新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修二第四章圓與方程-經(jīng)典例題-【含答案】

精選新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修二第

四章圓與方程-經(jīng)典例題-【含答

案】

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

習(xí)題精選精講圓標(biāo)準(zhǔn)方程

圓心C(a,b)和半徑r,即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(X—。)2+(y—/?)2=r2；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2,即得圓心。(a,b)

和半徑r,進(jìn)而可解得與圓有關(guān)的任何問題.

一、求圓的方程

例1(06重慶卷文)以點(diǎn)(2,—1)為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為()

(A)(x—2)~+(y+1)~=3(B)(x+2)~+(y—1)_=3

(C)(尤一2)2+0+1)2=9(D)(X+2)2+(y-l)2=9

|6+4+5|,,

解圓心為(2,—1),且由題意知線心距等于圓半徑，即“=!?,'=3=廠，.?.所求的圓方程為(龍一+(曠+1)-=9,應(yīng)

A/32+42

選(C).

點(diǎn)評(píng)：一般先求得圓心和半徑，再代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)?+(y一與2=/即得圓的方程.

二、位置關(guān)系問題

例2(06安徽卷文)直線x+y=1與圓+y2—2a>=0(a>())沒有公共點(diǎn)，那么a的取值范圍是()

(A)(0,V2—1)(B)(V2—1,5/2+1)

(C)(―V2—1,A/2+1)(D)(0,V2+1)

解化為標(biāo)準(zhǔn)方程—+(>—a)2=。2,即得圓心C(0,q)和半徑r=4.

?.?直線x+y=1與圓沒有公共點(diǎn)，.?.線心距a>r=a,平方去分母得a之-2a+1>2<?,解得一行一1<a<A/2—1,

注意到a>0,...OvacJE-l,應(yīng)選(A).

點(diǎn)評(píng)：一般通過比擬線心距，/與圓半徑r的大小來(lái)處理直線與圓的位置關(guān)系：”>ro線圓相離；"=廠=線圓相切；d<ro線

圓相交.

三'切線問題

例3(06重慶卷理)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓x?-4%+2丁+：=0相切的直線方程為()

(A)y=_3x或y=§x(B)y=3x或y=一§x

(c)y=-3%或y=-;x(D),=3%或>=；》

解化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-2)2+(y+l)2=3，即得圓心以2,-1)和半徑r=祗.

\2k+11fs

設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為y=即=二線心距d=乙..』=r=、一，平方去分母得(3左一1)(4+3)=0,解得

揚(yáng)+i)2

左=-3或g,.?.所求的切線方程為y=—3x或y=；x,應(yīng)選(A).

點(diǎn)評(píng)：一般通過線心距”與圓半徑r相等和待定系數(shù)法，或切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑來(lái)處理切線問題.

四、弦長(zhǎng)問題

例4(06天津卷理)設(shè)直線ax-y+3=0與圓(x—+(>-2尸=4相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2月，那么a=—.

解由圓(龍一1產(chǎn)+(y—2)2=4,即得圓心。(1,2)和半徑廠=2.

?.?線心距d=?+”,且”2+(竺了=戶,(?+]>+(V3)2=22,即(a+=/+1,解得=o.

J/+i2加+i

2

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

點(diǎn)評(píng)：一般在線心距1、弦長(zhǎng)A8的一半和圓半徑r所組成的直角三角形中處理弦長(zhǎng)問題：J2+(——)2=/.

2

五、夾角問題

例5(06全國(guó)卷一文)從圓x2-2x+y2-2y+l=0外一點(diǎn)P(3,2)向這個(gè)圓作兩條切線，那么兩切線夾角的余弦值為()

13V3

(A)-(B)-(C)—(D)0

252

解圓化為。一1)2+(y-l)2=1,即得圓心C(l,l)和半徑r=l.

