八年級數(shù)學下冊專題10一次函數(shù)幾何壓軸(十九種題型)(原卷版+解析)_第1頁
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文檔簡介

專題10一次函數(shù)幾何壓軸(十九種題型)

模型1:一次函數(shù)求三角形面積問題(鉛錘法)模型2:一次函數(shù)已知面積求動點坐標模型3:一次函數(shù)已知面積相等求動點坐標模型4:一次函數(shù)存在等腰三角形求動點坐標模型5:一次函數(shù)存在直角三角形求動點坐標模型6:一次函數(shù)存在全等三角形求動點坐標模型7:一次函數(shù)存在45°求動點坐標模型8:一次函數(shù)存在等角求動點坐標模型9:一次函數(shù)存在2倍角求動點坐標模型10:一次函數(shù)存在等腰直角三角形求動點坐標模型11:一次函數(shù)過定點問題模型12:一次函數(shù)與線段結(jié)合求動點問題

模型13:一次函數(shù)與動點線段比例問題

模型14:一次函數(shù)存在線段和最小值求動點坐標

模型15:一次函數(shù)求點到直線距離最小值問題

模型16:一次函數(shù)存在平行四邊形求動點坐標

模型17:一次函數(shù)存在矩形求動點坐標

模型18:一次函數(shù)存在菱形求動點坐標

模型19:一次函數(shù)存在正方形求動點坐標【技巧點睛1】鉛錘法求三角形面積【技巧點睛2】處理與一次函數(shù)相關(guān)的面積問題,有三條主要的轉(zhuǎn)化途徑:①知底求高、轉(zhuǎn)化線段;②圖形割補、面積和差;③平行交軌、等積變換?!炯记牲c睛3】處理線段問題

(1)在平面直角坐標系中,若線段與y軸平行,線段的長度時端點縱坐標之差(上減下,不確定時相減后加絕對值),若線段與x軸平行,線段的長度時端點橫坐標之差(右減左,不確定時相減后加絕對值);(2)線段相關(guān)計算注意使用”化斜為直”思想。

【技巧點睛4】角度問題(1)若有角度等量關(guān)系,不能直接用時,我們要學會角度轉(zhuǎn)化,比如借助余角、補角、外角等相關(guān)角來表示,進行一些角度的和差和角度的代換等,直到轉(zhuǎn)化為可用的角度關(guān)系。(2)遇45°角要學會先構(gòu)造等腰直角三角形,然后構(gòu)造“三垂直”全等模型,一般情況下是以已知點作為等腰直角三角形的直角頂點。

【技巧點睛5】最值問題(1)求線段和最值,可以從“兩點之間線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”的模型去考慮;

