初中數(shù)學(xué)幾何模型大全 經(jīng)典題型(含答案)

初中數(shù)學(xué)幾何模型大全+經(jīng)典題型（含答案）

全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對稱：角平分線或垂直或半角

旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

f稱全等模型

角分線模型

?，/,

過的施某點(diǎn)作的

/\在加前1地小?也耐M網(wǎng)期物

說明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長補(bǔ)短或者作邊的垂線,

形成對稱全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直

也可以做為軸進(jìn)行對稱全等。

「稱半角模型

說明：上圖依次是45°、30。、22.5。、15。及有一個角是30°

直角三角形的對稱（翻折），翻折成形或者等腰直角三角形、等

邊三角形、對稱全等。

旋轉(zhuǎn)全等模型

半角：有一個角含1/2角及相鄰線段

自旋轉(zhuǎn)：有一對相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等

共旋轉(zhuǎn)：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問題

旋轉(zhuǎn)半角模型

說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角,

通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全

自旋轉(zhuǎn)模型

構(gòu)造方法:

遇60度旋60度，造等邊三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等

遇中點(diǎn)旋180度，造中心對稱

B

共旋轉(zhuǎn)模型

說明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經(jīng)?？?/p>

察的容。通過“8”字模型可以證明。

!型變形

說明：模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變

化，另外是等腰直角三角形與形的混用。

當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時，先找兩個正多邊形或者等腰

三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞公共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線段，分組組

成三角形證全等。

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn):

說明：兩個形、兩個等腰直角三角形或者一個形一個等腰直角三

角形及兩個圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，證明另外兩個頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成

圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直角三角形

的一直角邊,轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角

三角形（或者形）公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍

長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。

中點(diǎn)模型

弋，乙——\,/???A???????????AD

倍長中蛾連中點(diǎn)梅造中位線信長一邊梅造中位錢梅造三媒合一構(gòu)造斜邊中修

對稱最值（兩點(diǎn)間線段最短）

線段和差模型

■倒

、/

MIHD

AB網(wǎng)4

同側(cè)、異側(cè)兩線段之和最短模型同側(cè)、異側(cè)兩線段之弟最小模型

軸對稱模型

*?w-M

/<'、X

M\刀，------X-----

\4一，?

、3”/

三線段之和過橋模型四邊形周長三角形周長

最短模型最小模型最小模型

t稱最值（點(diǎn)到直線垂線段最短）

說明：通過對稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距

離。

旋轉(zhuǎn)最值（共線有最值）

說明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個定長線段，定長線

段的和為最大值，定長線段的差為最小值。

剪拼模型

三角形一四邊形

四邊形一四邊形

說明：剪拼主要是通過中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形

狀。

說明：通過射影定理找到形的邊長，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改

變

形+等腰直角三角形一形

面積等分

旋轉(zhuǎn)相似模型

E

B

說明：兩個等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個有一個角是300

角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。

推廣：兩個任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三

邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。

相似模型

A

AA

說明：注意邊和角的對應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中

起到通過等量代換來構(gòu)造相似三角形的作用。

說明：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45

度、60度形式出現(xiàn)的居多。

（2）外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不

同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓塞

定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過等線段、等比值、等乘

積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。

說明：相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據(jù)題目的條件或

者結(jié)論的比值來做相應(yīng)的平行線。

A模型一：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等

＜1＞等邊三角射

a條件：A(〃僅均為等邊三窗形

A結(jié)論：①A。4c■SOBDI②L.AEB-60°,?(圮平分LAED,

<2>等腰“7A

＞條件：A(〃從A(X7)均為等腰亶第三角形

a結(jié)論：①A(〃C?SOBD,②LAEH-90\

＞③位平分乙(以).

＜3＞任意等腰三角爵

A條件：△‘”"?△(乂力均為等股三角形

a結(jié)論：①AO/C■NOBD；②LAEB-LAOB;

A③。￡平分乙(￡0.

A模型二：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相似

⑴THS況

＞條件：C0〃d8,將A"(7)旋轉(zhuǎn)至右圖位貿(mào)

A結(jié)論：

A右圖中①A(；C0SAS188A(〃CAOBI)J

A②延長/C交8D于點(diǎn)E,必”BEC?乙附”

(2)特殊摘況

a條件：C/)〃48,U(M?90。，將A(N])旋轉(zhuǎn)至右圖

位用

a結(jié)論：右圖中①Aa”AO/H=AQICAOBD,②

延長”交BD于點(diǎn)E,必有LBEC-LBOA,

BDODOB,“八

-------—■_?tanZfXD

③4COCOAJ@BDLACt

ADBCAB：CD：

腿接疝.BC,史有'**,+f⑥'.5(對解坦相垂直的四邊形)

A模型三:對角互補(bǔ)模型

<1）全等型紳3

a條件：①LAOB-LDCE,90°）②OC平分LAOB

a結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE-V2OC,③

a誕股示：

飾垂直，如圖，證明AS，/?ACEV,

②￡1點(diǎn)C作CF1OC,如上圖〈右），證明AODC-AFEC,

a當(dāng)乙以下的一邊交"的延長線于點(diǎn)D時：

以J三作①CD=CE（不變）,

?O￡-OD-&OC,③0…-""2°C

儂論證明方法與前T帽況Th可自彳謂試?

