小學數學競賽 幾何中的重疊問題

7-7-3.幾何中的重疊問題

即皿上期舉國陽

1.了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容;

2.掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用.

F11］的巨朝假國彘

,—

兩量重疊問題

在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算.求兩個集合并集的元素的個數，不能簡單地把

兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重復計算的元素個數，即減去交集的元素個數，

用式子可表示成：AB=A+B-A3（其中符號“”讀作“并”，相當于中文"和''或者"或'’的意思；符號“”

讀作“交”，相當于中文“且”的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理.圖示如下:A表示小圓

部分，3表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB,即陰影面積.圖示如下:A表示小圓

部分，3表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB,即陰影面積.

包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A3的并集A8的元素的個數，可分以下兩步進行：

第一步：分別計算集合43的元素個數，然后加起來，即先求A+B（意思是把A、3的一切元素都“包含”進

來，加在一起）；

第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C=A3（意思是“排除”了重復計算的元素個數）.

二、三量重疊問題

A類、8類與C類元素個數的總和=A類元素的個數+3類元素個數+C類元素個數-既是A類又是3類

的元素個數-既是3類又是C類的元素個數-既是A類又是C類的元素個數+同時是A類、B類、C類的元

素個數.用符號表示為：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC.圖示如下：

圖中小圓表示A的元素的個數，中圓表示8的元素的個數,

大圓表示C的元素的個數.

先包含：A+B+C

重疊部分AB、BC.CA重疊了2次，多加了1次.

再排除：A+B+C-AB-BC-AC

重疊部分ABC重疊了3次，但是在進行A+B+C-

AB-BC-AC計算時都被減掉了.

再包含：A+B+C-AB-BC-AC+AB

在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來幫助分析思考.

【例1】把長38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條.已知焊接部分長4厘米，焊接后這根鐵條有多

長？

【考點】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答

【解析】因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長38+53-4=87（厘

米）.

【答案】87厘米

【鞏固】把長23厘米和37厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條.已知焊接部分長3厘米，焊接后這根鐵條有多

長？

【考點】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答

【解析】焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長：23+37-3=57（厘米）.

【答案】57厘米

【例2】兩張長4厘米，寬2厘米的長方形紙擺放成如圖所示形狀.把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方

厘米？

【考點】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答

2厘米

【解析】兩個長方形如圖擺放時出現了重疊（見圖中的陰影部分），重疊部分恰好是邊長為2厘米的正方形，如

果利用兩個4x2的長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個長方形面積中各

被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了.所以，被覆蓋面積=長方形面積之和-重疊

部分.于是，被覆蓋面積=4x2x2-2x2=12（平方厘米）.

【答案】12厘米

【鞏固】如圖3,一張長8厘米，寬6厘米，另一個正方形邊長為6厘米，它們中間重疊的部分是一個邊長為

4厘米的正方形，求這個組合圖形的面積.

【考點】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答

【解析】兩個圖形如圖擺放時出現了重疊（見圖中的陰影部分），重疊部分恰好是邊長為4厘米的正方形，如果

利用長方形和正方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在長方形和正方形面積中各

被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了.所以，組合圖形的面積=長方形面積+正

方形面積一重疊部分.于是，組合圖形的面積：8x6+6x6—4x4=68（平方厘米）.

【答案】68平方厘米

【鞏固】一個長方形長12厘米，寬8厘米，另一個長方形長10厘米，寬6厘米，它們中間重疊的部分是一個

邊長4厘米的正方形，求這個組合圖形的面積.

【考點】幾何中的重疊問題【難度】1星【題型】解答

【解析】兩個長方形如圖擺放時出現了重疊（見圖中的陰影部分），重疊部分恰好是邊長為4厘米的正方形，如

果利用兩個長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個長方形面積中各被計算

了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了.所以，組合圖形的面積=長方形面積之和-重疊

部分.于是，組合圖形的面積=12x8+10x6-4x4=140（平方厘米）.

