初中數(shù)學試題大全（八十）圖形的旋轉(zhuǎn)中檔題

80初中數(shù)學組卷：圖形的旋轉(zhuǎn)中檔題

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，在Rt^ABC中，NBAC=90。，將^ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的

△AB'C'（點B的對應(yīng)點是點B，，點C的對應(yīng)點是點C）,連接CC.若NCC'B'=32°,

則NB的大小是（）

A.32°B.64°C.77°D.87°

2.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形AB?Di，

邊BEi與CD交于點。，則四邊形ABQD的面積是（）

B.工C.回

AD.V2-1

4162

3.如圖，正方形OABC繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)40。得到正方形ODEF,連接AF,則

ZOFA的度數(shù)是（）

4.如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)至矩形ABCD，位置，此時AC的中點恰好與D

點重合，AB咬CD于點E.若AB=3,則4AEC的面積為（）

A.3B.1.5C.2JsD.M

5.如圖，將Rt^ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△AEC,連接AAZ,若

Zl=20°,則NB的度數(shù)是（）

A.70°B.65°C.60°D.55°

6.在如圖所示的平面直角坐標系中，AOAiBi是邊長為2的等邊三角形，作△

B2A2B1與△OAiBi關(guān)于點Bi成中心對稱，再作AB2A3B3與AB2A2B1關(guān)于點B2成中

心對稱，如此作下去，則AB2nA2n,lB2n,l（n是正整數(shù)）的頂點A2n+1的坐標是（）

姝

公4

。|8V828V

4A,

A.（4n-1,折B.（2n-1,后c-（4n+l,折D.（2n+l,后

7.如圖，小明家的住房平面圖呈長方形，被分割成3個正方形和2個長方形后

仍是中心對稱圖形.若只知道原住房平面圖長方形的周長，則分割后不用測量就

能知道周長的圖形的標號為（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

8.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,將^ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使

點c落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，則B、D兩點間的距離為（)

A.V10B.2如C.3D.2海

9.如圖所示，將一個含30。角的直角三角板ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，使得點B,A,U

在同一條直線上，則三角板ABC旋轉(zhuǎn)的角度是（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

10.一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點D恰好放在等腰直角三角

形的斜邊上，AC與DM,DN分別交于點E,F,把4DEF繞點D旋轉(zhuǎn)到一定位置,

使得DE=DF,則NBDN的度數(shù)是（）

二.填空題（共10小題）

11.如圖，已知Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,將^ABC繞直角頂點C

順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△口￡（：.若點F是DE的中點，連接AF,則AF=.

12.如圖，將4ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到^AED,若線段AB=3,則

BE=

13.若點（a,1）與（-2,b）關(guān)于原點對稱，則ab=.

14.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到

線段AQ,連接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,則四邊形APBQ的面積為.

15.若將等腰直角三角形AOB按如圖所示放置，OB=2,則點A關(guān)于原點對稱的

點的坐標為.

16.如圖，把AABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35。，得到△AEC,AB交AC于點

17.已知，正六邊形ABCDEF在直角坐標系內(nèi)的位置如圖所示，A（-2,0）,點

B在原點，把正六邊形ABCDEF沿x軸正半軸作無滑動的連續(xù)翻轉(zhuǎn),每次翻轉(zhuǎn)60°,

經(jīng)過2015次翻轉(zhuǎn)之后，點B的坐標是

18.如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，ZEAF=45°,AECF

的周長為4,則正方形ABCD的邊長為.

19.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是AB、BC邊上的點，且N

EDF=45。，將^DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△DCM.若AE=1,則FM的長

為_______

20.在平面直角坐標系中，以原點為中心，把點A(4,5)逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得

到的點A的坐標為

三.解答題(共10小題)

21.如圖，△ABC中，AB=AC=1,NBAC=45°,Z\AEF是由aABC繞點A按順時針

方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點D.

(1)求證：BE=CF；

(2)當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長.

22.如圖，正方形ABCD與正方形AiBiGDi關(guān)于某點中心對稱，已知A,必，D

三點的坐標分別是(0,4),(0,3),(0,2).

(1)求對稱中心的坐標.

(2)寫出頂點B,C,Bi，J的坐標.

△ABC是等邊三角形，點P為射線AD上任意一點

(點P與點A不重合)，連結(jié)CP,將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CQ,

連結(jié)QB并延長交直線AD于點E.

(1)如圖1,猜想NQEP=

(2)如圖2,3,若當NDAC是銳角或鈍角時，其它條件不變，猜想NQEP的度

數(shù)，選取一種情況加以證明;

24.如圖，點O是等邊4ABC內(nèi)一點,ZAOB=110",ZBOC=a.將△BOC繞點C

按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得^ADC,連接0D.

