人教版高中數(shù)學必修一《 用二分法求方程的近似解》教學設計（含答案）

3.1.2用二分法求方程的近似解

教學設計（一）

學習準備

教師需要明了：

1.新教材為什么增加求方程的近似解？

2.為什么用“二分法”求方程的近似解？

3.本節(jié)內(nèi)容在教材中的地位和作用.

4.明確學生現(xiàn)有的水平和可能的發(fā)展水平.

學生需要復習：方程的根與函數(shù)的零點的相關(guān)知識.

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)學生“最近發(fā)展區(qū)”確定本課時教學和學習目標.

教學目標

1.了解二分法是求方程近似解的一種方法.

2.會用二分法求給定精確度的方程的近似解.

3.在具體問題情境中感受逐步逼近的過程.

4.培養(yǎng)學生觀察、分析數(shù)據(jù)的能力.

5.培養(yǎng)學生合作與交流的意識和對新知探求的精神.

教學重點與難點

重點：二分.法原理及其探究過程，用二分法求方程的近似解.

難點：對二分法原理的探究，對精確度、近似值的理解.

教學方法與教學手段

教學方法：“問題驅(qū)動”，啟發(fā)、探究

學法：自主探究、分組合作、辨析討論、深化理解

教輔工具：計算機、投影儀、計算器

教學過程

1.設置情境，提出問題

問題1：你會求哪些類型方程的解？

寫一寫你不會求解的方程.

設計意圖

讓學生感受有大量的方程不，能求解，引起學生的認知沖突，激發(fā)學生的求知欲.

問題2：能不能求方程的近似解?

2.自主探究，獲得新知

以求方程/+3%—1=0的近似解(精確度0.1)為例進行探究.

探究1：怎樣確定解所在的區(qū)間？

(1)圖象法(數(shù)形結(jié)合)：

(2)試值法：

設犬x)=V+3x—l,/0)=-1<0,y(l)=3>0.

復習：(1)方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系；

(2)根的存在性定理.

探究2：怎樣縮小解所在的區(qū)間？

幸運52中猜商品價格環(huán)節(jié)，讓學生思考：

(1)主持人給出高了還是低了的提示有什么作用？

(2)如何猜才能最快猜出商品的價格？

設計意圖

在學生“最近發(fā)展區(qū)”設置問題，搭建平臺，拉近數(shù)學與現(xiàn)實的距離，不僅激發(fā)學.生

學習興趣，學生也在猜測的過程中逐步體會二分法思想.

問題3：為什么要取中點，好處是什么？

設計意圖

體會二分法優(yōu)于其他如“三分法”，“四分法”，華羅庚的“優(yōu)選法”等.

探究3：區(qū)間縮小到什么程度滿足要求？

設計意圖

利用計算器進行了多次計算，逐步縮小實數(shù)解所在范圍，精確度的確定就顯得非常自然,

突破了教學上的難點，提高了探究活動的有效性.

問題4：精確度0.1指的是什么？與精確到0.1一樣嗎？

通過對以上問題的探究，給出二分法的定義就水到渠成了.

二分法的定義：

對于在區(qū)間［a,加上連續(xù)不斷且滿足/(a)7(b)＜0的函數(shù)y=/(x),通過不斷地把函數(shù)/(x)

的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法

叫做二分法.

用二分法求零點近似值的步驟：

給定精確度￡,用二分法求函數(shù)段)的零點近似值的步驟如下：

(1)確定區(qū)間［a,b］,驗證。a)7(b)＜：0,給定精確度￡;

(2)求區(qū)間(a,6)的中點c；

(3)計算的＞；

①若7(c)=0,則c,就是函數(shù)的零點；

②若1a)7(c)vo,則令6=c(此時零點xoW(a,c))；

③若＜’)次力＜0,則令a=c(此時零點x()G(c,b)).

(4)判斷是否達到精確度e：

即若|a—臼〈心則得到零點近似值。(或勿：否則重復步驟(2)?(4).

3.例題剖析，鞏固新知

【例】借助計算器用二分法求方程lnx+2x-6=0的近.似解(精確度0.01).

兩人一組，一人用計算器求值，一人記錄結(jié)果；學生講解縮小區(qū)間的方法和過程，教師

點評.同時演示用Excel程序求方程的近似解.

設計意圖

(1)演示Excel程序求方程的近似解，界畫活潑，充分體現(xiàn)了信息技術(shù)與教學課程有機整

合.進一步明確為什么用“二分法”求方程的近似解.(2)算法流程比較簡潔，便.于編寫計

算機程序，利用計算器和多媒體輔助教學，直觀明了.

