八年級數(shù)學(xué)下冊專題10一次函數(shù)幾何壓軸(十九種題型)(原卷版+解析)

專題10一次函數(shù)幾何壓軸（十九種題型）

模型1：一次函數(shù)求三角形面積問題（鉛錘法）模型2：一次函數(shù)已知面積求動點(diǎn)坐標(biāo)模型3：一次函數(shù)已知面積相等求動點(diǎn)坐標(biāo)模型4：一次函數(shù)存在等腰三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)模型5：一次函數(shù)存在直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)模型6：一次函數(shù)存在全等三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)模型7：一次函數(shù)存在45°求動點(diǎn)坐標(biāo)模型8：一次函數(shù)存在等角求動點(diǎn)坐標(biāo)模型9：一次函數(shù)存在2倍角求動點(diǎn)坐標(biāo)模型10：一次函數(shù)存在等腰直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)模型11：一次函數(shù)過定點(diǎn)問題模型12：一次函數(shù)與線段結(jié)合求動點(diǎn)問題

模型13：一次函數(shù)與動點(diǎn)線段比例問題

模型14：一次函數(shù)存在線段和最小值求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型15：一次函數(shù)求點(diǎn)到直線距離最小值問題

模型16：一次函數(shù)存在平行四邊形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型17：一次函數(shù)存在矩形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型18：一次函數(shù)存在菱形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型19：一次函數(shù)存在正方形求動點(diǎn)坐標(biāo)【技巧點(diǎn)睛1】鉛錘法求三角形面積【技巧點(diǎn)睛2】處理與一次函數(shù)相關(guān)的面積問題，有三條主要的轉(zhuǎn)化途徑：①知底求高、轉(zhuǎn)化線段；②圖形割補(bǔ)、面積和差；③平行交軌、等積變換?！炯记牲c(diǎn)睛3】處理線段問題

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，若線段與y軸平行，線段的長度時端點(diǎn)縱坐標(biāo)之差（上減下，不確定時相減后加絕對值），若線段與x軸平行，線段的長度時端點(diǎn)橫坐標(biāo)之差（右減左，不確定時相減后加絕對值）；（2）線段相關(guān)計(jì)算注意使用”化斜為直”思想。

【技巧點(diǎn)睛4】角度問題（1）若有角度等量關(guān)系，不能直接用時，我們要學(xué)會角度轉(zhuǎn)化，比如借助余角、補(bǔ)角、外角等相關(guān)角來表示，進(jìn)行一些角度的和差和角度的代換等，直到轉(zhuǎn)化為可用的角度關(guān)系。（2）遇45°角要學(xué)會先構(gòu)造等腰直角三角形，然后構(gòu)造“三垂直”全等模型，一般情況下是以已知點(diǎn)作為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)。

【技巧點(diǎn)睛5】最值問題（1）求線段和最值，可以從“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的模型去考慮；

（2）注意“轉(zhuǎn)化思想”的運(yùn)用，將不可用線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成我們熟悉的模型

