專題11多面手問題(原卷版+解析)

專題11多面手問題例1．我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有種不同的選法．A． B． C． D．例2．某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當英語翻譯，4人當法語翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110例3．“賽龍舟”是端午節(jié)的習俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之一，在我國南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種例4．某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．56種 B．68種C．74種 D．92種例5．某龍舟隊有8名隊員，其中3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種例6．在名工人中,有人只當鉗工,人只當車工,另外人既會鉗工又會車工，現(xiàn)從人中選出人當鉗工,人當車工,則共有種不同的選法.A． B． C． D．例7．某公園有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，現(xiàn)有3個大人和2個小孩打算同時分乘若干只小船，規(guī)定有小孩的船必須有大人，共有不同的乘船方法為A．36種 B．33種 C．27種 D．21種例8．6名學生，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，剩下1人既會唱歌又會跳舞，選出2人唱歌2人跳舞，共有______種不同的選法.（請用數(shù)學作答）例9．6名工人，其中2人只會電工，3人只會木工，還有1人既會電工又會木工，選出電工2人木工2人，共有______種不同的選法．例10．現(xiàn)有7名志愿者，其中只會俄語的有3人，既會俄語又會英語的有4人.從中選出4人擔任“一帶一路”峰會開幕式翻譯工作，2人擔任英語翻譯，2人擔任俄語翻譯，共有_______種不同的選法．例11．有6名學生，其中有3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌也會跳舞．現(xiàn)從中選出2名會唱歌的，1名會跳舞的去參加文藝演出，則共有法______種例12．某公園現(xiàn)有甲、乙、丙三只小船，甲船可乘3人，乙船可乘2人，丙船可乘1人，今有三個成人和2個兒童分乘這些船只(每船必須坐人)，為安全起見，兒童必須由成人陪同方可乘船，則分乘這些船只的方法有______種（用數(shù)字作答）.例13．某旅館有三人間?兩人間?單人間各一間可入住，現(xiàn)有三個成人帶兩個小孩前來投宿，若小孩不單獨入住一個房間(必須有成人陪同)，且三間房都要安排給他們?nèi)胱。瑒t不同的安排方法有______種.例14．在一次演唱會上共10名演員（每名演員都會唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人會跳舞.（1）問既能唱歌又會跳舞的有幾人？（2）現(xiàn)要選出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少種選派方法？例15．某出版社的7名工人中，有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法．例16．某出版社的11名工人中，有5人只會排版，4人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現(xiàn)從11人中選4人排版，4人印刷，有多少種不同的選法？例17．已知9個外語教師，4人只會英語，3人只會日語，另外2人既會英語又會日語，從中選4人，2人教英語，2人教日語，有多少種不同安排方案？例18．某公園有P,Q,R三只小艇,P艇最多可乘3人,Q艇最多可乘2人,R艇只能乘1人,現(xiàn)在3個大人和2個小孩打算同時分乘若干只小艇,規(guī)定有小孩的艇必須有大人,共有多少種不同的乘艇方法?例19．有11名翻譯人員，其中5名是英語翻譯人員，4名是日語翻譯人員，另2人英、日語均精通．現(xiàn)從中選出8人組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，則有多少種不同的選派方式？專題11多面手問題例1．我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有種不同的選法．A． B． C． D．答案:A解析：【詳解】分析：根據(jù)題意可按照只會左邊的人中入選的人數(shù)分類處理，分成三類，即可求解．