(2)注意“轉(zhuǎn)化思想”的運用,將不可用線段進行轉(zhuǎn)化,變成我們熟悉的模型

【技巧點睛6】特殊三角形存在問題

等腰三角形存在性問題1、找點方法:①以AB為半徑,點A為圓心做圓,此時,圓上的點(除D點外)與A、B構(gòu)成以A為頂點的等腰三角形(原理:圓上半徑相等)②以AB為半徑,點B為圓心做圓,此時,圓上的點(除E點外)與A、B構(gòu)成以B為頂點的等腰三角形(原理:圓上半徑相等)③做AB的垂直平分線,此時,直線上的點(除F點外)與A、B構(gòu)成以C為頂點的等腰三角形(原理:垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等)2、求點方法:直角三角形存在性問題若▲ABC是直角三角形,則分三種情況分類討論:∠A=90°,∠B=90°,∠C=90°,然后利用勾股定理解題?!炯记牲c睛6】四邊形存在問題1.坐標系中的平行四邊形:(1)對邊平行且相等:(2)對角線互相平分:即A、C中點與B、D中點重合.以上兩條可統(tǒng)一為:總結(jié):平面直角坐標系中,平行四邊形兩組相對頂點的橫坐標之和相等,縱坐標之和相等方法歸納:1、列出四個點坐標2、分三組對角線討論列方程組,解方程組3、驗證點是否符合題意模型1:一次函數(shù)求三角形面積問題(鉛錘法)【典例1】在平面直角坐標系中,將一塊等腰直角三角板ABC放在第一象限,斜靠在兩條坐標軸上,∠ACB=90°,且A(0,4),點C(2,0),BE⊥x軸于點E,一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點B,交y軸于點D.(1)求證:△AOC≌△CEB;(2)求△ABD的面積.【變式1】(2023秋?開江縣期末)如圖,在平面直角坐標系中,直線l1:y=kx+1交y軸于點A,交x軸于點B(4,0),過點E(2,0)的直線l2平行于y軸,交直線l1于點D,點P是直線l2上一動點(異于點D),連接PA、PB.(1)求直線l1的解析式;(2)設(shè)P(2,m),求△ABP的面積S的表達式(用含m的代數(shù)式表示);模型2:一次函數(shù)已知面積求動點坐標【典例2】如圖1,在平面直角坐標系xOy中,直線y=kx+b分別與x軸,y軸交于點A(﹣1,0),B(0,2),過點C(2,0)作x軸的垂線,與直線AB交于點D.(1)求點D的坐標;(2)點E是線段CD上一動點,直線BE與x軸交于點F.若△BDF的面積為8,求點F的坐標;【變式1】如圖①,直線y=kx+b與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,與直線y=﹣2x交于點C(a,﹣4).(1)求點C的坐標及直線AB的表達式;(2)點P在y軸上,若△PBC的面積為6,求點P的坐標;模型3:一次函數(shù)已知面積相等求動點坐標【典例3】如圖,在平面直角坐標系中,直線l與x軸交于點A(﹣4,0),與y軸交于點B(0,2),已知點C(﹣2,0).(1)求直線l的表達式;(2)點P是直線l上一動點,且△BOP和△COP的面積相等,求點P坐標;【變式1】如圖,直線l1的解析式為y=﹣3x+3,且l1與x軸交于點D,直線l2經(jīng)過點A(4,0)、B(3,),直線l1、l2交于點C.(1)求直線l2的解析式;(2)求△ADC的面積;(3)試問:在直線l2上是否存在異于點C的另一點P,使得△ADP與△ADC的面積相等?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.【變式2】(2023秋?東港市期中)如圖1,在平面直角坐標系中,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象交y軸于點A(0,3),交x軸于點B(﹣4,0).(1)求直線AB的函數(shù)表達式;(2)直線a垂直平分OB交AB于點D,交x軸于點E,點P是直線a上一動點,且在點D的上方,設(shè)點P的縱坐標為m.①利用圖1位置,用含m的代數(shù)式表示△ABP的面積S;②當△ABP的面積為7時,求點P的坐標;③在②的條件下,在y軸上找到點Q,使得△ABQ與△ABP面積相等,求出點Q的坐標;④連接OP,與AB交于點H,當△AOH與△PBH的面積相等時,請直接寫出點P坐標.【變式3】如圖,直線l與x軸、y軸分別交于點A(3,0)、點B(0,2),以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,點P(0,a)為y軸上一個動點.(1)求直線l的表達式;(2)求出△ABC的面積;(3)當△ABC與△ABP面積相等時,求實數(shù)a的值.模型4:一次函數(shù)存在等腰三角形求動點坐標【典例4】如圖,直線y=kx+3經(jīng)過點B(﹣1,4)和點A(5,m),與x軸交于點C.(1)求k,m的值;(2)求△AOB的面積;(3)若點P在x軸上,當△PBC為等腰三角形時,直接寫出此時點P的坐標.【變式1】如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=kx+4的圖象分別與x軸、y軸交于A(2,0),B兩點,且經(jīng)過點C(1,m).(1)求m的值;(2)若點A關(guān)于y軸的對稱點A',求△A′BC的面積;(3)在x軸上,是否存在點P,使△PAB為等腰三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.【變式2】如圖,直線的圖象與x軸和y軸分別交于點A和點B,AB的垂直平分線l與x軸交于點C,與AB交于點D,連接BC.(1)求OC的長;(2)若點E在x軸上,且△BED的面積為10,求點E的坐標;(3)已知y軸上有一點P,若以點B、C、P為頂點的三角形是等腰三角形,直接寫出所有滿足條件的點P的坐標.模型5:一次函數(shù)存在直角三角形求動點坐標【典例5】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,線段OB上有一點C,點B關(guān)于直線AC的對稱點B'在x軸上.(1)求△AOB的面積;(2)求直線AC的解析式;(3)點P是直線AC上一點,當△ABP為直角三角形時,求點P的坐標.【變式1】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過A(﹣1,0),B(0,2),D三點,點D在x軸上方,點C在x軸正半軸上,且OC=5OA,連接BC,CD,已知S△ADC=2S△ABC.(1)求直線AB的表達式;(2)求△ADC的面積;(3)在x軸上是否存在一點M,使得△BCM是直角三角形?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.模型6:一次函數(shù)存在全等三角形求動點坐標【典例6】如圖,一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象與y軸交于點A,與x軸交于點B,過AB中點D的直線CD交x軸于點C,且經(jīng)過第一象限的點E(6,4).(1)求A,B兩點的坐標及直線CD的函數(shù)表達式;(2)連接BE,求△DBE的面積;(3)連接DO,在坐標平面內(nèi)找一點F,使得以點C,O,F(xiàn)為頂點的三角形與△COD全等,請直接寫出點F的坐標.【變式1】(2023秋?碑林區(qū)校級期末)如圖,直線與x軸,y軸分別交于A,B兩點,點C的坐標為(﹣3,0),連結(jié)BC,過點O作OD⊥AB于點D,點Q為線段BC上一個動點.(1)BC的長為5,OD的長為;(2)在線段BO上是否存在一點P,使得△BPQ與△OAD全等?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.模型7:一次函數(shù)存在45°求動點坐標【典例7】如圖,在平面直角坐標系中,直線與y軸交于點A,與直線交于點B(3,m).(1)求m和b的值;(2)求證:△OAB是直角三角形;(3)直線l1上是否存在點D,使得∠ODB=45°,若存在,請求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.【變式1】已知,在平面直角坐標系中,直線AB分別交x軸、y軸于A(m,0),B(0,n),m、n滿足m2+n2+2m﹣4n+5=0,點P是坐標平面內(nèi)任意一點.(1)求m、n的值;(2)如圖1,若點P在y軸上,當∠BPA=45°時,求點P的坐標;【變式2】如圖1,在平面直角坐標系中,直線與x軸交于點A,與直線交于點B(3,m).(1)求m的值;(2)點D是直線l1上一動點.①如圖2,當點D恰好在∠AOB的角平分線上時,求直線OD的函數(shù)表達式;②是否存在點D,使得∠DOB=45°,若存在,請求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.模型8:一次函數(shù)存在等角求動點坐標【典例8】如圖,已知函數(shù)與x軸交于點C,與y軸交于點B,點C與點A關(guān)于y軸對稱.(1)直接寫出A、B、C的坐標:A(﹣4,0)、B(0,2)、C(4,0);(2)求直線AB的函數(shù)解析式;(3)設(shè)點M是x軸上的負半軸一個動點,過點M作y軸的平行線,交直線AB于點P,交直線BC于點Q.①若△PQB的面積為2,求點Q的坐標;②點M在線段AO上運動的過程中,連接BM,若∠BMP=∠BAC,求點P的坐標.【變式1】如圖1,已知函數(shù)y=x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,點C與點A關(guān)于y軸對稱.(1)求直線BC的函數(shù)解析式;(2)設(shè)點M是x軸上的一個動點,過點M作y軸的平行線,交直線AB于點P,交直線BC于點Q.①若△PQB的面積為,求點Q的坐標;②點M在線段AC上,連接BM,如圖2,若∠BMP=∠BAC,直接寫出P的坐標.【變式2】如圖①,已知函數(shù)y=x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,點C點A關(guān)于y軸對稱.(1)求BC的長.(2)設(shè)點M是x軸上一動點,過點M作y軸的平行線,交直線AB于P,交直線BC于點Q.①若△PQB的面積為,求點M的坐標.②連接BM,如圖②,若∠BMP=∠BAC.直接寫出點P的坐標.模型9:一次函數(shù)存在2倍角求動點坐標【典例9】(2023秋?槐蔭區(qū)期末)如圖,直線和直線l2與x軸分別相交于A,B兩點,且兩直線相交于點C,直線l2與y軸相交于點D(0,﹣4),OA=2OB.(1)求出直線l2的函數(shù)表達式;(2)E是x軸上一點,若S△ABC=2S△BCE,求點E的坐標;(3)若F是直線l1上方且位于y軸上一點,∠ACF=2∠CAO,判斷△BCF的形狀并說明理由.模型10:一次函數(shù)存在等腰直角三角形求動點坐標【典例10】(2023秋?新都區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標系中,直線l與x軸交于點A(﹣4,0),與y軸交于點B(0,2),已知點C(﹣2,0).(1)求直線l的表達式;(2)點P是直線l上一動點,且△BOP和△COP的面積相等,求點P坐標;(3)在平面內(nèi)是否存在點Q,使得△ABQ是以AB為底的等腰直角三角形?若存在,請求出所有符合條件的點Q的坐標;若不存在,請說明理由.【變式1】(2023秋?成華區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標系中,直線l1與x軸交于點A(﹣4,0),與y軸交于點B,且與直線l2:交于點C,點C的橫坐標為2.(1)求直線l1的解析式;(2)在x軸上取點M,過點M作x軸的垂線交直線l1于點D,交直線l2于點E.若DE=2,求點M的坐標;(2)在第二象限內(nèi),是否存在點Q,使得△QAB為等腰直角三角形?若存在,請直接寫出點Q坐標;若不存在,請說明理由.【變式2】(2023秋?溫江區(qū)期末)如圖1,直線AB的解析式為y=kx+3,D點坐標為(4,0),點O關(guān)于直線AB的對稱點C在直線AD上.(1)求直線AB的解析式;(2)如圖2,在x軸上是否存在點F,使S△ABF=2S△ABC,若存在求出F點坐標,若不存在,請說明理由;(3)點P是直線AB上方第一象限內(nèi)的動點.如圖3,當△ABP為等腰直角三角形時,求點P的坐標.【變式3】(2023秋?榆次區(qū)期中)如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)的圖象分別交x軸,y軸于A,B兩點,一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象經(jīng)過點B,并與x軸交于點C.(1)求A,B兩點的坐標;(2)求△ABC的面積;(3)在平面內(nèi)是否存在點P,使得△PAB是以點B為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,直接寫出點P的坐標;若不存在,說明理由.模型11:一次函數(shù)過定點問題【典例11】(2023春?倉山區(qū)校級期末)無論m取任何非零實數(shù),一次函數(shù)y=mx﹣(3m+2)的圖象過定點()A.(3,2) B.(3,﹣2) C.(﹣3,2) D.(﹣3,﹣2)2.(2023秋?廬陽區(qū)期末)已知函數(shù)y=(k﹣3)x+k.(1)該函數(shù)圖象經(jīng)過定點.(2)如果直線y=(k﹣3)x+k不經(jīng)過第三象限,則k的范圍是.【變式1】(2023春?都昌縣期中)對于一次函數(shù)y=kx﹣k+4的圖象,無論k為何值,都過一個定點,則這個點的坐標是.【變式2】(2023春?棗陽市期中)一次函數(shù)y=﹣3x+mx﹣m的圖象經(jīng)過定點A,則點A的坐標是.模型12:一次函數(shù)與線段結(jié)合求動點問題【典例12】(2023秋?蜀山區(qū)校級期中)如圖,直線y=﹣x+3與坐標軸交于點A、B兩點,直線CP與直線AB相交于點P(﹣,a),交x軸于點C,且△PAC的面積為.(1)則A點的坐標為;a=;(2)求直線PC的解析式;(3)若點D是線段AB上一動點,過點D作DE∥x軸交直線PC于點E,若DE=2,求點D的坐標.模型13:一次函數(shù)與動點線段比例問題【典例13】(2023春?嶗山區(qū)校級期中)如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A(﹣2,9),且與x軸相交點B,與y軸交于點D,與正比例函數(shù)y=3x的圖象相交于點C,點C的橫坐標為1.(1)不等式kx+b﹣3x<0的解集是;(2)求一次函數(shù)的函數(shù)解析式;(3)M為直線AB上一點,過點M作y軸的平行線交y=3x于點N,當MN=2OD時,求點M的坐標.【變式1】(2023秋?淮安期末)如圖1,平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=x+1的圖象分別交x軸、y軸于點A、B,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點B,并與x軸交于點C(3,0),點D是直線AB上的一個動點.(1)k=,b=;(2)如圖2,當點D在第一象限時,過點D作y軸的垂線,垂足為點E,交直線BC于點F.若,求點D的坐標;模型14:一次函數(shù)存在線段和最小值求動點坐標【典例14】如圖,直線l1:y=k1x+b與x軸,y軸分別交于點A(﹣3,0),B(0,3),直線l2:y=k2x與直線l1相交于點C(,n).(1)求直線l1和l2的解析式;(2)求△BCO的面積;(3)點M為y軸上的一動點,連接MA,MC.當MA+MC的值最小時,則點M的坐標是.【變式1】平面直角坐標系xOy中,直線l1:y=x+1分別與x軸,y軸交于點A,B,點D在直線l1上,且點D的橫坐標為3.直線l2經(jīng)過點C(1,0),D兩點,與y軸交于點E.(1)求點D的坐標和直線l2的函數(shù)表達式;(2)在x軸上找一點P使得PB+PD的值最小,最小值為多少?【變式2】如圖,直線AB:y=﹣x+2與x軸交于點A,與y軸交于點B.直線CD:y=kx+b經(jīng)過點C(﹣1,0),D,與直線AB交于點E.(1)求直線CD的函數(shù)關(guān)系式;(2)連接BC,求△BCE的面積;(3)設(shè)點Q的坐標為(m,2),求m的值使得QA+QE值最?。P?5:一次函數(shù)求點到直線距離最小值問題【典例15】(2020春?海淀區(qū)校級期末)已知直線l:y=kx+b(k>0)過點(﹣,0)且與x軸相交夾角為30°,P為直線l上的動點,A(,0)、B(3,0)為x軸上兩點,當PA+PB時取到最小值時P點坐標為()A.(,2) B.(1,) C.(,3) D.(2,)【變式1】(2023?澗西區(qū)一模)如圖,點A的坐標為(﹣2,0),直線y=x﹣5與x軸交于點B,與y軸交于點C,點D在直線y=x﹣5上運動.當線段AD取得最小值時,點D的坐標為()A.(,) B.(2,﹣2) C.(1,﹣) D.(0,﹣4)模型16:一次函數(shù)存在平行四邊形求動點坐標