Q2

設(shè)由P(3,2)向這個(gè)圓作的兩條切線的夾角為8,那么在切線長(zhǎng)半徑r和|pq構(gòu)成的直角三角形中，cos—=〒，

2-75

903

cos6=2cos—1=—,應(yīng)選（B）.

25

點(diǎn)評(píng)：處理兩切線夾角。問題的方法是：先在切線長(zhǎng)、半徑，?和|尸。所構(gòu)成的直角三角形中求得5的三角函數(shù)值，再用二倍角公式解決

夾角。問題.

六、圓心角問題

例6(06全國(guó)卷二)過點(diǎn)(1,J5)的直線/將圓(》-2)2+:/=4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線/的斜率左=_.

解由圓(X-2尸+/=4,即得圓心。(2,0)和半徑尸=2.

設(shè)p(i,正)，那么上比=-Vi；...pc,直線/時(shí)弦最短，從而劣弧所對(duì)的圓心角最小，，直線/的斜率左=一一—.

kpc2

點(diǎn)評(píng)：一般利用圓心角及其所對(duì)的弧或弦的關(guān)系處理圓心角問題：在同圓中，假設(shè)圓心角最小那么其所對(duì)的弧長(zhǎng)與弦長(zhǎng)也最短，假設(shè)弧長(zhǎng)

與弦長(zhǎng)最短那么所對(duì)的圓心角也最小.

七、最值問題

例7(06湖南卷文)圓+y2—4x—4y—10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最大距離與最小距離的差是()

(A)30(B)18(C)6A/2(D)5A/2

解圓化為(x—2)2+(y—2)2=18,即得圓心C(2,2)和半徑/?=3JL

設(shè)線心距為d,那么圓上的點(diǎn)到直線x+y—14=0的最大距離為d+r,最小距離為d—r,...(d+r)-m-r)=2r=6j5,

應(yīng)選(C).

點(diǎn)評(píng)：圓上一點(diǎn)到某直線距離的最值問題一般轉(zhuǎn)化為線心距”與圓半徑/?的關(guān)系解決：圓上的點(diǎn)到該直線的最大距離為d+r,最小距離

為d-r.

八、綜合問題

例8(06湖南卷理)假設(shè)圓工2+丁2—4x—410=0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線/:ar+勿=()的距離為2近，那么直線/的

傾斜角的取值范圍是()

(A)春勺/吟，黑(?！?芻(D)[0，g]

1241212o32

解圓化為(x-2)2+(y-2)2=18,即得圓心C(2,2)和半徑r=3JL

?.?圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線I:ax+by=0的距離為2J5，:.d=<r-2V2=V2,即。2+4。8+匕24o,

a2+b2

由直線/的斜率左=一@代入得Z2—4左+140,解得2—+石，又tan±=2-J5,tan?=2+.?.直線/的

b1212

乃5TT

傾斜角的取值范圍是[五,，應(yīng)選(B).

點(diǎn)評(píng)：處理與圓有關(guān)的任何問題總是先通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而以“圓心半徑線心距〃的七字歌得到正確而迅速地解決.

3

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

圓的方程

1.確定圓方程需要有三個(gè)互相獨(dú)立的條件.圓的方程有兩種形式，要注意各種形式的圓方程的適用范圍.

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(X—a)2+(y—b)2==2,其中(a,b)是圓心坐標(biāo)，r是圓的半徑；

DE^D2+E2-4F

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx4-Ey4-F=0(D2+E2-4F>0),圓心坐標(biāo)為(—,——),半徑為r=

222

2.直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.

(1)法一：直線：Ax+By+C=O;圓：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

%>00相交

::+y^Dx+EyF=0甄-元二次方程

+A=0O相切

△<0O相離

d<rO相交

\A.u+Bb+c\

(2)法二：直線：Ax+By+C=0；0|：(x—a)2+(y—6)2=1^,圓心(a,b)到直線的距離為d=----.-—f■d=rU>相切.

^IA2+B2

d>r=相離

3.兩圓的位置關(guān)系的判定方法.