【技巧點(diǎn)睛6】特殊三角形存在問題

等腰三角形存在性問題1、找點(diǎn)方法：①以AB為半徑，點(diǎn)A為圓心做圓，此時，圓上的點(diǎn)（除D點(diǎn)外）與A、B構(gòu)成以A為頂點(diǎn)的等腰三角形（原理：圓上半徑相等）②以AB為半徑，點(diǎn)B為圓心做圓，此時，圓上的點(diǎn)（除E點(diǎn)外）與A、B構(gòu)成以B為頂點(diǎn)的等腰三角形（原理：圓上半徑相等）③做AB的垂直平分線，此時，直線上的點(diǎn)（除F點(diǎn)外）與A、B構(gòu)成以C為頂點(diǎn)的等腰三角形（原理：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）2、求點(diǎn)方法：直角三角形存在性問題若▲ABC是直角三角形，則分三種情況分類討論：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解題?！炯记牲c(diǎn)睛6】四邊形存在問題1．坐標(biāo)系中的平行四邊形：（1）對邊平行且相等：（2）對角線互相平分：即A、C中點(diǎn)與B、D中點(diǎn)重合．以上兩條可統(tǒng)一為：總結(jié)：平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形兩組相對頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和相等方法歸納：1、列出四個點(diǎn)坐標(biāo)2、分三組對角線討論列方程組，解方程組3、驗(yàn)證點(diǎn)是否符合題意模型1：一次函數(shù)求三角形面積問題（鉛錘法）【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在兩條坐標(biāo)軸上，∠ACB＝90°，且A（0，4），點(diǎn)C（2，0），BE⊥x軸于點(diǎn)E，一次函數(shù)y＝x+b經(jīng)過點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D．（1）求證：△AOC≌△CEB；（2）求△ABD的面積．【變式1】（2023秋?開江縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝kx+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B（4，0），過點(diǎn)E（2，0）的直線l2平行于y軸，交直線l1于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線l2上一動點(diǎn)（異于點(diǎn)D），連接PA、PB．（1）求直線l1的解析式；（2）設(shè)P（2，m），求△ABP的面積S的表達(dá)式（用含m的代數(shù)式表示）；模型2：一次函數(shù)已知面積求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例2】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx+b分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，2），過點(diǎn)C（2，0）作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)E是線段CD上一動點(diǎn)，直線BE與x軸交于點(diǎn)F．若△BDF的面積為8，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；【變式1】如圖①，直線y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，與直線y＝﹣2x交于點(diǎn)C（a，﹣4）．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P在y軸上，若△PBC的面積為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；模型3：一次函數(shù)已知面積相等求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），已知點(diǎn)C（﹣2，0）．（1）求直線l的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線l上一動點(diǎn)，且△BOP和△COP的面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)；【變式1】如圖，直線l1的解析式為y＝﹣3x+3，且l1與x軸交于點(diǎn)D，直線l2經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（3，），直線l1、l2交于點(diǎn)C．（1）求直線l2的解析式；（2）求△ADC的面積；（3）試問：在直線l2上是否存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使得△ADP與△ADC的面積相等？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式2】（2023秋?東港市期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交y軸于點(diǎn)A（0，3），交x軸于點(diǎn)B（﹣4，0）．（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）直線a垂直平分OB交AB于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線a上一動點(diǎn)，且在點(diǎn)D的上方，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m．①利用圖1位置，用含m的代數(shù)式表示△ABP的面積S；②當(dāng)△ABP的面積為7時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；③在②的條件下，在y軸上找到點(diǎn)Q，使得△ABQ與△ABP面積相等，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；④連接OP，與AB交于點(diǎn)H，當(dāng)△AOH與△PBH的面積相等時，請直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)．【變式3】如圖，直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（3，0）、點(diǎn)B（0，2），以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，點(diǎn)P（0，a）為y軸上一個動點(diǎn)．（1）求直線l的表達(dá)式；（2）求出△ABC的面積；（3）當(dāng)△ABC與△ABP面積相等時，求實(shí)數(shù)a的值．模型4：一次函數(shù)存在等腰三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例4】如圖，直線y＝kx+3經(jīng)過點(diǎn)B（﹣1，4）和點(diǎn)A（5，m），與x軸交于點(diǎn)C．（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面積；（3）若點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時，直接寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+4的圖象分別與x軸、y軸交于A（2，0），B兩點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)C（1，m）．（1）求m的值；（2）若點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'，求△A′BC的面積；（3）在x軸上，是否存在點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式2】如圖，直線的圖象與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，AB的垂直平分線l與x軸交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，連接BC．（1）求OC的長；（2）若點(diǎn)E在x軸上，且△BED的面積為10，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）已知y軸上有一點(diǎn)P，若以點(diǎn)B、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．模型5：一次函數(shù)存在直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，線段OB上有一點(diǎn)C，點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)B'在x軸上．（1）求△AOB的面積；（2）求直線AC的解析式；（3）點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)△ABP為直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（0，2），D三點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC＝5OA，連接BC，CD，已知S△ADC＝2S△ABC．（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）求△ADC的面積；（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△BCM是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．模型6：一次函數(shù)存在全等三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例6】如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，過AB中點(diǎn)D的直線CD交x軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過第一象限的點(diǎn)E（6，4）．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線CD的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接BE，求△DBE的面積；（3）連接DO，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)F，使得以點(diǎn)C，O，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△COD全等，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【變式1】（2023秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，0），連結(jié)BC，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)Q為線段BC上一個動點(diǎn)．（1）BC的長為5，OD的長為；（2）在線段BO上是否存在一點(diǎn)P，使得△BPQ與△OAD全等？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．模型7：一次函數(shù)存在45°求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例7】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點(diǎn)A，與直線交于點(diǎn)B（3，m）．（1）求m和b的值；（2）求證：△OAB是直角三角形；（3）直線l1上是否存在點(diǎn)D，使得∠ODB＝45°，若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式1】已知，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸、y軸于A（m，0），B（0，n），m、n滿足m2+n2+2m﹣4n+5＝0，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)．（1）求m、n的值；（2）如圖1，若點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)∠BPA＝45°時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【變式2】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與直線交于點(diǎn)B（3，m）．（1）求m的值；（2）點(diǎn)D是直線l1上一動點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D恰好在∠AOB的角平分線上時，求直線OD的函數(shù)表達(dá)式；②是否存在點(diǎn)D，使得∠DOB＝45°，若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．模型8：一次函數(shù)存在等角求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例8】如圖，已知函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．（1）直接寫出A、B、C的坐標(biāo)：A（﹣4，0）、B（0，2）、C（4，0）；（2）求直線AB的函數(shù)解析式；（3）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的負(fù)半軸一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)Q．①若△PQB的面積為2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②點(diǎn)M在線段AO上運(yùn)動的過程中，連接BM，若∠BMP＝∠BAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式1】如圖1，已知函數(shù)y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．（1）求直線BC的函數(shù)解析式；（2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)Q．①若△PQB的面積為，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②點(diǎn)M在線段AC上，連接BM，如圖2，若∠BMP＝∠BAC，直接寫出P的坐標(biāo)．【變式2】如圖①，已知函數(shù)y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．（1）求BC的長．（2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于P，交直線BC于點(diǎn)Q．①若△PQB的面積為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．②連接BM，如圖②，若∠BMP＝∠BAC．直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．模型9：一次函數(shù)存在2倍角求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例9】（2023秋?槐蔭區(qū)期末）如圖，直線和直線l2與x軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，且兩直線相交于點(diǎn)C，直線l2與y軸相交于點(diǎn)D（0，﹣4），OA＝2OB．（1）求出直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）E是x軸上一點(diǎn)，若S△ABC＝2S△BCE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若F是直線l1上方且位于y軸上一點(diǎn)，∠ACF＝2∠CAO，判斷△BCF的形狀并說明理由．模型10：一次函數(shù)存在等腰直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例10】（2023秋?新都區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），已知點(diǎn)C（﹣2，0）．（1）求直線l的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線l上一動點(diǎn)，且△BOP和△COP的面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△ABQ是以AB為底的等腰直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式1】（2023秋?成華區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)B，且與直線l2：交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．（1）求直線l1的解析式；（2）在x軸上取點(diǎn)M，過點(diǎn)M作x軸的垂線交直線l1于點(diǎn)D，交直線l2于點(diǎn)E．若DE＝2，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）在第二象限內(nèi)，是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式2】（2023秋?溫江區(qū)期末）如圖1，直線AB的解析式為y＝kx+3，D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C在直線AD上．（1）求直線AB的解析式；（2）如圖2，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使S△ABF＝2S△ABC，若存在求出F點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）點(diǎn)P是直線AB上方第一象限內(nèi)的動點(diǎn)．如圖3，當(dāng)△ABP為等腰直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式3】（2023秋?榆次區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，并與x軸交于點(diǎn)C．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積；（3）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．模型11：一次函數(shù)過定點(diǎn)問題【典例11】（2023春?倉山區(qū)校級期末）無論m取任何非零實(shí)數(shù)，一次函數(shù)y＝mx﹣（3m+2）的圖象過定點(diǎn)（）A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）2．（2023秋?廬陽區(qū)期末）已知函數(shù)y＝（k﹣3）x+k．（1）該函數(shù)圖象經(jīng)過定點(diǎn)．（2）如果直線y＝（k﹣3）x+k不經(jīng)過第三象限，則k的范圍是．【變式1】（2023春?都昌縣期中）對于一次函數(shù)y＝kx﹣k+4的圖象，無論k為何值，都過一個定點(diǎn)，則這個點(diǎn)的坐標(biāo)是．【變式2】（2023春?棗陽市期中）一次函數(shù)y＝﹣3x+mx﹣m的圖象經(jīng)過定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是．模型12：一次函數(shù)與線段結(jié)合求動點(diǎn)問題【典例12】（2023秋?蜀山區(qū)校級期中）如圖，直線y＝﹣x+3與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，直線CP與直線AB相交于點(diǎn)P（﹣，a），交x軸于點(diǎn)C，且△PAC的面積為．（1）則A點(diǎn)的坐標(biāo)為；a＝；（2）求直線PC的解析式；（3）若點(diǎn)D是線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥x軸交直線PC于點(diǎn)E，若DE＝2，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．模型13：一次函數(shù)與動點(diǎn)線段比例問題【典例13】（2023春?嶗山區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，9），且與x軸相交點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，與正比例函數(shù)y＝3x的圖象相交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1．（1）不等式kx+b﹣3x＜0的解集是；（2）求一次函數(shù)的函數(shù)解析式；（3）M為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線交y＝3x于點(diǎn)N，當(dāng)MN＝2OD時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式1】（2023秋?淮安期末）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x+1的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，并與x軸交于點(diǎn)C（3，0），點(diǎn)D是直線AB上的一個動點(diǎn)．（1）k＝，b＝；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在第一象限時，過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F．若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；模型14：一次函數(shù)存在線段和最小值求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例14】如圖，直線l1：y＝k1x+b與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3），直線l2：y＝k2x與直線l1相交于點(diǎn)C（，n）．（1）求直線l1和l2的解析式；（2）求△BCO的面積；（3）點(diǎn)M為y軸上的一動點(diǎn)，連接MA，MC．當(dāng)MA+MC的值最小時，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是．【變式1】平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：y＝x+1分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)D在直線l1上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3．直線l2經(jīng)過點(diǎn)C（1，0），D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)和直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）在x軸上找一點(diǎn)P使得PB+PD的值最小，最小值為多少？【變式2】如圖，直線AB：y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．直線CD：y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)C（﹣1，0），D，與直線AB交于點(diǎn)E．（1）求直線CD的函數(shù)關(guān)系式；（2）連接BC，求△BCE的面積；（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，2），求m的值使得QA+QE值最小．模型15：一次函數(shù)求點(diǎn)到直線距離最小值問題【典例15】（2020春?海淀區(qū)校級期末）已知直線l：y＝kx+b（k＞0）過點(diǎn)（﹣，0）且與x軸相交夾角為30°，P為直線l上的動點(diǎn)，A（，0）、B（3，0）為x軸上兩點(diǎn)，當(dāng)PA+PB時取到最小值時P點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，2） B．（1，） C．（，3） D．（2，）【變式1】（2023?澗西區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），直線y＝x﹣5與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在直線y＝x﹣5上運(yùn)動．當(dāng)線段AD取得最小值時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（，） B．（2，﹣2） C．（1，﹣） D．（0，﹣4）模型16：一次函數(shù)存在平行四邊形求動點(diǎn)坐標(biāo)