【答案】140平方厘米

【例3】三個面積均為50平方厘米的圓紙片放在桌面上（如圖），三個紙片共同重疊的面積是10平方厘米.三

個紙片蓋住桌面的總面積是100厘米.問：圖中陰影部分面積之和是多少？

【考點】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答

【解析】將圖中的三個圓標上A、B、C.根據包含排除法，三個紙片蓋住桌面的總面積=（A圓面積+3圓

面積+C圓面積）-（A與8重合部分面積+A與C重合部分面積+3與C重合部分面積）+三個紙片

共同重疊的面積，得：100=（50+50+50）—（A與3重合部分面積+A與C重合部分面積+3與C重合

部分面積）+10,得到A、B,C三個圓兩兩重合面積之和為：160-100=60平方厘米，而這個面

積對應于圓上的那三個紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：60=10x3+陰影部分

面積，則陰影部分面積為：60-30=30（平方厘米）.

【答案】30平方厘米

【鞏固】如圖，已知甲、乙、丙3個圓的面積均為30,甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6,8,

5,而3個圓覆蓋的總面積為73.求陰影部分的面積.

【考點】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答

【解析】設甲圓組成集合A,乙圓組成集合B,丙圓組成集合C.

閾=怛|=|卜=30,B\=6,\BC|=8,|AC|=5,|ABC|=73,

而BC|=|A|+|B|-|C|-|AB\-\BC\-\AC|+|ABC\.

<73=30x3-6-8-5+1ABC\,即BC|=2,即甲、乙、丙三者的公共面積（⑧部分面積）為2.那

么只是甲與乙（④），乙與丙（⑥），甲與丙（⑤）的公共的面積依次為6-2=4,8-2=6,5-2=3,所以有陰影

部分（①、②、③部分之和）的面積為73-4-6-3-2=58.

【答案】58

【例4】如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等，都等于60平方厘米.陰影部分的面積總

和是40平方厘米,3張板蓋住的總面積是100平方厘米,3張紙板重疊部分的面積是多少平方厘米？

【考點】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答

【解析】陰影部分是有兩塊重疊的部分，被計算兩次，而三張紙重疊部分是被計算了三次.所以三張紙重疊

部分的面積=（60x3-100-40）+2=20（平方厘米）.

【答案】20平方厘米

【鞏固】如圖所示，A、B、C分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在

外面的總面積為38.若A與3、臺與C的公共部分的面積分別為8、7,A、B、C這三張紙片的

公共部分為3.求A與C公共部分的面積是多少？

【考點】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答

【解析】設A與C公共部分的面積為x,由包含與排除原理可得：

(1)先“包含"：把圖形A、B、C的面積相加：12+28+16=56,那么每兩個圖形的公共部分的面積

都重復計算了1次，因此要排除掉.

(2)再“排除"：56-8-7-尤，這樣一來，三個圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補回.

⑶再“包含“：56-8-7-X+3,這就是三張紙片覆蓋的面積.

根據上面的分析得：56-8-7-x+3=38,解得：x=6.

【答案】6

一年級(上)

一.準備課

1.數一數

2.比多少

二位置

1.上、下、前、后

2.左、右

三.1—5的認識和加減法

1.1-5的認識

2.比多少

3.第幾

4.分和合

5.加法

6.減法

7.0

四.認識圖形(一)