設(shè)兩圓圓心分別為O1、02,半徑分別為ri、rz,IO1O2I為圓心距，那么兩圓位置關(guān)系如下：

I0102I>門+=2=兩圓外離；

I0102I=門+門=兩圓外切；

IFl—F2I<IO1O2|<門+[2=兩圓相交；

IO1O1I=In—F2I=兩圓內(nèi)切；

0<IO1O2I<Iri—F2I。兩圓內(nèi)含.

?點(diǎn)擊雙基

L方程好+/一2(什3)x+2(1-4產(chǎn))產(chǎn)16心9=0(f￡R)表示圓方程，那么f的取值范圍是

111

A.-l</<-DA<t<2

727

解析：由O2+0-4QO,得，2_6LkO,即一！《1.答案：C

7

2.點(diǎn)尸(5?+b12a)在圓(x-1)2+y=1的內(nèi)部，那么。的取值范圍是

A?IaIV1B.aV—C.IaIV—DIaIV—

13513

解析：點(diǎn)尸在圓(X—1)2+y=l內(nèi)部。(5fl+l-l)2+(12a)2<1<=>laiV-U答案：D

13

2

3.圓的方程為(x-a)+(y-b)2=/(r>0),以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是

A.當(dāng)標(biāo)+從=3時(shí)，圓必過原點(diǎn)B.當(dāng)。=r時(shí)，圓與y軸相切

C.當(dāng)力=/?時(shí)，圓與x軸相切D.當(dāng)》vr時(shí)，圓與x軸相交

解析：圓的圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為心當(dāng)?時(shí)，圓心到x軸的距離為網(wǎng)，只有當(dāng)步|"時(shí)，才有圓與工軸相交，而板:，不能保證族|vr,

故。是錯(cuò)誤的.應(yīng)選0.答案：D

?典例剖析

【例2】一圓與)，軸相切，圓心在直線x-3y=。上，且直線產(chǎn)x截圓所得弦長(zhǎng)為2J7,求此圓的方程.

剖析：利用圓的性質(zhì)：半弦、半徑和弦心距構(gòu)成的直角三角形.

解：因圓與y軸相切，且圓心在直線x—3y=0上，故設(shè)圓方程為(x—3。)2+(y—))2=9b2,

又因?yàn)橹本€產(chǎn)X截圓得弦長(zhǎng)為2J7,那么有(2(77)2="2,解得方=土1.故所求圓方程為

“y+

(X—3)2+(j—1)2=9或(x+3)2+(j+1)2=9.

夯實(shí)根底

L方程/+丁2+5+3+尸=。(D2+E2-4F>0)表示的曲線關(guān)于x+y=0成軸對(duì)稱圖形，那么

A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.。+￡+戶=0

解析：曲線關(guān)于x+y=0成軸對(duì)稱圖形，即圓心在x+y=0上.答案：A

4

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

2.（2023年全國(guó)II,8）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)4（1,2）距離為1,且與點(diǎn)8（3,1）距離為2的直線共有

A.1條B.2條C.3條0.4條

解析：分別以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求.答案：B

3.（2023年黃岡市調(diào)研題）圓6y+3=0上兩點(diǎn)P、。關(guān)于直線Ax—y+4=0對(duì)稱，那么％=___________.

解析：圓心（-'g,3）在直線上，代入*x—y+4=0,得*=2.答案：2

4.（2023年全國(guó)卷0,16）設(shè)P為圓F+y2=i上的動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到直線”一4y~10=0的距離的最小值為.

解析：圓心（0,0）到直線3x—4y—10=0的距離~=2.再由d—『2-1=1,知最小距離為1.答案：1

5.（2023年啟東市調(diào)研題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線X2+/+2X-6J+1=0上有兩點(diǎn)P、Q,滿足關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱，又滿足而?OQ=0.

（1）求，”的值；（2）求直線PQ的方程.

解：（1）曲線方程為（*+1）2+3）2=9表示圓心為（一1,3）,半徑為3的圓.