【典例16】如圖，直線l1過點(diǎn)A（0，2）、B（2，0），直線l1和直線l2交于點(diǎn)C（3，a），直線l2與y軸交于點(diǎn)D（0，﹣7）．（1）求直線l1和直線l2對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）直線l1上有一動點(diǎn)P，使得△CDP的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）y軸上有一動點(diǎn)M，直線l2上有一動點(diǎn)N，使以M、N、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式1】（2024春?崇川區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，線段OA，OC的長分別是m，n且滿足，點(diǎn)D是線段OC上一點(diǎn)，將△AOD沿直線AE翻折，點(diǎn)O落在矩形的對角線AC上的點(diǎn)E處．（1）求OD的長；（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）DE所在直線與AB相交于點(diǎn)M，在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)N，使以M、A、N、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

模型17：一次函數(shù)存在矩形求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例17】（2023秋?開原市月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝2x+18的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線交y軸正半軸于點(diǎn)M，且點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)．（1）求直線AM的解析式；（2）將△AMB沿著AM翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處，連接OB1，則四邊形AMB1O的形狀為平行四邊形；（3）若點(diǎn)H是直線AM上的動點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以A、B、Q、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【變式1】（2023春?離石區(qū)期末）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝2x﹣1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，直線l2：y＝kx+b與x軸，y軸分別交于點(diǎn)P，C（0，1），連接AC，直線l1l2交于點(diǎn)D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為．（1）求直線l2的函數(shù)解析式；（2）求△ACD的面積；（3）若點(diǎn)E在直線l1上，F(xiàn)為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，試探究：是否存在以點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式2】（2023春?九龍坡區(qū)期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得△COD（點(diǎn)A與點(diǎn)C對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D對應(yīng)）．（1）直接寫出直線CD的解析式；（2）點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥y軸交直線AB于點(diǎn)F，作EG∥x軸交直線AB于點(diǎn)G，當(dāng)EF+EG＝AD時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為直線CD上一點(diǎn)，點(diǎn)P為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．且以O(shè)，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出其中一種求解點(diǎn)N坐標(biāo)的過程．模型18：一次函數(shù)存在菱形求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例18】已知：在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．（1）求直線l2的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P為直線l1上的一個動點(diǎn)，若△PAC的面積等于9時，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將△ABC沿著x軸平移，平移過程中的△ABC記為△A1B1C1.請問在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使得以A1、C1、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB：與直線CD：y＝kx﹣2相交于點(diǎn)M（4，a），分別交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A，B，C，D．（1）求直線CD的解析表達(dá)式；（2）如圖，點(diǎn)P是直線CD上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△PBM的面積為20時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）直線AB上有一點(diǎn)F，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)找一點(diǎn)N，使得以BF為一邊，以點(diǎn)B，D，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣3x﹣交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，直線y＝﹣x+3交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．（1）如圖1，連接BC，求△BCD的面積；（2）如圖2，在直線y＝﹣x+3上存在點(diǎn)E，使得∠ABE＝45°，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接OE，過點(diǎn)E作CD的垂線交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)P在直線EF上，在平面中存在一點(diǎn)Q，使得以O(shè)E為一邊，O，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．模型19：一次函數(shù)存在正方形求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例19】（2023秋?順德區(qū)月考）如圖，一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于A（0，5），B（10，0）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)E是線段OB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)O，B重合），過點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，以EF為邊作正方形EFMN，當(dāng)點(diǎn)M落在坐標(biāo)軸上時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【變式1】（2023春?鄖陽區(qū)期末）直線y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，△ABC面積為11．（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖1，過點(diǎn)C的直線CD交y軸于點(diǎn)D，若∠OCD＝∠OBC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在y軸上，以FG為邊，向右作正方形FGQP，點(diǎn)Q落在直線BC上，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．【變式2】（2023春?天橋區(qū)期末）已知一次函數(shù)的圖象y＝﹣x+6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與直線y＝x交于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作x軸的平行線l，點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)．（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）若S△AOC＝S△BCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)E是直線y＝x上的一個動點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使四邊形APEF是正方形，若存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．專題10一次函數(shù)幾何壓軸（十九種題型）

模型1：一次函數(shù)求三角形面積問題（鉛錘法）模型2：一次函數(shù)已知面積求動點(diǎn)坐標(biāo)模型3：一次函數(shù)已知面積相等求動點(diǎn)坐標(biāo)模型4：一次函數(shù)存在等腰三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)模型5：一次函數(shù)存在直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)模型6：一次函數(shù)存在全等三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)模型7：一次函數(shù)存在45°求動點(diǎn)坐標(biāo)模型8：一次函數(shù)存在等角求動點(diǎn)坐標(biāo)模型9：一次函數(shù)存在2倍角求動點(diǎn)坐標(biāo)模型10：一次函數(shù)存在等腰直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)模型11：一次函數(shù)過定點(diǎn)問題模型12：一次函數(shù)與線段結(jié)合求動點(diǎn)問題

模型13：一次函數(shù)與動點(diǎn)線段比例問題

模型14：一次函數(shù)存在線段和最小值求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型15：一次函數(shù)求點(diǎn)到直線距離最小值問題

模型16：一次函數(shù)存在平行四邊形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型17：一次函數(shù)存在矩形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型18：一次函數(shù)存在菱形求動點(diǎn)坐標(biāo)

模型19：一次函數(shù)存在正方形求動點(diǎn)坐標(biāo)【技巧點(diǎn)睛1】鉛錘法求三角形面積【技巧點(diǎn)睛2】處理與一次函數(shù)相關(guān)的面積問題，有三條主要的轉(zhuǎn)化途徑：①知底求高、轉(zhuǎn)化線段；②圖形割補(bǔ)、面積和差；③平行交軌、等積變換?！炯记牲c(diǎn)睛3】處理線段問題

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，若線段與y軸平行，線段的長度時端點(diǎn)縱坐標(biāo)之差（上減下，不確定時相減后加絕對值），若線段與x軸平行，線段的長度時端點(diǎn)橫坐標(biāo)之差（右減左，不確定時相減后加絕對值）；（2）線段相關(guān)計(jì)算注意使用”化斜為直”思想。

【技巧點(diǎn)睛4】角度問題（1）若有角度等量關(guān)系，不能直接用時，我們要學(xué)會角度轉(zhuǎn)化，比如借助余角、補(bǔ)角、外角等相關(guān)角來表示，進(jìn)行一些角度的和差和角度的代換等，直到轉(zhuǎn)化為可用的角度關(guān)系。（2）遇45°角要學(xué)會先構(gòu)造等腰直角三角形，然后構(gòu)造“三垂直”全等模型，一般情況下是以已知點(diǎn)作為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)。

【技巧點(diǎn)睛5】最值問題（1）求線段和最值，可以從“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的模型去考慮；

（2）注意“轉(zhuǎn)化思想”的運(yùn)用，將不可用線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成我們熟悉的模型

