2024年江蘇省揚(yáng)州市翠崗中學(xué)九年級中考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024年江蘇省揚(yáng)州市翠崗中學(xué)九年級中考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將該選項(xiàng)的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.﹣6的相反數(shù)是（）A.﹣6 B.﹣ C.6 D.2.2023年全國普通高校畢業(yè)生規(guī)模預(yù)計(jì)達(dá)到1158萬人，數(shù)11580000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.4.下列幾何體中，三視圖都是圓的是（）A.長方體 B.圖柱 C.圓錐 D.球5.如圖，直線，相交于點(diǎn)O，若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.6.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A. B. C. D.7.如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交x軸于點(diǎn)C，則線段長為（）A. B. C. D.8.如圖，直角三角形頂點(diǎn)在矩形的對角線上運(yùn)動，連接．，，，則的最小值為()．A B. C. D.二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9.若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．10.分解因式：=__________________.11.方程的解為______．12.在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，則m的值為______．13.若扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的面積為________．14.若是關(guān)于的方程的解，則的值為________．15.如圖，航拍無人機(jī)從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC約為__________米．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）16.如圖，中，，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交于F．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D恰好落上，此時(shí)等于________．17.如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形．設(shè)圖中，，連接，，若與的面積相等，則______．18.老師給出了二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表，同學(xué)們討論得出了下列結(jié)論：①拋物線的對稱軸為直線；②是方程的一個(gè)根；③當(dāng)時(shí)，；④若，是該拋物線上的兩點(diǎn)，則．其中正確的是________．x…0135…y…707…三、解答題（本大題共有10小題，共96分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19.（1）計(jì)算：（2）化簡：20.解不等式組，并求出它的所有整數(shù)解的和．21.打造書香文化，培養(yǎng)閱讀習(xí)慣．祟德中學(xué)計(jì)劃在各班建圖書角，開展“我最喜歡的書籍”為主題的調(diào)查活動，學(xué)生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類，B：文學(xué)類，C：政史類，D：藝術(shù)類，E：其他類）．張老師組織數(shù)學(xué)興趣小組對學(xué)校部分學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示），根據(jù)圖中信息，請回答下列問題：（1）條形圖中的______，______，文學(xué)類書籍對應(yīng)扇形圓心角等于______度；（2）若該校有2000名學(xué)生，請你估計(jì)最喜歡閱讀政史類書籍的學(xué)生人數(shù)；22.一只不透明的袋子中裝有4個(gè)小球，分別標(biāo)有編號，這些小球除編號外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，這個(gè)球的編號是2的概率為________________．（2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄球的編號后放回、攪勻，再從中任意摸出1個(gè)球．求第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的概率是多少？（用畫樹狀圖或列表的方法說明）23.如圖，中，點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，延長到點(diǎn)F，使得，連接．求證：（1）；（2）四邊形是平行四邊形．24.某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出件，每件盈利元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場采取了降價(jià)措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降元，商場平均每天可多售出件．如果降價(jià)后商場銷售這批襯衫每天盈利元，那么襯衫的單價(jià)降了多少元？25.如圖，是的直徑，C是上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線，交的延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的長．26.解答下列問題（1）如圖1，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦交小圓于C、D兩點(diǎn)．①求證：；②如圖2，連接并延長交小圓于E，連接，若，求的值；（2）如圖3，過內(nèi)一點(diǎn)P作弦，使．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）27.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)表達(dá)式；（2）求四邊形的面積；（3）P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_______．28.在探究“四點(diǎn)共圓條件”的數(shù)學(xué)活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．請應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問題：如圖1，中，（）．點(diǎn)D是邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，連接．（1）求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；（3）已知，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，此時(shí)是四邊形的外接圓，直接寫出圓心P與點(diǎn)M距離的最小值．．

2024年江蘇省揚(yáng)州市翠崗中學(xué)九年級中考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將該選項(xiàng)的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.﹣6的相反數(shù)是（）A.﹣6 B.﹣ C.6 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義，即可解答．【詳解】解：的相反數(shù)是6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．2.2023年全國普通高校畢業(yè)生規(guī)模預(yù)計(jì)達(dá)到1158萬人，數(shù)11580000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，確定與的值是解題的關(guān)鍵．3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，根據(jù)同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算注意判斷即可．【詳解】解：A．與不是同類項(xiàng)，無法合并，則A不符合題意；B．，計(jì)算正確，則B符合題意；C．，計(jì)算錯(cuò)誤，則C不符合題意；D．，計(jì)算錯(cuò)誤，則D不符合題意；故選：B．4.下列幾何體中，三視圖都是圓的是（）A.長方體 B.圖柱 C.圓錐 D.球【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何體的三視圖進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在長方體、圖柱、圓錐、球四個(gè)幾何體中，三視圖都是圓的是球，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了三視圖，熟練掌握常見幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵．5.如圖，直線，相交于點(diǎn)O，若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對頂角相等可得，再根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對頂角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握對頂角相等．