【典例16】如圖,直線l1過點A(0,2)、B(2,0),直線l1和直線l2交于點C(3,a),直線l2與y軸交于點D(0,﹣7).(1)求直線l1和直線l2對應的函數(shù)解析式;(2)直線l1上有一動點P,使得△CDP的面積為12,求點P的坐標;(3)y軸上有一動點M,直線l2上有一動點N,使以M、N、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形,求出點M的坐標.【變式1】(2024春?崇川區(qū)校級月考)如圖,在平面直角坐標系中,矩形OABC的頂點A在y軸的正半軸上,點C在x軸的正半軸上,線段OA,OC的長分別是m,n且滿足,點D是線段OC上一點,將△AOD沿直線AE翻折,點O落在矩形的對角線AC上的點E處.(1)求OD的長;(2)求點E的坐標;(3)DE所在直線與AB相交于點M,在x軸的正半軸上是否存在點N,使以M、A、N、C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

模型17:一次函數(shù)存在矩形求動點坐標【典例17】(2023秋?開原市月考)如圖,在平面直角坐標系中,函數(shù)y=2x+18的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點,過點A作直線交y軸正半軸于點M,且點M為線段OB的中點.(1)求直線AM的解析式;(2)將△AMB沿著AM翻折,點B落在點B1處,連接OB1,則四邊形AMB1O的形狀為平行四邊形;(3)若點H是直線AM上的動點,在坐標平面內(nèi)是否存在這樣的點Q,使以A、B、Q、H為頂點的四邊形是矩形?若存在,請直接寫出點Q的坐標,若不存在,請說明理由.【變式1】(2023春?離石區(qū)期末)綜合與探究如圖,在平面直角坐標系中,直線l1:y=2x﹣1與x軸,y軸分別交于點A,B,直線l2:y=kx+b與x軸,y軸分別交于點P,C(0,1),連接AC,直線l1l2交于點D,且點D的橫坐標為.(1)求直線l2的函數(shù)解析式;(2)求△ACD的面積;(3)若點E在直線l1上,F(xiàn)為坐標平面內(nèi)任意一點,試探究:是否存在以點B,C,E,F(xiàn)為頂點的四邊形是矩形?若存在,請直接寫出點F的坐標;若不存在,請說明理由.【變式2】(2023春?九龍坡區(qū)期末)如圖1,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=2x+4的圖象分別交x軸,y軸于A,B兩點,將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得△COD(點A與點C對應,點B與點D對應).(1)直接寫出直線CD的解析式;(2)點E為線段CD上一點,過點E作EF∥y軸交直線AB于點F,作EG∥x軸交直線AB于點G,當EF+EG=AD時,求點E的坐標;(3)如圖2,若點M為線段AB的中點,點N為直線CD上一點,點P為坐標系內(nèi)一點.且以O(shè),M,N,P為頂點的四邊形為矩形,請直接寫出所有符合條件的點N的坐標,并寫出其中一種求解點N坐標的過程.模型18:一次函數(shù)存在菱形求動點坐標【典例18】已知:在平面直角坐標系中,直線l1:y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點,直線l2經(jīng)過點A,與y軸交于點C(0,﹣4).(1)求直線l2的解析式;(2)如圖1,點P為直線l1上的一個動點,若△PAC的面積等于9時,請求出點P的坐標;(3)如圖2,將△ABC沿著x軸平移,平移過程中的△ABC記為△A1B1C1.請問在平面內(nèi)是否存在點D,使得以A1、C1、C、D為頂點的四邊形是菱形?若存在,直接寫出點D的坐標.【變式1】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線AB:與直線CD:y=kx﹣2相交于點M(4,a),分別交坐標軸于點A,B,C,D.(1)求直線CD的解析表達式;(2)如圖,點P是直線CD上的一個動點,當△PBM的面積為20時,求點P的坐標;(3)直線AB上有一點F,在平面直角坐標系內(nèi)找一點N,使得以BF為一邊,以點B,D,F(xiàn),N為頂點的四邊形是菱形,請直接寫出符合條件的點N的坐標.【變式2】在平面直角坐標系中,直線y=﹣3x﹣交x軸于點A,交y軸于點B,直線y=﹣x+3交x軸于點C,交y軸于點D.(1)如圖1,連接BC,求△BCD的面積;(2)如圖2,在直線y=﹣x+3上存在點E,使得∠ABE=45°,求點E的坐標;(3)如圖3,在(2)的條件下,連接OE,過點E作CD的垂線交y軸于點F,點P在直線EF上,在平面中存在一點Q,使得以O(shè)E為一邊,O,E,P,Q為頂點的四邊形為菱形,請直接寫出點Q的坐標.模型19:一次函數(shù)存在正方形求動點坐標【典例19】(2023秋?順德區(qū)月考)如圖,一次函數(shù)的圖象與坐標軸交于A(0,5),B(10,0)兩點.(1)求一次函數(shù)的解析式;(2)點E是線段OB上的一個動點(點E不與點O,B重合),過點B作BF⊥AE,垂足為F,以EF為邊作正方形EFMN,當點M落在坐標軸上時,求點E的坐標.【變式1】(2023春?鄖陽區(qū)期末)直線y=2x+4與x軸交于點A,與y軸交于點B,點C在x軸的正半軸上,△ABC面積為11.(1)求出點C的坐標;(2)如圖1,過點C的直線CD交y軸于點D,若∠OCD=∠OBC,求點D的坐標;(3)如圖2,F(xiàn)為線段AB的中點,點G在y軸上,以FG為邊,向右作正方形FGQP,點Q落在直線BC上,求點G的坐標.【變式2】(2023春?天橋區(qū)期末)已知一次函數(shù)的圖象y=﹣x+6與x軸,y軸分別交于點A,點B,與直線y=x交于點C,過點B作x軸的平行線l,點P是直線l上的一個動點.(1)求點A,點B的坐標.(2)若S△AOC=S△BCP,求點P的坐標.(3)若點E是直線y=x上的一個動點,在平面內(nèi)是否存在點F,使四邊形APEF是正方形,若存在,請求出點E的坐標,若不存在,說明理由.專題10一次函數(shù)幾何壓軸(十九種題型)

模型1:一次函數(shù)求三角形面積問題(鉛錘法)模型2:一次函數(shù)已知面積求動點坐標模型3:一次函數(shù)已知面積相等求動點坐標模型4:一次函數(shù)存在等腰三角形求動點坐標模型5:一次函數(shù)存在直角三角形求動點坐標模型6:一次函數(shù)存在全等三角形求動點坐標模型7:一次函數(shù)存在45°求動點坐標模型8:一次函數(shù)存在等角求動點坐標模型9:一次函數(shù)存在2倍角求動點坐標模型10:一次函數(shù)存在等腰直角三角形求動點坐標模型11:一次函數(shù)過定點問題模型12:一次函數(shù)與線段結(jié)合求動點問題

模型13:一次函數(shù)與動點線段比例問題

模型14:一次函數(shù)存在線段和最小值求動點坐標

模型15:一次函數(shù)求點到直線距離最小值問題

模型16:一次函數(shù)存在平行四邊形求動點坐標

模型17:一次函數(shù)存在矩形求動點坐標

模型18:一次函數(shù)存在菱形求動點坐標

模型19:一次函數(shù)存在正方形求動點坐標【技巧點睛1】鉛錘法求三角形面積【技巧點睛2】處理與一次函數(shù)相關(guān)的面積問題,有三條主要的轉(zhuǎn)化途徑:①知底求高、轉(zhuǎn)化線段;②圖形割補、面積和差;③平行交軌、等積變換?!炯记牲c睛3】處理線段問題

(1)在平面直角坐標系中,若線段與y軸平行,線段的長度時端點縱坐標之差(上減下,不確定時相減后加絕對值),若線段與x軸平行,線段的長度時端點橫坐標之差(右減左,不確定時相減后加絕對值);(2)線段相關(guān)計算注意使用”化斜為直”思想。