【技巧點(diǎn)睛6】特殊三角形存在問題

等腰三角形存在性問題1、找點(diǎn)方法：①以AB為半徑，點(diǎn)A為圓心做圓，此時，圓上的點(diǎn)（除D點(diǎn)外）與A、B構(gòu)成以A為頂點(diǎn)的等腰三角形（原理：圓上半徑相等）②以AB為半徑，點(diǎn)B為圓心做圓，此時，圓上的點(diǎn)（除E點(diǎn)外）與A、B構(gòu)成以B為頂點(diǎn)的等腰三角形（原理：圓上半徑相等）③做AB的垂直平分線，此時，直線上的點(diǎn)（除F點(diǎn)外）與A、B構(gòu)成以C為頂點(diǎn)的等腰三角形（原理：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）2、求點(diǎn)方法：直角三角形存在性問題若▲ABC是直角三角形，則分三種情況分類討論：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解題?！炯记牲c(diǎn)睛6】四邊形存在問題1．坐標(biāo)系中的平行四邊形：（1）對邊平行且相等：（2）對角線互相平分：即A、C中點(diǎn)與B、D中點(diǎn)重合．以上兩條可統(tǒng)一為：總結(jié)：平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形兩組相對頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和相等方法歸納：1、列出四個點(diǎn)坐標(biāo)2、分三組對角線討論列方程組，解方程組3、驗(yàn)證點(diǎn)是否符合題意模型1：一次函數(shù)求三角形面積問題（鉛錘法）【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在兩條坐標(biāo)軸上，∠ACB＝90°，且A（0，4），點(diǎn)C（2，0），BE⊥x軸于點(diǎn)E，一次函數(shù)y＝x+b經(jīng)過點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D．（1）求證：△AOC≌△CEB；（2）求△ABD的面積．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形∴∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠ACO+∠BCE＝90°BE⊥CE，∴∠BCE+∠CBE＝90°∴∠ACO＝∠CBE∴△AOC≌△CEB（2）解：∵△AOC≌△CEB∴BE＝OC＝2，CE＝OA＝4∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，2）又一次函數(shù)y＝x+b經(jīng)過點(diǎn)B（6，2）∴2＝6+b∴b＝﹣4∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣4）∴|AD|＝4+4＝8在△ABD中，AD邊上高的長度就是B點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值．∴S△ABD＝×8×6＝24∴△ABD的面積為24．【變式1】（2023秋?開江縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝kx+1交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B（4，0），過點(diǎn)E（2，0）的直線l2平行于y軸，交直線l1于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線l2上一動點(diǎn)（異于點(diǎn)D），連接PA、PB．（1）求直線l1的解析式；（2）設(shè)P（2，m），求△ABP的面積S的表達(dá)式（用含m的代數(shù)式表示）；【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）當(dāng)m時，S＝2m﹣1；當(dāng)m＜時，S＝1﹣2m；【解答】解：（1）∵直線l1：y＝kx+1交x軸于點(diǎn)B（4，0），∴0＝4k+1．∴k＝﹣．∴直線l1：y＝﹣x+1；（2）由得：．∴D（2，）．∵P（2，m），∴PD＝|m﹣|．∴S＝×|4﹣0|?PD＝×|m﹣|×4＝|2m﹣1|．當(dāng)m時，S＝2m﹣1；當(dāng)m＜時，S＝1﹣2m；模型2：一次函數(shù)已知面積求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例2】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx+b分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，2），過點(diǎn)C（2，0）作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)E是線段CD上一動點(diǎn)，直線BE與x軸交于點(diǎn)F．若△BDF的面積為8，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；【答案】（1）（2，6）；\（2）F（﹣5，0）或（3，0）．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，2），∴直線AB的解析式為y＝2x+2，∵CD⊥x軸，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，∴y＝6，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2，6）；（2）設(shè)F（m，0）有兩種情況；①當(dāng)F在C點(diǎn)右側(cè)時，∵D（2，6），A（﹣1，0），B（0，2），DC⊥x軸．∴S△ADF＝AF?DC＝（m+1）×6＝3（m+1），S△ABF＝AF?OB＝（m+1）×2＝m+l．∵S△BDF＝8，∴S△ADF＝S△ABF+S△DBF，即：3（m+1）＝m+1+8∴m＝3．∴F（3，0）；②當(dāng)F點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)時，∵點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，2），C（2，0），D（2，6）．∴S△ADF＝AF×CD＝（﹣1﹣m）×6＝﹣3﹣3m，S△ABF＝AF×OB＝（﹣1﹣m）×2﹣＝﹣1﹣m，∴S△BDF＝S△ADF﹣S△ABF＝8，∴﹣（﹣3﹣3m）﹣（﹣1﹣m）＝8，解得：m＝﹣5，∴F（﹣5，0）；綜上所述：F（﹣5，0）或（3，0）．【變式1】如圖①，直線y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，與直線y＝﹣2x交于點(diǎn)C（a，﹣4）．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P在y軸上，若△PBC的面積為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】（1）C（2，﹣4）；y＝2x﹣8；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣2）或（0，﹣14）；【解答】解：（1）∵點(diǎn)C（a，﹣4）在直線y＝﹣2x上，∴﹣2a＝﹣4，解得a＝2，∴C（2，﹣4），將A（4，0），C（2，﹣4）代入直線y＝kx+b，得：，解得，∴直線AB的解析式為：y＝2x﹣8；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，p），∵直線AB的解析式為：y＝2x﹣8，∴B（0，﹣8），∴BP＝|p+8|，∵△PBC的面積為6，C（2，﹣4），∴S△PBC＝×2|p+8|＝6，∴p＝﹣2或﹣14，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣2）或（0，﹣14）；