?.■點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線x+/ny+4=0對(duì)稱，二圓心（一1,3）在直線上.代入得，”=-1.

（2）..,直線PQ與直線y=x+4垂直，

；?設(shè)尸（xi,yi）、Q（X2,J2）,尸。方程為產(chǎn)一x+b.將直線產(chǎn)一x+6代入圓方程，得2f+2（4—/＞）x+b2-6b+l=0.

4=4（4—b）2—4X2X（b2—6b+l）＞0,得2—3幼＜2+3.由韋達(dá)定理得xi+X2=—（4—5）,x\,X2=——竺±1.

ji?yi=b2—b(X1+X2)+x1?X2------------------OP?OQ=0,/.xiX2+jij2=0,即/—6b+l+48=0.

2一

解得b=l￡(2—3^2,2+3V2).二所求的直線方程為y=-x+L

培養(yǎng)能力

7.實(shí)數(shù)x、y滿足方程好+產(chǎn)―4x+l=0.求（1））的最大值和最小值；（2）y—x的最小值;

X

（3）/+產(chǎn)的最大值和最小值.

解：（1）如圖，方程/+/2—以+1=0表示以點(diǎn)（2,0）為圓心，以百為半徑的圓.

設(shè)上=公即嚴(yán)床，由圓心（2,0）到戶A*的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.由隼』=百，

X—2+1

解得左2=3.所以Armax=V3,kmin=—^3.

（2）設(shè)丫一產(chǎn)瓦那么產(chǎn)x+瓦僅當(dāng)直線產(chǎn)x+8與圓切于第四象限時(shí)，縱軸截距，，取最小值.由點(diǎn)到直線的距離公式，得|2一”絲當(dāng),

V2

即b=—2±V6,故（y—x）min=-2—y[6.

（3）F+必是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離之平方，故連結(jié)OC,與圓交于B點(diǎn)，并延長(zhǎng)交圓于C',那么（x"y2）mas=|oCI=2+百，（*z+y2）min=|

OBI=2一技

8.（文）求過兩點(diǎn)4（1,4）、B（3,2）,且圓心在直線），=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.并判斷點(diǎn)Mt（2,3）,Mi（2,4）與圓的位置關(guān)系.

解：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，只要求得圓心坐標(biāo)和圓的半徑即可.

4-2

因?yàn)閳A過4、8兩點(diǎn)，所以圓心在線段AB的垂直平分線上.由心片-----=-1,AB的中點(diǎn)為（2,3）,

1-3

故AB的垂直平分線的方程為y—3=x—2,即x—y+l=0.又圓心在直線y=0上，因此圓心坐標(biāo)是方程組

戶一y+l=0,

r°」的解目n[MI心巫蹤

瘁徑—1）2+（0-4）2=而，所以得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X+1）2+產(chǎn)=20.

5

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

因?yàn)镸i到圓心C(-1,0)的距離為J(2+l)2+(3-00,附c|<r,所以M在圓C內(nèi)；而點(diǎn)Mi到圓心C的距離

\MzC\=7(2+1)2+(4-0)2=后>病，所以粉在圓C外.

“求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x—4=0和》2+>2+6曠-28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x-y-4=()上的圓的方程。"同學(xué)們普遍使用

下面兩種方法求解：

方法一：先求出兩圓交點(diǎn)4(一1,3),42(—6,—2),再設(shè)圓心坐標(biāo)為3s+4])，根據(jù)總理=同2卻=l，可求出圓心坐標(biāo)及半徑r,

于是可得所求圓方程。

方法二：先求出兩圓交點(diǎn)A(—1,3),人2(—6,—2),再設(shè)所求圓的方程為：X2+/+女+4+/=0,其圓心為(一?,一亨)，代入

X-y-4=0,再將Al,A?兩點(diǎn)坐標(biāo)代入所設(shè)圓的方程，可得三個(gè)關(guān)于D,E,F的三元一次方程組，求出D,E,F的值，這樣便可得所求圓的方

程。

但是如果我們利用“過兩圓交點(diǎn)的圓系"的方法求解，可以更加方便。

經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的圓系

22

設(shè)圓Cl與C2的方程為：Cl：x+y+D[x+Eiy+Ft=0

C2：x~+y~+D,x+E、y+F2—0.