<2>全等型120。

a條件：①乙4()B■1LDCE,120°,

>②

a結(jié)論：①co?c'￡3②

A證噬示：①可怠考“全等型3。.證法一；

②如圖：在。3上取一點(diǎn)F,使OF=OC,證明AOCF

為等邊三角形。

<3>全等型任意ft"

AQZJ<O?-2ct,￡DC￡-lK()-2H10CD-CE,

a恬論：①仇敵LAOHt②()1)+6)￡-2(K?cos”,

A?SMLS^n?SMt-OC“?sina?cosa

A當(dāng)△/)('￡的一邊交X。的延長線于點(diǎn)。時(如右上圖)：

原紹論變成；①>

②?

③I

可約考上述第②種方法進(jìn)行證明。清惠年初始條件的變化對模里的影響.

?對角互3K型購：

①常見初始條件：四邊形對角互補(bǔ)J注意兩點(diǎn)、：四點(diǎn)共圓及直角三角形斜邊中線，

②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別,

③兩f愉見的鈾臟戈作法，

④注意OC平分408時，KDE-LCED-LCOA-相等如何推導(dǎo)？

A模型四：角含半角模型90?

(1)甬含半角81型90*-1

a條件：①正方形ABCDj②乙以F-45°,

a結(jié)論：①卜尸-DF+BE.②ACEF的周長為正方形/(灰刀周長的一半,

也可以遨樣：

>條件：①正方形ABCDJ②EknHE

A結(jié)論：“"”?別

《2》角含半角模型BO*2

a條件：①正方形1BCD?0LEAF-45",

a帝論：EF?DF-BE

aWBWWOTBffi示：

m閹

（3）角含半角模型90--3

a條件：①RT2BC,②LDAE-45°,

a結(jié)論：BDrCE，?DE：

若，/）"旅傳到外部時，結(jié)論，"）仍然成立.

<4>角含半的UI型00-城

i**h4MAC（*a不??一）

7Z/JW<-Z￡<A'-45..%ZA〃/?4：優(yōu)

7ZJ/W-Z1<Z-45.AXi/Hf^XUt：

：.XA///\.i/X

a條件：①正方形ABCD.②LEAF-45°,

A結(jié)論：為等原直角三角形。

*A模型五：倍長中線類模型

（1）

?朝；①矩形4配2電BD-BE.③DF-EF,

A名論：AFLCF

模不提鉛平行線">〃"E’②干行線降殳段有中點(diǎn)〃戶-6，

可以構(gòu)造“8”字全等MDF■A/fEf-.

<2>傳長中纜磁型T

a轆：麗行四邊形A8CD；②8C?2AU；③AM-DMf?CELAD.

a；￡hMn.

HMn：.4B//CD?才中點(diǎn)AM^DMMp

通長上M?構(gòu)it&甩UE-M*#.ilUCAf帕

BCB?

遣號，\EKK\W!CF

遣過一遣8字￡￥愎段做代入伍”上樂?南的大

小“化

A侵型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型

<i>形《等360-"me：<<w>i.<G.他FG.w.d

“(P?net,Bn&FXHmi與，ItA筑

a條件：oXDE、MBC均

為等腰直西三角形3②立《孩：AMlgM-m卞

EF-CF

ea：-￡IA-U>—?^U9tx?

a第論：①DF?BFg⑦

HFXBK

a條件:（Dm￡、均為等腰直角三角形,②￡尸■CF,

A結(jié)論:①nr-BF3@DFXBF

“1皿）人：蜘i?與0JL窗4AEU、、4，“一

HlXdfW加：玨1〉氏與Hb匕可<y與HH

<2>360-型XQ"二*￡KB.49^JLG.健.?7r出?4箕

?:CDAOABsAQDC,②乙QAB-Z.OZXT-90°<T>〃?￡M/-<T>>"企MKiB.

