數(shù)學(xué)-九師聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月摸底聯(lián)考試題和答案

考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分滿分150分考試時(shí)間120分鐘2.答題前考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚3.考生作答時(shí)請(qǐng)將答案答在答題卡上選擇題每小題選出答案后用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答超出答題區(qū)域書寫的答案無效在試題卷草稿紙上作答無效4.本卷命題范圍高考范圍一選擇題:本題共8小題每小題5分共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知復(fù)數(shù)（1十i1十a(chǎn)i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.（1,十…）B.（-…,1）C.（-1,1）D.（-…,-1）2.對(duì)某批電子元件的使用壽命進(jìn)行測(cè)試,從該批次的電子元件中隨機(jī)抽取200個(gè)進(jìn)行使用壽命試驗(yàn),測(cè)100120150165185200210230個(gè)數(shù)832453523261912估計(jì)這批電子元件使用壽命的第60百分位數(shù)為A.工-1B.>—-1C.工-D.>—-4.如圖,在矩形ABCD中,過邊AB上的點(diǎn)P1,P2分別作AB的垂線,分別交CD于P7,P8,過AD邊上點(diǎn)P3作AD的垂線,分別交P1P7,P2P8,BC于P4,P5,P6,則集合{>>—AB.APi,i—1,2,3,…,8}中的元素個(gè)數(shù)為A.2B.4C.6D.85.已知aeR,集合A—{2,a十1,a十3},則“a—0”是“1eA”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【高二摸底聯(lián)考.數(shù)學(xué)第1頁（共4頁）】6.在ΔABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C.若a—1,b2cOs2C十C2sin2B—（C2-1）,則cOsB的最小值為A.槡B.槡C.3D.2解集為A.[-2,0]U[2,十…）B.[-2,2]C.（-…,-2]U[2,十…）D.（-…,-2]U[0,2]8.已知點(diǎn)A（1,0）,B（4,0）,C（2,1）,動(dòng)點(diǎn)P滿足—,則PB十2PC取得最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為槡61,槡61）二選擇題:本題共3小題每小題6分共18分在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分部分選對(duì)的得部分分有選錯(cuò)的得。分9.圍棋是我國發(fā)明的古老的也是最復(fù)雜的智力競技活動(dòng)之一.現(xiàn)代圍棋棋盤共有19行19列,361個(gè)格點(diǎn),每個(gè)格點(diǎn)上可能出現(xiàn)黑子、白子、空三種情況,因此整個(gè)棋盤上有3361種不同的情況,下面對(duì)于數(shù)字3361的判斷正確的是（參考數(shù)據(jù):lg3~0.4771）A.3361的個(gè)位數(shù)是3B.3361的個(gè)位數(shù)是1C.3361是173位數(shù)D.3361是172位數(shù)f-f—4,則A.幼2 一11.如圖,在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱BC的中點(diǎn),BP—λBD(λe（0,1]）,CQ—μCB1(μe（0,1]）,過點(diǎn)P,E,Q的平面截該正方體所得的截面為Ω,則A.不存在λ,μ,使得PQ」平面ACD1B.當(dāng)平面EPQ/平面ACD1時(shí),λ十μ—C.線段PQ長的最小值為4EQ\*jc3\*"Font:MicrosoftYaHei"\*hps20\o\ad(\s\up5(EQ),的)三填空題:本題共3小題每小題5分共15分22十a(chǎn)33十…十a(chǎn)8（8,則a5—.13.在三棱錐PABC中,PAPBPC2,AB1,人ACB,若該三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球。的表面上,則球。的表面積為.【高二摸底聯(lián)考.數(shù)學(xué)第2頁（共4頁）】14.已知F1,F2分別為橢圓E:十—1（a>2）的上、下焦點(diǎn),A（-2,0）,直線l經(jīng)過點(diǎn)F1且與E交于B,C兩點(diǎn),若l垂直平分線段AF2,則ΔABC的周長為.