2025屆廣東省實驗中學數(shù)學高一下期末質量檢測試題含解析

2025屆廣東省實驗中學數(shù)學高一下期末質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)圖象向右平移個單位長度，所得圖象關于原點對稱，則在上的單調遞增區(qū)間為()A． B． C． D．2．已知實數(shù)滿足，則的最大值為（）A．8 B．2 C．4 D．63．在△中，若，則△為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形4．將甲、乙兩個籃球隊5場比賽的得分數(shù)據(jù)整理成如圖所示的莖葉圖，由圖可知以下結論正確的是()A．甲隊平均得分高于乙隊的平均得分中乙B．甲隊得分的中位數(shù)大于乙隊得分的中位數(shù)C．甲隊得分的方差大于乙隊得分的方差D．甲乙兩隊得分的極差相等5．如圖，正四面體，是棱上的動點，設（），分別記與，所成角為，，則（）A． B． C．當時， D．當時，6．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，那么目標函數(shù)的最大值是（）A．0 B．1 C． D．107．如圖，向量，，的起點與終點均在正方形網(wǎng)格的格點上，若，則（）A． B．3 C．1 D．8．是邊AB上的中點，記，，則向量()A． B．C． D．9．直線的傾斜角的大小為（）A． B． C． D．10．若直線過點，則此直線的傾斜角是（）A． B． C． D．90。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．正項等比數(shù)列中，，，則公比__________．12．已知正實數(shù)滿足，則的最大值為_______.13．方程在區(qū)間上的解為___________．14．已知，，若，則________.15．已知，向量的夾角為，則的最大值為_____.16．設在的內(nèi)部，且，的面積與的面積之比為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，與的夾角是（1）計算：①，②；（2）當為何值時，與垂直？18．某校為創(chuàng)建“綠色校園”，在校園內(nèi)種植樹木，有A、B、C三種樹木可供選擇，已知這三種樹木6年內(nèi)的生長規(guī)律如下：A樹木：種植前樹木高0.84米，第一年能長高0.1米，以后每年比上一年多長高0.2米；B樹木：種植前樹木高0.84米，第一年能長高0.04米，以后每年生長的高度是上一年生長高度的2倍；C樹木：樹木的高度（單位：米）與生長年限（單位：年，）滿足如下函數(shù)：（表示種植前樹木的高度，取）．（1）若要求6年內(nèi)樹木的高度超過5米，你會選擇哪種樹木？為什么？（2）若選C樹木，從種植起的6年內(nèi)，第幾年內(nèi)生長最快？19．在中，分別是角的對邊，.(1)求的值；(2)若的面積，，求的值.20．已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別是240，160，160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動。（1）應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？（2）設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作，求事件M“抽取的2名同學來自同一年級”發(fā)生的概率。21．一個盒子中裝有4張卡片，每張卡片上寫有1個數(shù)字，數(shù)字分別是1、2、3、4，現(xiàn)從盒子中隨機抽取卡片.(Ⅰ)若一次從中隨機抽取3張卡片，求3張卡片上數(shù)字之和大于或等于7的概率；(Ⅱ)若第一次隨機抽取1張卡片，放回后再隨機抽取1張卡片，求兩次抽取的卡片中至少一次抽到數(shù)字2的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關系結合函數(shù)關于原點對稱的性質求出的值，結合函數(shù)的單調性進行求解即可．【詳解】函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到，所得圖象關于原點對稱，則，得，，∵，∴當時，，則，由，，得，，即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，∵，∴當時，，即，即在上的單調遞增區(qū)間為，故選：A．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，求出函數(shù)的解析式結合三角函數(shù)的單調性是解決本題的關鍵．2、D【解析】

設點，根據(jù)條件知點均在單位圓上，由向量數(shù)量積或斜率知識，可發(fā)現(xiàn)，對目標式子進行變形，發(fā)現(xiàn)其幾何意義為兩點到直線的距離之和有關.【詳解】設，，均在圓上，且，設的中點為，則點到原點的距離為，點在圓上，設到直線的距離分別為，，，.【點睛】利用數(shù)形結合思想，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的幾何意義，即構造系數(shù)，才能看出目標式子的幾何意義為兩點到直線距離之和的倍.3、A【解析】

利用正弦定理化簡已知條件，得到，由此得到，進而判斷出正確選項.【詳解】由正弦定理得，所以，所以，故三角形為等腰三角形，故選A.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理判斷三角形的形狀，考查同角三角函數(shù)的基本關系式，屬于基礎題.4、C【解析】

由莖葉圖分別計算甲、乙的平均數(shù)，中位數(shù)，方差及極差可得答案．【詳解】29；30，∴∴A錯誤；甲的中位數(shù)是29，乙的中位數(shù)是30，29<30,∴B錯誤；甲的極差為31﹣26＝5，乙的極差為32﹣28＝4，5∴D錯誤；排除可得C選項正確，故選C．【點睛】本題考查了由莖葉圖求數(shù)據(jù)的平均數(shù)，極差，中位數(shù)，運用了選擇題的做法即排除法的解題技巧，屬于基礎題.5、D【解析】作交于時，為正三角形，，是與成的角，根據(jù)等腰三角形的性質，作交于，同理可得，當時，，故選D．6、D【解析】

根據(jù)約束條件，畫出可行域，再平移目標函數(shù)所在的直線，找到最優(yōu)點，將最優(yōu)點的坐標代入目標函數(shù)求最值.【詳解】畫出可行域（如圖），平移直線，當目標直線過點時，目標函數(shù)取得最大值，．故選：D【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值問題，還考查了數(shù)形結合的思想，屬于基礎題.7、A【解析】