詳解：根據(jù)題意可按照只會左邊的人中入選的人數(shù)分類處理．第一類個只會左邊的都不選，有種；第二類個只會左邊的有人入選，有種；第三類個只會左邊的全入選，有種，所以共有種不同的選法，故選A．點睛：本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用，有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率．在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式．例2．某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當英語翻譯，4人當法語翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110答案:B解析：分析：根據(jù)題意，按“2人既會英語又會法語”的參與情況進行討論，由加法原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，按“2人既會英語又會法語”的參與情況分成三類．①“2人既會英語又會法語”不參加，這時有種；②“2人既會英語又會法語”中有一人入選，這時又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，因此有種；③“2人既會英語又會法語”中兩個均入選，這時又分三種情況：兩個都譯英文、兩個都譯日文、兩人各譯一個語種，因此有種．綜上分析，共可開出種．故選：B．例3．“賽龍舟”是端午節(jié)的習俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之一，在我國南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種答案:C解析：分析：設只會劃左槳的3人，只會劃右槳的3人，既會劃左槳又會劃右槳的2人，據(jù)此分3種情況討論：①從中選3人劃左槳，劃右槳的在（）中剩下的人中選??；②從中選2人劃左槳，中選1人劃左槳，劃右槳的在（）中選取；③從中選1人劃左槳，中2人劃左槳，中3人劃右槳，再運用分類加法原理可得選項.【詳解】根據(jù)題意，設只會劃左槳的3人，只會劃右槳的3人，既會劃左槳又會劃右槳的2人，據(jù)此分3種情況討論：①從中選3人劃左槳，劃右槳的在（）中剩下的人中選取，有種選法，②從中選2人劃左槳，中選1人劃左槳，劃右槳的在（）中選取，有種選法，③從中選1人劃左槳，中2人劃左槳，中3人劃右槳，有種選法，則有種不同的選法．故選：C．例4．某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．56種 B．68種C．74種 D．92種答案:D解析：分析：根據(jù)條件，分劃左舷有“多面手”的人數(shù)分類，利用組合數(shù)公式計算求值.【詳解】根據(jù)劃左舷中有“多面手”人數(shù)的多少進行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法有種，有一個“多面手”的選派方法有種，有兩個“多面手”的選派方法有種，即共有(種)不同的選派方法．故選：D【點睛】方法點睛：組合數(shù)中的“多面手”問題，需明確某一類元素多面手有多少進行分類，這樣才能做到不重不漏.例5．某龍舟隊有8名隊員，其中3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種答案:C解析：根據(jù)題意，設只會劃左槳的3人，只會劃右槳的3人，既會劃左槳又會劃右槳的2人，據(jù)此按集合中參與人數(shù)分3種情況討論，由加法原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設只會劃左槳的3人，只會劃右槳的3人，既會劃左槳又會劃右槳的2人，據(jù)此分3種情況討論：①從中選3人劃左槳，劃右槳的在中剩下的人中選取，有種選法，②從中選2人劃左槳，中選1人劃左槳，劃右槳的在中剩下的人中選取，有種選法，③從中選1人劃左槳，中2人劃左槳，中3人劃右槳，有種選法，則有種不同的選法；故選：C．【點睛】本題主要考查排列組合的應用，涉及分類計數(shù)原理的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．例6．在名工人中,有人只當鉗工,人只當車工,另外人既會鉗工又會車工，現(xiàn)從人中選出人當鉗工,人當車工,則共有種不同的選法.A． B． C． D．答案:D解析：【詳解】分析：關鍵是既會鉗工又會車工的2人的選擇，這2人可分類：只選1人且當鉗工，只選1人且當車工，2人都選，其中1人鉗工1人車工，2人都當鉗工，2人都當車工，或者2人都不選，用分類加法原理.