(1)求證：acoD是等邊三角形；

(2)當a=150。時，試判斷AAOD的形狀，并說明理由;

(3)探究：當a為多少度時，AAOD是等腰三角形？

25.如圖，已知ABAD和ABCE均為等腰直角三角形，NBAD=NBCE=90。，點M

為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N.

(1)當A,B,C三點在同一直線上時(如圖1),求證：M為AN的中點；

(2)將圖1中的4BCE繞點B旋轉(zhuǎn)，當A,B,E三點在同一直線上時(如圖2),

求證：4人0\1為等腰直角三角形；

(3)將圖1中4BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，(2)中的結(jié)論是否仍成立？若

成立，試證明之，若不成立，請說明理由.

圖1圖2圖3

26.如圖，在平面直角坐標系中，已知^ABC的三個頂點的坐標分別為A(-3,

5),B(-2,1),C(-1,3).

(1)若^ABC經(jīng)過平移后得到△AiBiJ,已知點J的坐標為(4,0),寫出頂點

A1；Bi的坐標;

(2)若4ABC和2c2關(guān)于原點O成中心對稱圖形，寫出4A2B2c2的各頂點

的坐標；

(3)將^ABC繞著點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到4A3B3c3，寫出4A3B3c3的各

頂點的坐標.

27.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,將^ABC繞點C按順時針方向

旋轉(zhuǎn)n度后，得到△口￡（：,點D剛好落在AB邊上.

（1）求n的值；

（2）若F是DE的中點，判斷四邊形ACFD的形狀，并說明理由.

28.在4ABC中，AB=AC,ZA=60°,點D是線段BC的中點，ZEDF=120°,DE

與線段AB相交于點E.DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F.

（1）如圖1,若DFLAC,垂足為F,AB=4,求BE的長；

（2）如圖2,將（1）中的NEDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段

AC相交于點F.求證：BE+CF=LXB；

2

（3）如圖3,將（2）中的NEDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與

線段AC的延長線相交于點F,作DNLAC于點N,若DN^AC于點N,若DN=FN,

求證：BE+CF=V3（BE-CF）.

29.如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把^ADE順時針旋轉(zhuǎn)4ABF的

位置.

（1）旋轉(zhuǎn)中心是點,旋轉(zhuǎn)角度是度；

（2）若連結(jié)EF,則4AEF是三角形；并證明；

（3）若四邊形AECF的面積為25,DE=2,求AE的長.

30.如圖，4BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點B旋轉(zhuǎn)60。而得，且AB，BC,BE=CE,

連接DE.

（1）求證：^BDE話^BCE；

（2）試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由.

80初中數(shù)學組卷：圖形的旋轉(zhuǎn)中檔題

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2015?哈爾濱）如圖，在RtaABC中,ZBAC=90",將△ABC繞點A順時針旋

轉(zhuǎn)90。后得到的△ABC（點B的對應(yīng)點是點點C的對應(yīng)點是點C）,連接CC.若

NCCB，=32。，則NB的大小是（）

B'\

BA

A.32°B.64°C.77°D.87°

【分析】旋轉(zhuǎn)中心為點A,C、U為對應(yīng)點，可知AC=AC,又因為NCAC=90。，根

據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出NCEA的度數(shù)，進而求出NB的度數(shù).

【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC=AC,

VZCAC=90°,可知△CAC為等腰直角三角形，則NCUA=45。.

VZCC/B,=32°,

ZCEA=ZC,CA+ZCC,B,=45°+32O=77°,

VZB=ZC,B,A,

AZB=77°,

故選C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線

段相等.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì).

2.（2015?棗莊）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。后得到正

方形ABiGDi，邊B?與CD交于點O,則四邊形ABQD的面積是（）

C,

B._LC.近7D.A/2-1

A.3

4162

【分析】連接AJ,AO,根據(jù)四邊形ABiJDi是正方形，得出NCiABi=NAJBi=45。,

求出NDABi=45。，推出A、D、J三點共線，在RtACiDiA中，由勾股定理求出

AJ,進而求出DCFOD,根據(jù)三角形的面積計算即可.

