDBE=90（如圖2）.

設(shè)點。的坐標(biāo)為(根,加+4),則點E的坐標(biāo)為(m.—m2-3瓶+4),

/.DE=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m,BD=~^2m.

①當(dāng)/DBE=90時，OA=OB,

:.ZOAB=45，

:.ZBDE=ZADC=45，

.?.A5QE為等腰直角三角形.

二.DE=41BD，即-m2-4-m=-2m，

解得：叫=0（舍去）,e=-2,

二點。的坐標(biāo)為（—2,2）；

②當(dāng)ABED=90時，點E的縱坐標(biāo)為4,

—nr—3m+4=4，

解得：?=-3,砥=0（舍去），

，點。的坐標(biāo)為（—3,1）.

綜上所述：存在點O,使得DBE和一ZMC相似，此時點。的坐標(biāo)為（-2,2）或（-3,1）.

故答案為：⑴y=-2—3x+4；（2）S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=-2f—8x+10（TWxW0）,S存在最大值，最

大值為18,此時點E的坐標(biāo)為（-2,6）.（3）存在點O,使得一D5E和ZMC相似,此時點D的坐標(biāo)為（-2,2）或（-3,1）.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三

角形的判定、等腰直角三角形以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（°利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出點4、

3的坐標(biāo)；⑵利用三角形的面積找出s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；⑶分NQ3E=9°及N5ED=9°兩種情況求出點。

的坐標(biāo).

x=3

21、（1）[,_]；（2）當(dāng)A坐標(biāo)為（3,0）時，取得最小值為1.

【解析】

（1）用加減消元法解二元一次方程組；（2）利用（1）確定出B的坐標(biāo)，進而得到AB取得最小值時A的坐標(biāo)，以及

AB的最小值.

【詳解】

3x+y=10①

解:(1)\?

[x-2y=l?

①x2+②得：7尤=21

解得：x=3

把％=3代入②得y=l,

x=3

則方程組的解為

b=11

(2)由題意得:8(3,I),

當(dāng)A坐標(biāo)為(3,0)時，AB取得最小值為I.

【點睛】

此題考查了二元一次方程組的解，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握運算法則及數(shù)形結(jié)合思想解題是解本題的關(guān)鍵.

22、(1)60,2076;(2)漁政船距海島A的距離約為24.49海里.

【解析】

(1)利用題目總結(jié)的正弦定理，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入求解即可；

(2)在△ABC中，分別求得BC的長和三個內(nèi)角的度數(shù)，利用題目中總結(jié)的正弦定理求AC的長即可.

【詳解】

(1)由正玄定理得：NA=60。，AC=20#；

故答案為60。，20a;

(2)如圖:

依題意，得BC=40x0.5=20（海里）.

VCD#BE,

.,.ZDCB+ZCBE=180°.

,.,ZDCB=30°,.,.ZCBE=150°.

；NABE=75。，.?.NABC=75。，

.\ZA=45°.

±ABBC

在^ABC中—-------=----

9sinZACBsinA9

口口ABBC

即-------X-=-----------5-，

sinZ60°sin45°

解得AB=10V6B24.49（海里）.

答：漁政船距海島A的距離AB約為24.49海里.

【點睛】

本題考查了方向角的知識，更重要的是考查了同學(xué)們的閱讀理解能力，通過材料總結(jié)出學(xué)生們沒有接觸的知識，并根

據(jù)此知識點解決相關(guān)的問題，是近幾年中考的高頻考點.

23、答案見解析

【解析】

由于AB=AC,那么NB=NC,而DE_LAC,DFJ_AB可知NBFD=NCED=90。，又D是BC中點，可知BD=CD,利

用AAS可證△BFD^ACED,從而有DE=DF.

24、(1)@J=-X2—4x—3；j=x；②t=11'或63±3A/141；(2)證明見解析.