【技巧點睛4】角度問題(1)若有角度等量關(guān)系,不能直接用時,我們要學會角度轉(zhuǎn)化,比如借助余角、補角、外角等相關(guān)角來表示,進行一些角度的和差和角度的代換等,直到轉(zhuǎn)化為可用的角度關(guān)系。(2)遇45°角要學會先構(gòu)造等腰直角三角形,然后構(gòu)造“三垂直”全等模型,一般情況下是以已知點作為等腰直角三角形的直角頂點。

【技巧點睛5】最值問題(1)求線段和最值,可以從“兩點之間線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”的模型去考慮;

(2)注意“轉(zhuǎn)化思想”的運用,將不可用線段進行轉(zhuǎn)化,變成我們熟悉的模型

【技巧點睛6】特殊三角形存在問題

等腰三角形存在性問題1、找點方法:①以AB為半徑,點A為圓心做圓,此時,圓上的點(除D點外)與A、B構(gòu)成以A為頂點的等腰三角形(原理:圓上半徑相等)②以AB為半徑,點B為圓心做圓,此時,圓上的點(除E點外)與A、B構(gòu)成以B為頂點的等腰三角形(原理:圓上半徑相等)③做AB的垂直平分線,此時,直線上的點(除F點外)與A、B構(gòu)成以C為頂點的等腰三角形(原理:垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等)2、求點方法:直角三角形存在性問題若▲ABC是直角三角形,則分三種情況分類討論:∠A=90°,∠B=90°,∠C=90°,然后利用勾股定理解題?!炯记牲c睛6】四邊形存在問題1.坐標系中的平行四邊形:(1)對邊平行且相等:(2)對角線互相平分:即A、C中點與B、D中點重合.以上兩條可統(tǒng)一為:總結(jié):平面直角坐標系中,平行四邊形兩組相對頂點的橫坐標之和相等,縱坐標之和相等方法歸納:1、列出四個點坐標2、分三組對角線討論列方程組,解方程組3、驗證點是否符合題意模型1:一次函數(shù)求三角形面積問題(鉛錘法)【典例1】在平面直角坐標系中,將一塊等腰直角三角板ABC放在第一象限,斜靠在兩條坐標軸上,∠ACB=90°,且A(0,4),點C(2,0),BE⊥x軸于點E,一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點B,交y軸于點D.(1)求證:△AOC≌△CEB;(2)求△ABD的面積.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形∴∠ACB=90°,AC=BC∴∠ACO+∠BCE=90°BE⊥CE,∴∠BCE+∠CBE=90°∴∠ACO=∠CBE∴△AOC≌△CEB(2)解:∵△AOC≌△CEB∴BE=OC=2,CE=OA=4∴點B的坐標為(6,2)又一次函數(shù)y=x+b經(jīng)過點B(6,2)∴2=6+b∴b=﹣4∴點D的坐標為(0,﹣4)∴|AD|=4+4=8在△ABD中,AD邊上高的長度就是B點縱坐標的絕對值.∴S△ABD=×8×6=24∴△ABD的面積為24.【變式1】(2023秋?開江縣期末)如圖,在平面直角坐標系中,直線l1:y=kx+1交y軸于點A,交x軸于點B(4,0),過點E(2,0)的直線l2平行于y軸,交直線l1于點D,點P是直線l2上一動點(異于點D),連接PA、PB.(1)求直線l1的解析式;(2)設(shè)P(2,m),求△ABP的面積S的表達式(用含m的代數(shù)式表示);【答案】(1)y=﹣x+1;(2)當m時,S=2m﹣1;當m<時,S=1﹣2m;【解答】解:(1)∵直線l1:y=kx+1交x軸于點B(4,0),∴0=4k+1.∴k=﹣.∴直線l1:y=﹣x+1;(2)由得:.∴D(2,).∵P(2,m),∴PD=|m﹣|.∴S=×|4﹣0|?PD=×|m﹣|×4=|2m﹣1|.當m時,S=2m﹣1;當m<時,S=1﹣2m;模型2:一次函數(shù)已知面積求動點坐標【典例2】如圖1,在平面直角坐標系xOy中,直線y=kx+b分別與x軸,y軸交于點A(﹣1,0),B(0,2),過點C(2,0)作x軸的垂線,與直線AB交于點D.(1)求點D的坐標;(2)點E是線段CD上一動點,直線BE與x軸交于點F.若△BDF的面積為8,求點F的坐標;【答案】(1)(2,6);\(2)F(﹣5,0)或(3,0).【解答】解:(1)∵點A(﹣1,0),B(0,2),∴直線AB的解析式為y=2x+2,∵CD⊥x軸,∴點D的橫坐標為2,∴y=6,∴點D的坐標為:(2,6);(2)設(shè)F(m,0)有兩種情況;①當F在C點右側(cè)時,∵D(2,6),A(﹣1,0),B(0,2),DC⊥x軸.∴S△ADF=AF?DC=(m+1)×6=3(m+1),S△ABF=AF?OB=(m+1)×2=m+l.∵S△BDF=8,∴S△ADF=S△ABF+S△DBF,即:3(m+1)=m+1+8∴m=3.∴F(3,0);②當F點在C點左側(cè)時,∵點A(﹣1,0),B(0,2),C(2,0),D(2,6).∴S△ADF=AF×CD=(﹣1﹣m)×6=﹣3﹣3m,S△ABF=AF×OB=(﹣1﹣m)×2﹣=﹣1﹣m,∴S△BDF=S△ADF﹣S△ABF=8,∴﹣(﹣3﹣3m)﹣(﹣1﹣m)=8,解得:m=﹣5,∴F(﹣5,0);綜上所述:F(﹣5,0)或(3,0).【變式1】如圖①,直線y=kx+b與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,與直線y=﹣2x交于點C(a,﹣4).(1)求點C的坐標及直線AB的表達式;(2)點P在y軸上,若△PBC的面積為6,求點P的坐標;【答案】(1)C(2,﹣4);y=2x﹣8;(2)點P的坐標為(0,﹣2)或(0,﹣14);【解答】解:(1)∵點C(a,﹣4)在直線y=﹣2x上,∴﹣2a=﹣4,解得a=2,∴C(2,﹣4),將A(4,0),C(2,﹣4)代入直線y=kx+b,得:,解得,∴直線AB的解析式為:y=2x﹣8;(2)設(shè)點P的坐標為(0,p),∵直線AB的解析式為:y=2x﹣8,∴B(0,﹣8),∴BP=|p+8|,∵△PBC的面積為6,C(2,﹣4),∴S△PBC=×2|p+8|=6,∴p=﹣2或﹣14,∴點P的坐標為(0,﹣2)或(0,﹣14);