【解答】方法一：

解：連接AC。

四邊形ABiCiDi是正方形，

ZCiABi=lx90°=45°=ZACiBi，

2

：邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形ABiCiDi

AZBiAB=45°,

AZDABi=90°-45°=45°,

；.ACi過D點,即A、D、Ci三點共線,

,正方形ABCD的邊長是1,

四邊形ABiCiDi的邊長是1,

在RQJD1A中，由勾股定理得：AC氣/]2+11我,

則DJ=&-1,

：NACiBi=45°,ZCiDO=90°,

AZCiOD=45°=ZDCiO,

/?DCI=OD=-72-1，

1

SAAD0=—XOD?AD-^~.,

22

I.四邊形ABiOD的面積是=2X與1,

方法二：

解：,??四邊形ABCD是正方形，

.\AC=V2，ZOCBi=45°,

CBi=OBi

VABi=l,

/.CBi=OBi=AC-ABi=^/2_L

.』OBIC=L?OBI?CBI=L（V2-1）2,

22

?；SAADC=X^D?AC=^X1X1=1,

222

?'?S四邊形AB10D二SZ\ADC-SA0B1C=1-1（V2-1）2=我_1；

22

故選：D.

【點評】本題考查了正方形性質(zhì)，勾股定理等知識點，主要考查學生運用性質(zhì)進

行計算的能力，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.（2015?曲靖）如圖，正方形OABC繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)40。得到正方形ODEF,

連接AF,則NOFA的度數(shù)是（）

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NAOF的度數(shù)，OA=OF,再根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)即可求得NOFA的度數(shù).

【解答】解：?.?正方形OABC繞著點0逆時針旋轉(zhuǎn)40。得到正方形ODEF,

AZAOF=90°+40°=130°,OA=OF,

AZOFA=（180°-130°）4-2=25°.

故選：c.

【點評】考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)

中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.同時考查了正方形

的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì).

4.（2015?撫順）如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)至矩形ABID位置，此時AC

的中點恰好與D點重合，AB，交CD于點E.若AB=3,則4AEC的面積為（）

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)后AC的中點恰好與D點重合，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到直角三角

形ACD中，ZACD=30°,再由旋轉(zhuǎn)后矩形與已知矩形全等及矩形的性質(zhì)得到NDAE

為30。，進而得到NEAC=NECA,利用等角對等邊得到AE=CE,設(shè)AE=CE=x,表示

出AD與DE,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定

出EC的長，即可求出三角形AEC面積.

【解答】解：：旋轉(zhuǎn)后AC的中點恰好與D點重合，即AD=1AC=1JXC,

22

.?.在Rt^ACD中，ZACD=30°,即NDAC=60°,

ZDAD=60°,

AZDAE=30",

AZEAC=ZACD=30",

；.AE=CE,

在Rt^ADE中，設(shè)AE=EC=x,則有DE=DC-EC=AB-EC=3-x,AD=^X3=?,

3

根據(jù)勾股定理得：X2=(3-x)2+(V3)2,

解得：x=2,

AEC=2,

則SMECJEC?AD=E，

2

故選：D.

【點評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及

等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.

5.（2014?義烏市）如圖，將RtAABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AEC,

連接AA,若N1=20。，則NB的度數(shù)是（）

A.70°B.65°C.60°D.55°

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC,然后判斷出AACA是等腰直角三角形，根

據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NCAA=45。，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不

相鄰的兩個內(nèi)角的和求出NAEC,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NB=NAEC.

【解答】解：：RtAABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△AEC,

，AC=A'C,

...△ACA是等腰直角三角形，

，NCAA'=45°,

NA'B'C=Nl+NCAA'=20°+45°=65°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NB=NAEC=65。.

故選：B.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個

外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)

鍵.

6.（2015?慶陽）在如圖所示的平面直角坐標系中，△OAiBi是邊長為2的等邊

三角形，作AB2A2B1與△OAiBi關(guān)于點Bi成中心對稱，再作AB2A3B3與AB2A2B1

關(guān)于點B2成中心對稱,如此作下去，則AB2nA24隹2記1（n是正整數(shù)）的頂點A2n+1

的坐標是（）

A.（4n-1,?）B.（2n-1,舊）C.（4n+l,?）D.（2n+l,?）

【分析】首先根據(jù)△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，可得心的坐標為（1,V3）?

Bi的坐標為（2,0）；然后根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，分別求出點A?、A3、A4的坐標

各是多少；最后總結(jié)出An的坐標的規(guī)律，求出A2m的坐標是多少即可.

