浙江名校新2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

浙江名校新2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．德國(guó)數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半(即)；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1(即)，不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1.對(duì)于科拉茨猜想，目前誰(shuí)也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請(qǐng)你研究：如果對(duì)正整數(shù)(首項(xiàng))按照上述規(guī)則施行變換后的第6項(xiàng)為1（注：1可以多次出現(xiàn))，則的所有不同值的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．322．在中，，則是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形3．已知直線(xiàn)和互相平行，則它們之間的距離是（）A． B． C． D．4．如圖，函數(shù)的圖像是（）A． B．C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，圓：，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，且，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．46．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，則＝A． B． C． D．8．在集合且中任取一個(gè)元素，所取元素x恰好滿(mǎn)足方程的概率是（）A． B． C． D．9．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得，，CD＝30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于A． B． C． D．10．已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數(shù)列滿(mǎn)足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．12．已知，且是第一象限角，則的值為_(kāi)_________.13．設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．14．已知,,,是球的球面上的四點(diǎn)，，，兩兩垂直，,且三棱錐的體積為，則球的表面積為_(kāi)_____．15．定義為數(shù)列的均值,已知數(shù)列的均值,記數(shù)列的前項(xiàng)和是,若對(duì)于任意的正整數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．16．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．己知點(diǎn)，直線(xiàn)l與圓C：（x一1)2＋（y一2）2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB．（1）若直線(xiàn)OA的方程為y＝一3x，求直線(xiàn)OB被圓C截得的弦長(zhǎng)；（2）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（0，2），求l的方程．18．已知點(diǎn)，圓．（1）求過(guò)點(diǎn)M的圓的切線(xiàn)方程；（2）若直線(xiàn)與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為，求的值．19．某產(chǎn)品具有一定的時(shí)效性，在這個(gè)時(shí)效期內(nèi)，由市場(chǎng)調(diào)查可知，在不做廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣(mài)出b件；若做廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元比廣告費(fèi)為千元時(shí)多賣(mài)出件。（1）試寫(xiě)出銷(xiāo)售量與n的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，廠(chǎng)家應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，做幾千元的廣告，才能獲利最大？20．求值：（1）一個(gè)扇形的面積為1，周長(zhǎng)為4，求圓心角的弧度數(shù)；（2）已知，計(jì)算.21．已知向量a=(sinθ,1)，b(1)若a⊥b，求(2)求|a

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

由題意：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半(即)；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1(即)，我們可以從第六項(xiàng)為1出發(fā)，逐項(xiàng)求出各項(xiàng)的取值，可得的所有不同值的個(gè)數(shù).【詳解】解：由題意：如果對(duì)正整數(shù)(首項(xiàng))按照上述規(guī)則施行變換后的第6項(xiàng)為1，則變換中的第5項(xiàng)一定是2，變換中的第4項(xiàng)一定是4，變換中的第3項(xiàng)可能是1，也可能是8，變換中的第2項(xiàng)可能是2，也可能是16，則的可能是4，也可能是5，也可能是32，故的所有可能的取值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用及簡(jiǎn)單的邏輯推理，屬于中檔題.2、D【解析】

先由可得，然后利用與三角函數(shù)的和差公式可推出，從而得到是直角三角形【詳解】因?yàn)?，所以所以因?yàn)樗约此运砸驗(yàn)?，所以因?yàn)?，所以，即是直角三角形故選：D【點(diǎn)睛】要判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要有以下兩條途徑：①角化邊：把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得到邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形形狀，②邊化角：把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.3、D【解析】

由已知中直線(xiàn)和互相平行，求出的值，再根據(jù)兩條平行線(xiàn)間的距離公式求得它們之間的距離．【詳解】∵直線(xiàn)和互相平行，則，將直線(xiàn)的方程化為，則兩條平行直線(xiàn)之間的距離，＝＝＝.故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條直線(xiàn)平行的性質(zhì)，兩條平行線(xiàn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．4、B【解析】

根據(jù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，去掉中絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此，函數(shù)的圖象是B選項(xiàng)中的圖象.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)與正弦函數(shù)的圖象，去掉絕對(duì)值是關(guān)鍵，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.5、A【解析】

由得，根據(jù)向量的運(yùn)算和兩點(diǎn)間的距離公式，求得點(diǎn)的軌跡方程，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解的最小值，得到答案．【詳解】設(shè)，，，由得，即，由題意可知，MN為Rt△AMB斜邊上的中線(xiàn)，所以,則又由，則，可得，化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓C3，∵M(jìn)在圓C3內(nèi)，∴MN的最小值即是半徑減去M到圓心的距離，即，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程及性質(zhì)的應(yīng)用，以及點(diǎn)圓的最值問(wèn)題，其中解答中根據(jù)圓的性質(zhì)，求得點(diǎn)的軌跡方程，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．6、B【解析】即對(duì)任意都成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，歸納得：故選點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件運(yùn)用分組求和法不難計(jì)算出數(shù)列的前項(xiàng)和為，為求的取值范圍則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，求得最后的結(jié)果7、C【解析】分析：利用平面向量的減法法則及共線(xiàn)向量的性質(zhì)求解即可.詳解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查共線(xiàn)向量的性質(zhì)，平面向量的減法法則，屬于簡(jiǎn)單題.8、B【解析】