并且兩圓相交于兩點(diǎn)。引進(jìn)一個(gè)參數(shù)九，并令：

x~+y~+D]X+gy+4+2(x~++D-,x+E、y+F2)=0----0其中4工-1。

引進(jìn)兩個(gè)參數(shù)4和九2,并令：

4(廠+y~+￡)|X+gy+片)+4(x~++D->x+E2y+乃)=0---②其中4+4工0

不管參數(shù)取何值，方程①與②中的；2項(xiàng)和y2項(xiàng)的系數(shù)相等，%程沒看xy項(xiàng)，而且兩圓的兩個(gè)企點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程①與②，所以①與②都

是經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的圓系，但是①與②稍有不同：

(1)當(dāng)；1=0時(shí)，方程①的曲線就是圓C1；不管4為何值，方程①的曲線都不會(huì)是圓C2.所以方程①表示經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的一切圓，包括

圓G在內(nèi)，但不包括圓C2。

(2)當(dāng)4=0時(shí)，方程②的曲線就是圓Cz;當(dāng)4=0時(shí)，方程②的曲線就是圓

Cu所以方程②表示經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的一切圓，包括圓G和圓Cz在內(nèi)。

下面應(yīng)用圓系來(lái)解本文前面的問題：

設(shè)經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的圓的方程為：

33A

x~+y~+6x—4+A(x~+y+6y—28)=0.(A-1)那么其圓心坐標(biāo)為(------,--------)

1+21+2

33/1

?:所求圓的圓心在直線x-y—4=0上；.------+-------4=0,解得/1=-7

1+21+A

所求圓的方程為：x~+y~+6x—4—7(x~+y~+6y—28)=0即：x~+y~—x+7y—32=0

下面再舉兩例說明圓系的應(yīng)用

例1.求經(jīng)過兩圓：X2+'2-4》一6=0和》2+丫2-4>一6=0的交點(diǎn)且圓心的橫坐標(biāo)為3的圓的方程。

解：設(shè)經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓系的方程為：

x2+y2-4x-6+A(x2+/-4y-6)=0(2*-1)

221

其圓心的橫坐標(biāo)為：x=——，令------3得2=一一

1+21+A3

/.所求圓的方程為：X2x2+y2-6x+2y-6=0

例2.設(shè)圓方程為:

6

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

(A+4)x2+(2+4)y2+(22+4)x+(122+4O)y-48A-164=0其中力工一4

求證：不管尤為何值，所給圓必經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)。

證明：把所給方程寫為：4(x2+y2+x+10y-41)+2(x2+/+2x+12y-48)=0

這是經(jīng)過以下兩個(gè)圓的交點(diǎn)的圓系的方程：

x2+y2+Jc+10v-41=0.

,,所以，不管；I為何值，所給圓必經(jīng)過這兩個(gè)圓的兩個(gè)交點(diǎn)

x2+y2+2x+12y-48=0

直線與圓的位置關(guān)系

二、例題選析

例1：求由以下條件所決定圓+；/=4的圓的切線方程；

⑴經(jīng)過點(diǎn)尸(萬(wàn)1),(2)經(jīng)過點(diǎn)Q(3,0),(3)斜率為一1

解：⑴???(內(nèi)產(chǎn)+產(chǎn)=4.?.點(diǎn)P(、反1)在圓上，故所求切線方程為J3x+y=4。

(2)v32+02>4.?.點(diǎn)Q在圓外。

設(shè)切線方程為y=k(x-3)即kx-y—3Z=()

|一3左|2r

1

?.,直線與圓相切，.?.圓心到直線的距離等于半徑，/--I--=2,.?.4=±—，5

\+k25

...所求切線方程為y=±2百(X—3)。

(3)設(shè)圓的切線方程為y=-x+Z?,代入圓的方程。整理得，—2法+匕2-4=0,?.?直線與圓相切

A=(-2b)2—4x2(6?-4)=0,解得b—±2^/2.