【解答】解：???△OA1B1是邊長為2的等邊三角形，

；.Ai的坐標為（1,如）,Bi的坐標為（2,0）,

AB2A2B1與△OA1B1關(guān)于點Bi成中心對稱，

點A2與點Ai關(guān)于點Bi成中心對稱,

V2X2-1=3,2X0-舟-M，

???點A2的坐標是（3,-V5）,

：△B2A3B3與△B2A2Bi關(guān)于點B2成中心對稱，

???點A3與點A2關(guān)于點B2成中心對稱，

?.?2X4-3=5,2X0-（-?）=6，

點A3的坐標是（5,

...△83人484與483人382關(guān)于點B3成中心對稱，

點A4與點A3關(guān)于點B3成中心對稱，

V2X6-5=7,2X0-V3=-V3-

點A4的坐標是（7,-遮），

V1=2X1-1,3=2X2-1,5=2X3-1,7=2X3-1,

.?.An的橫坐標是2n-1,A2n+i的橫坐標是2（2n+l）-l=4n+l,

???當n為奇數(shù)時，4的縱坐標是當n為偶數(shù)時，飛的縱坐標是一遮,

頂點A2n+i的縱坐標是百，

.,.△B2nA2n+1B2n+i（n是正整數(shù)）的頂點A2n+i的坐標是（4n+l,?）.

故選：C.

【點評】此題主要考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)問題，要熟練掌握，解答此題的

關(guān)鍵是分別判斷出An的橫坐標、縱坐標各是多少.

7.(2015?寧波)如圖，小明家的住房平面圖呈長方形，被分割成3個正方形和

2個長方形后仍是中心對稱圖形.若只知道原住房平面圖長方形的周長，則分割

后不用測量就能知道周長的圖形的標號為()

①

②

③

②

①

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【分析】首先設(shè)圖形①的長和寬分別是a、c,圖形②的邊長是b,圖形③的邊長

是d,原來大長方形的周長是I,判斷出1=2(a+2b+c),a=b+d,b=c+d；然后分

別判斷出圖形①、圖形②的周長都等于原來大長方形的周長的L,所以它們的周

2

長不用測量就能知道，而圖形③的周長不用測量無法知道，據(jù)此解答即可.

①

③d②

②6①

ba

【解答】解：如圖1,圖1,

設(shè)圖形①的長和寬分別是a、c,圖形②的邊長是b,圖形③的邊長是d,原來大

長方形的周長是I,

則1=2(a+2b+c),

根據(jù)圖示，可得

[a=b+d…⑴

fb=c+d…(2)

(1)-(2),可得：a-b=b-c,

2b=a+c,

A1=2(a+2b+c)=2X2(a+c)=4(a+c),或1=2(a+2b+c)=2X4b=8b,

2(a+c)=X,4b=—,

22

???圖形①的周長是2(a+c),圖形②的周長是4b,上的值一定，

2

圖形①②的周長是定值，不用測量就能知道，圖形③的周長不用測量無法知道.

...分割后不用測量就能知道周長的圖形的標號為①②.

故選：A.

【點評】此題主要考查了中心對稱的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵

是要明確中心對稱的性質(zhì)：①關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；②關(guān)于中

心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.

8.（2016?宜賓）如圖，在ZXABC中,ZC=90°,AC=4,BC=3,將^ABC繞點A逆

時針旋轉(zhuǎn)，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，則B、D兩點間

的距離為（）

C

A.V1QB.2-./2C.3D.2、而

【分析】通過勾股定理計算出AB長度，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出各對應(yīng)線段長度，利

用勾股定理求出B、D兩點間的距離.

【解答】解：：在^ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

；.AB=5,

..,將4ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D

處，

；.AE=4,DE=3,

.\BE=1,

在RtABED中，

BD=7BE2+DE2=^-

故選：A.

【點評】題目考查勾股定理和旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)

的基本性質(zhì)，特別是線段之間的關(guān)系.題目整體較為簡單，適合隨堂訓練.

9.（2016?新疆）如圖所示，將一個含30。角的直角三角板ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，使

得點B,A,C在同一條直線上，則三角板ABC旋轉(zhuǎn)的角度是（

A.60°B.90°C.120°D.150°

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義，兩對應(yīng)邊的夾角就是旋轉(zhuǎn)角，即可求解.

【解答】解：旋轉(zhuǎn)角是NCAC=180。-30°=150°.

故選：D.

【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于

旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵.

10.（2015?青海）一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點D恰好放在

等腰直角三角形的斜邊上，AC與DM,DN分別交于點E,F,把4DEF繞點D旋

轉(zhuǎn)到一定位置，使得DE=DF,則NBDN的度數(shù)是（）

A.105°B.115℃.120°D.135°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和特殊直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

【解答】解：：DE=DF,NEDF=30°,

ZDFC=1（180°-ZEDF）=75°,

2

VZC=45",

ZBDN=ZDFC+ZC=75°+45°=120°,

故選C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確

的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共10小題）

11.（2015?揚州）如圖，已知RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,將"BC

繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△口￡（：.若點F是DE的中點，連接AF,則AF=

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，EC=BC=4,DC=AC=6,ZACD=ZACB=90°,由點F是

DE的中點，可求出EG、GF,因為AE=AC-EC=2,可求出AG,然后運用勾股定

理求出AF.