4.知識遷移，生活應用

(1)猜商品價格；

(2)從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點，現(xiàn)在某接點發(fā)生故障，需及時修理，

為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般至少需要檢查接點的個數(shù)為.

5.檢驗成果，鞏固提升

(1)下列函數(shù)的圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求其零點的是()

ABCD

思維升華：在零點的附近連續(xù)且式。)皿與＜0.

(2)方程4，+2x—11=0的解在下列哪個區(qū)間內(nèi)？你能給出一個滿足精確度為0.1的近似

解嗎？

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

說明：二分法不僅能求方程的近似解，有時也能求方程的精確解.

6.回顧反思

本節(jié)課你學到了哪些知識？有哪些收獲？還有什么疑問？

(1)預設課堂生成問題(有些同學可能會有這樣的疑惑，若沒有就作為課下拓展留給學生

思考).

如圖所示，區(qū)間m，加上有多個零點，還能否用二分法求方程的近似解？如果能，該怎

樣做？

(2)學生課堂生成新問題(不同的班級可能會有不同的問題，具體問題具體解決).

課外作業(yè)

1.書面作業(yè)

⑴習題3.1A組3,4,5；

⑵求2、+3x=7的近似解(精確度0.1).

2.知識鏈接閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”.

板書設計

課題：(投影顯示)

1.提出問題：

2.自主探究：

3.抽象概括：

4.鞏固練習：

5.歸納總結(jié)：

教學反思

1.注重學生參與知識的形成過程；

2”注重培養(yǎng)學生的應用意識；

3.恰當?shù)乩矛F(xiàn)代信息技術(shù).

教學設計（二）

作者：馮紅果，泉州市第七中學教師.本教學設計獲福,建省教學設計大賽一等獎.

整體設計

教學內(nèi)容分析

本節(jié)選自《普通高中課程標準實驗教科書?數(shù)學1》人教A版第三章第一節(jié)第二課，主

要是分析函數(shù)與方程的關(guān)系.教材分三步來進行：第一步，從學生認為較簡單的一元二次方

程與相應的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應函數(shù)的零點的聯(lián)

系.然后推廣為一般方程與相應函數(shù)的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，

通過函數(shù)圖象和性質(zhì)來研究方程的解，體現(xiàn)方程和函數(shù)的關(guān)系；第三步，在函數(shù)模型的應用

過程中，通過函數(shù)模型以及模型的求解，更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，逐步建立起函數(shù)

與方程的聯(lián)系.

本節(jié)課是這一小節(jié)的第二節(jié)課，即用二分法求方程的近似解.它以上節(jié)課的“連續(xù)函數(shù)

的零點存在定理”為確定方程解所在區(qū)間的依據(jù)，從求方程近似解這個側(cè)面來體現(xiàn)“方程與

函數(shù)的關(guān)系”：而且在“用二分法求函數(shù)零點的步驟”中滲透了算法的思想，為學生后續(xù)學

習算法的內(nèi)容埋下伏筆；充分體現(xiàn)新課程“滲透算學方法，關(guān)注數(shù)學文化以及重視信息技術(shù)

應用”的理念.求方程近似解其中隱含“逼進”的數(shù)學思想，并且運用“二分法”來逼近目

標是一種普通而有效的方法，其關(guān)鍵是逼近的依據(jù).

學生學習情況分析

同學們有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，對函數(shù)的零點具備基本的認識；而二分法來自生活，是由

生活中抽象而來的，只要我們選材得當，能夠激發(fā)學生的學習興趣，達到滲透數(shù)學思想關(guān)注

數(shù)學文化的目的，學生也能夠很容易理解這種方法.其中運用“二分法”進行區(qū)間縮小的依

據(jù)、總結(jié)出“運用二分法求方程的近似解”的步驟、將“二分法”運用到生活實際，是需要

學生“跳跳”才能摘到的“桃子”.

設計理念

本節(jié)課倡導積極主動、勇于探索的學習方式，應用從生活實際——理論——實際應用的

過程，應用數(shù)形結(jié)合、圖表、信息技術(shù)，采用教師引導——學生探索相結(jié)合的教學方法，注

重提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象

與概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、反思與建構(gòu)等思維過程.

教學目標

1.理解二分法的概念，掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法；利用信息技術(shù)輔助

教學，讓學生用計算器自己驗證求方程近似值的過程；

2.體會二分法的思想和方法，使學生意識到二分法是求方程近似解的一種方法；讓學

生能夠了解近似逼近思想，培養(yǎng)學生探究問題的能力和創(chuàng)新能力，以及嚴謹?shù)目茖W態(tài)度；

3.體驗并理解函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法；感受正面解決問題困難時，通

過迂回的方法使問題得到解決的快樂.

