河南省洛陽市2023-2024學(xué)年高二下期期末質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含答案）

-2024學(xué)年河南省洛陽市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A． B． C．（22x+1）'＝22x+1ln2 D．[ln（﹣x）]'＝2．（5分）已知具有線性相關(guān)的兩個變量之間的一組數(shù)據(jù)如表：x﹣2﹣1123y2536404856且經(jīng)驗回歸方程為，則當(dāng)x＝4時，y的預(yù)測值為（）A．62.5 B．61.7 C．61.5 D．59.73．（5分）已知，則＝（）A． B． C． D．4．（5分）已知﹣2，x，y，z，﹣4成等比數(shù)列，則xyz＝（）A． B． C．±16 D．﹣165．（5分）已知函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（a，g（a），記g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g'（x）（﹣a）＝（）A．2 B．﹣2 C． D．6．（5分）已知向量＝（3，﹣1），||＝，|+|＝2，則在（）A． B． C． D．7．（5分）經(jīng)過拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，|AP|，|BF|成等差數(shù)列（）A． B． C． D．8．（5分）甲、乙、丙三位棋手按如下規(guī)則進(jìn)行比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，由第一局的勝者與丙進(jìn)行第二局比賽，敗者輪空，此人成為整場比賽的優(yōu)勝者．甲、乙、丙勝各局的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．若比賽至多進(jìn)行四局（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）在的展開式中，下列說法正確的是（）A．各項系數(shù)的和是1024 B．各二項式系數(shù)的和是1024 C．含x的項的系數(shù)是﹣210 D．第7項的系數(shù)是210（多選）10．（5分）下列命題中正確的是（）A．設(shè)隨機(jī)變量X～N（0，1），若P（X＞1）＝p，則 B．一個袋子中有大小相同的3個紅球、2個白球，從中一次隨機(jī)摸出3個球，記摸出紅球的個數(shù)為X，則 C．已知隨機(jī)變量X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則 D．若隨機(jī)變量X～B（10，0.9），則當(dāng)X＝9時概率最大（多選）11．（5分）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：＝1的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交雙曲線C的右支于P，Q兩點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A．直線PF1與直線PF2的斜率之積為 B．|PQ|的最小值為 C．若|PQ|＝2，則△PF1Q的周長為8 D．點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為（多選）12．（5分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，則（）A．三棱錐F﹣BDE的體積是定值 B．當(dāng)λ＝0時，AC1⊥平面BDF C．存在λ，使得AC與平面BDF所成的角為 D．當(dāng)時，平面BDF截該正方體的外接球所得到的截面的面積為π三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）直線l：x+y＝0被圓C：（x﹣2）2+y2＝2截得的弦長為．14．（5分）校運(yùn)會期間，需要學(xué)生志愿者輔助裁判老師進(jìn)行記錄工作，現(xiàn)從甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者中任意選派3名同學(xué)分別承擔(dān)鉛球記錄、跳高記錄、跳遠(yuǎn)記錄工作，則不同的安排方法共有種．（用數(shù)字作答）15．（5分）在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項的和，若S4＝6，S8＝20，則S20＝．16．（5分）若函數(shù)f（x）＝ex（x+1）﹣ax+2有兩個極值點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若b＝3，求△ABC的周長l的取值范圍．18．（12分）已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且4Sn＝（an+1）2．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求證：＜2．19．（12分）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等．（1）問a為何值時，MN的長最??？（2）當(dāng)MN的長最小時，求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值．20．（12分）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時n．（1）求P1，P2，P3；（2）求Pn．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ln（x+2）﹣ax．