模型3：一次函數(shù)已知面積相等求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），已知點(diǎn)C（﹣2，0）．（1）求直線l的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線l上一動點(diǎn)，且△BOP和△COP的面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)；【答案】（1）y＝x+2；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，4）或（﹣，）；【解答】解：（1）設(shè)直線l的解析式為y＝kx+b，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得到，解得，∴直線l的表達(dá)式為y＝x+2；（2）如圖1，∵點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（0，2），已知點(diǎn)C（﹣2，0）．∴OB＝2，OC＝2，設(shè)P（p，p+2），∴S△BOP＝×2×|p|＝|p|，S△COP＝×2×|p+2|＝|p+2|．∵△BOP和△COP的面積相等，∴|p+2|＝|p|，解得p＝4或﹣，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，4）或（﹣，）；【變式1】如圖，直線l1的解析式為y＝﹣3x+3，且l1與x軸交于點(diǎn)D，直線l2經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（3，），直線l1、l2交于點(diǎn)C．（1）求直線l2的解析式；（2）求△ADC的面積；（3）試問：在直線l2上是否存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使得△ADP與△ADC的面積相等？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)直線l2的解析式是y＝kx+b，根據(jù)題意得：，解得：，則直線l2的解析式是y＝x﹣6；（2）在y＝﹣3x+3中，令y＝0，解得：x＝1．則D的坐標(biāo)是（1，0）．根據(jù)題意得：，解得：，則C的坐標(biāo)是（2，﹣3），則AD＝4﹣1＝3，S△ADC＝AD×3＝；（3）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是3，把y＝3代入y＝x﹣6，得x＝6．則P的坐標(biāo)是（6，3）．【變式2】（2023秋?東港市期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交y軸于點(diǎn)A（0，3），交x軸于點(diǎn)B（﹣4，0）．（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）直線a垂直平分OB交AB于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線a上一動點(diǎn)，且在點(diǎn)D的上方，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m．①利用圖1位置，用含m的代數(shù)式表示△ABP的面積S；②當(dāng)△ABP的面積為7時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；③在②的條件下，在y軸上找到點(diǎn)Q，使得△ABQ與△ABP面積相等，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；④連接OP，與AB交于點(diǎn)H，當(dāng)△AOH與△PBH的面積相等時，請直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)．【答案】（1）y＝；（2）①2m﹣3；②（﹣2，5）；③Q，④P（﹣2，3）．【解答】解：（1）設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝kx+3，∵直線過點(diǎn)B（﹣4，0），∴0＝﹣4k+3，解得：，∴直線AB的表達(dá)式為：y＝；（2）①過點(diǎn)P作PH⊥y軸，垂足為H，∵直線a垂直平分OB，B（﹣4，0），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，0），∵點(diǎn)P是直線a上一動點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，m），S梯形PBOH﹣S△AOB﹣S△PHA＝＝3m﹣6﹣m+3＝2m﹣3；②2m﹣3＝7，∴m＝5，∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，5）；③設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，q），當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)A的上方時，，解得：，此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)A的下方時，，解得：，此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，④∵△AOH與△PBH的面積相等，∴S△ADH+S△PHA＝S△PHB+S△PHA，∴S△PAB＝S△PAO，∴底均為AP，高相同，面積相同，∴P（﹣2，3）．【變式3】如圖，直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（3，0）、點(diǎn)B（0，2），以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，點(diǎn)P（0，a）為y軸上一個動點(diǎn)．（1）求直線l的表達(dá)式；（2）求出△ABC的面積；（3）當(dāng)△ABC與△ABP面積相等時，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）；（3）a＝或a＝﹣．【解答】解：（1）設(shè)直線AB所在的表達(dá)式為：y＝kx+b，則，解得：，故直線l的表達(dá)式為：y＝﹣x+2；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13，∵△ABC為等腰直角三角形，∴S△ABC＝AB2＝；（3）①當(dāng)P在y軸正半軸時，P點(diǎn)為：（0，a），如圖1所示：S△ABP＝AO?BP＝，∵AO＝3，∴BP＝，∵B（0，2），∴a﹣2＝，∴a＝．②）①當(dāng)P在y軸負(fù)半軸時，如圖2所示：S△ABP＝S△ABO+S△APO＝，∵S△ABO＝3，∴S△APO＝﹣3＝，即有：×AO×PO＝，∴PO＝，∵P在y軸負(fù)半軸，∴a＝﹣．綜上：a＝或a＝﹣．模型4：一次函數(shù)存在等腰三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例4】如圖，直線y＝kx+3經(jīng)過點(diǎn)B（﹣1，4）和點(diǎn)A（5，m），與x軸交于點(diǎn)C．（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面積；（3）若點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時，直接寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）k＝﹣1，m＝﹣2；（2）9；（3）（3﹣，0），（3+，0），（﹣5，0），（﹣1，0）．【解答】解：（1）將B（﹣1，4）代入y＝kx+3，可得k＝﹣1，∴y＝﹣x+3．將A（5，m）代入y＝﹣x+3，可得m＝﹣2；（2）在y＝﹣x+3中，令y＝0，則x＝3，∴C（3，0），即CO＝3，∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝×3×4+×3×2＝9；（3）①如圖所示，當(dāng)CB＝CP1＝4時，OP1＝﹣3，∴P1（3﹣，0）；②如圖所示，當(dāng)CB＝CP2＝4時，OP2＝+3，∴P2（3+，0）；③如圖所示，當(dāng)CB＝BP3時，CP3＝2CD＝8，∴OP3＝8﹣3＝5，∴P3（﹣5，0）；④如圖所示，當(dāng)BP4＝CP4時，△BCP4是等腰直角三角形，∴CP4＝BP4＝4，∴OP4＝4﹣3＝1，∴P4（﹣1，0）．綜上所述，當(dāng)△PBC為等腰三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3﹣，0），（3+，0），（﹣5，0），（﹣1，0）．【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+4的圖象分別與x軸、y軸交于A（2，0），B兩點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)C（1，m）．（1）求m的值；（2）若點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'，求△A′BC的面積；（3）在x軸上，是否存在點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）m＝2；（2）S△A′BC＝4；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+2，0）或（2﹣2，0）或（﹣3，0）或（﹣2，0）．【解答】解：（1）一次函數(shù)y＝kx+4的圖象與x軸交于A（2，0），∴2k+4＝0，解得k＝﹣2，∴一次函數(shù)y＝﹣2x+4，∵一次函數(shù)y＝kx+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（1，m）．∴m＝﹣2+4＝2；（2）∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'，A（2，0），∴A′（﹣2，0），∵一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象分別與x軸、y軸交于A（2，0），B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4），∵m＝2，∴點(diǎn)C（1，2）．∴S△A′BC＝S△A′BA﹣S△A′AC＝×4×（2+2）﹣×4×2＝4；（3）存在點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形，設(shè)P（p，0），∵點(diǎn)A（2，0），B（0，4），∴AB2＝22+42＝20，AP2＝（p﹣2）2，BP2＝p2+42＝p2+16，當(dāng)AB＝AP時，（p﹣2）2＝20，解得p＝2±2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+2，0）或（2﹣2，0）；當(dāng)AP＝BP時，（p﹣2）2＝p2+16，解得p＝﹣3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，0）；當(dāng)AB＝BP時，p2+16＝20，解得p＝﹣2或2（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）；綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+2，0）或（2﹣2，0）或（﹣3，0）或（﹣2，0）【變式2】如圖，直線的圖象與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，AB的垂直平分線l與x軸交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，連接BC．（1）求OC的長；（2）若點(diǎn)E在x軸上，且△BED的面積為10，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）已知y軸上有一點(diǎn)P，若以點(diǎn)B、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝4；令y＝0，得x＝8；所以直線與兩軸交點(diǎn)分別為A（8，0），B（0，4）．∵CD垂直平分AB；∴CA＝CB．設(shè)C（m，0），在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，即：t2+42＝（8﹣t）2解得：t＝3；∴OC＝|3﹣0|＝3．（2）設(shè)點(diǎn)E（m，0），則EA＝|8﹣m|；∵D為AB的中點(diǎn)；∴；A、E在x軸上，OB⊥AE，；再依題意：；解得：m＝﹣2或18．∴點(diǎn)E坐標(biāo)為：（﹣2，0），（18，0）．