教學重點與難點

教學重點：能夠借用計算器用二分法求相應方程的近似解，根所在區(qū)間的確定及逼近的

思想.

教學難點：對二分法的理論支撐的理解，區(qū)間長度的縮小.

教學過程

教學基本流程圖

教學情境設計

教學設計學情預設設計意圖知識鏈接

創(chuàng)71.教師從學生熟悉的電視1.利用視屏與游戲

看商品W

設猜價格節(jié)目，引導學生體會、分析、歸的形式，學生會踴躍參

點擊將有

情納迅速猜價的方法.與：商品價格競猜也是學

學生能夠主動參與游戲，生熟悉的，競猜的方法會

境配舍:/#2.

并且參與游戲的同學可以比較很多樣，可以進行競賽.

和體:li鈍

引并總結(jié)經(jīng)驗.學生會有很多種方2.通過問題2,啟發(fā)

出1.大家都看過《幸運52》吧,案.學生尋找確定區(qū)間的依

課今天咱也試一回（出示游戲）.3.對于“問題2”學生能夠據(jù)，為后面探索“用二分

題2.競猜中，“高了”、“低順利地得出“主持人的“高了，法求方程近似解”的時

了”的含義是什么？如何確定價低了”的回答是判斷價格所在候埋下伏筆.

格的最可能的范圍？區(qū)間的依據(jù)”這個結(jié)論.3.通過游戲，讓學

3.如何才能更快地猜中商品4.此時教師通過“問題3”生經(jīng)歷游戲過程，感受數(shù)

的預定價格？引導學生進行比較哪種方法更學來自生活，激發(fā)學生的

4.“二分”的思路是什么快？更好.從中學生可以得到用二學習興趣；引導學生善于

分法解決問題的思路——二分發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學，培養(yǎng)學

指的是將解所在區(qū)間平均地分生的歸納演繹的能力；學

為兩個區(qū)間.會將實際情境轉(zhuǎn)化為數(shù)

學模型.

4.通過比較不同的

方法得出最快的競猜的

方法一二分法.

1.教師通過“問題1”對上［設計意圖］

節(jié)課的內(nèi)容進行復習引入，點出1.開門見山，延續(xù)

今天的課題.并且有刖面游戲作上一節(jié)課的內(nèi)容繼續(xù)深

為伏筆，學生能夠得出“連續(xù)函入地研究，使得知識有一

數(shù)零點存在定理”是判斷方程個鏈接，讓學生能夠很容

1.上節(jié)課我們學了什么定

的根所在區(qū)間的依據(jù).易地將新知識建構(gòu)到舊

理，它的作用是什么？還有什么

2.通過“問題2”應用具體的知識體系中.

問題沒有解決？

的題目引導學生進行思考.學生2.運用問題1,將學

2.已知函數(shù)火x)=1nx+2x—

通過引導將方程的解與商品的生的思路與前面已解決

6在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在一個零點；如

價格聯(lián)系到一起，運用剛才的游的問題聯(lián)系起來，引導學

何求出方程Inx+2x-6=0在區(qū)

戲的經(jīng)驗，得到縮小區(qū)間的想生層層深入，抽絲撥繭，

間(2,3)的近似解(精確度為

師法.學習如何分析問題、如何

0.01)?與剛才的游戲是否有類似

生3.學生對精確度的概念可利用新的知識解決問題；

之處？

探能有所遺忘.教師可以借助數(shù)軸培養(yǎng)學生分析問題、解決

3.精確度的含義是什么？怎

究解釋說明精確度的含義，引導學問題的能力，以及運用知

樣的區(qū)間才算滿足設定的精確

生思考什么時候停止操作.識、駕馭知識的能力.

度？

構(gòu)4.教師通過''問題4?6”3.師生的互動有利

4.區(qū)間(2,3)的精確度為多

建引導學生將“二分法”與“零于一邊引導一邊總結(jié).將

少？

新點存在定理”相結(jié)合得到正確二分法應用于解決實際

5.如何將零點所在的范圍縮

知的新的零點所在的區(qū)間.并確定問題，即將新的知識應用

小(即

結(jié)束的時間.于解決新的問題.培養(yǎng)學

如何將精確度縮小)？縮小的

5.學生按照游戲的方法也生實際應用的

依據(jù)是什么？

就是按照“二分法”的思路，不能力，加強解決問題

6.如何利用今天“猜價

斷縮小零點存在的區(qū)間，進行具的嚴謹性，總結(jié)知識的邏

格”--“二分法”的逼近思想

體操作，填出(附錄1)中的表輯性.使得最后方法的總

來縮小區(qū)間？

格.表格剛開始的前幾行學生可結(jié)能夠順利進行.

