上海市民辦南模中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

南模中學(xué)2023學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)期末2024.06一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知，則__________.2.已知向量，則__________.3.在半徑為1的圓中，弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為__________.4.已知復(fù)數(shù)滿足：，則__________.5.若向量的夾角，則__________.6.在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，，若成等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為__________.7.已知平面向量與的夾角為，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為__________.8.若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小正值是__________.9.已知數(shù)列滿足：，且是嚴(yán)格增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.10.如圖，在扇形中，，點(diǎn)在扇形內(nèi)部，，，則陰影部分的面積為__________.11.設(shè)為平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量，定義一種向量運(yùn)算“”；對(duì)于同一平面內(nèi)的向量，給出下列結(jié)論：①②；③④若是單位向量，則.以上所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.12.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：.記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.二?選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.在公差為的等差數(shù)列中，，則（）A.1或2B.1C.-1D.-214.下列函數(shù)在上嚴(yán)格減的是（）A.B.C.D.15.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則對(duì)任意，下列選項(xiàng)中為定值的是（）A.B.C.的周長(zhǎng)D.的面積16.在中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（）A.4B.C.2D.三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分.已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，其中為虛數(shù)單位.（1）求的值；（2）記復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的模.18.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知向量，函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.19.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式與單調(diào)增區(qū)間；（2）若將的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的圖象，寫出圖像的對(duì)稱中心的坐標(biāo)，并求當(dāng)時(shí)，的最值.20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）若數(shù)列滿足，從數(shù)列中任取2項(xiàng)相加，把所有和的不同值按照從小到大排成一列，稱為數(shù)列的和數(shù)列，記作數(shù)列.（1）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.①若，求的通項(xiàng)公式，并寫出的前5項(xiàng)；②若，求數(shù)列的前50項(xiàng)的和；（2）若，證明：對(duì)任意或，，并求數(shù)列的所有項(xiàng)的和.21.（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).（1）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)，的值；（2）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量，并求出與共線的單位向量；（3）已知為的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得.若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.參考答案一?填空題1.2.1或23.4.5.6.7.8.9.10.11.①④12.11.【答案】①④【解析】當(dāng)共線時(shí)，，當(dāng)不共線時(shí)，，故①正確；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故②不正確；當(dāng)與共線時(shí)，則存在與不共線，則，顯然，故③錯(cuò)誤；當(dāng)與不共線時(shí)，，當(dāng)與共線時(shí)，設(shè)，故④是正確.綜上，結(jié)論一定正確的是①④.12.【答案】【解析】在的整數(shù)中與不互質(zhì)的數(shù)有，共有個(gè)，所以與5互質(zhì)的數(shù)有個(gè)，因此.在的整數(shù)中，2的倍數(shù)共有個(gè)，5的倍數(shù)共有個(gè)，10的倍數(shù)共有個(gè)，所以.所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，則恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，所以，令，則，所以，且，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍模二?選擇題13.D14.D15.A16.A15.【答案】A【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則，由可得，對(duì)于方程，則，解方程可得，所以，所以，中，由于不是定值，則的面積?均不為定值.故選：A.16.【答案】A【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得：，再由余弦定理可得：，所以，三角形為直角三角形，角為直角，因?yàn)?，由三角形面積公式所以，又，則，由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得：，所以，因?yàn)?，所以可得，因?yàn)橛秩c(diǎn)共線，所以，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.三?解答題17.（1）；（2）.18.（1）（2）19.（1）（2）20.【答案】（1）①的前5項(xiàng)依次為.②（2）見解析【解析】（1）設(shè)的公差為，①由.得解得，所以的前5項(xiàng)依次為.②因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，可以是任意正整數(shù)，所以數(shù)列的第項(xiàng)為，由得解得，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為4?公差為2的等差數(shù)列，所以的前50項(xiàng)和為.（2）證明：假設(shè)存在或使得，當(dāng)且時(shí)，因?yàn)?，所以，得，這與矛盾，同理且時(shí)也不成立，當(dāng)且時(shí)，設(shè)，因?yàn)?，所以，左邊為奇?shù)，右邊為偶數(shù)，所以，綜上得，對(duì)任意或，所以數(shù)列的所有項(xiàng)的和為.21.【答案】（1）（2）和.（3）【解析】（1）已知可得：，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，，?），，所以，所以與共線的