認識圖形

五.6—10的認識和加減法

1.6和7

2.8和9

3.10

4.連加、連減、加減混合

六.11—20各數的認識

1.11—20各數的認識

2.10加幾、十幾加幾和相應的減法

七.認識鐘表

認識鐘表

A.20以內的進位加法

1.9力口幾

2.8、7、9加幾

3.5、4、3、2加幾

4.解決問題

一年級（下）

一.認識圖形（二）

認識圖形

二.20以內的退位減法

1.十幾減9

2.十幾減8、7、6

3.十幾減5、4、3、2

4.解決問題

三.分類與整理

分類與整理

四.100以內數的認識

1.數數、數的組成

2.數的順序、比較大小

3.解決問題

4.整十數加一位數及相應的減法

五.認識人民幣

1.認識人民幣

2.簡單的計算

六.100以內的加法和減法（一）

1.整十數加、減整十數

2.兩位數加一位數、整十數

3.兩位數減一位數、整十數

4.解決問題

七.找規(guī)律

1.找規(guī)律（一）

2.找規(guī)律（二）

二年級（上）

一.長度單位

1.厘米和米

2.線段

-.100以內的加法和減法（二）

1.加法

2.減法

3.連加、連減和加減混合

三.角的初步認識

1.認識角

2.認識直角

3.認識鈍角和銳角

四.表內乘法（一）

1.乘法的初步認識

2.5的乘法口訣

3.2、3、4的乘法口訣

4.6的乘法口訣

五.觀察物體（一）

觀察物體（一）

六.表內乘法（二）

7、8、9的乘法口訣

七.認識時間

認識時間

八.數學廣角一搭配（一）

數學廣角一搭配（一）

二年級（下）

一.數據收集整理

數據收集整理

二.表內除法（一）

1.除法的初步認識

2.用2-6的乘法口訣求商

3.解決問題

三.圖形的運動（一）

1.軸對稱圖形

2.平移和旋轉

四.表內除法（二）

1.用7、8、9的乘法口訣求商

2.解決問題

五.混合運算

混合運算

六.有余數的除法

1.有余數的除法的意義和計算

2.解決問題

七.萬以內數的認識

1.1000以內數的識

2.10000以內數的認識

3.整百、整千數加減法

八.克和千克

克和千克

九.數學廣角一推理

生活中的推理

三年級（上）

一.時、分、秒

1.秒的認識

2.時間的計算

二.萬以內的加法和減法（一）

1.口算兩位數加減兩位數

2.幾百幾十加減幾百幾十

3.三位數加減三位數的估算

三.測量

1.毫米、分米的認識

2.千米的認識

3.噸的認識

四.萬以內的加法和減法（二）

1.加法

2.減法

五?倍的認識

倍的認識

六.多位數乘一位數

1.口算乘法

2.筆算乘法

3.含0的乘法

4.估算與解決問題

七.長方形和正方形

1.四邊形

2.周長、長方形和正方形周長

八.分數的初步認識

1.分數的初步認識（一）

2.分數的初步認識（二）

3.分數的簡單計算

4.分數的簡單應用

九.數學廣角一一集合

集合思想

三年級（下）

一位置與方向（一）

1認識東、南、西、北四個方向

2認識東北、東南、西北、西南四個方向

二除數是一位數的除法

1口算除法

2一位數出兩、三位數的筆算除法

3商的中間或末尾有。的筆算除法

4用估算解決問題

三復式統計表

復式統計表

四兩位數乘兩位數

1口算乘法

2筆算乘法

五面積

1面積和面積單位

2長方形、正方形面積的計算

3面積單位間的進率

六.年、月、日

1年、月、日

224時計時法

七小數的初步認識

1認識小數

2簡單的小數加、減法

八數學廣角一一搭配（二）

數學廣角一一搭配（二）

四年級（上）

一大數的認識

1億以內數的認識（一）

2億以內數的認識（二）

3數的產生、十進制計數法和億以上數的認識

4計算工具的認識、算盤和計算器

51億有多大

二公頃和平方千米

1認識公頃

2認識平方千米

三角的度量

1線段、直線、射線和角

2角的度量

3角的分類

4畫角

四三位數乘兩位數

1筆算乘法（一）

2筆算乘法（二）

五平行四邊形和梯形

1平行與垂直

2平行四邊形和梯形

六除數是兩位數的除法

1口算除法

2筆算除法（一）

3筆算除法（二）

4筆算除法（三）

5筆算除法（四）

6商的變化規(guī)律

七條形統計圖

條形統計圖

八數學廣角一一優(yōu)化

數學廣角一一優(yōu)化

四年級（下）