1850

【解析】

⑴把A(—3,0),B(-l(0)代入二次函數(shù)解析式即可求出；由AC=OA知C點坐標(biāo)為(-3,-3),故可求出直線OC的解析式;

②由題意得。P=2f,P(—2f,0),過0作。軸于瓦

PGPM1

得，可得直線PQ為y=—X一2f,過M作MG±x軸于G,由=7=須7=彳，則2PG=GH,由

GH(/Az2

2\XP-XG\^\XG-XH\,得2人—與|=曷—于是2卜2/-泡|=%+4,解得知=-3/或x”=-1,從而求

出M(—3f,f)或M%再分情況計算即可；(2)過歹作fT/Lx軸于H,想辦法證得tanNCAG=tanN尸

即/以6=/b8",即得證.

【詳解】

y=-x2+bx+c

0=—9—3Z?+c[Z?=—4

解：⑴①把A(—3,0),B(—1,0)代入二次函數(shù)解析式得八17解得o

Q=-l-b+c[c=-3

/.j=-x2—4x—3；

由AC=OA知C點坐標(biāo)為(?3廠3),???直線OC的解析式產(chǎn)X;

②OP=2￡,P(—2￡,0),過。作軸于H,

?；QO=&,：.OH=HQ=t,

?*.PQ：y——x—2t,

過M作AfGJ_x軸于G,

?_P__G___P_M____1

?,GH―QM-2’

：.2PG=GH

???

2\xp-x^=\xG-xH|,即2瓦-xM\^\xM-xG|,

?>,2|—2z—xM|=\xM+t\,

%”=-3t或iX”=一§?，

.,..(一3儀)或“()

33

2

當(dāng)M(—3f,f)時：t=-9t+12t-3,

.#_11+A/13

??I=-------

18

山,51、q125220.

當(dāng)M(一一t,一一/)時：一一t=-----1+—1-3,

33393

.63±3^/i4T

??t=------------

50

.11土耳個63±3g'

綜上：t=-------或f

1850

(2)設(shè)A(m,0)、5(",0),

；?機、〃為方程A2一加:一c=0的兩根，

:.m+n=b,mn=——c,

??y=—x2+(m+n)x—mn=-(x~m)(x—n)^

2

VE>F在拋物線上，設(shè)￡(生一石之+(加+〃)王一研)、F(^x2,-x2+(m+n)x2-mn

設(shè)EF：y=kx+b,

=kx+b

.\yEE

yF=kxE+b

yE-yF=k(xE-xF)

22

,y.--x+x9+(m+n)(x,-x9)

；?k=------—=---------------------------------=m+n-jq-x2

xE-xFjq-x2

:.F:y=(<m+n-x1-x2)(x-x1)-(x1―根)(玉-n),令工=加

:.yc=(m+九一弓-x2)(m-xl)-(x1-m)(玉-n)

=-x2+xl-zz)=(m-x1)(m-x2)

/.AC=-(m-x1)(m-x2),

又;AG=xA-xE=m-xXy

.AC

??

tanNCAG=------x9—m,

AG

另一方面：過廠作軸于H,

m

:.FH=(4-)(%2-孔)，BH=x2-n9

/FH

/.tanZFBH=------=x1-m

BH

/.tanNC4G=tanNFBH

：.ZCAG=ZFBH

：.CG//BF

【點睛】

此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題,解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定與性質(zhì)及正確作出輔助線進行求解.

25、(1))=>+1.(2)點C為線段AP的中點.(3)存在點。，使四邊形5CPD為菱形，點。(8,1)即為所

求.

【解析】

試題分析：(1)由點A與點B關(guān)于y軸對稱，可得AO=BO,再由A的坐標(biāo)求得B點的坐標(biāo)，從而求得點P的坐標(biāo),

將P坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式，將A與P坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b

的值，確定出一次函數(shù)解析式；(2)由AO=BO,PB〃CO,即可證得結(jié)論；(3)假設(shè)存在這樣的D點，使四邊形B