2023-2024學(xué)年北京四中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年北京四中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共50分）1.將一枚均勻硬幣拋3次，設(shè)正面朝上的硬幣數(shù)為X，則P(X=2)=(

)A.23 B.14 C.382.在(x?1)4的展開式中，x的系數(shù)為(

)A.4 B.?4 C.1 D.?13.從2位男生中選1人，3位女生中選2人，組成一個(gè)由其中一名女生為組長(zhǎng)的活動(dòng)籌備組，可以選擇的方法種數(shù)為(

)A.36 B.24 C.18 D.124.從分別標(biāo)有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張.則第一張抽到奇數(shù)且第二張抽到偶數(shù)的概率是(

)A.518 B.49 C.595.在一段時(shí)間內(nèi)，甲去博物館的概率為0.8，乙去博物館的概率為0.7，且甲乙兩人各自行動(dòng)．則在這段時(shí)間內(nèi)，甲乙兩人至少有一個(gè)去博物館的概率是(

)A.0.56 B.0.24 C.0.94 D.0.846.由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成三位數(shù)(允許重復(fù))，各位數(shù)字之和等于6的有(

)A.13個(gè) B.15個(gè) C.17個(gè) D.20個(gè)7.某成品倉(cāng)庫(kù)里混放著來(lái)自第一、第二兩個(gè)車間的同型號(hào)的電器成品，第一、二車間生產(chǎn)的成品比例為2：3，已知第一車間的一等品率為0.85，第二車間的一等品率為0.88.今有一客戶從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，該產(chǎn)品是一等品的概率為(

)A.0.1325 B.0.112 C.0.868 D.0.88848.某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y若0.1，x，0.3，y成等差數(shù)列，則E(ξ)=(

)A.7.3 B.8.9 C.9 D.9.49.動(dòng)點(diǎn)M位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，M每一次可以沿?cái)?shù)軸向左或者向右跳動(dòng)，每次可跳動(dòng)1個(gè)單位或者2個(gè)單位的距離，且每次至少跳動(dòng)1個(gè)單位的距離．經(jīng)過(guò)3次跳動(dòng)后，M在數(shù)軸上可能位置的個(gè)數(shù)為(

)A.7 B.9 C.11 D.1310.一個(gè)不透明的袋子有10個(gè)除顏色不同外，大小、質(zhì)地完全相同的球，其中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球.試驗(yàn)一：從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取一個(gè)球，每次抽取后都放回，記取到白球的個(gè)數(shù)為X1；實(shí)驗(yàn)二：從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取一個(gè)球，每次抽取后都不放回，記取到白球的個(gè)數(shù)為X2.則下列判斷正確的是A.E(X1)<E(X2) B.E(二、非選擇題（共100分）11.已知隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)為13的兩點(diǎn)分布，則E(ξ)=______，D(ξ)=______．12.已知(1+2x)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則n=______．13.如圖，一個(gè)小球從M處投入，通過(guò)管道自上而下落入A，B，C.已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動(dòng)，若投入的小球落到A，B，C，則分別給以一、二、三等獎(jiǎng).則某人投1次小球獲得三等獎(jiǎng)的概率為______．14.某籃球運(yùn)動(dòng)員一次投籃得分X的分布列為：X320Pabc若他在一次投籃中得分的期望E(X)=2，則ab的最大值為______．15.已知集合A={x|t=(a1,a2,a3,a4)，ai∈{1,2,3,4}，i=1，2，3，4}，B={β∈A|β=(a1,a2,a3,a4)，?i16.某公司在2013～2021年生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)某種產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)(單位：萬(wàn)臺(tái))3456691010a年返修臺(tái)數(shù)(單位：臺(tái))3238545852718075b年利潤(rùn)(單位：百萬(wàn)元)3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c注：年返修率=年返修臺(tái)數(shù)年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)．

(Ⅰ)從2013～2020年中隨機(jī)抽取一年，求該年生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于100元/臺(tái)的概率；