【解答】解：作FGXAC,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，EC=BC=4,DC=AC=6,NACD=NACB=90°,

?點F是DE的中點,

AFG//CD

/.GF=l.CD=ljXC=3

22

EG=.LEC=XBC=2

22

VAC=6,EC=BC=4

，AE=2

AAG=4

根據(jù)勾股定理，AF=5.

【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)、勾股定理的綜合運用,

作垂線構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

12.（2015?湘潭）如圖，將4ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到^AED,若線段AB=3,

則BE=3.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NBAE=60。，AB=AE,得出^BAE是等邊三角形，進

而得出BE=3即可.

【解答】解：?.?將^ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到^AED,

AZBAE=60°,AB=AE,

/.△BAE是等邊三角形，

；.BE=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分

別相等，圖形的大小、形狀都不改變.要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點-旋轉(zhuǎn)中心；

②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度.

13.（2015?西寧）若點（a,1）與（-2,b）關(guān)于原點對稱，則ab=1.

—_2-

【分析】平面直角坐標系中任意一點P（x,y）,關(guān)于原點的對稱點是（-x,-y）,

即：求關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數(shù).記憶方法是結(jié)合平面直角坐

標系的圖形記憶.

【解答】解：???點（a,1）與（-2,b）關(guān)于原點對稱，

b=-1,8=2,

b-1

.?.a=2=l.

2

故答案為：1.

2

【點評】此題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標,這一類題目是需要識記的基礎(chǔ)題,

記憶時要結(jié)合平面直角坐標系.

14.（2016?達州）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AP繞點A順時針

旋轉(zhuǎn)60。得到線段AQ,連接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,則四邊形APBQ的面

積為24+9立.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=PQ=6,NPAQ=60。，則可判斷△APQ為等邊三角形，所以

PQ=AP=6,接著證明△APC咨△ABQ得到PC=QB=10,然后利用勾股定理的逆定理

證明^PBCi為直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式，利用S四邊形APBQ=SABPQ+SAAPQ

進行計算.

【解答】解：連結(jié)PQ,如圖，

?.?△ABC為等邊三角形，

AZBAC=60°,AB=AC,

???線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AQ,

，AP=PQ=6,NPAQ=60°,

...△APQ為等邊三角形，

，PQ=AP=6,

VZCAP+ZBAP=60°,ZBAP+ZBAQ=60°,

AZCAP=ZBAQ,

在AAPC和△ABQ中，

'AC=AB

-NCAP=/BAQ，

、AP=AQ

.?.△APC四△ABQ,

.*.PC=QB=10,

在△BPQ中，VPB2=82=64,PQ2=62,BQ2=102,

而64+36=100,

.*.PB2+PQ2=BQ2,

...△PBQ為直角三角形，NBPQ=90°,

2

S四邊形APBQ=SABPQ+SAAPQ=LX6X8+XAx6=24+9/3,

24

故答案為24+9A/3.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)

中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了勾股定理和

等邊三角形的性質(zhì).

15.（2015?青海）若將等腰直角三角形AOB按如圖所示放置，OB=2,則點A關(guān)

于原點對稱的點的坐標為（-1,-1）?

【分析】過點A作ADXOB于點D,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OD及AD

的長，故可得出A點坐標，再由關(guān)于原點對稱的點的坐標特點即可得出結(jié)論.

【解答】解：過點A作ADLOB于點D,

???△AOB是等腰直角三角形，OB=2,

.,.OD=AD=1,

AA（1,1）,

點A關(guān)于原點對稱的點的坐標為（-1,-1）.

故答案為（-1,-1）.

【點評】本題考查的是關(guān)于原點對稱的點的坐標特點，熟知等腰直角三角形的性

質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

16.（2014?梅州）如圖，把^ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35。，得到△ABC,

AB交AC于點D.若NA'DC=90°,則NA=55°

【分析】根據(jù)題意得出NACA=35。，則NA=90。-35。=55。，即可得出NA的度數(shù).

【解答】解：:把aABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35。,得到△AEC,A'B'交AC

于點D,ZA,DC=90°,

NACA'=35°,貝l|NA'=90°-35°=55°,

則NA=NA'=55°.

故答案為:55°.

【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，得出NA

的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

17.（2015?衢州）已知，正六邊形ABCDEF在直角坐標系內(nèi)的位置如圖所示，A

（-2,0）,點B在原點，把正六邊形ABCDEF沿x軸正半軸作無滑動的連續(xù)翻

轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60。，經(jīng)過2015次翻轉(zhuǎn)之后，點B的坐標是（4031,立）.