7.近似解是多少？

能會比較慢，也有可能會出錯；4.有了前面的商品

通過多次的重復以及經(jīng)驗的總競猜過程的經(jīng)歷，學生比

結(jié)，后面的表格可以正確地、快較容易入手，分析比較容

速地回答出來；使得最后的“應易到位，從而降低思維的

用二分法求函數(shù)的零點”的方難度.

法的總結(jié)更加順利.［知識鏈接］

6.對于“問題7"學生不太1.函數(shù)零點存在定

容易得到比較簡潔的結(jié)論.教師理：如果函數(shù)在區(qū)

可以進行解釋說明：“由于整個間［a,句上的圖象是連續(xù)

區(qū)間內(nèi)的數(shù)均滿足精確度的條不斷的一條曲線，并且有

件，因此區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)均可以那么，函數(shù)

作為近似解，但區(qū)間端點a,by=/(x)在區(qū)間(“，/內(nèi)有

是已知的值，所以可以取a或b零點，即存在cW(a,b),

作為近似解.”，最后得到方程使得xc)=0,這個c?也就

的近似解(附錄1的表格后面的是方程式x)=0的根.

內(nèi)容).2.精確度是對同一

個量的不同近似數(shù)的精

確程度的度量.一般是：

一個近似數(shù)，四舍五入到

哪一位,就說這個近似數(shù)

精確到哪一位.

形學生經(jīng)過老師“問題1?［設計意圖］

1.我們剛才的求解過程中有

成2”的提示與引導，可以得到1.不斷的引導,將

哪些過程是一直重復出現(xiàn)的？

概“取區(qū)間的中點，計算函數(shù)值，剛才的解題過程經(jīng)過

2.我們?nèi)∑湟欢?，大家看?/p>

念比較符號，確定新的區(qū)間”這樣“自然語言——數(shù)學語

何用數(shù)學語言來描述？的相同的過程.言——去其糟粕取其精

深3.點明求方程的近似解的學生根據(jù)“二分法”的定華一具體步驟”的過

化“二分法”：對于在區(qū)間3,力義進行歸納總結(jié)：運用二分法求程，幫助學生學會歸納總

提上連續(xù)不斷、且式（份＜0的函方程的近似解的步驟（附錄2）.其結(jié)的方法.

高數(shù)y=Ax）,通過不斷地把方程的中步驟①“畫圖或利用函數(shù)值2.課間的及時總結(jié)

解所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的正負，確定初始區(qū)間3，b）,有利于學生對當前所學

的兩個端點逐步逼近近似解，進驗證犬4求份〈0"；學生很有可的內(nèi)容進行升華，了解自

而得到近似解的方法叫二分法.能會有遺漏.此時可以提出“問己掌握了什么知識，在后

題5”引導學生回憶、思考，從面的做題中可以有法可

而得至IIi云ffl一分件的前樨依，可以提高解題的正確

即步驟①.率，增強自信.

對于“問題6”，較好的學3.問題6的設計是

生才能回答出來.將學生的思維進一步升

華，不再停留在技能這一

個層次，而是上升為數(shù)學

思想方法的層次.

4.進一步提出問題：運用二

［知識鏈接］

分法求方程的近似解的步驟是什

1.運用二分法的前

么？

提是要先判斷根在某個

5.運用二分法的前提是什么

所在的區(qū)間.

（游戲開始時要先做什么工作）？

2.二分法實際上是

引例條件的內(nèi)涵是什么？

通過縮小區(qū)間長度尋找

6.二分法的實質(zhì)是什么？它

解的一種方法.

有什么作用？

課1.練習：（1）（2）題為例題仿照練習1.（1）（2）題經(jīng)過同桌兩［設計意圖］

內(nèi)題，由同桌協(xié)助完成.（3）（4）題考位同學合作可以順利完成.（3）（4）1.不同層次的題目，

練查二分法的含義，由同學獨立完題獨立完成如果有困難的同學層層遞進，不斷提高學生

習成，可以尋求幫助.（附錄4）在同伴或老師的幫助下可以完的能力.不僅鞏固新學的

2.思考：兩道題均為實際應成.知識，而且讓不同層次的

課用題，為學有余力的同學提高能練習2實際應用：學有余力學生得到不同的收獲；

后力.（附錄4）的同學與同伴合作探討，也可以2.培養(yǎng)合作、互助

作3.課后作業(yè)：習題3.1A組解決.精神；

業(yè)3,4；B組1,2.3.培養(yǎng)學生應用與

創(chuàng)新的能力，利用二分法

的逼近思想解決實際問

題.