...所求切線方程為x+y±272=0.

小結(jié)：利用圓心到切線的距離等于半徑是解決圓的切線問題的常用方法。判別式法求切線方程適用圓錐曲線，當(dāng)然對(duì)于圓也適用。

例2：點(diǎn)P(xo，y())在圓”?+y2+。丫+或+尸=0的外部，過P作圓的切線，切點(diǎn)為M,求證

1PM="4+y；+DXq+￡>o+F.

￡)E

證明：如圖7-53T,圓心C(---,---)?

22

7

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

半徑|。河|=（，￡>2+后2-4萬(wàn),

\CP\=J（X0+/）2+（M）+

由勾股定理得

\PM\=yl\CP\2-\CM\2

E、22

Y（/+萬(wàn)D）2+（,>。+萬(wàn)E）.D+E4-4F

=4x；+y：+￡>/+E%+F

8

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

小結(jié)：（1）此題的證明，給出了切線長(zhǎng)公式，即將圓外一點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的一般方程左端，再取算術(shù)平方根即為切線長(zhǎng)。

⑵以|CP|為直徑的圓與圓C相交于A/、N兩點(diǎn),那么M、N為切點(diǎn)。假設(shè)圓C的方程為X?+y2=產(chǎn)，那么兩切點(diǎn)連線所在的直線

方程為XoX+y（）y=r.

例3：從圓外一點(diǎn)P（。力）向圓X?+y2=廠2引割線，交該圓于A、B兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)軌跡方程。

9

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

解：如圖7-53-2,設(shè)A8的中點(diǎn),

連接OA7,OM=(x,y),PM=(x-a,y-b),

:.OM~PM=Ot

即(%,y)(x-a,y-b)=O

:.x(x-a)+y(y-h)=O

Ax2+y2-ax-by=0,(-r<x<r)

10

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

小結(jié)：此題用向量法求得軌跡方程，顯得簡(jiǎn)明快捷。讀者可用一般方法求軌跡方程，即設(shè)出割線方程，和圓聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理建立中點(diǎn)

坐標(biāo)的參數(shù)方程，繼而求得普通方程。還可用兩直線垂直的充要條件，但必須討論斜率存在與不存在兩種情況。都比向量法要麻煩。

備選例題：

例4?:對(duì)于圓+（了-1）2=1上任意一點(diǎn)p（x,y）,不等式x+y+m2（）恒成立，求實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍。

11

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

解一：作直線/：y=-x,

如圖：7-53-3

向下平移與圓相切和相離時(shí)有

x+y+，"2O恒成立，

由點(diǎn)到直線的距離公式

l1+mkj

得<Q-=>722>V2-1?

m>0

軸對(duì)稱

軸對(duì)稱是解析幾何的一個(gè)重要內(nèi)容，利用它不僅可以解決點(diǎn)、線、曲線等關(guān)于直線的對(duì)稱問題,而且還可以解決諸如最值、光線反射、

角平分線等問題，并且常得到意想不到的效果。本文將以數(shù)例來(lái)談?wù)勊膽?yīng)用。

例1、點(diǎn)A(4,1),B(0,4),在直線L：y=3x-l上找一點(diǎn)P,求使|PA|-|PB|最大時(shí)P的坐標(biāo)。

分析：此題的常規(guī)方法是：(1)設(shè)點(diǎn)(2)列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(3)求解.