四解答題:本題共5小題共77分解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟15.（本小題滿分13分）學(xué)生的安全是關(guān)乎千家萬戶的大事,對(duì)學(xué)生進(jìn)行安全教育是學(xué)校教育的一個(gè)重要方面.臨近暑假,某市教體局針對(duì)當(dāng)前的實(shí)際情況,組織各學(xué)校進(jìn)行安全教育,并進(jìn)行了安全知識(shí)和意識(shí)的測(cè)試,滿分100分,成績不低于60分為合格,否則為不合格.為了解安全教育的成效,隨機(jī)抽查了轄區(qū)內(nèi)某校180名學(xué)生的測(cè)試成績,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果制作成如圖所示的頻率分布直方圖.[80,100]內(nèi)的女生人數(shù)分別為6,24,48,12,完成2X2列聯(lián)表,根據(jù)小概率值a—0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為測(cè)試成績與性別有關(guān)聯(lián)？不合格合格合計(jì)男生女生合計(jì)（2）若對(duì)抽查學(xué)生的測(cè)試成績進(jìn)行量化轉(zhuǎn)換,“合格”記5分,“不合格”記0分.按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從“合格”與“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)選取10人進(jìn)行座談,再從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.a0.10.050.005工a16.（本小題滿分15分）【高二摸底聯(lián)考.數(shù)學(xué)第3頁（共4頁）】17.（本小題滿分15分）如圖,在ΔABC中,D,E分別為邊AC,AB的中點(diǎn),將ΔADE沿DE折起到ΔPDE處,F為線段PB的中點(diǎn).（1）求證:平面PBE」平面PBC；（2）若AC」BC,PC—槡2CD—槡2DE,求平面PCE與平面CEF的夾角的余弦值.18.（本小題滿分17分）已知雙曲線Γ:-—1（a>0,b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,右焦點(diǎn)為F,一條漸近線的傾斜角為,Γ的離心率為e,M（e,e十1）在Γ上.（1）求Γ的方程；OP OQ（2）過F的直線l交Γ于C,D兩點(diǎn)（C在父軸上方）,直線AC,BD分別交>軸于點(diǎn)P,Q,OP OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）是否為定值？若是定值,求出該定值；若不是定值,請(qǐng)說明理由.19.（本小題滿分17分）對(duì)任意正整數(shù)n,定義n的豐度指數(shù)I（n）—,其中S（n）為n的所有正因數(shù)的和.）,求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn；【高二摸底聯(lián)考.數(shù)學(xué)第4頁（共4頁）】——1.D因?yàn)椋?十i1十a(chǎn)i）—1—a十（a十1）i,所以（1十i1十a(chǎn)i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1—a,a十1）,由題意知（1—a>0,〈解得a<—1.故選D.（a十1<0,2.C因?yàn)?00X60%—120為整數(shù),所以該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是將這組數(shù)據(jù)從小到大排列后第120個(gè)數(shù)據(jù)和第121個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),由表知,第120個(gè)數(shù)據(jù)為165,第121個(gè)數(shù)據(jù)為185,所以第60百分位數(shù)為165185—175.故選C.3.D把C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為工2—>,所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p—,且焦點(diǎn)在>軸的正半軸上,所以其準(zhǔn)線方程為>——.故選D.4.BAPi（i—1,2,3,…,8）在AB上的投影向量僅有4種情況,由數(shù)量積的幾何意義知AB.APi（i—1,2,3,…,8）也僅有4個(gè)不同的值,所以該集合中有4個(gè)元素.