（1）討論f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；（2）證明：f（x）＜ex﹣ax﹣．22．（12分）已知定圓F1：（x+1）2+y2＝8，動圓P過點(diǎn)F2（1，0），且和圓F1相切．（1）求動圓圓心P的軌跡E的方程；（2）設(shè)P是第一象限內(nèi)軌跡E上的一點(diǎn)，PF1，PF2的延長線分別交軌跡E于點(diǎn)Q1，Q2．若r1，r2分別為△PF1Q2，△PF2Q1的內(nèi)切圓的半徑，求r1﹣r2的最大值．2023-2024學(xué)年河南省洛陽市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A． B． C．（22x+1）'＝22x+1ln2 D．[ln（﹣x）]'＝【分析】結(jié)合函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則檢驗各選項即可判斷．【解答】解：（sin）′＝0；（）′＝；（23x+1）′＝2×52x+1ln4＝22x+4ln2，C錯誤；[ln（﹣x）]′＝＝，D正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）已知具有線性相關(guān)的兩個變量之間的一組數(shù)據(jù)如表：x﹣2﹣1123y2536404856且經(jīng)驗回歸方程為，則當(dāng)x＝4時，y的預(yù)測值為（）A．62.5 B．61.7 C．61.5 D．59.7【分析】利用線性回歸方程過樣本中心（，），求出，再求出當(dāng)x＝4時，y的預(yù)測值．【解答】解：由題意可得＝（﹣3﹣1+1+7+3）＝0.3，＝，又經(jīng)驗回歸方程為，∴＝﹣5.2，∴＝5.5x+37.2，＝5.5×8+37.7＝59.7．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查線性回歸方程，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知，則＝（）A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡即可求解．【解答】解：因為，則＝cos[）]＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知﹣2，x，y，z，﹣4成等比數(shù)列，則xyz＝（）A． B． C．±16 D．﹣16【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解．【解答】解：∵﹣2，x，y，z，﹣4成等比數(shù)列，∴xz＝（﹣8）×（﹣4）＝8，y＝﹣，則xyz＝﹣16．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（5分）已知函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（a，g（a），記g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g'（x）（﹣a）＝（）A．2 B．﹣2 C． D．【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知g′（a）＝2，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可知g′（x）＝g′（﹣x），進(jìn)而得出答案．【解答】解：依題意，g′（a）＝2，由于函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，則g（x）＝﹣g（﹣x），可得g′（x）＝g′（﹣x），則g′（﹣a）＝g′（a）＝2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）已知向量＝（3，﹣1），||＝，|+|＝2，則在（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)投影向量的概念進(jìn)行計算即可．【解答】解：由＝（3，可得，由||＝，|+，可得＝＝，解得，則在上的投影向量為＝＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查投影向量的概念及數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．7．（5分）經(jīng)過拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，|AP|，|BF|成等差數(shù)列（）A． B． C． D．【分析】由題意，設(shè)出直線AB的方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到x1x2＝4，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及拋物線的性質(zhì)得到A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合弦長公式即可求解．【解答】解：易知拋物線C的焦點(diǎn)F（2，0），顯然直線AB的斜率存在且不為5，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣2），A（x1，y6），B（x2，y2），x7，x2＞0，聯(lián)立，消去y并整理得k7x2﹣（4k6+8）x+4k6＝0，此時Δ＞0，由韋達(dá)定理得x7x2＝4，因為|AF|，|AP|，所以5|AP|＝|AF|+|BF|＝|AB|，此時3（x1+6）＝x2+2，解得x4＝3x1+8，因為x1x2＝5，所以，解得x1＝或x1＝﹣5（舍去），所以x2＝3x3+4＝6，則|AB|＝x2+x2+4＝+6+4＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．