③。

BE-CECfC-fl,遑疏”短R."生.AE與L>EMC'G

a結(jié)論=①/￡-DE：②NED-2乙AB。

AHH.。.，谷”牝/4￡Z>

<3>任意相<9g三角影W旋轉(zhuǎn)模至T&K^<<nrJt\f?ie.杵”

A條件：①&。人Bs&CDC,,②LQAB-ZLOZX7-900.③獨(dú)妁一外事>”代?力iA-l,、*、〃M、50.此

。

BE-CE為C*?aA4A/Z>^ABC.M維”化力證明

a結(jié)論=OAE-DE,②NED-2-140

、4".-AdCZ~低M-04化JL會M￥

*綠。.位41遼5

A模型七：最短路程模型

(1)最也路程隨一(將軍飲耍)

AI'B"次［；3"：以上四08為常IL*iKH體昊景州#11同總.

g-,/X：b”同點(diǎn)之間，糖稹*?"

/M?/V?泰

構(gòu)點(diǎn)：①動一—A"上:②越息，憐#.閾充

上壬....................

5Mk1/?-rv-v^H

(3)4短路程函匚(點(diǎn)到酎淡D

,4，/“??勸0:杵作0大于orW#A0.#化

P(PQ~PQ.itA,wn.w/X<JW

小線也UU如OpMBMP*PA-\fP*Kr2\tH(?■??■)

A條1牛：①OC平分U08,②w為“8上一定點(diǎn)，③〃為0c上f點(diǎn)，④。為08上一動點(diǎn)1

A求.MP+P0最.」時，/>.。的醺？

(3)5期程1理Z(黜蛾蜂2)y|t

,：^(0.4),fi(-20),P(0,n)t'太

A條1

PB^PA

A同覆：”為何值時，5最小

A南|昉法:①'軸上取°億°),使5,②過8作8/)0C,交F軸于點(diǎn)E,即為所求；

tanLEBO?tanLOAC--父,八八

③2,即a。4).

<4）曲路程模生（族的最值模型）

HcC、m

.人'、，'

4c「/身，

H小值漏、一，

.4〃B=

tn：（D?IAu<-4.cw-2（aooi9）??i①e"U4?4.<M<-2

（Dirr.vw."?or

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第施t/U?K（A,tU+<J0-l，M

*?.Mfl<HR.%*xa?J^44??kTBX代*小值，l.?<M-I

P.4??卜值號!JJ?I

4.■邊之■?卜才"三S??/U的融小值與2.?/X的網(wǎng)偏危?々

O<IVS2

Attt：U4*O0:■?卜Oh"，-?MA￡II.?S??卜，■力"X和>f?M*

A模型九：相似三角形模型

<i）砌⑺哪型制港

口?之?*2Pa^v

*件：4京身■小用/&/，■/“海?中『

“正*在工心?<Cxdf>

平什臬：DE//M'*綸：At/兩個fli4”￡?乙必「

“淪：.“7■??<￡”?4〃

，*論：—0——-（注亳對應(yīng)邊要時應(yīng)）

ABACBC，?小,逕令A(yù)M^EC^HCnAC

次.■庇*/M.CEl-HE*.4上

<3）相以三角丹韁型一線三角型

*仲：龍圖：Z.4^<,-Z.4CA-ZC/>A-w

中INxNJ8r?,N?〃芯-47/-W條件：中圖.PA為?妁切憔

七國，Z.^?C-Z.1CT-ZCOE-45fiit:龍甩：PRXPB?PCXPI）

”論："才na?j，4A妁”論

中用：P.4：■PC*PB

U\IM5rM7>A':（2）J^x/y-ZiCx<y>

右雷。PAxPB?PC、PD

一想三苔用幡發(fā)也繼翕刖"壟宜方"念工代美

以上”論功可以通過似似三角蜴遺fti工明

初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何題（附答案）

經(jīng)典難題（一）

1、已知：如圖，0是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD_LAB,

EF±AB,EG±CO.

求證：CD=GF.（初二）

2、已知：如圖，P是形ABCD點(diǎn)，ZPAD=ZPDA=15°.

求證：aPBC是正三角形.（初二）

3、如圖,已知四邊形ABCD、ABCD都是形,A2>B2>C2>D2分別

是AAi、BBi、CG、DDi的中點(diǎn).

求證：四邊形A2B2c2D2是形.（初二）

4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、

CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F.

求證：ZDEN=ZF.

經(jīng)典難題（二）

1、已知：aABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），。為外心,

且OM_LBC于M.

（1）求證：AH=20M；

（2）若NBAC=60°,求證：AH=AO.（初二）

2、設(shè)MN是圓。外一直線，過0作OA_LMN于A,自A引圓的兩

條直線，交圓于B、C及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、

Q.

求證：AP=AQ.（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓，則由此可得以下命題：

設(shè)MN是圓0的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE,設(shè)

CD、EB分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

4、如圖，分別以AABC的AC和BC為一邊，在AABC的外側(cè)作形

ACDE和形CBFG,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).

求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半.（初二）

經(jīng)典難題（三）

1、如圖，四邊形ABCD為形，DE/7AC,AE=AC,AE與CD相交于

F.