故選B.5.C若1eA,則a十1—1,或a十3—1,所以a——2,或a—0.當(dāng)a——2時(shí),a十3—a十1—1,不滿足集合中元素的互異性,故a牛—2；當(dāng)a—0時(shí),A—{2,1,3},故由1eA,可得a—0；反之,當(dāng)a—0時(shí),顯然1eA也成立.故“a—0”是“1eA”的充要條件.故選C.6.A因?yàn)閍—1,b2cos2C十c2sin2B—（c2—1）,所以b2cos2C十c2sin2B—（c2—a2）,由正弦定理,得sin2Bcos2C十2Csin2B—（sin2C—sin2A）,所以sin2B—（sin2C—sin2A）,所以b2—（c2—a2）,所以cosB—a2十2c—b2—a2十c2—（c2—a2）a2十c22ac22ac值為槡.故選A.—十>2槡X—槡,當(dāng)且僅當(dāng)c—槡7a—槡7時(shí)等號(hào)成立,即cosB的最小7.A當(dāng)工>0時(shí),令g（工）—f）,則g,（工）—工f,（工f（工）<0,所以g（工）在（0,十…）上單調(diào)遞減,因?yàn)閒（2）?上的奇函數(shù),所以當(dāng)工e（—2,0）時(shí),f（工）<0,當(dāng)工e（—…,—2）時(shí),f（工）>0,f（0）—0,又f（—2）——f（2）—0,所以f（工）三0的解集為[—2,0]U[2,十…）.故選A.PAPB8.C設(shè)P（工,>）,由PAPB>2>2PAPB,化簡得工2十>2—4,由—,得PB—2PA,PAPBPB十2PC—2（PA十PC）,故當(dāng)且僅當(dāng)P,A,C三點(diǎn)共線,且點(diǎn)P在A,C之間時(shí),PB十2PC取得最小2十>2—4,（工—槡71,值,此時(shí)線段AC的方程為>—工—1（1三工三2）,由〈并結(jié)合1三工三2,解得〈故此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（>—工—1,（>—槡71,槡71,槡71.故選C.【高二摸底聯(lián)考.數(shù)學(xué)參考答案第1頁（共6頁）】9.AC由31—3’32—9’33—27’34—81’35—243’…個(gè)位數(shù)分別為3’9’7’1’3’…以4為周期循環(huán)往復(fù)’因?yàn)?61亡4的余數(shù)為1’故3361的個(gè)位數(shù)與31的個(gè)位數(shù)相同’即3361的個(gè)位數(shù)為3’故A正確’B錯(cuò)誤；因?yàn)閘g3361—361lg3~361X0.4771—172.2331’所以3361~10172.2331—100.2331X10172’因?yàn)?00.2331e（1’2）’所以3361為173位數(shù)’故C正確’D錯(cuò)誤.故選AC.f—f—4’得f（工）max—f’f（工）min—f’所以f（工）的最小正周期T三2—?π’又f（工）在’內(nèi)無極值點(diǎn)’所以T>2—?π’所以T—π’所以幼——2’經(jīng)驗(yàn)證幼—2符合條件’所以f（工）—2sin（2工十十1’故A正確’解’所以2a十>’解得a>’故C正確；將f（工）的圖象向左平移個(gè)單位長度’得>—2cos2工十1的圖象’顯然>—2cos2工十1為偶函數(shù)’其圖象關(guān)于>軸對(duì)稱’故D正確.故選ACD.11.BCD當(dāng)λ—μ—1時(shí)’P與D重合’Q與B1重合’易證B1D」平面ACD1’即存在λ’μ’使得PQ」平面ACD1’故A錯(cuò)誤；若平面EPQ/平面ACD1’因?yàn)槠矫鍱PQn平面ABCD—PE’平面ACD1n平面ABCD—AC’所以PE/AC’設(shè) 14ACnBD—F’因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)’所以P為BF的中點(diǎn) 14’延長B1C1到C2’使得C1C2—B1C1’同理可得C2/EQ’又C2/BC1’所以EQ/BC1’又E為BC的中點(diǎn)’所以—’所以μ—’所以λ十μ—’故B正確；—2十十十2.十2BC.CQ十2CQ.PB—32λ2十16十32μ2—32λ—32μ十32λμ—32[(λ十μ)2—λμ—(λ十μ)]十16>32[(λ十μ)2—(λμ)2—(λ十μ)]十16—24(λ十μ)2—32(λ十μ)十16（當(dāng)且僅當(dāng)λ—μ時(shí)等號(hào)成立）?24(λ十μ—2十>’當(dāng)且僅當(dāng)λ—μ—時(shí)等號(hào)成立’所以PQmin—槡—4’故C正確；當(dāng)λ—μ—時(shí)’易 得Ω為正六邊形（如圖六邊形EGHIJK）’其邊長為2槡2’故Ω的面積為6X槡X（2槡2）2—12槡3’SΔPEQ—EP.EQsin—X（槡2）2X槡—槡’所以ΔEQ\*jc3\*"Font:MicrosoftYaHei"\*hps17\o\ad(\s\up4(EQ),的)積—’故D正確.故選BCD.