一四則運算

1加減法的意義和各部分間的關系

2乘除法的意義和各部分間的關系

3括號

二觀察物體（二）

觀察物體（二）

三運算定律

1加法運算定律

2乘法運算定律

四小數的意義和性質

1小數的意義和讀寫法

2小數的性質和大小比較

3小數點移動引起小數大小的變化

4小數與單位換算

5小數的近似數

五三角形

1三角形的特性

2三角形的分類

3三角形的內角和

六小數的加法和減法

工小數加減法

2小數加減混合運算

3整數加法運算定律推廣到小數

七圖形的運動（二）

1軸對稱

2平移

八平均數與條形統計圖

1平均數

2復式條形統計圖

九數學廣角一一雞兔同籠

數學廣角一一雞兔同籠

五年級（上）

一小數乘法

1小數乘整數

2小數乘小數

3積的近似數

4整數乘法

二位置

位置

三小數除法

1除數是整數的小數除法

2一個數除以小數

3商的近似數

4循環(huán)小數

5用計算器探索規(guī)律

6解決問題

四可能性

事件發(fā)生的可能性

五簡易方程

1用字母表示數

2方程的意義及等式的性質

3解方程

4實際問題與方法

六多邊形的面積

1平行四邊形的面積

2三角形的面積

3梯形的面積

4組合圖形的面積

七數學廣角一一植樹問題

數學廣角一一植樹問題

五年級（下）

一觀察物體（三）

觀察物體（三）

二因數與倍數

1因數和倍數

22、5、3的倍數的特征

3質數和合數

三長方體和正方體

1長方體和正方體的認識

2長方體和正方體的表面積

3長方體和正方體的體積

4體積單位間的進率

5容積和容積單位

四分數的意義和性質

1分數的意義

2真分數和假分數

3分數的基本性質

4約分

5通分

6分數和小數的互化

五圖形的運動（三）

圖形的運動（三）

六分數的加法和減法

1同分母分數加減法

2異分母分數加減法

3分數加減混合運算

七折線統計圖

折線統計圖

八數學廣角一一找次品

數學廣角一一找次品

六年級（上）

一分數乘法

1分數乘法

2小數乘分數與分數混合運算

3解決問題

二位置與方向（二）

位置與方向

三分數除法

1倒數的認識

2分數除法

3分數四則混合運算

4分數應用題

四比

1比的意義

2比的基本性質

3比的應用

五圓

1圓的認識

2圓的周長

3圓的面積

4扇形

六百分數（一）

1百分數的意義和寫法

2百分數與小數、分數的互化

3用百分數解決問題

七扇形統計圖

扇形統計圖

八數學廣角一一數與形

六年級（下）

一負數

負數

二百分數（二）

1折扣

2成數

3稅率

4利率

三圓柱與圓錐

1圓柱

2圓錐

四比例

1比例的意義和基本性質

2正比例和反比例的意義

3比例的應用

五數學廣角一一鴿巢問題

數學廣角一一鴿巢問題

小學五年級數學上冊復習教學知識點歸納總結

第一單元小數乘法

1、小數乘整數：

@意義一一求幾個相同加數的和的簡便運算。

如：1.5X3表示求3個1.5的和的簡便運算（或1.5的3倍是多少）。

@計算方法：先把小數擴大成整數；按整數乘法的法則算出積；再看因數

中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點。

2、小數乘小數：

@意義一一就是求這個數的幾分之幾是多少。

如:1.5X0.8就是求1.5的十分之八是多少（或求1.5的1.8倍是多少）。

@計算方法：先把小數擴大成整數；按整數乘法的法則算出積；再看因數

中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點。

注意：按整數算出積后，小數末尾的0要去掉，也就是把小數化簡；位

數不夠時，要用0占位。

3、規(guī)律：

’一個數（0除外）乘大于1的數，積比原來的數大；

<

〔一個數（0除外）乘小于1的數，積比原來的數小。

4、求近似數的方法一般有三種：

⑴四舍五入法;⑵進一法;⑶去尾法

5、計算錢數，保留兩位小數，表示計算到分；保留一位小數，表示計算

到角。

6、小數四則運算順序和運算定律跟整數是一樣的。

7、運算定律和性質：

?加法：

，加法交換律：a+b=b+a

Y

、加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

?減法：

-a-b-c=a-(b+c)