求證：CE=CF.（初二）

2、如圖，四邊形ABCD為形，DE/7AC,且CE=CA,直線EC交DA

延長線于F.

求證：AE=AF.（初二）

3、設(shè)P是形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF_LAP,CF平分NDCE.

求證：PA=PF.（初二）D

4、如圖，PC切圓0于C,AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、

AF與直線P0相交于B、D.求證：AB=DC,BC=AD.（初三）

經(jīng)典難題（四）

1、已知：AABC是正三角形，P是三角形一點(diǎn)，PA=3,PB=4,

PC=5.

求：NAPB的度數(shù).（初二）

2、設(shè)P是平行四邊形ABCD部的一點(diǎn)，且NPBA=NPDA.

求證：ZPAB=ZPCB.（初二）

3、設(shè)ABCD為圓接凸四邊形，求證：AB-CD+AD?BC=AC?BD.（初

三）

4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE

與CF相交于P,且

AE=CF.求證：ZDPA=ZDPC.（初二）

經(jīng)典難題（五）

1、設(shè)P是邊長為1的正AABC任一點(diǎn)，L=PA+PB+PC,求證:

/<LV2.

2、已知：P是邊長為1的形ABCD的一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最

小值.

3、P為形ABCD的一點(diǎn)，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求形的

邊長.

4、如圖，AABC中，ZABC=ZACB=80°,D、E分別是AB、AC

上的點(diǎn)，ZDCA=30°,ZEBA=20°,求NBED的度數(shù).

經(jīng)典難題（一）

1.如下圖做GH_LAB,連接EOo由于G0FE四點(diǎn)共圓，所以NGFH

=ZOEG,

即△GHFS2\0GE,可得券=器=黑,又CO=EO,所以CD=GF得

證。

2.如下圖做ADGC使與aADP全等，可得4PDG為等邊△,從而

可得

ADGC^AAPD^ACGP,得出PC=AD=DC,和NDCG=NPCG=15°

所以NDCP=30°,從而得出aPBC是正三角形

BC

3.如下圖連接BG和AB1分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長

相交于Q點(diǎn)，

連接EB2并延長交CzQ于H點(diǎn)，連接FB2并延長交A2Q于G點(diǎn)，

由A2E=/AIBI=5BICI=FB2,EB2=|AB=|BC=FC1,又NGFQ+NQ=90°

和

ZGEB2+ZQ=90°,所以NGEB2=NGFQ又NB2FC2=NAZEB2,

可得aBaFC2gZkAzEBz,所以AzB2=B2c2,

又NGFQ+NHB2F=90°和NGFQ=NEB2A2,

從而可得NA2B2C2=90°,

同理可得其他邊垂直且相等，

從而得出四邊形A2B2c2D2是形o

4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q,連接QN和QM,所以可得NQMF=

NF,NQNM=NDEN和NQMN=NQNM,從而得出NDEN=NF。

經(jīng)典難題（二）

1.(1)延長AD至ljF連BF,做OG±AF,

又NF=NACB=NBHD,

可得BH=BF,從而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=20M

⑵連接OB,0C,既得NB0C=120°,

從而可得NB0M=60°,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得證。

3.作OF_LCD,OG±BE,連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,0Qo

由干A￡>_AC_CD_2FD_FD

AB~~AE~~BE~2BG~BG'

由此可得△ADFgaABG,從而可得NAFC=NAGE。

又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得NAFC=NAOP和NAGE=N

AOQ,

ZAOP=ZAOQ,從而可得AP=AQ。

4.過E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG,CI,FH。可得

PQ二型工曳。

2

由△EGAgZXAIC,可得EG=AL由△BFHgZ\CBI,可得FH=BI。

從而可得PQ=從而得證。

22

D

經(jīng)典難題（三）

1.順時針旋轉(zhuǎn)△ADE,到△ABG,連接CG.

由于ZABG=ZADE=90°+45°=l35°

從而可得B,G,D在一條直線上，可得△AGBg^CGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得aAGC為等邊三角形。

ZAGB=30°,既得NEAC=30°,從而可得NAEC=75°。

又NEFC=NDFA=45°+30°=75°.

可證：CE=CFo

D

2.連接BD作CH_LDE,可得四邊形CGDH是形。

由AC=CE=2GC=2CH,

可得ZCEH=30°,所以ZCAE=ZCEA=ZAED=15°,

又ZFAE=90°+45°+15°=150°,

從而可知道NF=15°,從而得出AE=AFo

FD

3.作FG_LCD,FE±BE,可以得出GFEC為形。

令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。

tanZBAP=tanZEPF=-=—--,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z

BPZ(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出△ABPg^PEF,

得到PA=PF,得證。

經(jīng)典難題