(Ⅱ)公司規(guī)定：若年返修率不超過(guò)千分之一，則該公司生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀.現(xiàn)從2013～2020年中隨機(jī)選出3年，記ξ表示這3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù).求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)記公司在2013～2015年，2016～2018年，2019～2021年的年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)的方差分別為s12，s22，s32.若s32≤max{s12,s22}，其中max{s12,s22}17.一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得零分”.某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有兩道題都可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜．請(qǐng)求出該考生：

(1)得60分的概率；

(2)所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．18.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=3，A.31 B.32 C.63 D.6419.已知1，a+1，b+5成等比數(shù)列，3，a，b成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列的公差為(

)A.?4或?2 B.?2或4 C.?2 D.220.某人有一筆閑置資金想用于投資，現(xiàn)有三種投資時(shí)間均為10天的方案，這三種方案的回報(bào)預(yù)期如下：

方案一：風(fēng)險(xiǎn)投資，有80%的概率獲得回報(bào)400元，有20%的概率獲得回報(bào)800元；

方案二：第一天獲得回報(bào)10元，以后每天獲得的回報(bào)比前一天多10元；

方案三：第一天獲得回報(bào)0.5元，以后每天獲得的回報(bào)都是前一天的兩倍．

若為使投資的回報(bào)最多，應(yīng)該選擇的投資方案是(

)A.方案一 B.方案二 C.方案三 D.都可以21.已知數(shù)列{an}中，an=?2n+15，前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)S22.如表定義函數(shù)f(x)：x12345f(x)45123數(shù)列{an}中，a1=3，an=f(an?1)，n=2，23.對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的數(shù)列{an}和{bn}，記bk為a1，a2，…，ak(k=1,2,…,m)中的最小值.給出下列判斷：

①若數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)是5，5，3，3，1，則a5=1；

②若數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列，則數(shù)列{24.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3=2，S5=a7．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及Sn；25.設(shè)a1，a2，…，an為1，2，3，…，n的一個(gè)排列，若該排列中有且僅有一個(gè)i滿足ai>ai+1，i∈{1,2,…,n?1}，則稱該排列滿足性質(zhì)T.對(duì)任意正整數(shù)n，記dn為滿足性質(zhì)T的排列a1，a2，…，an的個(gè)數(shù)．

(1)求d1，d2，d3的值；

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由題意可知，X～B(3,12)，

則P(X=2)=C32×(12)22.【答案】B

【解析】解：展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為C43x?(?1)3=?4x，

所以x的系數(shù)為?4．

故選：3.【答案】D

【解析】解：從2位男生中選1人，3位女生中選2人，組成一個(gè)由其中一名女生為組長(zhǎng)的活動(dòng)籌備組，

可以選擇的方法種數(shù)為C21C32C21=124.【答案】A

【解析】解：隨機(jī)抽取2次，共有9×8=72不同情況，

記第一張抽到奇數(shù)且第二張抽到偶數(shù)為事件A，

則事件A包含5×4=20不同情況，

所以P(A)=2072=518．

故選：A5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)甲去博物館為事件A，乙去博物館為事件B，

則P(A)=0.8，P(B)=0.7，則P(A?)=0.2，P(B?)=0.3，

兩人都不去博物館的概率P(A?B?)=0.2×0.3=0.06，

則甲乙兩人至少有一個(gè)去博物館的概率P=1?P(A?B?)=0.94；6.【答案】D

【解析】解：各位數(shù)字之和等于6的有6種情況，

當(dāng)3個(gè)數(shù)位上的數(shù)字為“0，1，5”時(shí)，

可組成三位數(shù)的個(gè)數(shù)為C21A22=4；

當(dāng)3個(gè)數(shù)位上的數(shù)字為“0，2，4”時(shí)，

可組成三位數(shù)的個(gè)數(shù)為C21A22=4；

當(dāng)3個(gè)數(shù)位上的數(shù)字為“0，3，3”時(shí)，

可組成三位數(shù)的個(gè)數(shù)為C21=2；

當(dāng)3個(gè)數(shù)位上的數(shù)字為“1，2，3”時(shí)，

可組成三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A33=6；

當(dāng)3個(gè)數(shù)位上的數(shù)字為“1，1，4”時(shí)，

可組成三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A33A22=3；

當(dāng)3個(gè)數(shù)位上的數(shù)字為“7.【答案】C

【解析】解：由題意可知，該產(chǎn)品是一等品的概率為：25×0.85+35×0.88=0.868．

故選：C8.【答案】B

【解析】解：由ξ的分布列可得x+0.1+0.3+y=1，即x+y=0.6，

又0.1，x，0.3，y成等差數(shù)列，∴x+0.3=0.1+y，即x?y=?0.2，

解得x=0.2，y=0.4，

則E(ξ)=7×0.2+8×0.1+9×0.3+10×0.4=8.9．

故選：B．

利用隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出關(guān)于x，y的方程組，進(jìn)而得出結(jié)論．