寫(xiě)出集合中的元素，分別判斷是否滿(mǎn)足即可得解.【詳解】集合且的元素，,，，，，.基本事件總數(shù)為，滿(mǎn)足方程的基本事件數(shù)為.故所求概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】在中，由正弦定理得，解得在中，10、C【解析】

根據(jù)扇形的面積公式即可求得.【詳解】解：由題意：，所以扇形的面積為：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式，考查運(yùn)算求解能力，核心是記住公式.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

在等式兩邊取倒數(shù)，可得出，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式，即可求出.【詳解】，等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，.所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，.因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用倒數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)，同時(shí)也考查了等差數(shù)列的定義，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、；【解析】

利用兩角和的公式把題設(shè)展開(kāi)后求得的值，進(jìn)而利用的范圍判斷的范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，最后利用誘導(dǎo)公式和對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，把的值和題設(shè)條件代入求解即可.【詳解】，，即，，兩邊同時(shí)平方得到：，解得，是第一象限角，，得，，即為第一或第四象限，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的余弦公式、誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，需熟記三角函數(shù)中的公式，屬于中檔題.13、-8【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類(lèi)討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.14、【解析】

根據(jù)三棱錐的體積可求三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)，補(bǔ)體后可求三棱錐外接球的直徑，從而可計(jì)算外接球的表面積．【詳解】三棱錐的體積為，故，因?yàn)椋?，兩兩垂直，，故可把三棱錐補(bǔ)成正方體，該正方體的體對(duì)角線(xiàn)為三棱錐外接球的直徑，又體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度為，故球的表面積為.填.【點(diǎn)睛】幾何體的外接球、內(nèi)切球問(wèn)題，關(guān)鍵是球心位置的確定，必要時(shí)需把球的半徑放置在可解的幾何圖形中．如果球心的位置不易確定，則可以把該幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，便于球心位置和球的半徑的確定．15、【解析】

因?yàn)?,從而求出,可得數(shù)列為等差數(shù)列,記數(shù)列為,從而將對(duì)任意的恒成立化為,,即可求得答案.【詳解】,,故,,則,對(duì)也成立,,則,數(shù)列為等差數(shù)列,記數(shù)列為.故對(duì)任意的恒成立,可化為:,；即,解得,,故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列的單調(diào)性,掌握判斷數(shù)列前項(xiàng)和最大值的方法是解題關(guān)鍵,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.16、1.【解析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得，代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和得答案．【詳解】解：在等差數(shù)列中，由，得，，則，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和的求法，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意，求得直線(xiàn)OB的方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得圓心到直線(xiàn)OB的距離，之后應(yīng)用圓中的特殊三角形，求得弦長(zhǎng)；（2）根據(jù)題意，可判斷直線(xiàn)的斜率是存在的，設(shè)出其方程，與圓的方程聯(lián)立，得到兩根和與兩根積，根據(jù)OA⊥OB，利用向量數(shù)量積等于零得到所滿(mǎn)足的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橹本€(xiàn)OA的方程為，，所以直線(xiàn)OB的方程．從而圓心到直線(xiàn)OB的距離為：所以直線(xiàn)OB被團(tuán)C截得的弦長(zhǎng)為：．（2）依題意，直線(xiàn)l的斜率必存在，不妨設(shè)其為k，則l的方程為，又設(shè)，．由得，所以，．從而．所以．因?yàn)?，所以，即，解得．所以l的方程為．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線(xiàn)與圓的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有兩直線(xiàn)垂直的條件，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)，直線(xiàn)方程的求解，屬于簡(jiǎn)單題目.18、（1）或．（2）【解析】

(1)分切線(xiàn)的斜率不存在與存在兩種情況分析.當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)方程為,再根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求解即可.(2)利用垂徑定理根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離列出等式求解即可.【詳解】解：（1）由題意知圓心的坐標(biāo)為,半徑,當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),方程為．由圓心到直線(xiàn)的距離知,此時(shí),直線(xiàn)與圓相切．當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)的斜率存在時(shí),設(shè)方程為,即．由題意知,解得,∴方程為．故過(guò)點(diǎn)M的圓的切線(xiàn)方程為或．（2）∵圓心到直線(xiàn)的距離為,∴,解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與圓相切與相交時(shí)的求解.注意直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)時(shí)分析斜率不存在與存在兩種情況.直線(xiàn)與圓相切用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑列式,直線(xiàn)與圓相交用垂徑定理列式.屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】試題分析：(1)根據(jù)若做廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元比廣告費(fèi)為千元時(shí)多賣(mài)出件，可得，利用疊加法可求得.(2)根據(jù)題意在時(shí),利潤(rùn),可利用求最值.試題解析：（1）設(shè)表示廣告費(fèi)為0元時(shí)的銷(xiāo)售量，由題意知，由疊加法可得即為所求。（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，獲利為元，由題意知，，欲使最大，則，易知，此時(shí).考點(diǎn)：疊加法求通項(xiàng),求最值.20、（1）；（2）.【解析】

（1）設(shè)出扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，利用面積、周長(zhǎng)的值，得到關(guān)于的方程；（2）由已知條件