模型3:一次函數(shù)已知面積相等求動點坐標【典例3】如圖,在平面直角坐標系中,直線l與x軸交于點A(﹣4,0),與y軸交于點B(0,2),已知點C(﹣2,0).(1)求直線l的表達式;(2)點P是直線l上一動點,且△BOP和△COP的面積相等,求點P坐標;【答案】(1)y=x+2;(2)點P坐標為(4,4)或(﹣,);【解答】解:(1)設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,把A、B兩點坐標代入得到,解得,∴直線l的表達式為y=x+2;(2)如圖1,∵點A(﹣4,0),點B(0,2),已知點C(﹣2,0).∴OB=2,OC=2,設(shè)P(p,p+2),∴S△BOP=×2×|p|=|p|,S△COP=×2×|p+2|=|p+2|.∵△BOP和△COP的面積相等,∴|p+2|=|p|,解得p=4或﹣,∴點P坐標為(4,4)或(﹣,);【變式1】如圖,直線l1的解析式為y=﹣3x+3,且l1與x軸交于點D,直線l2經(jīng)過點A(4,0)、B(3,),直線l1、l2交于點C.(1)求直線l2的解析式;(2)求△ADC的面積;(3)試問:在直線l2上是否存在異于點C的另一點P,使得△ADP與△ADC的面積相等?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:(1)設(shè)直線l2的解析式是y=kx+b,根據(jù)題意得:,解得:,則直線l2的解析式是y=x﹣6;(2)在y=﹣3x+3中,令y=0,解得:x=1.則D的坐標是(1,0).根據(jù)題意得:,解得:,則C的坐標是(2,﹣3),則AD=4﹣1=3,S△ADC=AD×3=;(3)點P的縱坐標是3,把y=3代入y=x﹣6,得x=6.則P的坐標是(6,3).【變式2】(2023秋?東港市期中)如圖1,在平面直角坐標系中,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象交y軸于點A(0,3),交x軸于點B(﹣4,0).(1)求直線AB的函數(shù)表達式;(2)直線a垂直平分OB交AB于點D,交x軸于點E,點P是直線a上一動點,且在點D的上方,設(shè)點P的縱坐標為m.①利用圖1位置,用含m的代數(shù)式表示△ABP的面積S;②當△ABP的面積為7時,求點P的坐標;③在②的條件下,在y軸上找到點Q,使得△ABQ與△ABP面積相等,求出點Q的坐標;④連接OP,與AB交于點H,當△AOH與△PBH的面積相等時,請直接寫出點P坐標.【答案】(1)y=;(2)①2m﹣3;②(﹣2,5);③Q,④P(﹣2,3).【解答】解:(1)設(shè)直線AB的表達式為y=kx+3,∵直線過點B(﹣4,0),∴0=﹣4k+3,解得:,∴直線AB的表達式為:y=;(2)①過點P作PH⊥y軸,垂足為H,∵直線a垂直平分OB,B(﹣4,0),∴點E的坐標為(﹣2,0),∵點P是直線a上一動點,點P的縱坐標為m,∴點P的坐標為(﹣2,m),S梯形PBOH﹣S△AOB﹣S△PHA==3m﹣6﹣m+3=2m﹣3;②2m﹣3=7,∴m=5,∴此時點P的坐標為(﹣2,5);③設(shè)點Q的坐標為(0,q),當點Q在點A的上方時,,解得:,此時點Q的坐標為;當點Q在點A的下方時,,解得:,此時點Q的坐標為,∴點Q的坐標為,④∵△AOH與△PBH的面積相等,∴S△ADH+S△PHA=S△PHB+S△PHA,∴S△PAB=S△PAO,∴底均為AP,高相同,面積相同,∴P(﹣2,3).【變式3】如圖,直線l與x軸、y軸分別交于點A(3,0)、點B(0,2),以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,點P(0,a)為y軸上一個動點.(1)求直線l的表達式;(2)求出△ABC的面積;(3)當△ABC與△ABP面積相等時,求實數(shù)a的值.【答案】(1)y=﹣x+2;(2);(3)a=或a=﹣.【解答】解:(1)設(shè)直線AB所在的表達式為:y=kx+b,則,解得:,故直線l的表達式為:y=﹣x+2;(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB2=OA2+OB2=32+22=13,∵△ABC為等腰直角三角形,∴S△ABC=AB2=;(3)①當P在y軸正半軸時,P點為:(0,a),如圖1所示:S△ABP=AO?BP=,∵AO=3,∴BP=,∵B(0,2),∴a﹣2=,∴a=.②)①當P在y軸負半軸時,如圖2所示:S△ABP=S△ABO+S△APO=,∵S△ABO=3,∴S△APO=﹣3=,即有:×AO×PO=,∴PO=,∵P在y軸負半軸,∴a=﹣.綜上:a=或a=﹣.模型4:一次函數(shù)存在等腰三角形求動點坐標【典例4】如圖,直線y=kx+3經(jīng)過點B(﹣1,4)和點A(5,m),與x軸交于點C.(1)求k,m的值;(2)求△AOB的面積;(3)若點P在x軸上,當△PBC為等腰三角形時,直接寫出此時點P的坐標.【答案】(1)k=﹣1,m=﹣2;(2)9;(3)(3﹣,0),(3+,0),(﹣5,0),(﹣1,0).【解答】解:(1)將B(﹣1,4)代入y=kx+3,可得k=﹣1,∴y=﹣x+3.將A(5,m)代入y=﹣x+3,可得m=﹣2;(2)在y=﹣x+3中,令y=0,則x=3,∴C(3,0),即CO=3,∴S△AOB=S△BOC+S△AOC=×3×4+×3×2=9;(3)①如圖所示,當CB=CP1=4時,OP1=﹣3,∴P1(3﹣,0);②如圖所示,當CB=CP2=4時,OP2=+3,∴P2(3+,0);③如圖所示,當CB=BP3時,CP3=2CD=8,∴OP3=8﹣3=5,∴P3(﹣5,0);④如圖所示,當BP4=CP4時,△BCP4是等腰直角三角形,∴CP4=BP4=4,∴OP4=4﹣3=1,∴P4(﹣1,0).綜上所述,當△PBC為等腰三角形時,點P的坐標為(3﹣,0),(3+,0),(﹣5,0),(﹣1,0).【變式1】如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=kx+4的圖象分別與x軸、y軸交于A(2,0),B兩點,且經(jīng)過點C(1,m).(1)求m的值;(2)若點A關(guān)于y軸的對稱點A',求△A′BC的面積;(3)在x軸上,是否存在點P,使△PAB為等腰三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.【答案】(1)m=2;(2)S△A′BC=4;(3)存在,點P的坐標為(2+2,0)或(2﹣2,0)或(﹣3,0)或(﹣2,0).【解答】解:(1)一次函數(shù)y=kx+4的圖象與x軸交于A(2,0),∴2k+4=0,解得k=﹣2,∴一次函數(shù)y=﹣2x+4,∵一次函數(shù)y=kx+4的圖象經(jīng)過點C(1,m).∴m=﹣2+4=2;(2)∵點A關(guān)于y軸的對稱點A',A(2,0),∴A′(﹣2,0),∵一次函數(shù)y=﹣2x+4的圖象分別與x軸、y軸交于A(2,0),B兩點,∴點B坐標為(0,4),∵m=2,∴點C(1,2).∴S△A′BC=S△A′BA﹣S△A′AC=×4×(2+2)﹣×4×2=4;(3)存在點P,使△PAB為等腰三角形,設(shè)P(p,0),∵點A(2,0),B(0,4),∴AB2=22+42=20,AP2=(p﹣2)2,BP2=p2+42=p2+16,當AB=AP時,(p﹣2)2=20,解得p=2±2,∴點P的坐標為(2+2,0)或(2﹣2,0);當AP=BP時,(p﹣2)2=p2+16,解得p=﹣3,∴點P的坐標為(﹣3,0);當AB=BP時,p2+16=20,解得p=﹣2或2(舍去),∴點P的坐標為(﹣2,0);綜上所述:點P的坐標為(2+2,0)或(2﹣2,0)或(﹣3,0)或(﹣2,0)【變式2】如圖,直線的圖象與x軸和y軸分別交于點A和點B,AB的垂直平分線l與x軸交于點C,與AB交于點D,連接BC.(1)求OC的長;(2)若點E在x軸上,且△BED的面積為10,求點E的坐標;(3)已知y軸上有一點P,若以點B、C、P為頂點的三角形是等腰三角形,直接寫出所有滿足條件的點P的坐標.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:(1)當x=0時,y=4;令y=0,得x=8;所以直線與兩軸交點分別為A(8,0),B(0,4).∵CD垂直平分AB;∴CA=CB.設(shè)C(m,0),在Rt△OBC中,根據(jù)勾股定理得:OB2+OC2=BC2,即:t2+42=(8﹣t)2解得:t=3;∴OC=|3﹣0|=3.(2)設(shè)點E(m,0),則EA=|8﹣m|;∵D為AB的中點;∴;A、E在x軸上,OB⊥AE,;再依題意:;解得:m=﹣2或18.∴點E坐標為:(﹣2,0),(18,0).(3)P在y軸上,設(shè)P(0,p).分別以B、C、P為等腰三角形的頂點,分三種情況:①B為頂點,BP=BC,由(1)得BC=8﹣3=5;∴|p﹣4|=5,解得:P=﹣1或9.②C為頂點,BC=PC,又∵∠BOC=∠POC=90°,OC=OC,∴△BOC≌△POC(HL).