《解直角三角形及其應(yīng)用》參考課件

28.2解直角三角形及其應(yīng)用問題要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端,梯子與地面所成的角α,一般要滿足50°≤α≤75°.現(xiàn)有一個(gè)長6m的梯子.問(1)使用這個(gè)梯子最高可以安全攀上多高的墻(精確到0.1m)(2)當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí),梯子與地面所成的角α等于多少(精確到1°)這時(shí)人是否能夠安全使用這個(gè)梯子?問題要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端,梯子與地面所成的角α,一般要滿足50°≤α≤75°.現(xiàn)有一個(gè)長6m的梯子.問(1)使用這個(gè)梯子最高可以安全攀上多高的墻(精確到0.1m)

對(duì)于問題(1),當(dāng)梯子與地面成的角α為75°時(shí),梯子頂端與地面的距離是使用這個(gè)梯子所以攀到的最大高度.

問題(1)可以歸結(jié)為:在Rt△ABC中,己知∠A=75°,斜邊AB=6,求∠A的對(duì)邊BC的長.

因此使用這個(gè)梯子能夠安全攀到墻面的最大高度約為5.8m.問題要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端,梯子與地面所成的角α,一般要滿足50°≤α≤75°.現(xiàn)有一個(gè)長6m的梯子.問(2)當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí),梯子與地面所成的角α等于多少(精確到1°)這時(shí)人是否能夠安全使用這個(gè)梯子?

對(duì)于問題(2),當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí),求梯子與地面所成的角α的問題,可以歸結(jié)為在Rt△ABC中,己知AC=2.4,斜邊AB=6,求銳α角的度數(shù).

因此當(dāng)梯子底端距離墻面2,4m時(shí),梯子與地面所成的角大約是66°.

由50°<66°<75°可知,這時(shí)使用這個(gè)梯子是安全的.在Rt△ABC的中,(1)根據(jù)∠A=75°,斜邊AB=6,你能求出這個(gè)直角三角莆的其他元素嗎?(2)根據(jù)AC=2.4,斜邊AB=6,你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎?探究三角形有六個(gè)元素,分別是三條邊和三個(gè)內(nèi)角.

事實(shí)上,在直角三角形的六個(gè)元素中,除直角外,如果再知道兩個(gè)元素(其中至少有一個(gè)是邊),這個(gè)三角就可以確定下來,這樣就可以由已知的兩個(gè)元素求出其余的三個(gè)元素.

在直角三角形中,由己知元素求未知元素的過程,就是解直角三角形.靈活變換:同角之間的三角函數(shù)的關(guān)系3.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別是a,b,c.求證:sin2A+cos2A=1同角之間的三角函數(shù)的關(guān)系3.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別是a,b,c.求證:tanA·cotA=1,同角之間的三角函數(shù)的關(guān)系平方和關(guān)系:商的關(guān)系:倒數(shù)關(guān)系:例1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=.BC=,解個(gè)直角三角形.例2如圖,在Rt△ABC中,∠B=35°,b=20,解這個(gè)直角三角形(精確到0.1)你還有其它辦法求出c嗎?現(xiàn)在我們來本章引言提出的有關(guān)比薩斜塔傾斜的問題.

先看1972年的情形,設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B,塔身中心線與垂直中心線的夾角為A,過B點(diǎn)向垂直中心線引垂線,垂足為點(diǎn)C.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m,AB=54.5m.

類似地,可以求出2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角,你愿意試著計(jì)算一下嗎?練習(xí)在Rt△ABC中,∠C=90°,根據(jù)下列條件解直角三角形.(1)c=30,b=20;(2)∠B=72°,c=14.

(3)∠B＝30°，a=.例32012年6月18日，“神舟”九號(hào)載人航天飛船與“天宮”一號(hào)目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接.“神舟”九號(hào)與“天宮”一號(hào)的組合體當(dāng)在離地球表面343km的圓形軌道上運(yùn)行.如圖,當(dāng)組合體運(yùn)行到地球表面上P點(diǎn)的正上方時(shí)，從中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置?最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少?(地球半徑約為6400km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù))？

分析:從飛船上能最遠(yuǎn)直接看到的地球上的點(diǎn),應(yīng)是視線與地球相切時(shí)的切點(diǎn).

