浙江省寧波市慈溪市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期10月檢測(cè)試題含解析

Page15一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分．1.已知集合，下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解方程可求得集合，再依據(jù)元素和集合的關(guān)系即可求解.【詳解】由得或，則集合，所以，，，.故選：B.2.命題“”，則p為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)全稱命題的否定形式求解.【詳解】命題“”為全稱命題，其否定為特稱命題，即p：.故選：C3.下列命題中，正確的是A若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)或反例可推斷各選項(xiàng)正確與否.【詳解】對(duì)于A，取，則，但，故A錯(cuò)；對(duì)于B，取，則，但，，故B錯(cuò)；對(duì)于C，取，則，但，，故C錯(cuò)；對(duì)于D，因?yàn)?，故即，故D正確；綜上，選D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4.使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解出不等式，進(jìn)而可推斷出其一個(gè)充分不必要條件．【詳解】解：不等式，，解得，故不等式的解集為：，則其一個(gè)充分不必要條件可以是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的推斷，一般可依據(jù)如下規(guī)則推斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．5.甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，假如兩人步行速度、跑步速度均相同，則（）A.甲先到教室 B.乙先到教室C.兩人同時(shí)到教室 D.誰(shuí)先到教室不確定【答案】B【解析】【分析】比較走完路程所用時(shí)間大小來確定誰(shuí)先到教室，故應(yīng)把兩人到教室的時(shí)間用所給的量表示出來，作差比較.【詳解】解：設(shè)步行速度與跑步速度分別為，，則，總路程為，則甲用時(shí)間，乙用時(shí)間為，則.所以，故乙先到教室.故選：B.6.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像，依據(jù)圖像得到答案.【詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：依據(jù)圖像知，函數(shù)值域?yàn)?故選：B7.已知函數(shù)滿意對(duì)隨意，都有成立，則a的范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，列出不等式組得解.【詳解】因?yàn)閷?duì)隨意都有，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，解得，所以a的范圍是故選：B8.若關(guān)于的不等式恰有個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】對(duì)不等式進(jìn)行因式分解，依據(jù)題意得到，解不等式，然后結(jié)合題意分類探討即可.【詳解】∵不等式，即恰有2個(gè)整數(shù)解，∴，解得或.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，易知，∴個(gè)整數(shù)解為，，∴，即，解得；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，易知，∴個(gè)整數(shù)解為，，∴，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是-或.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：依據(jù)不等式解的狀況得到不等式，運(yùn)用分類探討方法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.二、多項(xiàng)選擇題：共4小題，每小題5分，共20分．9.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.集合的真子集個(gè)數(shù)為8【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)集合交集、補(bǔ)集、并集的定義，結(jié)合集合真子集個(gè)數(shù)公式逐一推斷即可.【詳解】因?yàn)槿?，集合，，所以，，，因此選項(xiàng)A、C正確，選項(xiàng)B不正確，因?yàn)榧系脑毓灿?個(gè)，所以它的真子集個(gè)數(shù)為：，因此選項(xiàng)D不正確，故選：AC10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的定義域?yàn)锽.的值域?yàn)镃.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.的值為【答案】ACD【解析】【分析】變換得到，計(jì)算定義域和值域得到A正確，B錯(cuò)誤，依據(jù)反比例函數(shù)單調(diào)性確定C正確，依據(jù)計(jì)算得到D正確，得到答案.【詳解】，對(duì)選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域滿意，即，正確；對(duì)選項(xiàng)B：的值域?yàn)?，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：在區(qū)間上單調(diào)遞增，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，，故，正確.故選：ACD11.已知關(guān)于x的不等式的解集是，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由關(guān)于的不等式的解集是，則是一元二次方程的兩根