但此題假設(shè)這樣做，那么就會(huì)走入死胡同。假設(shè)巧妙利用軸對(duì)稱的知識(shí)那么可以輕松解決。

解：如圖，設(shè)點(diǎn)C(x,y)是點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，那么

直線BC的方程為：y=--x+4,將其與直線y=3x-l聯(lián)立，解得：D，其中D為BC

3

中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得C(3,3)。

顯然：|PAHPB|=|PAHPC|W|AC|,當(dāng)且僅當(dāng)A、c、p三點(diǎn)共線時(shí)，IPAHPBI最大。可求得：

直線AC方程為：2x+y-9=0,與L方程聯(lián)立解得P的坐標(biāo)為(2,5)。

例2、光線由點(diǎn)C(3,3)出發(fā)射到直線L：y=3x-l上，其被直線L反射后經(jīng)過點(diǎn)A(4,1),求反

射光線方程。

解：設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)，那么由光線反射的知識(shí)易知：點(diǎn)B在反射光線上，

故所求的反射光線的方程即為直線AB所在的直線方程。

由例1知點(diǎn)C關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)為B(0,4),

3

故直線AB的方程易求得為：y=一—X+4。它即為反射光線方程■

4

例3、AABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),NB、NC的平分線的分別方程為x-2y=0和

x+y-l=Q,求BC所在的直線方程。

分析：此題的常規(guī)思路是利用L1到L2的角的有關(guān)知識(shí)解決問題，但較繁，假設(shè)能注意到角平

分線的有關(guān)性質(zhì)，那么可簡(jiǎn)捷求解。

解：設(shè)NB、NC的平分線分別為L(zhǎng)、k,那么由角平分線的知識(shí)可知：AB與CB關(guān)于L對(duì)稱，AC

與BC關(guān)于L2對(duì)稱，故點(diǎn)A關(guān)于L、L的對(duì)稱點(diǎn)Al、A2都應(yīng)該在直線BC上，故BC所在的直線方程即為A人所在的直線方程。

198

利用對(duì)稱性可求得：A(二,一小,4(-3,0)(過程略)

于是BC方程可求得為：4x+17y+12=0

直線和圓

1.自點(diǎn)(-3,3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓X?+：/一4%-4)，+7=0相切，求光線L所在直

線方程.

解:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y-2)?=L它關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程是(x-2>+(y+2)2=l。

設(shè)光線L所在直線方程是：y-3=k(x+3)。

由題設(shè)知對(duì)稱圓的圓心C'(2,-2)到這條直線的距離等于1,即d=單受J=1.

整理得I2k~+25^+12=0,解得k―――或左———.故所求的直線方程是y—3=—+3),或y—3=—+3),

即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.

12

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

2.圓c：x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線L,使以L被圓c截得的弦AB為直徑的圓過原點(diǎn)，假設(shè)存在求出直

線L的方程，假設(shè)不存在說明理由.（14分）

.解：圓（：化成標(biāo)準(zhǔn)方程為:。-1）2+（丫+2）2=32假設(shè)存在以AB為直徑的圓M,圓心M的坐標(biāo)為（a,b）

由于CM_LL,.*.kcM-kL=-'1kc“=4+2=〔，即a+b+l=0,得b=—a—1①

a-\

〃以

直線L的方程為y-b=x——，即x-y+b-?=0CM=-a+3|?.?AB為直徑的圓M過原點(diǎn)，|腸4|=|加4=|。加|

~JT

\MB\2=\CB\2-\CM\2=9_（1；+3）-,削/=/+/

：t9_（b--a+yf=a2+b2②把①代入②得2/-“-3=0,3=3或a=_]

22

當(dāng)4=3時(shí)人=_9此時(shí)直線L的方程為：X—y—4=0；當(dāng)。=一1,時(shí)/?=0此時(shí)直線L的方程為：X—y+l=0

2'2

故這樣的直線L是存在的，方程為x—y—4=0或x—y+l=0.

3.（12分）求過點(diǎn)P（6,-4）且被圓/+=2。截得長(zhǎng)為6a的弦所在的直線方程.

解：設(shè)弦所在的直線方程為y+4=A（x-6）,即依一y-6左一4=0①

那么圓心（0,0）到此直線的距離為〃=回土”.