6.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移“左加右減，上加下減”可進(jìn)行求解．【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移是解題的關(guān)鍵．7.如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交x軸于點(diǎn)C，則線段長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方法表示出BD，得到關(guān)于x的方程，解之即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，令x=0，則y=，令y=0，則x=，則A（，0），B（0，），則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB==2，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，∴AC==x，∵旋轉(zhuǎn)，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD==x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=x=（+1）=，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，知識點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造特殊三角形．8.如圖，直角三角形頂點(diǎn)在矩形的對角線上運(yùn)動，連接．，，，則的最小值為()．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由，推出、、、四點(diǎn)共圓，再證為定值，推出點(diǎn)在射線上運(yùn)動，當(dāng)時(shí)，的值最小，然后求出與，即可解決問題．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖所示：，、、、四點(diǎn)共圓，，，，，，，點(diǎn)射線上運(yùn)動，當(dāng)時(shí)，的值最小，四邊形矩形，，，，，即，，在中，由勾股定理得：，的最小值．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、四點(diǎn)共圓、圓周角定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，利用垂線段最短解決最值問題是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9.若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式有意義的條件列不等式求解即可．【詳解】解：若代數(shù)式有意義，則，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義，分母不為零是解題的關(guān)鍵．10.分解因式：=__________________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=考點(diǎn)：分解因式點(diǎn)評：本題難度中等，主要考查學(xué)生對多項(xiàng)式提公因式分解因式等知識點(diǎn)的掌握．需要運(yùn)用平方差公式．11.方程的解為______．【答案】【解析】【分析】方程兩邊同時(shí)乘以化為整式方程，解整式方程即可，最后要檢驗(yàn)．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以，得，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．12.在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，則m的值為______．【答案】3【解析】【分析】先把點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出反比例函數(shù)解析式，再把點(diǎn)B代入即可求出m的值．【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和∴把點(diǎn)代入得，∴反比例函數(shù)解析式為，把點(diǎn)代入得：，解得：，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．13.若扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的面積為________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了扇形的面積公式；直接利用扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：扇形的面積為，故答案：．14.若是關(guān)于的方程的解，則的值為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，根據(jù)一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，把代入原方程得到，再根據(jù)，利用整體代入法求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于的方程的解，∴，∴，∴，故答案為；．15.如圖，航拍無人機(jī)從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC約為__________米．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【答案】208．【解析】【詳解】試題解析：由題意可得：tan30°=，解得：BD=30，同理，DC=90故該建筑物的高度為：BC=BD+DC=120.16.如圖，中，，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交于F．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D恰好落在上，此時(shí)等于________．【答案】##85度【解析】【分析】本題考查了幾何—旋轉(zhuǎn)問題．解題關(guān)鍵在于掌握對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)角以及三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，，，，，，故答案為：．17.如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形．設(shè)圖中，，連接，，若與的面積相等，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得出，即，解方程得到（負(fù)值舍去）即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖所示:，，，，與的面積相等，，，，，若令，則，由公式法解得或（負(fù)值舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，一元二次方程的解法，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．18.老師給出了二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表，同學(xué)們討論得出了下列結(jié)論：①拋物線的對稱軸為直線；②是方程的一個(gè)根；③當(dāng)時(shí)，；④若，是該拋物線上的兩點(diǎn)，則．其中正確的是________．x…0135…y…707…【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．【詳解】解：①由表格可知：拋物線的對稱軸為直線，故此選項(xiàng)正確；②當(dāng)時(shí)，，則是方程的一個(gè)根，故此選項(xiàng)正確；③由表格可得：拋物線開口向上，由對稱得：拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，所以當(dāng)時(shí)，，故此選項(xiàng)正確；④拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，若，是該拋物線上的兩點(diǎn)，分兩種情況：當(dāng)A與B在對稱軸左側(cè)時(shí)，則，當(dāng)A與B在對稱軸右側(cè)時(shí)，則，故此選項(xiàng)不正確；故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，拋物線與x軸的交點(diǎn)，仔細(xì)分析表格數(shù)據(jù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共有10小題，共96分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19.（1）計(jì)算：（2）化簡：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，化簡絕對值，進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)平方差公式以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，化簡絕對值，整式的乘法，熟練掌握以上運(yùn)算法則以及乘法公式是解題的關(guān)鍵．20.解不等式組，并求出它的所有整數(shù)解的和．【答案】3【解析】【分析】先解每個(gè)不等式，求得不等式組的解集，然后找出所有整數(shù)解求和即可．