Y

ia-(b+c)=a-b-c

@乘法：

(乘法交換律：aXb=bXa

<乘法結合律：(aXb)Xc=aX(bXc)

'乘法分配律：(a+b)Xc=aXc+bXc【(a~b)Xc=aXc-bXc】

@除法：

ra+b+c=a+(bXc)

a-i-(bXc)=a4-b+c

第二單元位置

1、數對：由兩個數組成，中間用逗號隔開，用括號括起來。括號里面的

數由左至右分別為列數和行數，即“先列后行”。

2、作用：一組數對確定唯——個點的位置。經度和緯度就是這個原理。

例：在方格圖（平面直角坐標系）中用數對（3,5）表示（第三列，第

五行）。

注：（1）在平面直角坐標系中X軸上的坐標表示列，y軸上的坐標表示

行。如：數對（3,2）表示第三列，第二行。

（2）數對（X,5）的行號不變，表示一條橫線，（5,Y）的列號不變，

表示一條豎線。（有一個數不確定，不能確定一個點）

2、圖形左右平移行數不變；圖形上下平移列數不變。

第三單元小數除法

1、小數除法的意義：已知兩個因數的積與其中的一個因數，求另一個因

數的運算。

如：0.6+0.3表示已知兩個因數的積0.6與其中的一個因數0.3,求另

一個因數的運算。

2、小數除以整數的計算方法：小數除以整數，按整數除法的方法去除。

商的小數點要和被除數的小數點對齊。整數部分不夠除，商0,點上小數點。

如果有余數，要添0再除。

3、除數是小數的除法的計算方法：先將除數和被除數擴大相同的倍數，

使除數變成整數，再按“除數是整數的小數除法”的法則進行計算。

注意：如果被除數的位數不夠，在被除數的末尾用0補足。

4、在實際應用中，小數除法所得的商也可以根據需要用“四舍五入”法

保留一定的小數位數，求出商的近似數。

5、除法中的變化規(guī)律：

①商不變：被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數（0除外），商不變。

②除數不變，被除數擴大，商隨著擴大。

③被除數不變，除數縮小，商擴大。

6、循環(huán)小數：一個數的小數部分，從某一位起，一個數字或者幾個數字

依次不斷重復出現，這樣的小數叫做循環(huán)小

數。

@循環(huán)節(jié)：一個循環(huán)小數的小數部分，依次不斷重復出現的數字。如

6.3232……的循環(huán)節(jié)是32.

7、小數部分的位數是有限的小數，叫做有限小數。小數部分的位數是無

限的小數，叫做無限小數。

第四單元可能性

1、有些事件的發(fā)生是確定的，有些是不確定的。

「可能f（不能確定）

可能性，不可能］

}-?（確定）

I一定，

2、事件發(fā)生的機會（或概率）有大小。

「大----->數量多

可能性Y

小-----數量少

第五單元簡易方程

1、在含有字母的式子里，字母中間的乘號可以記作"?"，也可以省略

不寫。

注：加號、減號除號以及數與數之間的乘號不能省略。

2、aXa可以寫作a?a或a?讀作a的平方。

注：2a表示a+a；a?表示aXa

3、方程：含有未知數的等式稱為方程。

4、使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。

5、求方程的解的過程叫做解方程。

6、解方程原理：天平平衡。

等式左右兩邊同時加、減、乘、除相同的數（0除外），等式依然成立。

7、10個數量關系式：

@加法；

L和=加數+加數；

一一個加數=和-兩一個加數

◎減法：

差=被減數-減數；

被減數=差+減數；

I減數=被減數-差

@乘法：

'積=因數X因數；

<

〔一個因數=積+另一個因數

?除法：

'商=被除數+除數；

被除數=商乂除數；

、除數:被除數土商