\Jl+k2

因?yàn)閳A的半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距恰好構(gòu)成Rta,

所以（君為+（3夜）2=20.

Jl+產(chǎn)

由此解得k=----或k——1.

17

代入①得切線方程_2_X_、,_6乂（_工）_4=0或

1717

-%—y—6x（—1）—4=0,即7x+17y+26=0或x+y—2=0.

4.（12分）圓C：（x—1）2+（y—2『=25及直線/:（2根+l）x+（〃?+l）y=7m+4.（〃？eR）

（1）證明:不管機(jī)取什么實(shí)數(shù)，直線/與圓C恒相交；

（2）求直線/與圓C所截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)直線/的方程.

.解:⑴直線方程/:（2機(jī)+1卜+（m+l）y=7m+4,可以改寫為M2x+y-7）+x+y-4=0,所以直線必經(jīng)過直線

2x+y-7=0和x+y-4=0的交點(diǎn).由方程組2'+解得尸土即兩直線的交點(diǎn)為A（3,1）又因?yàn)辄c(diǎn)A（3,1）與圓心C（l,2）

+y-4=0[y=1

的距離J=V5<5，所以該點(diǎn)在C內(nèi),故不管m取什么實(shí)數(shù)，直線/與圓C恒相交.

（2）連接AC,過A作AC的垂線，此時(shí)的直線與圓C相交于B、D.BD為直線被圓所截得的最短弦長(zhǎng).此

時(shí),|AC|=V5,|BC|=5,所以忸。|=2,25-5=475.即最短弦長(zhǎng)為475.

又直線AC的斜率kAC=-p所以直線BD的斜率為2.此時(shí)直線方程為：y-1=2（x-3）即2x-y-5=0.

5（12分）圓f+V+x—6y+帆=0和直線工+2y—3=0交于尸、。兩點(diǎn)，且以P。為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值.

2M+%=4

4-y+x-6y+/72=0.2”八

解：由,

=5)—20y+12+m=012+

x+2y-3=0y%二^—

又OPJ_OQ,Ax/X2+j/j2=0,MX1X2=9—6(y/+j2)+4j/j2=427

5

.4771-2712+m鈕殂

，?------------+-----------=0解得"片3?

55

13

華師大家教中心專業(yè)的中小學(xué)教育輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)，聯(lián)系電話老師

6.圓C：6+4尸+尸=4和點(diǎn)人（-26，0）,圓D的圓心在y軸上移動(dòng)，且恒與圓C外切，設(shè)圓D與y軸交于點(diǎn)M、N.ZMAN是否為定值?

假設(shè)為定值，求出NMAN的弧度數(shù)；假設(shè)不為定值，說明理由.

【解】設(shè)圓D的方程為，+（y一份2=/（廠>0）,那么M（0,b+r）,N（0,0-r）.

因?yàn)閳AD與圓c外切，所以2+r=J16+/2=*_戶=4r-12.

b+r_b-r

又直線MAN4的斜率分別為k

MA而‘2而.

b+rb-r

.-.tanNMAN=2=收=誓=百=/如吟為定值

.b+rb-r12+/?--r

2732V3

7.（14分）圓F+y2+x-6y+加=0和直線x+2y-3=O交于P、。兩點(diǎn)，且OP^OQ（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑

長(zhǎng).

解：將x=3—2y代入方程f+y2+x-6y+加=0,得5y?-20y+12+m=0.

設(shè)p（玉，yj,（?（%,%），那么X，為滿足條件：X+%=4,.%=.

vOP_LOQ,；.%也+X%=°，而玉=3-2）］,x2=3-2y2,玉/=9—6（y+必）+4yly

Am=3,此時(shí)A>0,圓心坐標(biāo)為（一［，3）,半徑廠=*.

22

8.（14分）求圓心在直線x+y=0上，且過兩圓x2+y2-2x+10y-24=0,x?+y2+21+2