【分析】根據(jù)正六邊形的特點，每6次翻轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組循環(huán)，用2015除以6,

根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出點B的位置，然后求出翻轉(zhuǎn)前進的距離，過點B作

BG，x于G,求出NBAG=60。，然后求出AG、BG,再求出OG,然后寫出點B的

坐標即可.

【解答】解：???正六邊形ABCDEF沿x軸正半軸作無滑動的連續(xù)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)

60°,

???每6次翻轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組循環(huán)，

：2015+6=335余5,

經(jīng)過2015次翻轉(zhuǎn)為第336循環(huán)組的第5次翻轉(zhuǎn)，點B在開始時點C的位置，

VA(-2,0),

；.AB=2,

翻轉(zhuǎn)前進的距離=2X2015=4030,

如圖，過點B作BG，x于G,則NBAG=60。，

所以，AG=2X1=1,

2

BG=2X立=4，

2

所以，OG=4030+1=4031,

所以，點B的坐標為(4031,?).

故答案為：(4031,V3).

【點評】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，正六邊形的性質(zhì)，確定出最后點B

所在的位置是解題的關(guān)鍵，難點在于作輔助線構(gòu)造出直角三角形.

18.(2014?綿陽)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，Z

EAF=45°,AECF的周長為4,則正方形ABCD的邊長為二

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NEAF=45。，進而得出△FAE/^EAF,即可得出

EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=4,得出正方形邊長即可.

【解答】解：將4DAF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度到^BAF位置，

由題意可得出：4DAF之△BAF',

.\DF=BF,,NDAF=/BAF',

...NEAF'=45°,

在AFAE和^EAF,中

'AF=AF'

<NFAE=/EAF'，

,AE=AE

.,.△FAE^AEAF,(SAS),

.?.EF=EF',

VAECF的周長為4,

.?.EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=DF+FC+BC=4,

；.2BC=4,

BC=2.

故答案為：2.

【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出

△FAE咨4EAF'是解題關(guān)鍵.

19.(2016?西寧)如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是AB、BC邊

上的點，且NEDF=45。，將^DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△DCM.若AE=1,

則FM的長為5.

【分析】由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM,NEDM為直角，可得出NEDF+NMDF=90。，由N

EDF=45°,得到NMDF為45°,可得出NEDF=NMDF,再由DF=DF,利用SAS可得

出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出EF=MF；

則可得到AE=CM=1,正方形的邊長為3,用AB-AE求出EB的長，再由BC+CM

求出BM的長，設(shè)EF=MF=x,可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x,在直角三角形

BEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為FM

的長.

【解答】解：:△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△DCM,

AZFCM=ZFCD+ZDCM=180°,

??.F、C、M三點共線，

.?.DE=DM,NEDM=90°,

AZEDF+ZFDM=90°,

VZEDF=45°,

AZFDM=ZEDF=45°,

在Z^DEF和△DMF中，

'DE=DM

-ZEDF=ZFDM-

,DF=DF

.,.△DEF^ADMF(SAS),

，EF=MF,

設(shè)EF=MF=x,

VAE=CM=1,且BC=3,

???BM=BC+CM=3+1=4,

??.BF=BM-MF=BM-EF=4-x,

VEB=AB-AE=3-1=2,

在RtAEBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2,

即2?+(4-x)2=x2,

解得：x=5,

2

FM巨

2

故答案為：A.

2

【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以

及勾股定理.此題難度適中，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形

結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

20.(2015?濟寧)在平面直角坐標系中，以原點為中心，把點A(4,5)逆時針

旋轉(zhuǎn)90°,得到的點A的坐標為(-5,4)

【分析】首先根據(jù)點A的坐標求出OA的長度，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的

位置，不改變圖形的形狀與大小，可得OA，=OA,據(jù)此求出點A的坐標即可.

【解答】解：如圖，過點A作AC，y軸于點C,作AB，x軸于點B,過A作AE

C

_Ly軸于點E,作AD_Lx軸于點D,

?點A(4,5),

...AC=4,AB=5,

,點A(4,5)繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到點A,

.?.A'E=AB=5,A'D=AC=4,

點A的坐標是（-5,4）.

故答案為：（-5,4）.

【點評】此題主要考查了坐標與圖形變換-旋轉(zhuǎn)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵

是要明確：旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小.

三.解答題（共10小題）

21.（2015?湖北）如圖，^ABC中，AB=AC=1,ZBAC=45",Z\AEF是由△ABC繞

點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點D.

（1）求證：BE=CF；

（2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長.