詳解：由題意選法有：185，故選D.點睛：本題考查排列組合的綜合應用，解題關鍵是確定事件完成的方法，象本題有“全能”選手的問題中，一般是按照“全能”選手進行分類：2名“全能”選手只有1人進行某一項工作；2人都選，一人一項工作或2人做同一項工作；2人都不選，這樣完成分類，每一類分別進行計算再相加即得.例7．某公園有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，現(xiàn)有3個大人和2個小孩打算同時分乘若干只小船，規(guī)定有小孩的船必須有大人，共有不同的乘船方法為A．36種 B．33種 C．27種 D．21種答案:C解析：【詳解】試題分析：第一類，船兩大人一小孩，船一大人一小孩：有種方法.第二類，船一大人兩小孩，船兩大人：有種方法.第三類，船一大人兩小孩，船一大人，船一大人：有種方法.第四類，船一大人一小孩，船一大人一小孩，船一大人：有種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有種不同的方法.故選C.考點：排列、組合、分類加法計數(shù)原理.例8．6名學生，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，剩下1人既會唱歌又會跳舞，選出2人唱歌2人跳舞，共有______種不同的選法.（請用數(shù)學作答）答案:12解析：根據(jù)既會唱歌又會跳舞的那1個人未選中和選中分類，選中后又選為唱歌還是跳舞再分類求解．【詳解】根據(jù)既會唱歌又會跳舞的那1個人未選中，選中唱歌，選中跳舞分類：．故答案為：12.【點睛】本題考查組合的應用，解題關鍵是多面手的安排．可按多面手的作用分類：未選中多面手，選中多面手后安排做一種工作．再確定其它要選的人數(shù)．例9．6名工人，其中2人只會電工，3人只會木工，還有1人既會電工又會木工，選出電工2人木工2人，共有______種不同的選法．答案:12解析：分析：由題意按照既會電工又會木工1人沒入選、既會電工又會木工1人入選充當電工、既會電工又會木工1人入選充當木工分類討論，結合分步乘法、組合的知識即可得解.【詳解】由題意可對選出的電工2人木工2人分類：①既會電工又會木工1人沒入選，有種選法；②既會電工又會木工1人入選充當電工，有種選法；③既會電工又會木工1人入選充當木工，有種選法；綜上，共有種選法．故答案為：12．【點睛】本題考查了計數(shù)原理的應用，考查了分類討論思想，合理分類、分步是解題的關鍵，屬于基礎題.例10．現(xiàn)有7名志愿者，其中只會俄語的有3人，既會俄語又會英語的有4人.從中選出4人擔任“一帶一路”峰會開幕式翻譯工作，2人擔任英語翻譯，2人擔任俄語翻譯，共有_______種不同的選法．答案:60解析：分析：考慮多面手（既會俄語又會英語的）的特殊性，按照多面手從事的工作進行分類，分別求出每種情況的選法種數(shù)，由分類加法原理即得．【詳解】因為英語翻譯只能從多面手中選，所以有（1）當選出的多面手2人從事英語翻譯，沒人從事俄語翻譯，所以有種選法；（2）當選出的多面手2人從事英語翻譯，1人從事俄語翻譯，所以有種選法；（3）當選出的多面手2人從事英語翻譯，2人從事俄語翻譯，所以有種選法；共有18+36+6=60種選法．【點睛】本題主要考查排列、組合的應用，涉及到分類討論思想的運用，選好標準，要做到不重不漏．例11．有6名學生，其中有3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌也會跳舞．現(xiàn)從中選出2名會唱歌的，1名會跳舞的去參加文藝演出，則共有法______種答案:15解析：【詳解】試題分析：不選既會唱歌也會跳舞的學生，選法有：種；既會唱歌也會跳舞的學生參加唱歌，選法共有種；既會唱歌也會跳舞的學生參加跳舞，選法有：種，所以共有種．考點：組合．例12．某公園現(xiàn)有甲、乙、丙三只小船，甲船可乘3人，乙船可乘2人，丙船可乘1人，今有三個成人和2個兒童分乘這些船只(每船必須坐人)，為安全起見，兒童必須由成人陪同方可乘船，則分乘這些船只的方法有______種（用數(shù)字作答）.答案:18解析：分析：將問題分成兩類：一類是一個大人帶兩個兒童，一類是兩個大人各帶一個兒童.分別計算出方法數(shù)然后相加，得到總的方法數(shù).【詳解】一個大人帶兩個兒童時，大人的選法有種，故方法數(shù)有種.兩個大人各帶一個兒童時，先排好大人，再排小孩，方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.【點睛】本小題主要考查分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理，考查排列數(shù)的計算，屬于基礎題.例13．某旅館有三人間?兩人間?