∴PO=BO=4,即p=﹣4.③P為頂點,PB=PC,在Rt△OPC中,根據(jù)勾股定理得:OP2+OC2=PC2,即:p2+32=(4﹣p)2.解得:.綜上:滿足條件的P點坐標為:(0,),(0,﹣4),(0,﹣1),(0,9).模型5:一次函數(shù)存在直角三角形求動點坐標【典例5】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,線段OB上有一點C,點B關(guān)于直線AC的對稱點B'在x軸上.(1)求△AOB的面積;(2)求直線AC的解析式;(3)點P是直線AC上一點,當△ABP為直角三角形時,求點P的坐標.【答案】(1)S△AOB=6;(2)直線AC的解析式為y=x+;(3)點P的坐標為(1,2)或(2,).【解答】解:(1)∵一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,令y=0,則x+4=0,解得x=﹣3,令x=0,則y=4,∴點A(﹣3,0),點B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴S△AOB=×3×4=6;(2)連接BB′交AC于M,∵點A(﹣3,0),點B(0,4),∴AB==5,∵點B、點B'關(guān)于直線AC對稱,∴AB′=AB=5,BM=B′M,∴B′(2,0),∵B(0,4),∴M(1,2),設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,則,解得,∴直線AC的解析式為y=x+;(3)∵點P是直線AC上一點,直線AC的解析式為y=x+,設(shè)P(p,p+),∵點A(﹣3,0),點B(0,4),∴AB2=32+42=25,PA2=(p+3)2+(p+)2=p2+p+,PB2=p2+(p+﹣4)2=p2﹣p+,①當P為直角頂點時,AB2=PA2+PB2,∴p2+p++p2﹣p+=25,解得p=1或﹣3(舍去),∴點P的坐標為(1,2);②當A為直角頂點時,AB2+PA2=PB2,∴p2+p++25=p2﹣p+,解得p=﹣3(舍去),∴此種情況不存在;③當B為直角頂點時,AB2+PB2=PA2,∴p2+p+=p2﹣p++25,解得p=2,∴點P的坐標為(2,);綜上,點P的坐標為(1,2)或(2,).【變式1】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過A(﹣1,0),B(0,2),D三點,點D在x軸上方,點C在x軸正半軸上,且OC=5OA,連接BC,CD,已知S△ADC=2S△ABC.(1)求直線AB的表達式;(2)求△ADC的面積;(3)在x軸上是否存在一點M,使得△BCM是直角三角形?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.【答案】(1)y=2x+2;(2)△ADC的面積為12;(3)在x軸上存在一點M,使得△BCM是直角三角形,滿足條件的點M的坐標為(0,0)或(,0).【解答】解:(1)將A(﹣1,0),B(0,2)代入y=kx+b得:,解得:,∴直線AB的表達式y(tǒng)=2x+2;(2)∵OC=5OA,A(﹣1,0),∴OC=5,∴AC=OC+OA=5+=6,∵B(0,2),∴OB=2,∴S△ABC=6×2×=6,∵S△ADC=2S△ABC,∴S△ADC=6×2=12;∴△ADC的面積為12;(3)在x軸上存在一點M,使得△BCM是直角三角形,理由如下:∵OB=2,OC=5,∴BC2=22+52=29,△ABM是直角三角形,分兩種情況:①當∠BMC=90°時,由圖象可知點M的坐標為(0,0);②當∠CBM=90°時,設(shè)M(m,0),而B(0,2),C(5,0),∴BM2=m2+22,CM2=(5﹣m)2,∵BC2+BM2=CM2,∴29+m2+4=(5﹣m)2,解得:m=﹣,∴點M的坐標為(,0).綜上所述,滿足條件的點M的坐標為(0,0)或(,0).模型6:一次函數(shù)存在全等三角形求動點坐標【典例6】如圖,一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象與y軸交于點A,與x軸交于點B,過AB中點D的直線CD交x軸于點C,且經(jīng)過第一象限的點E(6,4).(1)求A,B兩點的坐標及直線CD的函數(shù)表達式;(2)連接BE,求△DBE的面積;(3)連接DO,在坐標平面內(nèi)找一點F,使得以點C,O,F(xiàn)為頂點的三角形與△COD全等,請直接寫出點F的坐標.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:(1)一次函數(shù)y=﹣x+4,令x=0,則y=4;令y=0,則x=4,∴A(0,4),B(4,0),∵D是AB的中點,∴D(2,2),設(shè)直線CD的函數(shù)表達式為y=kx+b,則,解得,∴直線CD的函數(shù)表達式為y=x+1;(2)y=x+1,令y=0,則x=﹣2,∴C(﹣2,0),∴BC=2=4=6,∴△DBE的面積=△BCE的面積﹣△BCD的面積=×6×(4﹣2)=6;(3)如圖所示,當點F在第一象限時,點F與點D重合,即點F的坐標為(2,2);當點F在第二象限時,點F的坐標為(﹣4,2);當點F在第三象限時,點F的坐標為(﹣4,﹣2);當點F在第四象限時,點F的坐標為(2,﹣2).【變式1】(2023秋?碑林區(qū)校級期末)如圖,直線與x軸,y軸分別交于A,B兩點,點C的坐標為(﹣3,0),連結(jié)BC,過點O作OD⊥AB于點D,點Q為線段BC上一個動點.(1)BC的長為5,OD的長為;(2)在線段BO上是否存在一點P,使得△BPQ與△OAD全等?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.【答案】(1)5,;(2)在線段BO上存在一點P,使得△BPQ與△OAD全等,Q的坐標為(﹣,)或(﹣,).【解答】解:(1)在y=﹣x+4中,令x=0得y=4,令y=0得x=3,∴A(3,0),B(0,4),∵C(﹣3,0),∴BC==5;AB==5;∵OD⊥AB,∴2S△AOB=OA?OB=AB?OD,∴OD===;故答案為:5,;(2)在線段BO上存在一點P,使得△BPQ與△OAD全等,理由如下:∵OD⊥AB,∴∠OBD=90°﹣∠BOD=∠DOA,∵A(3,0),C(﹣3,0),∴A,C關(guān)于y軸對稱,∴∠CBO=∠OBD,∴∠CBO=∠DOA,要使△BPQ與△OAD全等,只需夾∠CBO,∠DOA的兩邊對應相等即可;當BQ=OA,BP=OD時,如圖:由(1)知,OD=,∴BP=OD=,∴OP=OB﹣BP=4﹣=,由B(0,4),C(﹣3,0)可得直線BC解析式為y=x+4,在y=x+4中,令y=得x=﹣,∴Q(﹣,),由Q(﹣,),B(0,4)得BQ==3,此時BQ=OA=3符合題意;∴Q的坐標為(﹣,);當BP=OA=3,BQ=OD=時,如圖:設(shè)Q(m,m+4),∵BQ=,∴=,解得m=﹣(正值已舍去);∴Q(﹣,),綜上所述,Q的坐標為(﹣,)或(﹣,).模型7:一次函數(shù)存在45°求動點坐標【典例7】如圖,在平面直角坐標系中,直線與y軸交于點A,與直線交于點B(3,m).(1)求m和b的值;(2)求證:△OAB是直角三角形;(3)直線l1上是否存在點D,使得∠ODB=45°,若存在,請求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.【答案】(1)m的值為2,b的值為;(2)見解析;(3)存在.點D的坐標為(1,5)或(5,﹣1).【解答】(1)解:∵點B(3,m)在直線l2:y=x上,∴m=×3=2,即m的值為2,∴點B(3,2),將點B(3,2)代入直線l1:y=﹣x+b得2=﹣×3+b,∴b=;(2)證明:∵b=,∴直線l1:y=﹣x+,∴A(0,),∵B(3,2),∴OM=3,BM=4.∴OB2=32+22=13,AB2=32+(﹣2)2=,OA2=()2=,∵OB2+AB2=OA2,∴∠OBA=90°,∴△OAB是直角三角形;(3)解:存在.如圖,∵∠ODB=45°,∠OBA=90°.∴BD=OB==,∵點D是直線l1:y=﹣x+上一動點,設(shè)D(n,﹣n+),則BD2=(n﹣3)2+(﹣n+﹣2)2=13,解得n=1或5,∴點D的坐標為(1,5)或(5,﹣1).【變式1】已知,在平面直角坐標系中,直線AB分別交x軸、y軸于A(m,0),B(0,n),m、n滿足m2+n2+2m﹣4n+5=0,點P是坐標平面內(nèi)任意一點.(1)求m、n的值;(2)如圖1,若點P在y軸上,當∠BPA=45°時,求點P的坐標;【答案】(1)m=﹣1,n=2;(2)點P的坐標為(0,﹣1);【解答】解:(1)∵m2+n2+2m﹣4n+5=0,∴m2+2m+1+n2﹣4n+4=0(m+1)2+(n﹣2)2=0,∴m+1=0,n﹣2=0,∴m=﹣1,n=2;(2)∵m=﹣1,∴A(﹣1,0),∵點P在y軸上,∠BPA=45°,∴OP=OA=1,∴點P的坐標為(0,﹣1);【變式2】如圖1,在平面直角坐標系中,直線與x軸交于點A,與直線交于點B(3,m).