E

【分析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AB,AF=AC,NEAF=NBAC,則NEAF+/BAF=

ZBAC+ZBAF,即NEAB=NFAC,禾煙AB=AC可得AE=AF,于是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，

△AEB可由4AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

BE=CD；

（2）由菱形的性質(zhì)得到DE=AE=AC=AB=1,AC〃DE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得/

AEB=NABE,根據(jù)平行線得性質(zhì)得NABE=NBAC=45°,所以NAEB=NABE=45°,于

是可判斷AABE為等腰直角三角形，所以BE=V2AC=V2-于是利用BD=BE-DE

求解.

【解答】（1）證明：?..△AEF是由AABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，

；.AE=AB,AF=AC,NEAF=NBAC,

ZEAF+ZBAF=ZBAC+ZBAF,即NEAB=NFAC,

VAB=AC,

，AE=AF,

??.AAEB可由4AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，

，BE=CF；

(2)解：?四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1,

.\DE=AE=AC=AB=1,AC〃DE,

ZAEB=ZABE,ZABE=ZBAC=45°,

，NAEB=NABE=45°,

/.△ABE為等腰直角三角形，

BE=V2AC=V2?

.*.BD=BE-DE=A/2-1.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)

中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了菱形的性質(zhì).

22.(2015?南昌)如圖，正方形ABCD與正方形AiBiGDi關(guān)于某點中心對稱，已

知A,Di，D三點的坐標分別是(0,4),(0,3),(0,2).

(1)求對稱中心的坐標.

(2)寫出頂點B,C,Bi，G的坐標.

【分析】(1)根據(jù)對稱中心的性質(zhì)，可得對稱中心的坐標是DiD的中點，據(jù)此解

答即可.

(2)首先根據(jù)A,D的坐標分別是(0,4),(0,2),求出正方形ABCD與正方

形AiBiCiDi的邊長是多少，然后根據(jù)A,%,D三點的坐標分別是(0,4),(0,

3),(0,2),判斷出頂點B,C,Bi，J的坐標各是多少即可.

【解答】解：(1)根據(jù)對稱中心的性質(zhì)，可得

對稱中心的坐標是DiD的中點，

VDi，D的坐標分別是(0,3),(0,2),

，對稱中心的坐標是(0,2.5).

(2)VA,D的坐標分別是(0,4),(0,2),

??.正方形ABCD與正方形A1B1JD1的邊長都是：4-2=2,

：.B,C的坐標分別是(-2,4),(-2,2),

VAiDi=2,上的坐標是(0,3),

；.Ai的坐標是(0,1),

ABi，G的坐標分別是(2,1),(2,3),

綜上，可得

頂點B,C,Bi，J的坐標分別是(-2,4),(-2,2),(2,1),(2,3).

【點評】(1)此題主要考查了中心對稱的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的

關(guān)鍵是要明確中心對稱的性質(zhì)：①關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；②關(guān)

于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.

(2)此題還考查了坐標與圖形的性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是

要明確點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x

軸的距離與縱坐標有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標有關(guān)；②距離都是非負數(shù)，而坐

標可以是負數(shù)，在由距離求坐標時，需要加上恰當?shù)姆?

23.(2016?市中區(qū)一模)如圖1,已知NDAC=90。，AABC是等邊三角形，點P

為射線AD上任意一點(點P與點A不重合)，連結(jié)CP,將線段CP繞點C順時

針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CQ,連結(jié)QB并延長交直線AD于點E.

(1)如圖1,猜想NQEP=60°；

(2)如圖2,3,若當NDAC是銳角或鈍角時，其它條件不變，猜想/QEP的度

數(shù)，選取一種情況加以證明；

(3)如圖3,若NDAC=135°,ZACP=15",且AC=4,求BQ的長.

【分析】（1）猜想NQEP=60。；

（2）以NDAC是銳角為例進行證明，如圖2,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AC=BC,

ZACB=60°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP=CQ,NPCQ=60°,則NACP=NBCQ,

根據(jù)"SAS"可證明AACP之△BCQ,得到NAPC=NQ,然后利用三角形內(nèi)角和定理

可得到NQEP=ZPCQ=60°；

（3）連結(jié)CQ,作CHLAD于H,如圖3,與（2）一樣可證明△ACP/^BCQ,

則AP=BQ,由NDAC=135°,ZACP=15°,易得NAPC=30°,ZPCB=45°,則可判斷

△ACH為等腰直角三角形，所以AH=CH=1AC=2?,在RtAPHC中，根據(jù)含30

度的直角三角形三邊的關(guān)系得PH=?CH=2加，于是可計算出PA=PH-AH=2&-

2版,所以BQ=2遍-2圾.

