人教版初中二年級上學期數(shù)學期末復習一 教學學案

期末復習一

通過對本節(jié)課的學習，你能夠:

?理解三角形、全等、軸對稱的相關性質、

判定

?掌握幾何部分特殊線段的定義、性質、

判定、輔助圖

?會進行綜合證明

概述

適用學科初中數(shù)學適用年級初二

適用區(qū)域人教版課時時長（分鐘）120

11

知識點三角形的相關概念；與三角形有關的邊；與三角

形有關的角；全等三角形的判定；等腰三角形的

判定；等腰三角形的判定；等邊三角形的判定與

性質；軸對稱：最短路徑問題

學習目標理解三角形三邊不等的關系，會判斷三條線段能

否構成一個三角形,并能運用它解決有關的問題；

認識三角形的高、中線與角平分線；會畫三角形

的高、中線與角平分線；了解三角形的三條高所

在的直線，三條中線，三條角平分線分別交于一

—

點；掌握三角形內(nèi)角和定理；理解三角形的外角；

I掌握三角形外角的性質，能利用三角形外角的性

I質解決問題

I了解多邊形及有關概念，理解正多邊形的概念；

］了解多邊形的內(nèi)角、外角等概念；能通過不同方

［法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會應用

它們進行有關計算.

全等三角形及全等三角形的對應元素；全等三角

I形的性質，掌握全等三角形的判定；應用角的平

1分線性質定理；

軸對稱：最短路徑問題

---------------------------------------L_________________________________________________________________________________________________________________

學習重點I三角形三邊間的不等關系；三角形的高、中線與

I角平分線；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角和

I三角形外角的性質

I多邊形及有關概念、正多邊形的概念；多邊形的

［內(nèi)角和與多邊形的外角和公式；應用角的平分線

I性質定理.

I等腰三角形的判定；等腰三角形的性質；等邊三

I角形的判定與性質

1軸對稱：最短路徑問題

學習難點I用三角形三邊不等關系判定三條線段可否組成三

角形；三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別；

理解三角形的外角；

多邊形的內(nèi)角和定理的推導；應用角的平分線性

質定理.等腰三角形的判定；等邊三角形的判定

與性質

軸對稱：最短路徑問題

【知識導圖】

教學過程

一、導入

復習預習

1、復習三角形的相關性質

2、復習三角形全等的幾種證明方法

3、復習角平分線的相關性質及判定方法

4、復習軸對稱圖形的性質

5、復習等腰三角形，等邊三角形的相關性質

6、復習最短路徑問題

知識點1三角形相關概念

【教學建議】通過前面的引導復習，形成基本框架，梳理填

充。

1.不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫

做三角形

2.組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角

叫做三角形的內(nèi)角，簡稱角，相鄰兩邊的公共端點是三角

形的頂點

3.三角形ABC用符號表示為△ABC。三角形ABC的頂點C所

對的邊AB可用c表示,頂點B所對的邊AC可用b表示,

頂點A所對的邊BC可用a表示.

4.三角形的分類

["三邊都不相等的三角形

三角形底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

5.三角形三邊的關系

三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

知識點2三角形的角

1.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°

用平行線的性質證明內(nèi)角和180°

已知△ABC,求證：NA+NB+NC=180°。

證明：過點C作CM〃AB,則NA=NACM,/B二NDCM,

又NACB+NACM+ZDCM=180°

.??/A+NB+NACB=180°。

即：三角形的內(nèi)角和等于180°。

2.三角形外角的概念

ZACD叫做4ABC的外角。也就是，三角形一邊與另一邊的

延長線組成的角，叫做三角形的外角。

三角形的外角共有六個。

注意：每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角。研究與三角

形外角有關的問題時，通常每個頂點處取一個外角

三角形的外角ZACD與相鄰的內(nèi)角NACB是鄰補角。

如圖，這是我們證明三角形內(nèi)角和定理時畫的輔助線，你能

就此圖說明ZACD與NA、ZB的關系嗎？

VCM/7AB,AZA=Zl,ZB=Z2,又NACD=N1+N2

/ACD=NA+NB

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。

知識點3三角形內(nèi)的重要線

1.從AABC的頂點A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，

垂足為D,所得線段AD叫做AABC的邊BC上的高，表示

為AD±BC于點Do

注意：高與垂線不同，高是線段，垂線是直線。

再畫出這個三角形AB、AC邊上的高，三角形的三條高相交

于一點。

現(xiàn)在我們來畫鈍角三角形三邊上的高，如圖。

再畫出一個直角三角形三邊上的高，上面的結論還成立。

2.如圖,我們把連結4ABC的頂點A和它的對邊BC的中點D,

所得線段AD叫做4ABC的邊BC上的中線，表示為BD-DC

]_

或BD=DC=2BC或2BD=2DC=BC.