［設計意圖］

教師通過點名提問，學生借

學生的歸納總結(jié)的

助教師的幫助對整節(jié)課進行最

本能力不強，需要不斷的培

請同學們回顧一下本節(jié)課的后的歸納總結(jié)，得到以下兩點：

課養(yǎng)；課后的總結(jié)有利于學

教學過程，你覺彳導你已經(jīng)掌握了（1）二分法是一種求一元方程近

小生對整節(jié)課的內(nèi)容進行

哪些知識？似解的通法.（2）利用二分法來解

結(jié)升華，了解自己掌握了什

一元方程近似解的操作步驟（附

么知識，養(yǎng)成良好的學習

錄3）.

習慣，建立自信心.

教學反思

1.本節(jié)課有兩條線，明線：“從生活實際、從學生熟知的現(xiàn)實生活、從學生喜愛的游

戲——“競猜商品的價格”入手，引導學生進入深層的思考——如何才能更快更好地贏得游

戲？與學生一道進行新知識的探索過程——二分法的得來；再將二分法充分地運用在函數(shù)零

點的求解上；最后將二分法求解函數(shù)零點的過程程序化”；暗線：“生活實際（特殊）——二

分法的理論（一般）——二分法的應用（特殊）”.讓學生經(jīng)歷知識的形成與應用過程，培養(yǎng)發(fā)

現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學的基礎(chǔ)性、時代性、典型性和可接受性，體

會數(shù)學來自生活，應用于生活的最高境界，感受數(shù)學之美.

2.引入課題的方式，（1）從生活中的常見現(xiàn)象——“商品價格的競猜”引入；（2）開門見

山一“繼續(xù)前面的研究”引入.

（附錄1）解：設/）=lnx+2x—6,xd（2,3）,先取區(qū)間的中點，再計算中點的函數(shù)值,

接著應用“零點存在定理”確定零點所在的區(qū)間，從而縮小精確度，得到下表：

區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值精確度

(2,3)2.5-0.0837092681

(2.5,3)2.750.5116009120.5

(2.5,2.75)2.6250.2150808960.25

(2.5,2.625)2.56250.0659833440.125

(2.5,2.5625)2.53125-0.0087867480.0625

(2.53125,2.5625)2.5468750.0286171170.03125

(2.53125,2.546875)2.53906250.0099199180.015625

(2.53125,2.5390625)2.535156250.0005677720.007813

(2.53125,2.53515625)2.533203125-0.0041091910.003906

(2.533203125,2.53515625)2.534179688-0.0017706340.001953

(2.534179688,2.53515625)2.534667969-0.0006014120.000977

(2.534667969,2.53515625)2.534912109-1.68166X10-0.000488

所以,當精確度為0.01時,由于12.5390625-2.531251=0.0078125V0.01,因此我們

可以將x=2.53125作為函數(shù)外）=lnx+2x-6零點的近似值，也即方程Inx+2x-6=0根

的近似值.

（附錄2）二分法求解方程Hx）=0（或g（x）=〃（x））近似解的基本步驟：

①畫圖或利用函數(shù)值的正負，確定初始區(qū)間①，h）,驗證人a）?火力V0；

②求區(qū)間3，份的中點xg=W"））；

③計算應⑴：若兀q）=0,則xi就是函數(shù)兀0的零點，為就是大x）=0的根，計算終止；

若加）穴內(nèi)）＜0,則選擇區(qū)間（a,X1）；

若加次V1）＞O,則選擇區(qū)間（XI，b）；

④循環(huán)操作②、③，直到當區(qū)間的精確度達到事先指定的精確度￡（若是要求精確到￡,

兩端點精確到同一個近似值時才終止計算）.

（附錄3）

1.練習：（1）應用計算器，求方程V+3x—1=0的一個正的近似解.

（2）應用計算器，求方程2、+x=4的近似解.

（3）用二分法判斷方程2'=/的根的個數(shù)（）

A.1B.2C.3D.4

（4）方程lg（x+4）=10,的根的情況是（）

A.僅有一根B.有一正根一負根

C.有兩負根D.無實根

2.思考：（1）從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點，現(xiàn)在某接點發(fā)生故障，需

及時修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般至少需要檢查接點的個數(shù)為幾個？

（2）一天，泉州七中校區(qū)與現(xiàn)代中學（分校）校區(qū)的電纜線路出了故障（相距大約10km）,

電工是怎樣檢測的呢？

答案：略

教學設計（三）

作者：羅志強，長汀縣第一中學教師.本教學設計獲福建省教學設計大賽三等獎.