（5分）甲、乙、丙三位棋手按如下規(guī)則進(jìn)行比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，由第一局的勝者與丙進(jìn)行第二局比賽，敗者輪空，此人成為整場比賽的優(yōu)勝者．甲、乙、丙勝各局的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．若比賽至多進(jìn)行四局（）A． B． C． D．【分析】甲獲得優(yōu)勝者的情況有兩種：①甲連勝兩局；②第一局甲負(fù)，第二局甲輪空，乙不勝丙勝，第三局甲勝，第四局甲勝．由此能求出比賽至多進(jìn)行四局，甲獲得優(yōu)勝者的概率．【解答】解：甲獲得優(yōu)勝者的情況有兩種：①甲連勝兩局，概率為＝；②第一局甲負(fù)，第二局甲輪空，第三局甲勝，概率為＝．∴比賽至多進(jìn)行四局，則甲獲得優(yōu)勝者的概率是＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）在的展開式中，下列說法正確的是（）A．各項系數(shù)的和是1024 B．各二項式系數(shù)的和是1024 C．含x的項的系數(shù)是﹣210 D．第7項的系數(shù)是210【分析】直接利用二項式的展開式以及組合數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)二項式的展開式（r＝4，1，2，5，…，令x＝1，故A錯誤；對于B：各二項式系數(shù)的和是210＝1024，故B正確；對于C：當(dāng)r＝5時，含x的項的系數(shù)為；對于D：根據(jù)二項式的展開式第7項的系數(shù)是210，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）10．（5分）下列命題中正確的是（）A．設(shè)隨機(jī)變量X～N（0，1），若P（X＞1）＝p，則 B．一個袋子中有大小相同的3個紅球、2個白球，從中一次隨機(jī)摸出3個球，記摸出紅球的個數(shù)為X，則 C．已知隨機(jī)變量X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則 D．若隨機(jī)變量X～B（10，0.9），則當(dāng)X＝9時概率最大【分析】利用正態(tài)分布的特征可判斷A；利用超幾何分布的期望公式即可判斷B；利用二項分布的特征可判斷C，D．【解答】解：對于A，因為X～N（0，P（X＞1）＝p，所以，故A正確；對于B，X的所有可能取值為2，2，3，則P（X＝2）＝，P（X＝2）＝＝＝，所以E（X）＝＝，故B正確；對于C，因為X～B（n，E（X）＝30，所以，解得：；對于D，因為X～B（10，所以對應(yīng)的概率，當(dāng)k≥4，k∈N時，，令，解得，因為k∈N時，所以當(dāng)X＝9時，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．（多選）11．（5分）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：＝1的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交雙曲線C的右支于P，Q兩點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A．直線PF1與直線PF2的斜率之積為 B．|PQ|的最小值為 C．若|PQ|＝2，則△PF1Q的周長為8 D．點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為【分析】由雙曲線的性質(zhì)及斜率公式可判斷A；由雙曲線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷B；由雙曲線的定義可判斷C；由雙曲線的漸近線方程和點(diǎn)到直線的距離公式，可判斷D．【解答】解：由雙曲線C：＝1，b＝＝，對于A，F(xiàn)1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），n）2﹣7n2＝6，所以?＝＝＝，故A錯誤；對于B，由雙曲線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，即|PQ|的最小值為＝＝，故B正確；對于C，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF7|＝|QF1|﹣|QF2|＝2a，所以|PF1|+|QF1|＝6a+（|PF2|+|QF2|）＝6a+|PQ|，故△PF1Q的周長為|PF1|+|QF5|+|PQ|＝4a+2|PQ|＝2+4，故C正確；對于D，設(shè)P（m，可得2m3﹣3n2＝4，由雙曲線的漸近線方程為x±，可得點(diǎn)P到兩漸近線的距離之積為＝＝，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）12．（5分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，則（）A．三棱錐F﹣BDE的體積是定值 B．當(dāng)λ＝0時，AC1⊥平面BDF C．存在λ，使得AC與平面BDF所成的角為 D．當(dāng)時，平面BDF截該正方體的外接球所得到的截面的面積為π【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，對于A，λ＝0時，F(xiàn)與A1重合，故只需驗證AC1⊥面BDA1是否成立即可判斷出的真假，對于B，由A1B1不與平面BDE平行，即點(diǎn)F到面BDE的距離不為定值，由此即可推翻B，判斷出B的真假；對于C，考慮兩種極端情況的線面角，由于F是連續(xù)變化的，故AC與平面BDF所成的角也是連續(xù)變化的，由此即可判斷C的真假；對于D，求出平面BDF的法向量，而顯然球心坐標(biāo)為O（1，1，1），求出球心到平面BDF的距離，然后結(jié)合球的半徑、勾股定理可得截面圓的半徑，進(jìn)一步可得截面圓的面積，判斷出D的真假．