．利用根與系數(shù)的關(guān)系等即可推斷出結(jié)論．【詳解】由關(guān)于x不等式的解集是，所以是一元二次方程的兩根；所以，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B正確；所以，選項(xiàng)D正確．由，可得：是錯(cuò)誤的，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選：ABD．12.德國(guó)聞名數(shù)學(xué)家狄利克雷是解析數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人，以其名字命名的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，其解析式為，則下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的說法錯(cuò)誤的是（）A.對(duì)隨意實(shí)數(shù)，B.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)C.對(duì)于隨意的實(shí)數(shù)，，D.若，則不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)題意結(jié)合奇偶性、一元二次不等式解法逐項(xiàng)分析推斷.【詳解】若是有理數(shù)，則；若是無理數(shù)，則，故A正確；若是有理數(shù)，則也是有理數(shù)，此時(shí)；若是無理數(shù)，則也是無理數(shù)，此時(shí)；即為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；若是無理數(shù)，取，則是無理數(shù)，此時(shí)，，即，故C錯(cuò)誤；若是有理數(shù)，則的解集為；若是有理數(shù)，，明顯不成立，故D錯(cuò)誤．故選：BCD．三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域是______.【答案】且【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出相應(yīng)的不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)有意義，則，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)榍?故答案為：且.14.已知，則x的值為__________．【答案】0或2【解析】【分析】依據(jù)，由，，，并利用集合的特性推斷求解.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，集合為不成立；當(dāng)時(shí)，集合為，成立；當(dāng)時(shí)，解得（舍去）或，若，則集合為，成立.所以x的值為0或2故答案為：0或215.關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】分和兩種狀況，利用判別式法求解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，不等式可化為，無解，滿意題意；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，要使得不等式的解集為，則解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：16.設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則______．【答案】2【解析】【分析】變換，設(shè)，確定函數(shù)為奇函數(shù)，再依據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)計(jì)算得到答案.【詳解】，設(shè)，則，函數(shù)為奇函數(shù)，，，.故答案為：2.四、解答題：本大題共6小題，共70分．17.已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）確定，，再計(jì)算并集即可.（2）確定得到，解得答案.【小問1詳解】，，故.【小問2詳解】，則，故，解得，即.18.若不等式的解集是，（1）求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）

（2）【解析】【分析】（1）由已知不等式的解集得到的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和2，利用韋達(dá)定理即可求出的值；（2）代入的值，由一元二次不等式的求解即可得解．【小問1詳解】依題意可得：的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和2，由韋達(dá)定理得：，解得：；【小問2詳解】由（1）不等式，即，解得：，故不等式的解集是．19.已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)．（1）求m的值；（2）求函數(shù)在的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)冪函數(shù)得到或，再驗(yàn)證奇偶性得到答案.（2）確定，函數(shù)在上單調(diào)遞增，計(jì)算最值得到值域.【小問1詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，滿意條件；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，不滿意條件，舍去.綜上所述：.【小問2詳解】，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，，故值域?yàn)?0.如圖，某人安排用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長(zhǎng)為xm，寬為ym．（1）若菜園面積為72m2，則x，y為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小？（2）若運(yùn)用的籬笆總長(zhǎng)度為30m，求的最小值．【答案】（1）菜園的長(zhǎng)x為12m，寬y為6m時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小（2）．【解析】【分析】（1）由已知可得xy＝72，而籬笆總長(zhǎng)為x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）?（x+2y）＝55+2，進(jìn)而得出．【小問1詳解】由已知可得xy＝72，而籬笆總長(zhǎng)為x+2y．又∵x+2y≥224，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，即x＝12，y＝6時(shí)等號(hào)成立．∴菜園的長(zhǎng)x為12m，寬y為6m時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最小．【小問2詳解】由已知得x+2y＝30，又∵（）?（x+2y）＝55+29，∴，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即x＝10，y＝10時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是．21.已知f(x)＝，x∈(－2，2)．(1)推斷f(x)的奇偶性并說明理由；(2)求證：函數(shù)f(x)在(－2，2)上是增函數(shù)；(3)若f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)見解析：(2)見解析：(3)【解析】【詳解】試題分析：（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，同時(shí)滿意f(x)=-f(-x)，所以是奇函數(shù)．（2）由定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，按假設(shè)，作差，變形，推斷，下結(jié)論過程完成．（3）由奇函數(shù)，原不等式變形為f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，再由函數(shù)單調(diào)性及定義域可知，解不等式組可解．試題解析：(1)解：∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．(2)證明：設(shè)x1，x2為區(qū)間(－2，2)上的隨意兩個(gè)值，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝－＝，因?yàn)椋?<x1<x2<2，所以x2－x1>0，x1x2－4<0，所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在(－2，2)上是增函數(shù)．(3)解：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以由f(2＋a)＋f(1－2a)>0得，f(2＋a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－2，2)上是增函數(shù)，所以即故a∈.22.已知函數(shù)，．（1）若，求方程的解；（2）若方程有兩解，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若，記，試求函數(shù)在區(qū)間上最大值．【答案】（1）（2）（3）答案不唯一，詳見解析【解析】【分析】（1）解方程得到答案.（2）確定，考慮，和三種狀況，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案.（3