本題考查了隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，分4種情況討論：

①，動(dòng)點(diǎn)M向左跳三次，3次均為1個(gè)單位，3次均為2個(gè)單位，2次一個(gè)單位，2次2個(gè)單位，故有?6，?5，?4，?3，

②，動(dòng)點(diǎn)M向右跳三次，3次均為1個(gè)單位，3次均為2個(gè)單位，2次一個(gè)單位，2次2個(gè)單位，故有6，5，4，3，

③，動(dòng)點(diǎn)M向左跳2次，向右跳1次，故有?3，?2，?1，0，2，

④，動(dòng)點(diǎn)M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，

故M在數(shù)軸上可能位置的個(gè)數(shù)為?6，?5，?4，?3，?2，?1，0，1，2，3，4，5，6共有13個(gè)，

故選：D．

根據(jù)題意，分4種情況討論，分別求出相對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)即可．

本題考查合情推理的問(wèn)題，要求學(xué)生利用組合掌握用數(shù)軸表示實(shí)數(shù)及實(shí)數(shù)間的位置關(guān)系．10.【答案】C

【解析】解：實(shí)驗(yàn)一：從中隨機(jī)地有放回摸出3個(gè)球，則每次摸到白球的概率為410=25，

則X1～B(3,25)，故E(X1)=3×25=65,D(X1)=3×25×(1?25X01

2

3

P11

31則數(shù)學(xué)期望為E(X2)=0×16+1×12+2×310+3×130=65，

11.【答案】13

2【解析】解：∵隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)為13的兩點(diǎn)分布，則E(ξ)=13，D(ξ)=(0?13)2×23+(1?12.【答案】4

【解析】解：由二項(xiàng)式系數(shù)和公式可得2n=16，則n=4．

故答案為：4．

利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式即可求解．13.【答案】716【解析】解：投1次小球獲得三等獎(jiǎng)有三條線路，

又因?yàn)樾∏驈拿總€(gè)叉口落入兩個(gè)管道的可能性相等，

所以投1次小球獲得三等獎(jiǎng)得概率為12×12+12×12×14.【答案】124【解析】解：∵他在一次投籃中得分的期望E(X)=2，

∴3a+2b+0×c=1，

∴3a+2b=1，a，b>0，

則1≥23a?2b，化為ab≤124，

當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b，即a=16，b=14時(shí)取等號(hào)．

因此ab的最大值為124．

故答案為：115.【答案】332

1【解析】解：(1)由題意可知：集合A的元素個(gè)數(shù)為4×4×4×4=256，集合B的元素個(gè)數(shù)為A44=24，

所以從A中任取一元素屬于B的概率為P=24256=332，

(2)因?yàn)棣?(a1,序號(hào)

1號(hào)

2號(hào)

3號(hào)

4號(hào)