根據(jù)圖像，將表示成的線性和形式，由此求得的值，進而求得的值.【詳解】根據(jù)圖像可知，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查平面向量的線性運算，考查平面向量基本定理，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.8、C【解析】由題意得，∴．選C．9、B【解析】

由直線方程,可知直線的斜率，設直線的傾斜角為，則，又，所以，故選．10、A【解析】

根據(jù)兩點間斜率公式,可求得斜率.再由斜率與傾斜角關系即可求得直線的傾斜角.【詳解】直線過點則直線的斜率設傾斜角為,根據(jù)斜率與傾斜角關系可得由直線傾斜角可得故選:A【點睛】本題考查了直線斜率的求法,斜率與傾斜角關系,屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質可得，進而分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，，則，又由數(shù)列是正項的等比數(shù)列，所以.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式，以及注意數(shù)列是正項等比數(shù)列是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.12、【解析】

對所求式子平邊平方，再將代入，從而將問題轉化為求【詳解】∵∵，∴，∴，等號成立當且僅當.故答案為：.【點睛】本題考查條件等式下利用基本不等式求最值，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意等號成立的條件.13、【解析】試題分析：化簡得：，所以，解得或（舍去），又，所以.【考點】二倍角公式及三角函數(shù)求值【名師點睛】已知三角函數(shù)值求角，基本思路是通過化簡，得到角的某種三角函數(shù)值，結合角的范圍求解.本題難度不大，能較好地考查考生的邏輯推理能力、基本計算能力等.14、【解析】

先算出的坐標，然后利用即可求出【詳解】因為，所以因為，所以即，解得故答案為：【點睛】本題考查的是向量在坐標形式下的相關計算，較簡單.15、【解析】

將兩邊平方，化簡后利用基本不等式求得的最大值.【詳解】將兩邊平方并化簡得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值為.【點睛】本小題主要考查平面向量模的運算，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.16、1:3【解析】

記,，可得：為的重心，利用比例關系可得：，,，結合：即可得解.【詳解】記,則則為的重心，如下圖由三角形面積公式可得：，,又為的重心，所以，所以所以【點睛】本題主要考查了三角形重心的向量結論，還考查了轉化能力及三角形面積比例計算，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①；②；（2）.【解析】

利用數(shù)量積的定義求解出的值；（1）將所求模長平方，從而得到關于模長和數(shù)量積的式子，代入求得模長的平方，再開平方得到結果；（2）向量互相垂直得到數(shù)量積等于零，由此建立方程，解方程求得結果.【詳解】由已知得：（1）①②（2）若與垂直，則即：，解得：【點睛】本題考查利用數(shù)量積求解向量的模長、利用數(shù)量積與向量垂直的關系求解參數(shù)的問題.求解向量的模長關鍵是能夠通過平方運算將問題轉化為模長和數(shù)量積運算的形式，從而使問題得以求解.18、（1）選擇C；（2）第4或第5年.【解析】

（1）根據(jù)已知求出三種樹木六年末的高度，判斷得解；（2）設為第年內(nèi)樹木生長的高度，先求出，設，則，．再利用分析函數(shù)的單調性，分析函數(shù)的圖像得解.【詳解】（1）由題意可知，A、B、C三種樹木隨著時間的增加，高度也在增加，6年末：A樹木的高度為（米）：B樹木的高度為（米）：C樹木的高度為（米），所以選擇C樹木．（2）設為第年內(nèi)樹木生長的高度，則，所以，，．設，則，．令，因為在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當時，取得最小值，從而取得最大值，此時，解得，因為，，故的可能值為3或4，又，，即．因此，種植后第4或第5年內(nèi)該樹木生長最快．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列求和，考查函數(shù)的圖像和性質的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于難題.19、(1)4；(2)【解析】

（1）利用兩角差的正弦和正弦定理將條件化成，再利用余弦定理代入，即可求得的值；（2）由可求得，的值，再由面積公式求得，結合余弦定理可得，解方程即可得答案.【詳解】(1)∵，∴，∴∴，解得：.(2)，，，，，∵，∴.【點睛】本題考查兩角差的正弦、正弦定理、余弦定理的應用，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.20、(1)應分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人(2)P【解析】

（1）由分層抽樣的性質可得甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3：2：2，可得抽取7名同學，應分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人；(2)從抽出的7名同學中隨機抽取2名的所有可能結果為21種，其中2名同學來自同一年級的所有可能結果為5種，可得答案.【詳解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)之比為3：2：2因為采取分層抽樣的方法抽取7名同學，所以應分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人（2）從抽出的7名同學中隨機抽取2名的所有可能結果為：ABACADAEAFAGBCBDBEBFBGCDCECF共21種CGDEDFDGEFEGFG不妨設抽出的7名同學中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則2名同學來自同一年級的所有可能結果為：AB，AC，BC，DE，F(xiàn)G共5種P【點睛】本題主要考查分層抽樣及利用列舉法求時間發(fā)生的概率，相對簡單.21、（1）（2）【解析】

古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點結合在一起，實際上是以概率問題為載體，主要考查的是另一個知識點（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗包含的所有事件是任取三張卡片，三張卡片上的數(shù)字全部可能的結果，可以列舉出，而滿足條件的事件數(shù)字之和大于7的，可以從列舉出的結果中看出．（2）列舉出每次抽1張，連續(xù)抽取兩張全部可能的基本結果，而滿足條件的事件是兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字3，從前面列舉出的結果中找出來．解：(Ⅰ)設A表示事件“抽取3張卡片上的數(shù)字之和大于或等于7”，任取三張卡片，三張卡片上的數(shù)字全部可能的結果是（1、2