如圖,⊙O表示地球,點(diǎn)F是飛船的位置,FQ是⊙O的切線,切點(diǎn)Q是從飛船觀測(cè)地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn),PQ的長就是地面上P、Q兩點(diǎn)間的距離,為計(jì)算PQ的長需要先求出∠POQ.(即α).

在解決例3的問題時(shí),我們綜合運(yùn)用了圓和解直角三形的知識(shí).解:在圖中,FQ是⊙O的切線,△FOQ是直角三角形.例32012年6月18日，“神舟”九號(hào)載人航天飛船與“天宮”一號(hào)目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)交會(huì)對(duì)接.“神舟”九號(hào)與“天宮”一號(hào)的組合體當(dāng)在離地球表面343km的圓形軌道上運(yùn)行.如圖,當(dāng)組合體運(yùn)行到地球表面上P點(diǎn)的正上方時(shí)，從中能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)在什么位置?最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少?(地球半徑約為6400km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù))？∴弧PQ的長為當(dāng)組合體在P點(diǎn)正上方時(shí)，從組合體觀測(cè)地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)距離P點(diǎn)約2051km.例4熱氣球的探測(cè)器顯示,從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°,看這棟高樓底串聯(lián)的俯角為60°,熱氣球與高樓的水平距離為120m,這棟高樓有多高(結(jié)果取整數(shù))?分析:我們知道,在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的仰角,視線在水平下方的是俯角,因此,在圖中,α=30°,β=60°.

在Rt△ABD中,α=30°,AD=120,所以可以利用解直角三角形的知識(shí)求出BD,類似地可以求出CD,進(jìn)而求出BC.答:這棟樓高約為277m.練習(xí)1.建筑物BC上有一旗桿AB,由距BC40m的D處觀察旗桿頂部a的仰角為54°,觀察底部B的仰部的仰角為45°,求旗桿的高度(精確到0.1m).2.如圖,沿AC方向開山修路,為了加快施工進(jìn)度,要在小山的另一邊同時(shí)施工,從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD=140°,BD=520m,∠d=50°,那么開挖點(diǎn)E離D多遠(yuǎn)正好能A,C,E使成一直線,(精確到0.1m)?例5.如圖,一般海輪位于燈塔P的北偏東65°方向,距離燈塔80海里的A處,它沿正南方向航行一段時(shí)間后,到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處,這時(shí),海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)(結(jié)果取整數(shù))?

因此,當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時(shí),它距離燈塔大約130海里.

解直角三角形有文泛的應(yīng)用,解決問題時(shí),要根據(jù)實(shí)際情況靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí),例如,當(dāng)我們要測(cè)量如圖所示大壩的高度h時(shí),只要測(cè)出仰角α和大壩的坡面長度l,就能算出h=lsinα,但是,當(dāng)我們要測(cè)理如圖所示的山高h(yuǎn)時(shí),問題就不那么簡單了,這時(shí)由于不能很方便函地得到仰角α和山坡長度l.

與測(cè)壩高相比,測(cè)山高的困難在于,壩坡是”直”的而山坡是”曲”的,怎樣解決這樣的問題呢?

我們?cè)O(shè)法”化曲為直,以直代曲”.我們可以把山坡”化整為零”地劃分為一些小段,圖中表示其中一部分小段,劃分小段時(shí),注意使每一小段上的山坡的是”直”的,可以量出這段坡長li,測(cè)出相應(yīng)的仰角α1,這樣就可以算出這段山坡的高度hi=lisinαi.

上面的方面分別算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,,然后我們?cè)佟狈e零為整”把h1,h2,…,hn,,相加,于是得到山高h(yuǎn).

以上解決問題所用的”化整為零,積零為整””化曲為直,以直代曲”的做法,就是高等數(shù)學(xué)中微積分的基本思想,它在數(shù)學(xué)中有重要地位,在今后的學(xué)習(xí)中,你會(huì)更多地了解這方面的內(nèi)容.1.海中有一個(gè)小島A,它的周圍8海里內(nèi)有暗礁,漁船跟蹤魚群由西向東航行,在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上,航行12海里到達(dá)D點(diǎn),這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上,如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行,有沒有觸礁的危險(xiǎn)?2.如圖,攔水壩的橫斷面為梯形ABCD(圖中i=1:3是指坡面的鉛直高度DE與水平