整體設計

三維目標

1.知識與技能：

①通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件；

②借助科學計算器，掌握運用二分法求滿足一定精確度要求的簡單方程近似解的方法.

2.過程與方法：

①了解數(shù)學上的逼近思想、極限思想；

②體驗二分法的算法思想，培養(yǎng)自主探究的能力，為學習算法做準備.

3.情感、態(tài)度與價值觀：

①通過了解數(shù)學家的史料來提高數(shù)學素養(yǎng)，并增強學習數(shù)學的興趣；

②體會數(shù)學逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一：

③通過具體實例的探究，歸納發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會從具體到一般的認知過程.

教學重點與難點

教學重點：二分法的基本思想的理解，運用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟和過程；

教學難點：精確度概念的理解及恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的

方程的近似解.

教材分析

本節(jié)課在學生應用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想指導下學習了方程的根與對應函數(shù)零點之間的

關(guān)系的基礎(chǔ)上，再介紹求函數(shù)零點的近似值的“二分法”，并在總結(jié)“用二分法求方程近似

解步驟”中滲透算法的思想，為學生后續(xù)學習算法內(nèi)容做準備.教科書不僅希望學生在數(shù)學

思想與運用信息技術(shù)的能力上有所收獲，而且希望學生通過了解古今中外數(shù)學家求方程的解

的史料來滲透數(shù)學文化，提高數(shù)學素養(yǎng).

學情分析

學生基礎(chǔ)較好，學習的主動性較強，所以通過一節(jié)課掌握用二分法求方程的近似解的方

法，體驗二分法中的逼近思想、算法思想.但在求解的過程中，由于數(shù)值計算較為復雜，因

此對獲得給定精確度的近似解增加了困難，所以希望學生具備恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具解決

這一問題的能力.

信息技術(shù)分析

多媒體教室及幾何畫板、VisualBasic應用程序.

教學方法

動手操作、分組討論、合作交流、課后實踐.

教學過程

教學設計流程圖

創(chuàng)設情境導入|——由模仿中央電視臺節(jié)目“幸運52”中的猜價游戲?qū)胄抡n,提出二

分法的思想

例題回顧|—回顧例題，復習零點存在性定理，提出新問題：能不能求出零點《幾何

畫板》演示

合作探究——借助《幾何畫板》軟件探究用二分法求方程的近似解

師生小結(jié)——總結(jié)出用二分法求方程近似解的步驟

學以致用——學生借助科學計算器，用二分法求方程的近似解

數(shù)學文化——介紹數(shù)學家求方程的近似解的歷史

知識遷移|——利用VisualBasic編寫程序，滲透算法思想

教學設計理念

1.倡導積極主動、勇于探索的學習方式.

2.鼓勵學生自主探究、合作交流.

3.注重信息技術(shù)與數(shù)學課程的整合.

4.體現(xiàn)數(shù)學的文化價值.

教學情境設計

一、創(chuàng)設情境，導入新課

問題情境：中央電視臺有一檔娛樂節(jié)目“幸運52”，主持人李詠會給選手在限定時間

內(nèi)猜某一物品的售價的機會，如果猜中，就把物品獎勵給選手，同時獲得一枚商標.某次猜

一種品牌的手機，價格在500?1000元之間，選手開始報價：1000元，主持人回答：高了；

緊接著報價900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851

元，恭喜你，你猜中了.

設計意圖

1.創(chuàng)設學生熟悉的游戲情境，制造懸念，引發(fā).學生的學習興趣，并在教師的指導下設

計猜價方案.

2.在學生設計猜價方案的基礎(chǔ)上，提出設計此方案的思想后引入''二分法"，水到渠

成.

師生活動：

師:表面上看猜價格具有很大的碰運氣的成分,實際中，游戲的報價過程體現(xiàn)了“逼近”

的數(shù)學思想，你能設計出可行的猜價方案來幫助選手猜價嗎？請學生思考后，提問學生用你

的猜價方案猜手機價格？

生：猜價方案

區(qū)間中點（取整）高低

[500,1000]750低了

[750,1000]875問J

[750,875]812低了

[812,875]843低了

[843,875]859高了

[843,859]851ok

師：用兒何畫板配合學生演示猜價的過程后，提問此方案的設計思想（附圖一）.

