新八年級數(shù)學(xué)講義第5講等腰三角形-提高班(學(xué)生版+解析)

第5講等腰三角形

1等腰三角形一、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點(diǎn)詮釋：等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．2.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．【例題精選】例1(2023秋?盧龍縣期末）已知等腰三角形的一邊長為2，周長為8，那么它的腰長為（）A．2 B．3 C．2或3 D．不能確定例2(2023秋?崇川區(qū)期末）若等腰三角形的兩邊長分別為5和11，則這個(gè)等腰三角形的周長為（）A．21 B．22或27 C．27 D．21或27【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?青龍縣期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，連接BD，∠A＝45°，則∠DBC的度數(shù)為（）A．22.5° B．25° C．27.5° D．30°2．(2023秋?富陽區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，DE是AC邊的垂直平分線，則∠BAE的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．45° D．40°3．(2023?和平區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一條角平分線，若AB＝13．AD＝12．則BC的長為_______．2等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.【例題精選】例1(2023秋?渝北區(qū)期末）若C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C有（）個(gè)．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)例2(2023秋?泉州期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．在射線BC上取一點(diǎn)D，使得△ABD為等腰三角形，這樣的等腰三角形有幾個(gè)？（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?睢寧縣期中）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B在格點(diǎn)上，要找一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），則圖中符合條件的格點(diǎn)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．(2023秋?河西區(qū)期中）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是銳角三角形 C．△ABC是等腰三角形 D．∠A和∠B互余3.等邊三角形一、等邊三角形

等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點(diǎn)詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．二、等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.三、等邊三角形的判定

等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【例題精選】例1(2023秋?綿陽期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E使CE＝CD，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?思明區(qū)校級期中）三個(gè)等邊三角形的擺放位置如圖，若∠3＝60°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）°A．150 B．120 C．90 D．804.含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)詮釋：這個(gè)定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.【例題精選】例1(2023秋?扎魯特旗期末）如圖，∠AOB＝30°，P是角平分線上的點(diǎn)，PM⊥OB于點(diǎn)M，PN∥OB交OA于點(diǎn)N，若PM＝1，則PN＝_______．例2(2023春?渭南期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點(diǎn)，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的長．【隨堂練習(xí)】1．(2023?英德市一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝18，則AC＝_________．2．(2023秋?潮州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3，則線段BD的長為________．綜合練習(xí)一．選擇題（共3小題）1．如圖，已知點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（1，1），在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C共有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．10個(gè)2．如圖所示，在△PMN中，∠P＝36°，PM＝PN＝12，MQ平分∠PMN交PN于點(diǎn)Q，延長MN至點(diǎn)G，取NG＝NQ，若MQ＝a，則NG的長是（）A．a(chǎn) B．12﹣a C．12+a D．12+2a3．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，則BC等于（）A．2 B． C． D．8二．解答題（共3小題）4．在△ABC中，AB＝AC，M是邊BC的中點(diǎn)，BD平分∠ABC，交AM于E，交AC于D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度數(shù)的大小5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，BD＝AD＝AC，E為CD的中點(diǎn)．若∠B＝35°，求∠CAE度數(shù)．6．如圖，已知D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，CD＝AB，（1）若∠BDA＝∠BAD，∠B＝60°，求∠C的大小；（2）若AE既是△ABD的高又是角平分線，∠B＝54°，求∠C的大?。?講等腰三角形

1等腰三角形一、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點(diǎn)詮釋：等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．2.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．【例題精選】例1(2023秋?盧龍縣期末）已知等腰三角形的一邊長為2，周長為8，那么它的腰長為（）A．2 B．3 C．2或3 D．不能確定分析：已知等腰三角形有一條邊長為2，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解答】解：當(dāng)腰長為2時(shí)，底邊長為8﹣2×2＝4，三角形的三邊長為2，2，4，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)走呴L為2時(shí)，腰長為（8﹣2）÷2＝3，三角形的三邊長為3，3，2，能構(gòu)成三角形；所以等腰三角形的腰長為3．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．例2(2023秋?崇川區(qū)期末）若等腰三角形的兩邊長分別為5和11，則這個(gè)等腰三角形的周長為（）A．21 B．22或27 C．27 D．21或27分析：根據(jù)①11是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為11、11、5，②11是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為11、5、5，分別計(jì)算即可．【解答】解：①11是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為11、11、5，能組成三角形，周長＝11+11+5＝27；②11是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為11、5、5，∵5+5＝10＜11，∴不能組成三角形，綜上所述，三角形的周長為27．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形兩腰長相等的性質(zhì)，要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?青龍縣期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，連接BD，∠A＝45°，則∠DBC的度數(shù)為（）A．22.5° B．25° C．27.5° D．30°【解答】解：∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；∵∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝67.5°﹣45°＝22.5°；故選：A．2．(2023秋?富陽區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，DE是AC邊的垂直平分線，則∠BAE的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．45° D．40°【解答】解：設(shè)∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，，又∵AC邊的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠C＝x°，∴∠AEB＝2∠C＝2x°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠CAE＝（180﹣3x）°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝180﹣3x+x＝（180﹣2x）°，∵∠BAC＝100°，∴180﹣2x＝100，解得：x＝40，∴∠BAE＝∠BAE﹣∠CAE＝60°．故選：A．3．(2023?和平區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一條角平分線，若AB＝13．AD＝12．則BC的長為_______．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝13，AD是角平分線，AD＝12，∴BC＝2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+122＝132，解得BD＝5，∴BC＝10．故答案為：10．2等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.【例題精選】例1(2023秋?渝北區(qū)期末）若C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C有（）個(gè)．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)分析：根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．【解答】解：如圖：分情況討論．①AB為等腰△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有2個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有2個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的判定，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識來求解，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．例2(2023秋?泉州期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．在射線BC上取一點(diǎn)D，使得△ABD為等腰三角形，這樣的等腰三角形有幾個(gè)？（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)分析：分三種情況討論：①如圖1，當(dāng)AB＝AD時(shí)；如圖2，當(dāng)AB＝BD時(shí)；如圖3，當(dāng)AB為底時(shí)，AD＝BD．【解答】解：①如圖1，當(dāng)AB＝AD時(shí)，得△ABD的等腰三角形．②如圖2，當(dāng)AB＝BD時(shí)，△ABD是等腰三角形；③如圖3，當(dāng)AB為底時(shí)，AD＝BD時(shí)，△ABD是等腰三角形．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是正確認(rèn)識到需要討論，討論等腰三角形的邊應(yīng)如何分類．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?睢寧縣期中）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B在格點(diǎn)上，要找一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），則圖中符合條件的格點(diǎn)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【解答】解：如圖所示：①若AB＝BC，則符合要求的有：C1，C2，C3共4個(gè)點(diǎn)；②若AB＝AC，則符合要求的有：C4，C5共2個(gè)點(diǎn)；若AC＝BC，則不存在這樣格點(diǎn)．∴這樣的C點(diǎn)有5個(gè)．故選：D．2．(2023秋?河西區(qū)期中）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是銳角三角形 C．△ABC是等腰三角形 D．∠A和∠B互余【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45，∴∠C＝90°，即△ABC是等腰直角三角形，∠A和∠B互余故選：B．3.等邊三角形一、等邊三角形