(1)求m的值;(2)點D是直線l1上一動點.①如圖2,當點D恰好在∠AOB的角平分線上時,求直線OD的函數(shù)表達式;②是否存在點D,使得∠DOB=45°,若存在,請求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.【答案】(1)m的值為4;(2)①直線OD的表達式為y=x;②存在.點D的坐標為(7,1)或(﹣1,7).【解答】解:(1)∵點B(3,m)在直線l2:y=x上,∴m=×3=4,即m的值為4;(2)①∵m=4,∴B(3,4),∵直線l1:y=﹣x+b經(jīng)過點B(3,4),∴﹣×3+b=4,∴b=,∴直線l1的函數(shù)表達式為:y=﹣x+;令y=0,則0=﹣x+,解得x=,∴A(,0),如圖2,過點B作BM⊥OA,垂足為點M,過D作DN⊥OA,垂足為點N,∴∠BMO=∠AMB=90°.∵B(3,4),∴OM=3,BM=4.∴OB==5,∴AM=OA﹣OM=,在Rt△AMB中,AB==,∵OB2+AB2=52+()2==()2=OA2,∴∠OBA=90°.∴AB⊥OB,∵OD平分∠AOB,∴∠BOD=∠NOD,DB=DN,∵OD=OD,∴Rt△ODN≌Rt△ODB(HL).∴ON=OB=5.在直線l1:y=﹣x+上,令x=5,得y=,∴D(5,),設(shè)直線OD的函數(shù)表達式為y=kx.把D(5,)代入,得k=.∴直線OD的表達式為y=x;②存在.如圖3,∵∠DOB=45°,∠OBA=90°.∴BD=OB=5,∵點D是直線l1:y=﹣x+上一動點,設(shè)D(n,﹣n+),∴BD2=(n﹣3)2+(﹣n+﹣4)2=25,解得n=7或﹣1,∴點D的坐標為(7,1)或(﹣1,7).模型8:一次函數(shù)存在等角求動點坐標【典例8】如圖,已知函數(shù)與x軸交于點C,與y軸交于點B,點C與點A關(guān)于y軸對稱.(1)直接寫出A、B、C的坐標:A(﹣4,0)、B(0,2)、C(4,0);(2)求直線AB的函數(shù)解析式;(3)設(shè)點M是x軸上的負半軸一個動點,過點M作y軸的平行線,交直線AB于點P,交直線BC于點Q.①若△PQB的面積為2,求點Q的坐標;②點M在線段AO上運動的過程中,連接BM,若∠BMP=∠BAC,求點P的坐標.【答案】(1)﹣4,0;0,2;4,0;(2);(3)①Q(mào)(﹣2,3);②.【解答】解:(1)對于,令x=0,得y=2,則B的坐標為B(0,2),令y=0,得x=4,則C的坐標為C(4,0),∵點C與點A關(guān)于y軸對稱,∴A的坐標為A(﹣4,0),故答案為:﹣4,0;0,2;4,0;(2)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b(k≠0),將A(﹣4,0),B(0,2)代入得:,解得:,∴直線AB的函數(shù)解析式為;(3)①由題意,設(shè)M(m,0),其中m<0,則OM=﹣m,∵直線BC的解析式為:;直線AB的解析式為:;∴,,∴,∵,∴,解得:m=﹣2(舍去正值),將m=﹣2代入直線BC的解析式,得y=3,∴點Q的坐標為Q(﹣2,3);②如圖所示,由(1)知:A(﹣4,0),B(0,2),C(4,0),∵點M在線段AO上運動,∴設(shè)M(x,0),其中﹣4≤x≤0,∴BM2=x2+4,MC2=(4﹣x)2,BC2=20,∵點C與點A關(guān)于y軸對稱,∴∠BMP=∠BAC=∠ACB,∵MP∥y軸,∴∠PMC=90°,∴∠BMP+∠BMC=∠ACB+∠BMC=90°,∴當∠BMP=∠BAC時,∠MBC=90°,∴MB2+BC2=CM2∴x2+4+20=(4﹣x)2,解得x=﹣1,將x=﹣1代入直線AB的解析式,得,∴點P的坐標為.【變式1】如圖1,已知函數(shù)y=x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,點C與點A關(guān)于y軸對稱.(1)求直線BC的函數(shù)解析式;(2)設(shè)點M是x軸上的一個動點,過點M作y軸的平行線,交直線AB于點P,交直線BC于點Q.①若△PQB的面積為,求點Q的坐標;②點M在線段AC上,連接BM,如圖2,若∠BMP=∠BAC,直接寫出P的坐標.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:(1)對于y=x+3,由x=0得:y=3,∴B(0,3).由y=0得:x+3=0,解得x=﹣6,∴A(﹣6,0),∵點C與點A關(guān)于y軸對稱.∴C(6,0)設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b,∴,解得,∴直線BC的函數(shù)解析式為y=﹣x+3;(2)①設(shè)點M(m,0),則點P(m,m+3),點Q(m,﹣m+3),過點B作BD⊥PQ與點D,則PQ=|﹣m+3﹣(m+3)|=|m|,BD=|m|,則△PQB的面積=PQ?BD=m2=,解得m=±,故點Q的坐標為(,3﹣)或(﹣,3+);②如圖2,當點M在y軸的左側(cè)時,∵點C與點A關(guān)于y軸對稱,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA,∵∠BMP=∠BAC,∴∠BMP=∠BCA,∵∠BMP+∠BMC=90°,∴∠BMC+∠BCA=90°∴∠MBC=180°﹣(∠BMC+∠BCA)=90°,∴BM2+BC2=MC2,設(shè)M(x,0),則P(x,x+3),∴BM2=OM2+OB2=x2+9,MC2=(6﹣x)2,BC2=OC2+OB2=62+32=45,∴x2+9+45=(6﹣x)2,解得x=﹣,∴P(﹣,),如圖2,當點M在y軸的右側(cè)時,同理可得P(,),綜上,點P的坐標為(﹣,)或(,).【變式2】如圖①,已知函數(shù)y=x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,點C點A關(guān)于y軸對稱.(1)求BC的長.(2)設(shè)點M是x軸上一動點,過點M作y軸的平行線,交直線AB于P,交直線BC于點Q.①若△PQB的面積為,求點M的坐標.②連接BM,如圖②,若∠BMP=∠BAC.直接寫出點P的坐標.【答案】(1)3;(2)①點M的坐標為:(,0);②點P的坐標為:(﹣,)或(,).【解答】解:(1)對于y=x+3,當x=0,y=3,令y=x+3=0,則x=﹣6,即點A、B的坐標分別為:(﹣6,0)、(0,3),則點C(6,0),由點B、C的坐標得,BC==3;(2)①由點B、C的坐標得,BC的表達式為:y=﹣x+3,設(shè)點M(m,﹣m+3),點P(m,m+3),則PQ=|m|,則△PQB的面積=PQ×|m|=m2=,解得:m=,即點M的坐標為:(,0);②∵∠BMP=∠BAC,∠PBM=∠MBA,∴△PBM∽△MBA,則MB2=AB?PM,由①中的點A、B、M、P的坐標得,BM2=m2+9,PB=|m|,AB=BC=3,則m2+9=|m|×3,解得:m=(不合題意的值已舍去),即點P的坐標為:(﹣,)或(,).模型9:一次函數(shù)存在2倍角求動點坐標【典例9】(2023秋?槐蔭區(qū)期末)如圖,直線和直線l2與x軸分別相交于A,B兩點,且兩直線相交于點C,直線l2與y軸相交于點D(0,﹣4),OA=2OB.(1)求出直線l2的函數(shù)表達式;(2)E是x軸上一點,若S△ABC=2S△BCE,求點E的坐標;(3)若F是直線l1上方且位于y軸上一點,∠ACF=2∠CAO,判斷△BCF的形狀并說明理由.【答案】(1)y=2x﹣4;(2)點E的坐標為(﹣1,0)或(5,0);(3)△BCF是等腰直角三角形,理由見解析.【解答】解:(1)y=x+2,令y=0,則0=x+2得,x=﹣4,∴A(﹣4,0),∴OA=4,∵OA=2OB,∴OB=2,∴B(2,0),設(shè)直線l2的函數(shù)表達式為:y=kx+b,將D(0,﹣4)、B(2,0)分別代入y=kx+b得:,解得,∴直線l2的函數(shù)表達式為:y=2x﹣4;(2)∵點C是直線l1和l2的交點,∴,解得,∴C(4,4),∵A(﹣4,0),B(2,0),∴AB=6.∴△ABC的面積為:×AB×yC=×6×4=12,∵S△ABC=2S△BCE,∴S△BCE=6,設(shè)E(m,0),∴S△BCE=×4×|m﹣2|=6,∴m=﹣1或5,∴點E的坐標為(﹣1,0)或(5,0);(3)△BCF是等腰直角三角形,理由如下:設(shè)直線l1:y=x+2與y軸相交于點N,過點C作CM∥x軸,∴∠MCA=∠CAO,CM⊥y軸,N(0,2),∵∠ACF=2∠CAO,∴∠MCA=∠MCF=∠CAO,∵A(﹣4,0),C(4,4),∴OA=MC=4,∵∠CMF=AON,∴△AON≌△CMF(ASA),∴MF=ON=2,∴F(0,6),∴CF2=42+(6﹣4)2=20,CB2=42+(4﹣2)2=20,F(xiàn)B2=22+62=40,∴CF2+CB2=FB2,CF=CB,∴△BCF是等腰直角三角形.模型10:一次函數(shù)存在等腰直角三角形求動點坐標【典例10】(2023秋?