【詳解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式組的解集為，∴不等式組的所有整數(shù)解為：，，，，，∴所有整數(shù)解的和為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求不等式組的解集，正確地解每一個(gè)不等式是解題的關(guān)鍵．21.打造書香文化，培養(yǎng)閱讀習(xí)慣．祟德中學(xué)計(jì)劃在各班建圖書角，開展“我最喜歡的書籍”為主題的調(diào)查活動，學(xué)生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：科技類，B：文學(xué)類，C：政史類，D：藝術(shù)類，E：其他類）．張老師組織數(shù)學(xué)興趣小組對學(xué)校部分學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示），根據(jù)圖中信息，請回答下列問題：（1）條形圖中的______，______，文學(xué)類書籍對應(yīng)扇形圓心角等于______度；（2）若該校有2000名學(xué)生，請你估計(jì)最喜歡閱讀政史類書籍的學(xué)生人數(shù)；【答案】（1）18，6，72（2）480人【解析】【分析】此題考查條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖綜合應(yīng)用．（1）由喜歡的人數(shù)除以所占百分比得出調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，即可解決問題；（2）由該校共有學(xué)生人數(shù)乘以最喜歡閱讀政史類書籍的學(xué)生人數(shù)所占的比例即可．【小問1詳解】調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（人，，，文學(xué)類書籍對應(yīng)扇形圓心角，故答案為：18，6，72；【小問2詳解】（人，答：估計(jì)最喜歡閱讀政史類書籍的學(xué)生人數(shù)約為480人；22.一只不透明的袋子中裝有4個(gè)小球，分別標(biāo)有編號，這些小球除編號外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，這個(gè)球的編號是2的概率為________________．（2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄球的編號后放回、攪勻，再從中任意摸出1個(gè)球．求第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的概率是多少？（用畫樹狀圖或列表的方法說明）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）畫樹狀圖表示所有等可能出現(xiàn)的情況，從中找出符合條件的結(jié)果數(shù)，進(jìn)而求出概率．【小問1詳解】解：攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，這個(gè)球的編號是2的概率為；【小問2詳解】如圖，畫樹狀圖如下：所有可能的結(jié)果數(shù)為16個(gè)，第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的結(jié)果數(shù)為3個(gè)，∴第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的概率為：．【點(diǎn)睛】本題考查簡單隨機(jī)事件的概率計(jì)算，利用列表法或樹狀圖法求等可能事件發(fā)生的概率，使用此方法一定注意每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的，即為等可能事件．23.如圖，中，點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，延長到點(diǎn)F，使得，連接．求證：（1）；（2）四邊形是平行四邊形．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查全等三角形判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定的綜合，掌握全等三角形判定，平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點(diǎn)E分別為的中點(diǎn)，可得，根據(jù)對頂角相等，可得，由“角邊角”即可求證；（2）根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，四邊形的判定“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，由此即可求解．【小問1詳解】證明：∵點(diǎn)E分別為的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴；【小問2詳解】證明：由（1）證得，∴，，即，∵點(diǎn)D、E是的中點(diǎn)，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．24.某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出件，每件盈利元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場采取了降價(jià)措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降元，商場平均每天可多售出件．如果降價(jià)后商場銷售這批襯衫每天盈利元，那么襯衫的單價(jià)降了多少元？【答案】襯衫的單價(jià)降了15元．【解析】【分析】設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．根據(jù)題意等量關(guān)系：降價(jià)后的銷量×每件的利潤=1250，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．根據(jù)題意，得（20+2x）（40﹣x）=1250，解得：x1=x2=15，答：襯衫的單價(jià)降了15元．25.如圖，是的直徑，C是上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線，交的延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由垂直的定義得，由三角形外角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）由勾股定理求出的長，根據(jù)平行線分線段成比例，列出比例式，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出的長．【小問1詳解】解：∵于點(diǎn)E，∴，∴；【小問2詳解】解：∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，垂線，平行線分線段成比例，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，由勾股定理求出的長，由平行線分線段成比例即可求出的長．26.解答下列問題（1）如圖1，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦交小圓于C、D兩點(diǎn)．①求證：；②如圖2，連接并延長交小圓于E，連接，若，求的值；（2）如圖3，過內(nèi)一點(diǎn)P作弦，使．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）①見解析；②（2）見解析【解析】【分析】（1）①過O作于H，根據(jù)垂徑定理得到，，即可得出結(jié)論；②連接，首先證明出，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后結(jié)合即可求出的值；（2）連接并延長至Q使，以Q為圓心為半徑畫弧交圓O于點(diǎn)A，連接并延長交圓O于另一點(diǎn)B，則弦即為所求．【小問1詳解】解：①證明：過O作于H，如圖1所示：∵，∴，，∴，∴；②解：連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，由（1）得，∴；【小問2詳解】解：如圖，線段即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識；熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．27.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求四邊形的面積；（3）P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_______．【答案】（1）（2）30（3）【解析】【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為，將點(diǎn)A和B兩點(diǎn)代入即可求得二次函數(shù)解析式；（2）過D作于N，作于M，根據(jù)第一問可得點(diǎn)，結(jié)合矩形、三角形的面積公式即可求得答案；（3）連接，過C作交于E，過E作于F，根據(jù)題意得為等腰直角三角形，得到，結(jié)合角度正切值求得，進(jìn)一步得，判定是等腰直角三角形，即可求得點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得直線直線的解析式，聯(lián)立即可求得點(diǎn)P．【小問1詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)二次函數(shù)解析式為，∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)．∴，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．【小問2詳解】解：過D作于N，作于M，根據(jù)，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為，；【小