等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點(diǎn)詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．二、等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.三、等邊三角形的判定

等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【例題精選】例1(2023秋?綿陽期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E使CE＝CD，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)分析：根據(jù)等腰三角形的定義得到△EDC是等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形和三角形外角性質(zhì)求出BD＝DE，即可證得△BDE是等腰三角形．【解答】解：∵CD＝CE，∴∠E＝∠EDC，∴CE＝CD，∴△EDC是等腰三角形；∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠E＝30°，∵△ABC是等邊三角形，BD是高，∴∠DBC＝30°，∴∠E＝∠DBC，∴DB＝DE，∴△BDE是等腰三角形，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE＝BD．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?思明區(qū)校級期中）三個(gè)等邊三角形的擺放位置如圖，若∠3＝60°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）°A．150 B．120 C．90 D．80【解答】解：∵圖中是三個(gè)等邊三角形，∠3＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，∴∠1+∠2＝120°．故選：B．4.含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)詮釋：這個(gè)定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.【例題精選】例1(2023秋?扎魯特旗期末）如圖，∠AOB＝30°，P是角平分線上的點(diǎn)，PM⊥OB于點(diǎn)M，PN∥OB交OA于點(diǎn)N，若PM＝1，則PN＝_______．分析：過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PE＝PM，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠POM＝∠OPN，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠PNE＝∠AOB，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，∵OP是∠AOB的平分線，∴PE＝PM，∵PN∥OB，∴∠POM＝∠OPN，∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝30°，∴PN＝2PE＝2PM＝2×1＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形是解題的關(guān)鍵．例2(2023春?渭南期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點(diǎn)，∠BCD＝∠A＝30°，BC＝4cm，求AD的長．分析：根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BC和BD，再相減即可．【解答】解：∵△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4cm，∴AB＝2BC＝8cm，∠B＝60°，∵∠BCD＝∠A＝30°，∴∠B+∠BCD＝60°+30°＝90°，∴∠CDB＝90°，∴BD＝BC＝2cm，∴AD＝AB﹣BD＝8cm﹣2cm＝6cm．【點(diǎn)評】本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，如果有一個(gè)角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．【隨堂練習(xí)】1．(2023?英德市一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝18，則AC＝_________．分析：根據(jù)含30°的直角三角形的三邊關(guān)系解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝18，∴AC＝2AB＝36，故答案為：36．【點(diǎn)評】此題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．2．(2023秋?潮州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3，則線段BD的長為________．【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，∵AD＝3，∴AC＝2AD＝6，∴AB＝2AC＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣3＝9，故答案為：9．綜合練習(xí)一．選擇題（共3小題）1．如圖，已知點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（1，1），在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C共有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．10個(gè)【解答】解：如圖所示：以A為圓心，AB長為半徑，C點(diǎn)有4個(gè)；以B為圓心，AB長為半徑，C點(diǎn)有4個(gè)；以AB線段垂直平分線交坐標(biāo)軸有2個(gè)；故C點(diǎn)有10個(gè)，故選：D．2．如圖所示，在△PMN中，∠P＝36°，PM＝PN＝12，MQ平分∠PMN交PN于點(diǎn)Q，延長MN至點(diǎn)G，取NG＝NQ，若MQ＝a，則NG的長是（）A．a(chǎn) B．12﹣a C．12+a D．12+2a【解答】解：∵在△PMN中，∠P＝36°，∴∠PMN＝∠PNM＝