（3）P在y軸上，設(shè)P（0，p）．分別以B、C、P為等腰三角形的頂點(diǎn)，分三種情況：①B為頂點(diǎn)，BP＝BC，由（1）得BC＝8﹣3＝5；∴|p﹣4|＝5，解得：P＝﹣1或9．②C為頂點(diǎn)，BC＝PC，又∵∠BOC＝∠POC＝90°，OC＝OC，∴△BOC≌△POC（HL）．∴PO＝BO＝4，即p＝﹣4．③P為頂點(diǎn)，PB＝PC，在Rt△OPC中，根據(jù)勾股定理得：OP2+OC2＝PC2，即：p2+32＝（4﹣p）2．解得：．綜上：滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，），（0，﹣4），（0，﹣1），（0，9）．模型5：一次函數(shù)存在直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，線段OB上有一點(diǎn)C，點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)B'在x軸上．（1）求△AOB的面積；（2）求直線AC的解析式；（3）點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)△ABP為直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）S△AOB＝6；（2）直線AC的解析式為y＝x+；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）或（2，）．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，令y＝0，則x+4＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，則y＝4，∴點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴S△AOB＝×3×4＝6；（2）連接BB′交AC于M，∵點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（0，4），∴AB＝＝5，∵點(diǎn)B、點(diǎn)B'關(guān)于直線AC對稱，∴AB′＝AB＝5，BM＝B′M，∴B′（2，0），∵B（0，4），∴M（1，2），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線AC的解析式為y＝x+；（3）∵點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)，直線AC的解析式為y＝x+，設(shè)P（p，p+），∵點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（0，4），∴AB2＝32+42＝25，PA2＝（p+3）2+（p+）2＝p2+p+，PB2＝p2+（p+﹣4）2＝p2﹣p+，①當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時，AB2＝PA2+PB2，∴p2+p++p2﹣p+＝25，解得p＝1或﹣3（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）；②當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時，AB2+PA2＝PB2，∴p2+p++25＝p2﹣p+，解得p＝﹣3（舍去），∴此種情況不存在；③當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時，AB2+PB2＝PA2，∴p2+p+＝p2﹣p++25，解得p＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）或（2，）．【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（0，2），D三點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC＝5OA，連接BC，CD，已知S△ADC＝2S△ABC．（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）求△ADC的面積；（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得△BCM是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝2x+2；（2）△ADC的面積為12；（3）在x軸上存在一點(diǎn)M，使得△BCM是直角三角形，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）或（，0）．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直線AB的表達(dá)式y(tǒng)＝2x+2；（2）∵OC＝5OA，A（﹣1，0），∴OC＝5，∴AC＝OC+OA＝5+＝6，∵B（0，2），∴OB＝2，∴S△ABC＝6×2×＝6，∵S△ADC＝2S△ABC，∴S△ADC＝6×2＝12；∴△ADC的面積為12；（3）在x軸上存在一點(diǎn)M，使得△BCM是直角三角形，理由如下：∵OB＝2，OC＝5，∴BC2＝22+52＝29，△ABM是直角三角形，分兩種情況：①當(dāng)∠BMC＝90°時，由圖象可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）；②當(dāng)∠CBM＝90°時，設(shè)M（m，0），而B（0，2），C（5，0），∴BM2＝m2+22，CM2＝（5﹣m）2，∵BC2+BM2＝CM2，∴29+m2+4＝（5﹣m）2，解得：m＝﹣，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）或（，0）．模型6：一次函數(shù)存在全等三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例6】如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，過AB中點(diǎn)D的直線CD交x軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過第一象限的點(diǎn)E（6，4）．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線CD的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接BE，求△DBE的面積；（3）連接DO，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)F，使得以點(diǎn)C，O，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△COD全等，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）一次函數(shù)y＝﹣x+4，令x＝0，則y＝4；令y＝0，則x＝4，∴A（0，4），B（4，0），∵D是AB的中點(diǎn)，∴D（2，2），設(shè)直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得，∴直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+1；（2）y＝x+1，令y＝0，則x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∴BC＝2＝4＝6，∴△DBE的面積＝△BCE的面積﹣△BCD的面積＝×6×（4﹣2）＝6；（3）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2）；當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣4，2）；當(dāng)點(diǎn)F在第三象限時，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）；當(dāng)點(diǎn)F在第四象限時，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，﹣2）．【變式1】（2023秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，0），連結(jié)BC，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)Q為線段BC上一個動點(diǎn)．（1）BC的長為5，OD的長為；（2）在線段BO上是否存在一點(diǎn)P，使得△BPQ與△OAD全等？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）5，；（2）在線段BO上存在一點(diǎn)P，使得△BPQ與△OAD全等，Q的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，）．【解答】解：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝3，∴A（3，0），B（0，4），∵C（﹣3，0），∴BC＝＝5；AB＝＝5；∵OD⊥AB，∴2S△AOB＝OA?OB＝AB?OD，∴OD＝＝＝；故答案為：5，；（2）在線段BO上存在一點(diǎn)P，使得△BPQ與△OAD全等，理由如下：∵OD⊥AB，∴∠OBD＝90°﹣∠BOD＝∠DOA，∵A（3，0），C（﹣3，0），∴A，C關(guān)于y軸對稱，∴∠CBO＝∠OBD，∴∠CBO＝∠DOA，要使△BPQ與△OAD全等，只需夾∠CBO，∠DOA的兩邊對應(yīng)相等即可；當(dāng)BQ＝OA，BP＝OD時，如圖：由（1）知，OD＝，∴BP＝OD＝，∴OP＝OB﹣BP＝4﹣＝，由B（0，4），C（﹣3，0）可得直線BC解析式為y＝x+4，在y＝x+4中，令y＝得x＝﹣，∴Q（﹣，），由Q（﹣，），B（0，4）得BQ＝＝3，此時BQ＝OA＝3符合題意；∴Q的坐標(biāo)為（﹣，）；當(dāng)BP＝OA＝3，BQ＝OD＝時，如圖：設(shè)Q（m，m+4），∵BQ＝，∴＝，解得m＝﹣（正值已舍去）；∴Q（﹣，），綜上所述，Q的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，）．模型7：一次函數(shù)存在45°求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例7】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點(diǎn)A，與直線交于點(diǎn)B（3，m）．（1）求m和b的值；（2）求證：△OAB是直角三角形；（3）直線l1上是否存在點(diǎn)D，使得∠ODB＝45°，若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）m的值為2，b的值為；（2）見解析；（3）存在．點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，5）或（5，﹣1）．【解答】（1）解：∵點(diǎn)B（3，m）在直線l2：y＝x上，∴m＝×3＝2，即m的值為2，∴點(diǎn)B（3，2），將點(diǎn)B（3，2）代入直線l1：y＝﹣x+b得2＝﹣×3+b，∴b＝；（2）證明：∵b＝，∴直線l1：y＝﹣x+，∴A（0，），∵B（3，2），∴OM＝3，BM＝4．∴OB2＝32+22＝13，AB2＝32+（﹣2）2＝，OA2＝（）2＝，∵OB2+AB2＝OA2，∴∠OBA＝90°，∴△OAB是直角三角形；（3）解：存在．如圖，∵∠ODB＝45°，∠OBA＝90°．∴BD＝OB＝＝，∵點(diǎn)D是直線l1：y＝﹣x+上一動點(diǎn)，設(shè)D（n，﹣n+），則BD2＝（n﹣3）2+（﹣n+﹣2）2＝13，解得n＝1或5，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，5）或（5，﹣1）．【變式1】已知，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸、y軸于A（m，0），B（0，n），m、n滿足m2+n2+2m﹣4n+5＝0，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)．