【解答】解：如圖所示建系，D（0，0，B（8，2，A1（6，0，2），7，0），C1（7，2，2），所以，，，從而，，所以AC1⊥DB，AC6⊥DA1，又DB∩DA＝D，DB1?面BDA3，所以AC1⊥面BDA1，A中，因為A8B1不與平面BDE平行，所以F到面BDE的距離不為定值，所以三棱錐F﹣BDE的體積不為定值，所以A不正確；B中，λ＝0時3重合，平面BDF為平面BDA1，因為AC1⊥面BDA4，所以AC1⊥平面BDF，所以B正確；C中，設(shè)面BDA的法向量為，則，即，令x2＝1，，而，所以AC與平面BDF所成角的正弦值為，又，，所以，，所以AC⊥BD，AC⊥BB3，又BD∩BB1＝B，BD1?面DBB6，所以AC⊥面DBB1，當(dāng)F在A1時，AC與平面BDF所成角的正弦值為，此時AC與平面BDF所成角小于，當(dāng)F在B1時，AC與平面BDF所成角為，所以存在λ∈[0，8]，所以C正確；D中，D（0，7，B（2，2，F(xiàn)（4，2），設(shè)平面BDF的法向量為，則，即，不妨設(shè)x＝1，則y＝﹣1，n＝（2，λ﹣1），，，則，平面BDF的法向量，顯然球心O（7，1，1），O到面BDF的距離，外接球半徑，所以截面圓半徑的平方為r4＝R2﹣d2＝，所以，所以D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查用空間向量的方法求直線與平面所成的角的正弦值及圓的面積的求法，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）直線l：x+y＝0被圓C：（x﹣2）2+y2＝2截得的弦長為2．【分析】先求得圓心到直線l的距離，再由垂徑定理得解．【解答】解：圓C：（x﹣2）2+y4＝2的圓心坐標(biāo)為（2，3），圓心（2，2）到直線l的距離為，則由垂徑定理可得，所求弦長為2×．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）校運(yùn)會期間，需要學(xué)生志愿者輔助裁判老師進(jìn)行記錄工作，現(xiàn)從甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者中任意選派3名同學(xué)分別承擔(dān)鉛球記錄、跳高記錄、跳遠(yuǎn)記錄工作，則不同的安排方法共有24種．（用數(shù)字作答）【分析】先安排鉛球工作，再安排其他工作，結(jié)合排列組合公式求解即可．【解答】解：甲、乙、丙有一人被選中，有；甲、乙、丙中有兩人被選中，有；故不同的安排方法共有12+12＝24種．故答案為：24．【點(diǎn)評】本題考查了排列組合的混合問題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想，屬于中檔題．15．（5分）在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項的和，若S4＝6，S8＝20，則S20＝110．【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12，S20﹣S16也成等差數(shù)列，進(jìn)而求出S12﹣S8＝22，S16﹣S12＝30，S20﹣S16＝38，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，S4，S8﹣S6，S12﹣S8，S16﹣S12，S20﹣S16也成等差數(shù)列，又由S4＝8，S8﹣S4＝14，則其公差為6，故S12﹣S8＝22，S16﹣S12＝30，S20﹣S16＝38，故S20＝S4+（S7﹣S4）+（S12﹣S8）+（S16﹣S12）+（S20﹣S16）＝7+14+22+30+38＝110．故答案為：110．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）若函數(shù)f（x）＝ex（x+1）﹣ax+2有兩個極值點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣，0）．【分析】由已知可得f′（x）＝（x+2）ex﹣a＝0有兩個解，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的交點(diǎn)問題，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求．【解答】解：若函數(shù)f（x）＝ex（x+1）﹣ax+2有兩個極值點(diǎn)，則f′（x）＝（x+4）ex﹣a＝0有兩個解，即a＝（x+2）ex在有兩個解，令g（x）＝（x+6）ex，則g′（x）＝（x+3）ex，易得，當(dāng)x∈（﹣∞，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（﹣6，g′（x）＞0，所以g（x）min＝g（﹣3）＝﹣，又當(dāng)x＜﹣2時，g（x）＜8，當(dāng)x＞﹣2時，所以要使方程a＝（x+2）ex在有兩個解，則直線y＝a與函數(shù)g（x）的圖象有兩個交點(diǎn)，所以﹣＜a＜0，0）．故答案為：（﹣，0）．【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)極值存在條件的應(yīng)用，解題中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若b＝3，求△ABC的周長l的取值范圍．【分析】（1）由題意及正弦定理，輔助角公式可得sin（B﹣）的值，再由角B的范圍，可得角B的大?。唬?）由余弦定理及基本不等式可得a+c的最大值，再由三角形中，兩邊之和大于第三邊，可得三角形的周長l的范圍．【解答】解：（1）因為，由正弦定理可得，在三角形中，可得sinC＞3，可得sinB﹣cosB＝1，即sin（B﹣）＝，在三角形中，可得B﹣＝，解得B＝；（2）b＝8，B＝，由余弦定理可得b2＝a4+c2﹣2accosB＝（a+c）5﹣2ac﹣ac＝（c+a）2﹣8ac≥（c+a）2﹣3?