生：關(guān)鍵是取區(qū)間的中點，不斷地縮小價格所在的區(qū)間.

師：此方法在數(shù)學上稱作“二分法”，并在黑板上板書，從而引入課題.

二、例題回顧

人教A版3.1.1節(jié)例1

求函數(shù)/（x）=lnx+2x-6的零點的個數(shù)？方程lnx+2x—6=0的實數(shù)解的個數(shù)？

問題1：如何來確定函數(shù)零點的存在性，即方程的實數(shù)解的存在性？

問題2：共助=111；＜:+2%—6在區(qū)間（2,3）內(nèi)有零點，如何找出？

設計意圖

通過例題回顧，引導學生將找方程的實數(shù)解與找對應函數(shù)的零點的問題等同起來，體會

數(shù)學模型之間的轉(zhuǎn)換.

師生活動：

師：借助幾何畫板直觀演示（附圖二）函數(shù)零點所在區(qū)間，并復習零點存在性定理后，讓

學生思考問題2,提示學生回顧猜價方案的思想.

生：使用科學計算器進行計算，思考，交流思路.

師：提問學生.

生：1.取(2,3)的中點2.5,發(fā)現(xiàn)佳2.5)次3)V0,所以零點在(2.5,3)內(nèi).

2.以此類推，發(fā)現(xiàn)零點所在的區(qū)間在不斷縮小.

三、合作探究

問題1：零點存在區(qū)間的大小能說明什么問題？

問題2：你能夠總結(jié)出使零點存在的區(qū)間越來越小的規(guī)律嗎？

問題3：當我們能夠?qū)⒘泓c所在的區(qū)間不斷地縮小時，怎樣確定零點的近似值？

設計意圖

1.讓學生在教師的指導下學會發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，初步體會極限思想.

2.引導學生從具體的實例出發(fā)，總結(jié)出一般性的規(guī)律，符合學生的思維意識，并讓學

生充分體會二分法思想.

3.引導學生將函數(shù)零點的近似值求出來，讓學生體會精確度的作用.

師生活動：

1.師：借助幾何畫板(附圖三)引導學生思考，并讓學生交流、討論.

生：零點存在區(qū)間越小，區(qū)間兩端點越接近該區(qū)間的實數(shù)解.

2.師：說明讓零點存在區(qū)間越來越小是解決問題的關(guān)鍵，請思考問題2.

生：分組交流.

生：經(jīng)合作整理，規(guī)律如下：

每次將區(qū)間二等分，留下區(qū)間端點函數(shù)值符號相反的區(qū)間.

師：實質(zhì)是根據(jù)什么定理？

生：零點存在性定理.

3.師：順勢讓學生思考問題3后，指出給定精確度e,只要將上述步驟進行有限次重

復后即區(qū)間兩端點差的絕對值小于￡,則區(qū)間內(nèi)的任意一點都可以作為函數(shù)零點的近似值.

幾何畫板直觀演示(附圖四).

四、師生小結(jié)

你能說出二分法的意義及用二分法求函數(shù)y=/(x)零點近似值的步驟嗎？

1.二分法的意義

對于在區(qū)間［“，回上連續(xù)不斷且滿足(份＜0的函數(shù)通過不斷地把函數(shù)人幻

的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法

叫做二分法.

2.給定精確度€,用二分法求函數(shù)式X)零點近似值的步驟如下：幾何畫板分布演示(附

圖五).

設計意圖

引導學生小結(jié)二分法的適用條件及求方程近似解的具體步驟，培養(yǎng)學生從特殊到一般的

思想，體險解決問題的成就感.

師生活動：

師：闡述二分法的逼近原理，引導學生理解二分法的算法思想，明確二分法求函數(shù)近似

零點的具體步驟.

師：分析關(guān)鍵詞：

犬〃)7(/?)<0、=精確度￡、|。一句<￡的意義.

生：結(jié)合求函數(shù);(x)=ln(x)+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點，理解二分法的算法思想與計

算原理.

五、學以致用

問題1：實際生活中有沒有利用到二分法的思想方法的例子呢？試舉例.

問題2：借助計算器或計算機用二分法求方程2*+3x=7的近似解.(精確度0.1)

設計意圖

1.培養(yǎng)學生聯(lián)系實際的能力，讓學生體會數(shù)學與實際生活的密切聯(lián)系.

2.培養(yǎng)學生的動手能力，讓學生逐步掌握運用二分法求方程近似解的思想方法，并使

學生的認識不斷加深.

師生活動：

1.師：讓學生討論，學生思考聯(lián)想實際生活，嘗試舉出運用二分法的例子.