（1）求m、n的值；（2）如圖1，若點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)∠BPA＝45°時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】（1）m＝﹣1，n＝2；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣1）；【解答】解：（1）∵m2+n2+2m﹣4n+5＝0，∴m2+2m+1+n2﹣4n+4＝0（m+1）2+（n﹣2）2＝0，∴m+1＝0，n﹣2＝0，∴m＝﹣1，n＝2；（2）∵m＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵點(diǎn)P在y軸上，∠BPA＝45°，∴OP＝OA＝1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣1）；【變式2】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與直線交于點(diǎn)B（3，m）．（1）求m的值；（2）點(diǎn)D是直線l1上一動點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D恰好在∠AOB的角平分線上時，求直線OD的函數(shù)表達(dá)式；②是否存在點(diǎn)D，使得∠DOB＝45°，若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）m的值為4；（2）①直線OD的表達(dá)式為y＝x；②存在．點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，1）或（﹣1，7）．【解答】解：（1）∵點(diǎn)B（3，m）在直線l2：y＝x上，∴m＝×3＝4，即m的值為4；（2）①∵m＝4，∴B（3，4），∵直線l1：y＝﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)B（3，4），∴﹣×3+b＝4，∴b＝，∴直線l1的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x+；令y＝0，則0＝﹣x+，解得x＝，∴A（，0），如圖2，過點(diǎn)B作BM⊥OA，垂足為點(diǎn)M，過D作DN⊥OA，垂足為點(diǎn)N，∴∠BMO＝∠AMB＝90°．∵B（3，4），∴OM＝3，BM＝4．∴OB＝＝5，∴AM＝OA﹣OM＝，在Rt△AMB中，AB＝＝，∵OB2+AB2＝52+（）2＝＝（）2＝OA2，∴∠OBA＝90°．∴AB⊥OB，∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠NOD，DB＝DN，∵OD＝OD，∴Rt△ODN≌Rt△ODB（HL）．∴ON＝OB＝5．在直線l1：y＝﹣x+上，令x＝5，得y＝，∴D（5，），設(shè)直線OD的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx．把D（5，）代入，得k＝．∴直線OD的表達(dá)式為y＝x；②存在．如圖3，∵∠DOB＝45°，∠OBA＝90°．∴BD＝OB＝5，∵點(diǎn)D是直線l1：y＝﹣x+上一動點(diǎn)，設(shè)D（n，﹣n+），∴BD2＝（n﹣3）2+（﹣n+﹣4）2＝25，解得n＝7或﹣1，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，1）或（﹣1，7）．模型8：一次函數(shù)存在等角求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例8】如圖，已知函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．（1）直接寫出A、B、C的坐標(biāo)：A（﹣4，0）、B（0，2）、C（4，0）；（2）求直線AB的函數(shù)解析式；（3）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的負(fù)半軸一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)Q．①若△PQB的面積為2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②點(diǎn)M在線段AO上運(yùn)動的過程中，連接BM，若∠BMP＝∠BAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）﹣4，0；0，2；4，0；（2）；（3）①Q(mào)（﹣2，3）；②．【解答】解：（1）對于，令x＝0，得y＝2，則B的坐標(biāo)為B（0，2），令y＝0，得x＝4，則C的坐標(biāo)為C（4，0），∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，∴A的坐標(biāo)為A（﹣4，0），故答案為：﹣4，0；0，2；4，0；（2）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），將A（﹣4，0），B（0，2）代入得：，解得：，∴直線AB的函數(shù)解析式為；（3）①由題意，設(shè)M（m，0），其中m＜0，則OM＝﹣m，∵直線BC的解析式為：；直線AB的解析式為：；∴，，∴，∵，∴，解得：m＝﹣2（舍去正值），將m＝﹣2代入直線BC的解析式，得y＝3，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（﹣2，3）；②如圖所示，由（1）知：A（﹣4，0），B（0，2），C（4，0），∵點(diǎn)M在線段AO上運(yùn)動，∴設(shè)M（x，0），其中﹣4≤x≤0，∴BM2＝x2+4，MC2＝（4﹣x）2，BC2＝20，∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，∴∠BMP＝∠BAC＝∠ACB，∵M(jìn)P∥y軸，∴∠PMC＝90°，∴∠BMP+∠BMC＝∠ACB+∠BMC＝90°，∴當(dāng)∠BMP＝∠BAC時，∠MBC＝90°，∴MB2+BC2＝CM2∴x2+4+20＝（4﹣x）2，解得x＝﹣1，將x＝﹣1代入直線AB的解析式，得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【變式1】如圖1，已知函數(shù)y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．（1）求直線BC的函數(shù)解析式；（2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)Q．①若△PQB的面積為，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②點(diǎn)M在線段AC上，連接BM，如圖2，若∠BMP＝∠BAC，直接寫出P的坐標(biāo)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）對于y＝x+3，由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，∴A（﹣6，0），∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．∴C（6，0）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線BC的函數(shù)解析式為y＝﹣x+3；（2）①設(shè)點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)P（m，m+3），點(diǎn)Q（m，﹣m+3），過點(diǎn)B作BD⊥PQ與點(diǎn)D，則PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，則△PQB的面積＝PQ?BD＝m2＝，解得m＝±，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，3﹣）或（﹣，3+）；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時，∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA，∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，∴BM2+BC2＝MC2，設(shè)M（x，0），則P（x，x+3），∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，∴P（﹣，），如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時，同理可得P（，），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）或（，）．【變式2】如圖①，已知函數(shù)y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．（1）求BC的長．（2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于P，交直線BC于點(diǎn)Q．①若△PQB的面積為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．②連接BM，如圖②，若∠BMP＝∠BAC．直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）3；（2）①點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（，0）；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣，）或（，）．【解答】解：（1）對于y＝x+3，當(dāng)x＝0，y＝3，令y＝x+3＝0，則x＝﹣6，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣6，0）、（0，3），則點(diǎn)C（6，0），由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，BC＝＝3；（2）①由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m+3），點(diǎn)P（m，m+3），則PQ＝|m|，則△PQB的面積＝PQ×|m|＝m2＝，解得：m＝，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（，0）；②∵∠BMP＝∠BAC，∠PBM＝∠MBA，∴△PBM∽△MBA，則MB2＝AB?PM，由①中的點(diǎn)A、B、M、P的坐標(biāo)得，BM2＝m2+9，PB＝|m|，AB＝BC＝3，則m2+9＝|m|×3，解得：m＝（不合題意的值已舍去），即點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣，）或（，）．模型9：一次函數(shù)存在2倍角求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例9】（2023秋?槐蔭區(qū)期末）如圖，直線和直線l2與x軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，且兩直線相交于點(diǎn)C，直線l2與y軸相交于點(diǎn)D（0，﹣4），OA＝2OB．（1）求出直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）E是x軸上一點(diǎn)，若S△ABC＝2S△BCE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若F是直線l1上方且位于y軸上一點(diǎn)，∠ACF＝2∠CAO，判斷△BCF的形狀并說明理由．【答案】（1）y＝2x﹣4；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（5，0）；（3）△BCF是等腰直角三角形，理由見解析．【解答】解：（1）y＝x+2，令y＝0，則0＝x+2得，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∴OA＝4，∵OA＝2OB，∴OB＝2，∴B（2，0），設(shè)直線l2的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+b，將D（0，﹣4）、B（2，0）分別代入y＝kx+b得：，解得，∴直線l2的函數(shù)表達(dá)式為：y＝2x﹣4；（2）∵點(diǎn)C是直線l1和l2的交點(diǎn)，∴，解得，∴C（4，4），∵A（﹣4，0），B（2，0），∴AB＝6．∴△ABC的面積為：×AB×yC＝×6×4＝12，∵S△ABC＝2S△BCE，∴S△BCE＝6，設(shè)E（m，0），∴S△BCE＝×4×|m﹣2|＝6，∴m＝﹣1或5，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（5，0）；（3）△BCF是等腰直角三角形，理由如下：設(shè)直線l1：y＝x+2與y軸相交于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CM∥x軸，∴∠MCA＝∠CAO，CM⊥y軸，N（0，2），∵∠ACF＝2∠CAO，∴∠MCA＝∠MCF＝∠CAO，∵A（﹣4，0），C（4，4），∴OA＝MC＝4，∵∠CMF＝AON，∴△AON≌△CMF（ASA），∴MF＝ON＝2，∴F（0，6），∴CF2＝42+（6﹣4）2＝20，CB2＝42+（4﹣2）2＝20，F(xiàn)B2＝22+62＝40，∴CF2+CB2＝FB2，CF＝CB，∴△BCF是等腰直角三角形．