【解答】解：⑴ZQEP=60°；

證明：連接PQ,

VPC=CQ,且NPCQ=60°,

則ACQB和4CPA中，

'PC=QC

-NPCQ=/ACB，

kAC=BC

.,.△CQB^ACPA(SAS),

AZCQB=ZCPA,

又因為△PEM和△CQM中，NEMP=NCMQ,

AZQEP=ZQCP=60°.

故答案為：60；

（2）ZQEP=60°.以NDAC是銳角為例.

證明：如圖2,

???△ABC是等邊三角形，

，AC=BC,ZACB=60",

?.?線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CQ,

.?.CP=CQ,ZPCQ=6O°,

ZACB+ZBCP=ZBCP+ZPCQ,

即NACP=NBCQ,

在4ACP和△BCQ中，

'CAXB

-ZACP=ZBCQ-

CP=CQ

.?.△ACP之△BCQ(SAS),

NAPC=NQ,

VZ1=Z2,

AZQEP=ZPCQ=60o；

(3)連結(jié)CQ,作CHLAD于H,如圖3,

與(2)一樣可證明4ACP絲△BCQ,

，AP=BQ,

VZDAC=135°,ZACP=15°,

AZAPC=30°,ZPCB=45°,

???△ACH為等腰直角三角形，

AAH=CH=2ZIAC=返X4=2心

22

在RtAPHC中，PH=J5CH=2遙，

.,.PA=PH-AH=2巡-2血，

I.BQ=2遙-272.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)

中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了全等三角形

的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì).

24.（2015?裕華區(qū)模擬）如圖，點0是等邊4ABC內(nèi)一點，ZAOB=110°,NBOC=a.將

ABOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得△ADC,連接0D.

（1）求證：△COD是等邊三角形；

（2）當a=150。時，試判斷AAOD的形狀，并說明理由；

（3）探究：當a為多少度時，^AOD是等腰三角形？

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出OC=OD,結(jié)合題意即可證得結(jié)論；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可作出判斷；

（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答.

【解答】（1）證明：?將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得△ADC,

.*.CO=CD,ZOCD=60°,

/.△COD是等邊三角形.

（2）解：當a=150。時，△AOD是直角三角形.

理由是：：將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得△ADC,

.,.△BOC^AADC,

AZADC=ZBOC=150°,

又???△COD是等邊三角形，

AZODC=60°,

ZADO=ZADC-ZODC=90",

VZa=150°ZAOB=110°,ZCOD=60",

ZAOD=360°-Na-ZAOB-ZCOD=360°-150°-110°-60°=40°,

???△AOD不是等腰直角三角形，即^AOD是直角三角形.

(3)解：①要使AO=AD,需NAOD=NAD。，

ZAOD=360°-110°-60°-a=190°-a,ZADO=a-60°,

A190°-a=a-60°,

.,.a=125°；

②要使OA=OD,需NOAD=NADO.

VZOAD=180°-(ZAOD+ZADO)=180°-(190°-a+a-60°)=50°,

：.a-60°=50°,

.,.a=110°；

③要使OD=AD,需NOAD=NAOD.

ZAOD=360°-110°-60°-a=190°-a,

/CAD=180°-(a-60°)=〔如。_三

22

1900-a=120°-

2

解得a=140°.

綜上所述：當a的度數(shù)為125?；?10?；?40。時，AAOD是等腰三角形.

【點評】本題以“空間與圖形"中的核心知識(如等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形

的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等)為載體，內(nèi)容由淺入深，

層層遞進.試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊含著豐富的思想方法(如運動變

化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等)，能較好地考查學生的推理、探究及解

決問題的能力.

25.(2014?宿遷)如圖，已知ABAD和ABCE均為等腰直角三角形，NBAD=N

BCE=90。，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N.

(1)當A,B,C三點在同一直線上時(如圖1),求證：M為AN的中點；

(2)將圖1中的4BCE繞點B旋轉(zhuǎn)，當A,B,E三點在同一直線上時(如圖2),

求證：4人0\1為等腰直角三角形；

(3)將圖1中4BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，(2)中的結(jié)論是否仍成立？若

成立，試證明之，若不成立，請說明理由.

圖1圖2圖3

【分析】(1)由EN〃AD和點M為DE的中點可以證到^ADM注△NEM,從而證

到M為AN的中點.

(2)易證AB=DA=NE,ZABC=ZNEC=135°,從而可以證到△ABCg^NEC,進而

可以證到AC=NC,ZACN=ZBCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.

(3)延長AB交NE于點F,易得AADM之△NEM,根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和，可

得NABC=NFEC,從而可以證到^ABC也ZiNEC,進而可以證到AC=NC,ZACN=

NBCE=90。，則有4ACN為等腰直角三角形.

【解答】(1)證明：如圖1,

：EN〃AD,

AZMAD=ZMNE,ZA