在圖中畫出4ABC的另兩條邊上的中線，三角的三條中

線相交于一點。

三角形的三條中線相交于一點，交點叫做三角形的重心。

請畫出下列三角形的中線

(1)

3.如圖，畫NA的平分線AD,交NA所對的邊BC于點D,所

得線段AD叫做AABC的角平分線,表示為NBAD:NCAD或

ZBAD=ZCAD=2ZBAC或2ZBAD=2ZCAD=ZBACo

三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，是不

一樣的。三角形三個角的平分線相交于一點。

如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上面的結論仍然

成立。

請畫出下列三角形的角平分線

角平分線性質及判定

角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

知識點4多邊形

1.多邊形概念

在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形

(polygon)

多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五

邊形……三角形是最簡單的多邊形。如果一個多邊形由n條

線段組成，那么這個多邊形就叫做n邊形。如圖7.3—2,螺

母底面的邊緣可以設計為六邊形，也可以設計為八邊形。

多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。圖7.3—3中

的NA、/B、NC、/D、NE是五邊形ABCDE的5個內(nèi)角。

多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外

角。圖7.3—4中的N1是五邊形ABCDE的一個外角。

2.多邊形的對角線

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對

角線(diagonal)。圖7.3—5中，AC、AD是五邊形ABCDE

的兩條對角線。

特別提醒：n邊形(n23)從一個頂點可引出(n-3)

條對角線，把n邊形分割成(n—2)個三角形，共有對角線

n(n-3)摩

例如：十邊形有條對角線。在這里n=10,就可

套用對角線條數(shù)公式電產(chǎn)=丁=35(條)。

從四邊形的一個頂點出發(fā)可以引一條對角線，它們將四

邊形分成兩個三角形，因此，四邊形的內(nèi)角和二ZSABD的內(nèi)角

和+ZXBDC的內(nèi)角和二2X180°=360°。

BC

觀察下面的圖形

五邊形六邊形

從五邊形一個頂點出發(fā)可以引兩條對角線，它們將五邊

形分成三個三角形，五邊形的內(nèi)角和等于540°；

從六邊形一個頂點出發(fā)可以引三條對角線，它們將六邊

形分成四個三角形，六邊形的內(nèi)角和等于720。；

從n邊形一個頂點出發(fā)，可以引（n-3）對角線，它們

將n邊形分成（n-2）三角形，n邊形的內(nèi)角和等于（n一

2）?180°o

n邊形的內(nèi)角和等于（n—2）*180°.

知識點5三角形全等

1.全等三角形的判定

三角形全等的五種判定方法SAS、SSS、AAS、ASA、HL

2.判定三角形全等的基本思路：

■找夾角TSAS

已知兩邊，找直角fHL

找另一邊f(xié)SSS

邊為角的對邊一找任意一角fA4S

'找這條邊上的另一角一ASA

已知一邊一角■邊就是角的一條邊（找這條邊上的對角―AAS

找該角的另一邊f(xié)SAS

找兩角的夾邊f(xié)ASA...........

已知兩角

找任意一邊—>AAS

3.全等常見模型

（1）平移型全等：常見平移模型

4.全等輔助線

（1）倍長中線：即延長三角形的中線，使得延長后的線段

是原中線的兩倍.其目的是構造一對對頂?shù)娜热切?；?/p>

本質是轉移邊和角.

示例剖析：

其中8￡>=C￡>,延長4）使得。E=貝絲△COA.

A

BC

D

E

（2）截長補短：

截長：即在一條較長的線段上截取一段較短的線段

示例：在線段A8上截取AO=4C

補短：即在較短的線段上補一段線段使其和較長的線段相等

示例：延長AC,使得"）=加

知識點6線段垂直平分線

1.要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理,

到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上,

又由兩點確定一條直線這個公理，那么必須找到兩個到線

段兩端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平

分線.

［例］如圖（1），點A和點B關于某條直線成軸對稱，你能

作出這條直線嗎？

%

t

4—"BAr-----------------:?B

知

(1)⑵

已知：線段AB[如圖(1)].

求作：線段AB的垂直平分線.

作法：如圖(2)

(1).分別以點A、B為圓心，以大于：AB的長為半徑作弧，

兩弧相交于C和D兩點；

(2).作直線CD.

直線CD就是線段AB的垂直平分線.