模型10：一次函數(shù)存在等腰直角三角形求動點(diǎn)坐標(biāo)【典例10】（2023秋?新都區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），已知點(diǎn)C（﹣2，0）．（1）求直線l的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線l上一動點(diǎn)，且△BOP和△COP的面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△ABQ是以AB為底的等腰直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x+2；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，4）或（﹣，）；（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）．【解答】解：（1）設(shè)直線l的解析式為y＝kx+b，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得到，解得，∴直線l的表達(dá)式為y＝x+2；（2）如圖1，∵點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（0，2），已知點(diǎn)C（﹣2，0）．∴OB＝2，OC＝2，設(shè)P（p，p+2），∴S△BOP＝×2×|p|＝|p|，S△COP＝×2×|p+2|＝|p+2|．∵△BOP和△COP的面積相等，∴|p+2|＝|p|，解得p＝4或﹣，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，4）或（﹣，）；（3）∵△ABQ是以AB為底的等腰直角三角形，∴∠AQB＝90°，AQ＝BQ，設(shè)Q（m，n），分兩種情形：①點(diǎn)Q在AB上方時，過點(diǎn)Q作QM⊥y軸于M，過點(diǎn)A作AN⊥QM于N，∴∠ANQ＝∠QMB＝90°，∠AQN+∠BQM＝∠AQN+∠QAN＝90°，∴∠QAN＝∠BQM，∵AQ＝BQ，∴△ANQ≌△QMB（AAS），∴AN＝MQ＝﹣m＝n，NQ＝MB＝n﹣2，∵點(diǎn)A（﹣4，0），∴MN＝MQ+NQ＝n+n﹣2＝4，∴n＝3，m＝﹣3，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣3，3）；②點(diǎn)Q在AB下方時，過點(diǎn)Q作QM⊥y軸于M，過點(diǎn)A作AN⊥QM于N，同理得△ANQ≌△QMB（AAS），∴AN＝MQ＝﹣m＝﹣n，NQ＝MB＝2﹣n，∵點(diǎn)A（﹣4，0），∴MN＝MQ+NQ＝﹣n+2﹣n＝4，∴n＝﹣1，m＝﹣1，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）．【變式1】（2023秋?成華區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)B，且與直線l2：交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．（1）求直線l1的解析式；（2）在x軸上取點(diǎn)M，過點(diǎn)M作x軸的垂線交直線l1于點(diǎn)D，交直線l2于點(diǎn)E．若DE＝2，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）在第二象限內(nèi)，是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x+3；（2）M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）；（3）Q的坐標(biāo)為（﹣3，7）或（﹣7，4）或（﹣，）．【解答】解：（1）在y＝x中，令x＝2得y＝，∴C（2，）；設(shè)直線l1的解析式為y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（2，）代入得：，解得，∴直線l1的解析式為y＝x+3；（2）如圖：設(shè)M（m，0），則D（m，m+3），E（m，m），∵DE＝2，∴|m+3﹣m|＝2，∴3﹣m＝2或3﹣m＝﹣2，解得m＝或m＝，∴M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）；（3）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），①當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時，過B作BH⊥y軸于H，如圖：∵△QAB為等腰直角三角形，∴AB＝QB，∠QBA＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠QBH＝∠BQH，∵∠AOB＝90°＝∠QHB，∴△ABO≌△BQH（AAS），∴OA＝BH＝4，OB＝QH＝3，∴OH＝OB+BH＝7，∴Q的坐標(biāo)為（﹣3，7）；②當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時，過Q作QT⊥x軸于T，如圖：同理可得△AQT≌△BAO（AAS），∴AT＝OB＝3，QT＝OA＝4，∴OT＝OA+AT＝7，∴Q的坐標(biāo)為（﹣7，4）；③當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時，過Q作WG⊥y軸于G，過A作AW⊥WG于W，如圖：同理可得△AQW≌△QBG（AAS），∴AW＝QG，QW＝BG，設(shè)Q（p，q），∴，解得，∴Q的坐標(biāo)為（﹣，）；綜上所述，Q的坐標(biāo)為（﹣3，7）或（﹣7，4）或（﹣，）．【變式2】（2023秋?溫江區(qū)期末）如圖1，直線AB的解析式為y＝kx+3，D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C在直線AD上．（1）求直線AB的解析式；（2）如圖2，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使S△ABF＝2S△ABC，若存在求出F點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）點(diǎn)P是直線AB上方第一象限內(nèi)的動點(diǎn)．如圖3，當(dāng)△ABP為等腰直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）直線AB的解析式為y＝﹣2x+3；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝kx+3，得y＝3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），∵D（4，0），∴OA＝3，OD＝4，∵∠AOD＝90°，∴AD＝＝5，∵點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C在直線AD上，∴OA＝AC＝3，OB＝BC，∴CD＝AD﹣AC＝2，設(shè)OB＝BC＝a，則BD＝4﹣a，在Rt△BCD中，∵BD2＝BC2+CD2，∴（4﹣a）2＝a2+22，解得，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，把B代入y＝kx+3，得，解得k＝﹣2，∴直線AB的解析式為y＝﹣2x+3；（2）點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C在直線AD上，得AO＝AC，OB＝CB，∴△AOB≌△ACB（SSS），∴，由題得，∵S△ABF＝2S△ABC，∴BF＝2×，解得BF＝3，∵B，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；（3）①若∠PAB＝90°，AP＝AB，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，垂足為M，∵∠MAP+∠APM＝90°，∠MAP+∠BAO＝90°，∴∠APM＝∠BAO，∵∠PMA＝∠AOB＝90°，PA＝AB，∴△APM≌△BAO（AAS），∴PM＝OA＝3，AM＝OB＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②若∠ABP＝90°，BA＝BP，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠PBM＝90°，∴∠BAO＝∠PBM，∵∠AOB＝∠BMP＝90°，BA＝BP，∴△AOB≌△BMP（AAS），∴BM＝OA＝3，PM＝OB＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；③若∠APB＝90°，PA＝PB，過點(diǎn)P作直線垂直x軸，交x軸于N，過點(diǎn)A作AM⊥PN，垂足為M，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），∵∠APM+∠PAM＝90°，∠APM+∠BPN＝90°，∴∠PAM＝∠BPN，∵∠AMP＝∠PNB＝90°，PA＝PB，∴△APM≌△PBN（AAS），∴AM＝PN，PM＝BN，即，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．【變式3】（2023秋?榆次區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，并與x軸交于點(diǎn)C．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積；（3）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（6，0）、（0，﹣3）；（2）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3，﹣9）或（﹣3，3）．【解答】解：（1）對于y＝x﹣3，當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，當(dāng)y＝x﹣3＝0時，則x＝6，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（6，0）、（0，﹣3）；（2）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y＝﹣x+b得：﹣3＝b，則BC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣3，則點(diǎn)C（﹣3，0）；則△ABC的面積＝AC×OB＝9×3＝；（3）存在，理由：過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，∵△PAB是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則∠PBA＝90°，BP＝BA，∴∠ABO+∠PBQ＝90°，∵∠PBQ+∠BPQ＝90°，∴∠ABO＝∠BPQ＝90°，∵∠AOB＝∠BQP＝90°，BP＝BA，∴△AOB≌△BQP（AAS），∴BQ＝OA＝6，PQ＝OB＝3，∴點(diǎn)P（3，﹣9）；當(dāng)點(diǎn)P（P′）在AB上方時，則點(diǎn)B是PP的中點(diǎn)，則點(diǎn)P′（﹣3，3），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3，﹣9）或（﹣3，3）．綜上所述，若以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，m＝6或4或3．模型11：一次函數(shù)過定點(diǎn)問題【典例11】（2023春?倉山區(qū)校級期末）無論m取任何非零實(shí)數(shù)，一次函數(shù)y＝mx﹣（3m+2）的圖象過定點(diǎn)（）A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）【答案】B【解答】解：∵y＝mx﹣（3m+2），整理得：3m+2＝mx﹣y，要想這個式子恒成立，那么mx＝3m，﹣y＝2，∴x＝3，y＝﹣2．故選：B．2．（2023秋?廬陽區(qū)期末）已知函數(shù)y＝（k﹣3）x+k．（1）該函數(shù)圖象經(jīng)過定點(diǎn)（﹣1，3）．（2）如果直線y＝（k﹣3）x+k不經(jīng)過第三象限，則k的范圍是0≤k＜3．【答案】（1）（﹣1，3）；（2）0≤k＜3．【解答】解：（1）∵y＝（k﹣3）x+k＝k（x+1）﹣3x，∴該函數(shù)過定點(diǎn)（﹣1，3）．故答案為：