單人間各一間可入住，現(xiàn)有三個成人帶兩個小孩前來投宿，若小孩不單獨入住一個房間(必須有成人陪同)，且三間房都要安排給他們?nèi)胱?，則不同的安排方法有______種.答案:18解析：分析：按照題目要求,先排列大人必各住一個房間,由排列數(shù)公式計算,再排列兩個小孩的房間,分兩種情況,最后由分步計數(shù)原理可得答案.【詳解】由題分析知，三個大人必各住一個房間，兩個小孩可以同住三人間或三人間?兩人間各一人，所以不同的安排方法有種.【點睛】本題考查排列組合的應用,以及排列數(shù)的計算,涉及到分步計數(shù)原理,屬于基礎題.例14．在一次演唱會上共10名演員（每名演員都會唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人會跳舞.（1）問既能唱歌又會跳舞的有幾人？（2）現(xiàn)要選出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少種選派方法？答案:（1）3人；（2）228.解析：分析：（1）設既能唱歌又會跳舞的有人，再列出關于的方程，即可得答案；（2）由（1）得：有3人既能唱歌又會跳舞，4人只能唱歌，3人只會跳舞，以僅會唱歌為分類標準，利用計算原理計算即可得答案；【詳解】（1）設既能唱歌又會跳舞的有人，，設既能唱歌又會跳舞的有3人。（1）由（1）得：有3人既能唱歌又會跳舞，4人只能唱歌，3人只會跳舞，①只能唱歌選0人，，②只能唱歌選1人，，③只能唱歌選2人，，有228種選派方法.【點睛】本題考查分類、分步計數(shù)原理及組合數(shù)的應用，考查分類討論思想，考查邏輯推理能力.例15．某出版社的7名工人中，有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法．答案:37解析：【詳解】試題分析：解：首先分類的標準要正確，可以選擇“只會排版”、“只會印刷”、“既會排版又會印刷”中的一個作為分類的標準．下面選擇“既會排版又會印刷”作為分類的標準，按照被選出的人數(shù)，可將問題分為三類：第一類：2人全不被選出，即從只會排版的3人中選2人，有3種選法；只會印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計數(shù)原理知共有3×1=3種選法．第二類：2人中被選出一人，有2種選法．若此人去排版，則再從會排版的3人中選1人，有3種選法，只會印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步計數(shù)原理知共有2×3×1=6種選法；若此人去印刷，則再從會印刷的2人中選1人，有2種選法，從會排版的3人中選2人，有3種選法，由分步計數(shù)原理知共有2×3×2=12種選法；再由分類計數(shù)原理知共有6+12=18種選法．第三類：2人全被選出，同理共有16種選法．所以共有3+18+16=37種選法．考點：本題主要考查分類、分步計數(shù)原理的綜合應用．點評：是一道綜合性較強的題目，分類中有分步，要求有清晰的思路．首先將人員分屬集合，按集合分類法處理，對不重不漏解題有幫助．例16．某出版社的11名工人中，有5人只會排版，4人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現(xiàn)從11人中選4人排版，4人印刷，有多少種不同的選法？答案:185種.解析：【詳解】試題分析：根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這個問題可按只會印刷的四人作為分類標準：第一類：只會印刷的4人全被選出，有種；第二類：從只會印刷的4人中選出3人，有種；第三類：從只會印刷的4人中選出2人，即可.試題解析：將只會印刷的4人作為分類標準，將問題分為三類：第一類：只會印刷的4人全被選出，有種；第二類：從只會印刷的4人中選出3人，有種4；第三類：從只會印刷的4人中選出2人，有種.所以共有（種）.考點：分類加法計數(shù)原理、組合.例17．已知9個外語教師，4人只會英語，3人只會日語，另外2人既會英語又會日語，從中選4人，2人教英語，2人教日語，有多少種不同安排方案？答案:種解析：分析：將方案按從只會英語的人中選人或人或人三種情況，按照分步計算原理計算出三種情況的安排方案數(shù)，再相加，求得總的安排方案數(shù).【詳解】若從只會英語中選2人，則不同的安排方案有種，若從只會英語中選1人，則不同的安排方案有種，若從只會英語中選0人，則不同的安排方案有種，所以，不同的安排方案共有種.【點睛】本小題主要考查分類加法計數(shù)原理，考查分步乘法計數(shù)原理，考查組合數(shù)的計算，屬于中檔題.例18．某公園有P,Q,R三只小艇,P艇最多可乘3人,Q艇最多可乘2人,R艇只能乘1人,現(xiàn)在3個大人和2個小孩打算同時分乘若干只小艇,規(guī)定有小孩的艇必須有大人,共有多少