【高二摸底聯(lián)考.數(shù)學(xué)參考答案第2頁（共6頁）】12.—448由題意知a5為[—2十（工13.因?yàn)镻A—PB—PC—2’所以點(diǎn)P在平面ABC上的射影為ΔABC的外心’又AB—1’人ACB—’所以ΔABC的外接圓的半徑T——1’從而三棱錐PABC的高為槡22—12—槡3.設(shè)該三棱錐外接球的半徑為R’則2十12—R2’解得R槡’故球。的表面積為4πR2—4π槡233AF2的中點(diǎn)為的斜率為—’所以l的斜率為’所以直線l的方l過槡’因?yàn)閘垂直平分線段AF2’所以CF2—AC’BF2—AB’所以ΔABC的周長為CF2十BF2十BF1十CF1—4a—16.為108’……………………2分故2X2列聯(lián)表為：不合格合格合計(jì)男生424890女生306090合計(jì)72108180………………………………3分零假設(shè)H0：測(cè)試成績與性別無關(guān)聯(lián)’根據(jù)2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)’計(jì)算得X22—~3.333<3.841工0.05’……………5分根據(jù)小概率值a—0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)’沒有充分的證據(jù)推斷H0不成立’因此可以認(rèn)為H0成立’即測(cè)試成績與性別無關(guān)聯(lián).………………………6分X20）——’………………………11分【高二摸底聯(lián)考.數(shù)學(xué)參考答案第3頁（共6頁）】故所求分布列為X05101520P 1210 435 37 821 114所以E（X）—0X0十5X十10X十15X十20X—12.…………………I0所以g（工）在[0,十…）上單調(diào)遞減,……………………12分13分1分3分6分7分—1）,令fI（工）—0,得工1或工ln,…………8分①當(dāng)a—時(shí),fI（工）>0恒成立,所以f（工）在R上單調(diào)遞增；……………………10分②當(dāng)0<a<時(shí),ln>1,令fI（工）>0,得工<1,或工>ln 1a,令fI（工）<0,得1<工 1a上單調(diào)遞增,在1,ln上單調(diào)遞減；…………………12分③當(dāng)a>時(shí),ln<1,令fI（工）>0,得工>1,或工<ln,令fI（工）<0,得ln<工<1,—…,ln,（1,十…）上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.上單調(diào)遞增,在1,ln上單調(diào)遞減；當(dāng)a—時(shí),上單調(diào)遞減.……………………………15分17.（1）證明：取PC的中點(diǎn)G,連接DG,FG,則FG/BC,且FG—BC,………………1分由題意知DE/BC,DE—BC,…………………………2分所以FG/DE,且FG—DE,所以四邊形DEFG為平行四邊形,所以EF/DG,……………………………3分由題意知DP—DC,EP—EB,因?yàn)镚,F分別為PC,PB的中點(diǎn),所以DG」PC,EF」PB,…………4分因?yàn)镋F/DG,所以EF」PC,……………5分因?yàn)镻B,PC仁平面PBC,PBnPC—P,所以EF」平面PBC,………6分又EF仁平面PBE,所以平面PBE」平面PBC.………………………7分【高二摸底聯(lián)考.數(shù)學(xué)參考答案第4頁（共6頁）】所以PC2—PD2十CD2,所以PD」CD,……8分因?yàn)樵讦BC中,AC」BC,所以DE」AD,DE」CD,所以DE」PD,DE」CD,……………………9分所以DE,DC,DP兩兩垂直,故以D為原點(diǎn),直線DE,DC,DP分別為工軸,11分………………11分………一（n.PC—0,（S之0,（n.CE—0,（工S0,——一一——m.n11m.n11m.n所以平面PCE與平面CEF夾角的余弦值為.……………………15分18.解1）因?yàn)棣５囊粭l漸近線的傾斜角為,所以其斜率為tan——槡3,…………1分b22—2,…………………3分又M（e,e十1）,即M（2,3所以a—1,b—槡3,故Γ的方程為工2——1.…………7分F,S2）,由題意知l的斜率不為0,設(shè)l的方程為工—mS十2,……8分代入Γ的方程并整理,得（3m2—1）S2十12mS十9—0,十1）>0,10分………………10分………………,……11分0,1S2,……12分S1S2S1S2mS1S2十S1OPOQ S1 S2 mS1S2十3S2十S1 十S13十S1 十S1 13,OPOQ17分所以1……OPOQ17分所以1………………………【高二摸底聯(lián)考.數(shù)學(xué)參考答案第5頁（共6頁）】2n共有n十1個(gè)正因數(shù),它們是1,2,22,…,2n,……………1分所以an—I（2