生：電力工人檢測電線，找故障.

2.(1)學生利用科學計算器動手操作、進行小組交流，老師作課堂巡視指導.

(2)師借助幾何畫板分布，直觀演示(附圖六).

六、數(shù)學文化

閱讀本節(jié)閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”.

設計意圖

讓學生感受數(shù)學文化方面的熏陶，增強數(shù)學素養(yǎng).

七、知識遷移

問題：回憶用二分法求方程的近似解的步驟中，縮小零點所在的區(qū)間的步驟是否可以進

行重復，如果給定精確度后重復的步驟是否是有限次的？

設計意圖

初步介紹算法思想，為必修3的算法教學埋下伏筆.

師生活動：

師：如果一種計算方法對某一類問題都有效，計算可以一步一步地進行，每一步都能得

到唯一的結(jié)果，我們常把這一類問題的求解過程叫做解決這一類問題的一種算法.它的優(yōu)點

是一種通法，更大的優(yōu)點是，它可以讓計算機來實現(xiàn).例如我們可以編寫用二分法求方程的

近似解的程序，快速地求出一個函數(shù)的零點.

程序框圖及程序（附圖七）

八、課堂小結(jié)

問題：本節(jié)課學習了哪些知識、方法、思想？

設計意圖

學生在回顧、總結(jié)、反思的過程中，將所學的知識條理化、系統(tǒng)化，使自己的認知結(jié)構(gòu)

更趨合理.注重數(shù)學方法的提煉，可使學生逐漸把經(jīng)驗■化為能力.

師生活動：

師：引導學生從知識、方法兩方面進行總結(jié)后板書：

1.要找方程的實數(shù)解可先利用函數(shù)的連續(xù)性判定方程實數(shù)解的存在性，再利用二分法

求方程的近似解；

2.二分法的意義；

3.二分法求方程的近似解的步驟；

4.逼近、極限、二分法.

教學設計附圖：

區(qū)間中點（取整）高低

[500,1000]750低了

[750,1000]875高了

[750,875]812低了

[812,875]843低了

[843,875]859高了

[843,859]851課題

附圖?

附圖二

/(x)=(lnx+2,x)-6

n\\ba±b!/(粵)

T!：a-bi㈣：的）

0；2.00000；3.00000；2.50000；-0.084\1.00000；-1.307；1.099

1；2.50000；3.00000|2.75000;0.512；0.50000|-0.084；1.099

2]2.50000!2.7500012.62500!0.215J0.250001-0.084J0.512

3；2.50000；2.62500；2.56250；0.066；0.12500；-0.084；0.215

4]2.50000[2.56250]2.53125|-0.009；0.06250?-0.084[0.066

5：2.5312512.56250：2.54688!0.029!0.03125；-0.009!0.066

6[2.53125；2.54688；2.53906；0.010；0.01563|-0.009；0.029

!2.53125I2.53906I；；；

7???2.5351610.00110.007811-0.00910.010

附圖三

1-

0.8'/(x)=(lnx+2?x)-6?=7.00(

Tl。I6II/除ITbIA>)?Ab)

一T—一—一f'___1__——4_—__L——__|_一

0.60^2flOOOO'WOOOT2.5OOOO'-OOM?1,000003071l.(W

jJ運恒(??(超2副私21工運3工近應匚國■匚口,麗

2|2j0000|2.75000|2.62S00|0215|Q23000|-0.084|0.512

0.4

0.22:53906_OO1O匚12fxi_|_?噌

isisTiT~ooi-o.oo7?FjVob9"jb.oio'

0.511.522.53

-0.2-

-0.4-/

-。6

-0.8■

-1.2-1

附圖四

二分法求解方程近似解的基本步驟：（精確度￡）

1.利用計算或作圖的方法，確定初始區(qū)間I”,b]-,

2.驗證人07（力＜0；

3.求區(qū)間（“，6）的中點c=W"；

4.計算7（c）：（1）若y（c）=O，則C就是函數(shù)的零點；（2）若丸。）哄。）＜0,則令6=c（此時

零點XoG（a,c））；（3）若〃）小初＜0,則令a=c（此時零點X（）e（c,勿）；

5.判斷是否達到精確度打即若|4一目＜￡,則得到零點的近似值。（或加；否則重復3?

4.

附圖五

附圖六

附visualbasic程序

PrivateSubCommandl_Click（）

DimaAsSingle

DimbAsSingle

DimdAsSingle

a=InputBox（"a”，”區(qū)間左端點”）

b=InputBox（"b”,“區(qū)間右端點”）

d=InputBox（“d”,“精