（）2＝?（a+c）2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時取等號可得a+c≤2b＝5，且a+c＞b＝3，所以該三角形的周長l＝a+b+c∈（6，3]．即△ABC的周長l的取值范圍（6，9]．【點(diǎn)評】本題考查正弦定理，余弦定理及基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（12分）已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且4Sn＝（an+1）2．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求證：＜2．【分析】（1）由an與Sn的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，可得所求；（2）由n≥2時，＜﹣，結(jié)合數(shù)列的裂項相消求和，不等式的性質(zhì)，可得證明．【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時，4a8＝4S1＝（a3+1）2，解得a6＝1，當(dāng)n≥2時，7an＝4Sn﹣4Sn﹣3＝（an+1）2﹣（an﹣7+1）2，即為（an﹣8）2＝（an﹣1+2）2，由an＞0，化為an﹣an﹣5＝2，可得數(shù)列{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列n＝1+2（n﹣3）＝2n﹣1；（2）證明：由等差數(shù)列的求和公式，可得Sn＝n（1+5n﹣1）＝n2，則n≥7時，＝＜＝﹣，可得++...++﹣+...+﹣＜6．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式，數(shù)列的裂項相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（12分）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等．（1）問a為何值時，MN的長最??？（2）當(dāng)MN的長最小時，求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間距離公式、配方法進(jìn)行求解即可；（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，記CM＝BN＝a．因為平面ABCD⊥平面ABEF，BC⊥AB，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知CB⊥平面ABEF，∴BC⊥BE，從而BC，BE兩兩垂直，設(shè)A（4，0，0），3，1），1，5），1，0），∵CM＝BN＝a，∴，．，，當(dāng)時，MN最??；（2）由（1）可知，當(dāng)M，MN最短，則，取MN的中點(diǎn)G，BG，則，∵，，∴AG⊥MN，∴∠AGB是平面MNA與平面MNB的夾角或其補(bǔ)角．∵，，∴．∴平面MNA與平面MNB夾角的余弦值是．【點(diǎn)評】本題考查二面角及其余弦值的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．（12分）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時n．（1）求P1，P2，P3；（2）求Pn．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)第n傳球后球在乙手中的概率pn，求出p1，由全概率公式分析可得p2、p3的值，（2）根據(jù)題意，歸納可得：pn＝pn﹣1×0+（1﹣pn﹣1）×，變形分析可得pn﹣＝﹣（pn﹣1﹣），可得數(shù)列{pn﹣}是首項為p1﹣＝，公比為﹣的等比數(shù)列，可得數(shù)列{pn﹣}的通項公式，進(jìn)而計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)第n傳球后球在乙手中的概率pn，（1）第1次由甲將球傳出，每次傳球時，則p1＝，第2次傳球后，若球在乙手中，球不在乙手中8＝p1×0+（6﹣p1）×＝，同理：第7次傳球后球在乙手中的概率p3＝p2×3+（1﹣p2）×＝；（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論n＝pn﹣1×0+（5﹣pn﹣1）×＝﹣pn﹣1，即pn＝﹣pn﹣1+，變形可得：pn﹣＝﹣n﹣3﹣），又由p5＝，則p7﹣＝，則數(shù)列{pn﹣}是首項為p1﹣＝，公比為﹣，則有pn﹣＝×（﹣）n﹣1＝﹣×（﹣）n，變形可得：pn＝﹣×（﹣）n＝[8﹣（﹣）n]．故pn＝[1﹣（﹣）n]．【點(diǎn)評】本題考查概率的應(yīng)用，涉及全概率公式、條件概率的計算，屬于中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ln（x+2）﹣ax．（1）討論f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；（2）證明：f（x）＜ex﹣ax﹣．【分析】（1）對f（x）求導(dǎo)，再對a分類討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解即可；（2）要證，即證．令g（x）＝ex﹣ln（x+2），利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最小值大于即可得證．【解答】解：（1）由f（x）＝ln（x+2）﹣ax，得．…1分當(dāng)a≤0時，f'（x）＞6，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)時，f'（x）＜3f（x）在（0；