新都區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標系中,直線l與x軸交于點A(﹣4,0),與y軸交于點B(0,2),已知點C(﹣2,0).(1)求直線l的表達式;(2)點P是直線l上一動點,且△BOP和△COP的面積相等,求點P坐標;(3)在平面內(nèi)是否存在點Q,使得△ABQ是以AB為底的等腰直角三角形?若存在,請求出所有符合條件的點Q的坐標;若不存在,請說明理由.【答案】(1)y=x+2;(2)點P坐標為(4,4)或(﹣,);(3)存在,點Q的坐標為(﹣3,3)或(﹣1,﹣1).【解答】解:(1)設(shè)直線l的解析式為y=kx+b,把A、B兩點坐標代入得到,解得,∴直線l的表達式為y=x+2;(2)如圖1,∵點A(﹣4,0),點B(0,2),已知點C(﹣2,0).∴OB=2,OC=2,設(shè)P(p,p+2),∴S△BOP=×2×|p|=|p|,S△COP=×2×|p+2|=|p+2|.∵△BOP和△COP的面積相等,∴|p+2|=|p|,解得p=4或﹣,∴點P坐標為(4,4)或(﹣,);(3)∵△ABQ是以AB為底的等腰直角三角形,∴∠AQB=90°,AQ=BQ,設(shè)Q(m,n),分兩種情形:①點Q在AB上方時,過點Q作QM⊥y軸于M,過點A作AN⊥QM于N,∴∠ANQ=∠QMB=90°,∠AQN+∠BQM=∠AQN+∠QAN=90°,∴∠QAN=∠BQM,∵AQ=BQ,∴△ANQ≌△QMB(AAS),∴AN=MQ=﹣m=n,NQ=MB=n﹣2,∵點A(﹣4,0),∴MN=MQ+NQ=n+n﹣2=4,∴n=3,m=﹣3,∴點Q的坐標為(﹣3,3);②點Q在AB下方時,過點Q作QM⊥y軸于M,過點A作AN⊥QM于N,同理得△ANQ≌△QMB(AAS),∴AN=MQ=﹣m=﹣n,NQ=MB=2﹣n,∵點A(﹣4,0),∴MN=MQ+NQ=﹣n+2﹣n=4,∴n=﹣1,m=﹣1,∴點Q的坐標為(﹣1,﹣1);綜上所述,點Q的坐標為(﹣3,3)或(﹣1,﹣1).【變式1】(2023秋?成華區(qū)期末)如圖,在平面直角坐標系中,直線l1與x軸交于點A(﹣4,0),與y軸交于點B,且與直線l2:交于點C,點C的橫坐標為2.(1)求直線l1的解析式;(2)在x軸上取點M,過點M作x軸的垂線交直線l1于點D,交直線l2于點E.若DE=2,求點M的坐標;(2)在第二象限內(nèi),是否存在點Q,使得△QAB為等腰直角三角形?若存在,請直接寫出點Q坐標;若不存在,請說明理由.【答案】(1)y=x+3;(2)M的坐標為(,0)或(,0);(3)Q的坐標為(﹣3,7)或(﹣7,4)或(﹣,).【解答】解:(1)在y=x中,令x=2得y=,∴C(2,);設(shè)直線l1的解析式為y=kx+b,把A(﹣4,0),C(2,)代入得:,解得,∴直線l1的解析式為y=x+3;(2)如圖:設(shè)M(m,0),則D(m,m+3),E(m,m),∵DE=2,∴|m+3﹣m|=2,∴3﹣m=2或3﹣m=﹣2,解得m=或m=,∴M的坐標為(,0)或(,0);(3)在y=x+3中,令x=0得y=3,∴B(0,3),①當B為直角頂點時,過B作BH⊥y軸于H,如圖:∵△QAB為等腰直角三角形,∴AB=QB,∠QBA=90°,∴∠ABO=90°﹣∠QBH=∠BQH,∵∠AOB=90°=∠QHB,∴△ABO≌△BQH(AAS),∴OA=BH=4,OB=QH=3,∴OH=OB+BH=7,∴Q的坐標為(﹣3,7);②當A為直角頂點時,過Q作QT⊥x軸于T,如圖:同理可得△AQT≌△BAO(AAS),∴AT=OB=3,QT=OA=4,∴OT=OA+AT=7,∴Q的坐標為(﹣7,4);③當Q為直角頂點時,過Q作WG⊥y軸于G,過A作AW⊥WG于W,如圖:同理可得△AQW≌△QBG(AAS),∴AW=QG,QW=BG,設(shè)Q(p,q),∴,解得,∴Q的坐標為(﹣,);綜上所述,Q的坐標為(﹣3,7)或(﹣7,4)或(﹣,).【變式2】(2023秋?溫江區(qū)期末)如圖1,直線AB的解析式為y=kx+3,D點坐標為(4,0),點O關(guān)于直線AB的對稱點C在直線AD上.(1)求直線AB的解析式;(2)如圖2,在x軸上是否存在點F,使S△ABF=2S△ABC,若存在求出F點坐標,若不存在,請說明理由;(3)點P是直線AB上方第一象限內(nèi)的動點.如圖3,當△ABP為等腰直角三角形時,求點P的坐標.【答案】(1)直線AB的解析式為y=﹣2x+3;(2)點F的坐標為或;(3)點P的坐標為或或.【解答】解:(1)把x=0代入y=kx+3,得y=3,∴點A的坐標為(0,3),∵D(4,0),∴OA=3,OD=4,∵∠AOD=90°,∴AD==5,∵點O關(guān)于直線AB的對稱點C在直線AD上,∴OA=AC=3,OB=BC,∴CD=AD﹣AC=2,設(shè)OB=BC=a,則BD=4﹣a,在Rt△BCD中,∵BD2=BC2+CD2,∴(4﹣a)2=a2+22,解得,∴點B的坐標為,把B代入y=kx+3,得,解得k=﹣2,∴直線AB的解析式為y=﹣2x+3;(2)點O關(guān)于直線AB的對稱點C在直線AD上,得AO=AC,OB=CB,∴△AOB≌△ACB(SSS),∴,由題得,∵S△ABF=2S△ABC,∴BF=2×,解得BF=3,∵B,∴點F的坐標為或;(3)①若∠PAB=90°,AP=AB,過點P作PM⊥y軸,垂足為M,∵∠MAP+∠APM=90°,∠MAP+∠BAO=90°,∴∠APM=∠BAO,∵∠PMA=∠AOB=90°,PA=AB,∴△APM≌△BAO(AAS),∴PM=OA=3,AM=OB=,∴點P的坐標為;②若∠ABP=90°,BA=BP,過點P作PM⊥x軸,垂足為M,∵∠ABO+∠BAO=90°,∠ABO+∠PBM=90°,∴∠BAO=∠PBM,∵∠AOB=∠BMP=90°,BA=BP,∴△AOB≌△BMP(AAS),∴BM=OA=3,PM=OB=,∴點P的坐標為;③若∠APB=90°,PA=PB,過點P作直線垂直x軸,交x軸于N,過點A作AM⊥PN,垂足為M,設(shè)點P的坐標為(m,n),∵∠APM+∠PAM=90°,∠APM+∠BPN=90°,∴∠PAM=∠BPN,∵∠AMP=∠PNB=90°,PA=PB,∴△APM≌△PBN(AAS),∴AM=PN,PM=BN,即,解得,∴點P的坐標為;綜上所述,點P的坐標為或或.【變式3】(2023秋?榆次區(qū)期中)如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)的圖象分別交x軸,y軸于A,B兩點,一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象經(jīng)過點B,并與x軸交于點C.(1)求A,B兩點的坐標;(2)求△ABC的面積;(3)在平面內(nèi)是否存在點P,使得△PAB是以點B為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,直接寫出點P的坐標;若不存在,說明理由.【答案】(1)點A、B的坐標分別為:(6,0)、(0,﹣3);(2);(3)存在,點P的坐標為:(3,﹣9)或(﹣3,3).【解答】解:(1)對于y=x﹣3,當x=0時,y=﹣3,當y=x﹣3=0時,則x=6,即點A、B的坐標分別為:(6,0)、(0,﹣3);(2)將點B的坐標代入y=﹣x+b得:﹣3=b,則BC的表達式為:y=﹣x﹣3,則點C(﹣3,0);則△ABC的面積=AC×OB=9×3=;(3)存在,理由:過點P作PQ⊥y軸于點Q,∵△PAB是以點B為直角頂點的等腰直角三角形,則∠PBA=90°,BP=BA,∴∠ABO+∠PBQ=90°,∵∠PBQ+∠BPQ=90°,∴∠ABO=∠BPQ=90°,∵∠AOB=∠BQP=90°,BP=BA,∴△AOB≌△BQP(AAS),∴BQ=OA=6,PQ=OB=3,∴點P(3,﹣9);當點P(P′)在AB上方時,則點B是PP的中點,則點P′(﹣3,3),綜上,點P的坐標為:(3,﹣9)或(﹣3,3).綜上所述,若以B,C,Q為頂點的三角形是等腰直角三角形,m=6或4或3.模型11:一次函數(shù)過定點問題【典例11】(2023春?倉山區(qū)校級期末)無論m取任何非零實數(shù),一次函數(shù)y=mx﹣(3m+2)的圖象過定點()A.(3,2) B.(3,﹣2) C.(﹣3,2) D.(﹣3,﹣2)【答案】B【解答】解:∵y=mx﹣(3m+2),整理得:3m+2=mx﹣y,要想這個式子恒成立,那么mx=3m,﹣y=2,∴x=3,y=﹣2.故選:B.2.(2023秋?廬陽區(qū)期末)已知函數(shù)y=(k﹣3)x+k.(1)該函數(shù)圖象經(jīng)過定點(﹣1,3).(2)如果直線y=(k﹣3)x+k不經(jīng)過第三象限,則k的范圍是0≤k<3.【答案】(1)(﹣1,3);(2)0≤k<3.【解答】解:(1)∵y=(k﹣3)x+k=k(x+1)﹣3x,∴該函數(shù)過定點(﹣1,3).故答案為:

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