2.求直線同側的兩點到直線上一點距離的和最小的問題

講解內(nèi)容：只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連

接對稱點與另一個點，所得線段與該直線的交點即為所求的

位置。

知識點7特殊三角形

1.等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形

相等的兩邊叫做等腰三角形的腰，第三邊叫做底邊

腰與底邊的夾角叫做底角

兩腰的夾角叫做頂角

2.等腰三角形的特征

等腰三角形是軸對稱圖形

等腰三角形頂角的角平分線、底邊的中線、底邊上的高互相

重合(也稱等腰三角形三線合一)，它們所在的直線都是等

腰三角形的對稱軸

等腰三角形的兩個底角相等

3.等邊三角形

(1)性質：①等邊三角形各邊都相等；②等邊三角形各角

都相等，并且都等于60°。

(2)判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。②三

個角都相等的三角形是等邊三角形。③有一個角是60°的等

腰三角形是等邊三角形

4.特殊直角三角形

(1)含30°的直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊一

半，且三邊長度比為1：&2；

(2)等腰直角三角形各邊長比為1：1：血

三、例題精析

類型一三角形相關概念

【題干】如圖所示，三角形的個數(shù)是()

A.3個B.4個C.5個D.6個

【教學建議】本題有一定難度，需要考慮等腰三角形邊的分

類。

【題干】用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形。

(1)如果腰長是底長的2倍，那么各邊的長是多少？

(2)能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？

類型二三角形的高與中線

【題干】下面四個圖形中，線段BE是AABC的高的圖是()

【題干】BM是aABC中AC邊上的中線，AB=5cm,BC=3cm,

求AABM與aBCM的周長之差

類型三角平分線

【題干】如圖，在aABC中，ZB=47°,三角形的外角NDAC

和NACF的平分線交于點E,則求NAEC的度數(shù)？

【題干】（1）如圖1,在AABC中，NABC、NACB的平分線

相交于0.

①已知NA=40°,求NB0C的度數(shù)，NA與NB0C有怎樣的數(shù)

量關系？

②若NA=n°,則NA與NB0C有怎樣的數(shù)量關系？

(2)如圖2,在BzC中，ZAZB'C的平分線與

NA'C'B'的外角平分線相交于O',請你探索NA，與NO'

有怎樣的數(shù)量關系？

類型四多邊形

【題干】如圖，Nl、N2、/3、N4是五邊形ABCDE的4個

外角.若NA=120°，貝IJN1+/2+/3+N4=.

類型五全等三角形

【題干】如圖，小華不小心把一塊三角形玻璃打碎為三塊,

他能否只帶其中一塊碎片到商店，就能配出一塊和原來一樣

的三角形玻璃？如果能，帶哪一塊去？為什么？

【題干】已知：0C是NAOB的平分線，點P在0C上，PD10A,

PE10B,垂足分別是D、E

求證：PD=PE.

類型六軸對稱與軸對稱圖形

下列圖案屬于軸對稱圖形的是（）

⑤◎③起

A.B.C?D.~

四、課堂運用

1.用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出

NAOB'=NAOB的依據(jù)是（）.

A.SASB.SSSC.ASAD.AAS

2.下列說法中：

①P是線段AB上的一點，直線1經(jīng)過點P且1_LAB,則1是

線段AB的垂直平分線；

②直線1經(jīng)過線段AB的中點，則1是線段AB的垂直平分線；

③若AP=PB,且直線1垂直于線段AB,則1是線段AB的垂

直平分線；

④經(jīng)過線段AB的中點P且垂直于AB的直線1是線段AB的

垂直平分線.

其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖，在RtZXACB中，ZC=9O0,BE平分NABC,ED垂直

平分AB于D.若AC=9,則AE

的值是（）

A.6V3B.4V3C.6D.4

4.如圖，在AABC中，NBAC=40°,NB=75°,AD是4ABC

的角平分線。求NADB得度數(shù)。

AB

1.如圖，AABC中，NABC、ZACB外角的平分線相交于點F,

連接AF,則下列結論正確的

有（）

A.AF平分BCB.AF平分NBACC.AF±BCD.以上

結論都正確

2.若一個多邊形截去一個角后，變成十五邊形，則原來的多

邊形的邊數(shù)可能為（）

A.14或15或16B.15或16C.14或16D.15或

16或17

3.如下圖，RtAADCRtABCD,AC=BD,求證AD二BC

1.如圖，在RtZ^ABC中，ZC=90°,AD是NBAC的平分線,

DC=2,貝IJD至AB邊的距離是

2.如圖所示，DE是線段AB的垂直平分線，下列結論一定成

立的是（）

A.ED=CDB.NDAC=NBC.ZC>2ZB

3.如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋

MN,橋造在何處可使從A到B的路徑AM+NB最短？（假定

河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

b

AM

N

B

五、課堂小結

1、本次課主要針對期末考試前學習的幾何內(nèi)容進行綜合復

習：

復習三角形的相關性質

復習三角形全等的幾種證明方法

復習角平分線的相關性質及判定方法

復習軸對稱圖形的性質

復習等腰三角形，等邊三角形的相關性質

復習最短路徑問題

六、課后作業(yè)

1.已知MN是線段AB的垂直平分線，下列說法正