X

1

1

2

3

4

0

2

1

2

4

3

2

3

1

3

2

4

2

4

1

3

4

2

4

5

1

4

2

3

4

6

1

4

3

2

4

7

2

1

3

4

2

8

2

1

4

3

4

9

2

3

1

4

4

10

2

3

4

1

6

11

2

4

1

3

6

12

2

4

3

16

13

3

1

2

4

4

14

3

1

4

2

6

15

3

2

1

4

4

16

3

2

4

1

6

17

3

4

2

1

8

18

3

4

1

2

8

19

4

1

2

3

6

20

4

1

3

2

6

21

4

2

1

3

6

22

4

2

3

1

6

23

4

3

1

2

8

24

4

3

2

18可知X≤2共有4種情況，

所以P(X≤2)=424=16．

故答案為：(1)332；(2)16．

(1)分別求集合A、B的元素個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型分析求解；

(2)列表求a1，16.【答案】解：(Ⅰ)由圖表知，2013年～2020年中，

產(chǎn)品的平均利潤(rùn)小于100元/臺(tái)的年份只有2015年，2016年，

∴從2013年～2020年中隨機(jī)抽取一年，

該年生產(chǎn)的平均利潤(rùn)不小于100元/臺(tái)的概率為P=68=0.75．

(Ⅱ)由圖表得，2013～2020年中，返修率超過(guò)千分之一的年份只有2013年和2015年，

∴ξ的所有可能取值為1，2，3，

P(ξ=1)=C61C22C

ξ

1

2

3

P

3

15

5∴E(ξ)=1×328+2×1528+3×514=94【解析】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、概率的求法，考查超幾何分布分布、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

(Ⅰ)由圖表知，2013年～2020年中，產(chǎn)品的平均利潤(rùn)小于100元/臺(tái)的年份只有2015年，2016年，由此能求出從2013年～2020年中隨機(jī)抽取一年，該年生產(chǎn)的平均利潤(rùn)不小于100元/臺(tái)的概率．

(Ⅱ)由圖表得，2013～2020年中，返修率超過(guò)千分之一的年份只有2013年和2015年，ξ的所有可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．

(Ⅲ)a的最大值為13，最小值為7．17.【答案】解：(1)設(shè)“可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的題目選對(duì)”為事件A，

“可判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的題目選對(duì)”為事件B，

“不理解題意的題目選對(duì)”為事件C，

∴P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14，

∴得60分的概率為p=12×12×13×14=148．

(2)ξ可能的取值為40，45，50，55，ξ4045505560P(ξ)1171771Eξ=40×648【解析】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．

(1)設(shè)“可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的題目選對(duì)”為事件A，“可判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的題目選對(duì)”為事件B，“不理解題意的題目選對(duì)”為事件C，由P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14，能求出得60分的概率．

(2)ξ可能的取值為40，45，50，55，60，分別求出P(ξ=40)，P(ξ=45)，P(ξ=50)，P(ξ=55)和18.【答案】C

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和和通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．

由S2=3，S4=15可求得q2【解答】

解：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，

由S2=3，S4=15，可得a1(1?q2)1?q=3a1(1?q4)1?q19.【答案】C

【解析】解：由題意得(a+1)2=b+5且2a=b+3，

所以(a+1)2=2a+2，

整理的a2=1，即a=1或a=?1，

當(dāng)a=?1時(shí)，a+1=0，不符合題意，

故a=1，b=?1，則3，1，?1的公差為?2．20.【答案】B

【解析】解：對(duì)于方案一：回報(bào)的期望為80%×400+20%×800=480元；

對(duì)于方案二：回報(bào)為10×10+9×102×10=550元；

對(duì)于方案三：回報(bào)為0.5(1?210)1?2=511.5元；

因?yàn)?80<511.5<550，應(yīng)該選擇的投資方案是方案二．21.【答案】7

【解析】解：因?yàn)閍n=?2n+15，

則a7>0，a8<0，

故n=7時(shí)，Sn取到最大值．

故答案為：7．

22.【答案】2

【解析】解：由a1=3，an=f(an?1)，可得a2=f(a1)=f(3)=1，a3=f(1)=4，a4=f(4)=2，

a5=f(2)=5，a6=f(5)=3，a7=f(3)=1，a8=f(1)=4，23.【答案】①②④

【解析】解：①若數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)是5，5，3，3，1，

∴a1=5，

∵b2=5，∴a2≥5，

∵b3=3，∴a3=3，

∵b4=3，∴a4≥3，

∵b5=1，∴a5=1，正確；

②若數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列，則數(shù)列{an}也一定是遞減數(shù)列，正確；

③數(shù)列{bn}一定是非嚴(yán)格的遞減數(shù)列，故錯(cuò)；24.【答案】解：(Ⅰ)設(shè)公差為d，

由題意，得a1+2d=25a1+12×5×4d=a1+6d

解得a1=?2，d=2，

所以an=?2+(n?