三角形（學(xué)案含解析）

2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案

19三角形

中考命我北明

I_____________,

考點課標(biāo)要求考查角度

①了解三角形的有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、常以選擇題、填空題的形

高、角平分線），理解三角形形成的條件，會畫式考查三角形的三邊關(guān)

三角形的有

1出任意三角形的角平分線、中線和高，了解三系、三角形的內(nèi)角和定理、

關(guān)概念

角形的穩(wěn)定性；②掌握三角形的內(nèi)角和定理及外角與內(nèi)角的關(guān)系以及三

推論；③了解三角形重心的概念.角形的中位線等知識.

常以選擇題、填空題、證

明題的形式考查三角形全

了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個三角

2全等三角形等的判定和性質(zhì)，近年來

形全等的條件和性質(zhì).

全等類開放性、探索性試

題是中考命題的熱點.

了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角

常以選擇題、填空題、解

3等腰三角形形的性質(zhì)定理.探索并掌握等腰三角形的判定

答題的形式考查.

定理.探索等邊三角形的性質(zhì)定理及判定定理.

了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角

形的性質(zhì)定理.掌握有兩個角互余的三角形是常以選擇題、填空題、解

4直角三角形

直角三角形.探索勾股定理及其逆定理，并能答題的形式考查.

運(yùn)用它們解決一些簡單的實際問題.

知疚點I：三角形的為關(guān)檄急

知識點梳理

L/

i.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形,叫做三角形.

2.三角形中的主要線段：

(1)三角形的中線：連接三角形的一個頂點和它對邊中點所得到的線段,叫做三角形這邊上的

中線.

(2)三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，連接這個頂點和垂足的線段,叫做

三角形這邊上的高線(簡稱三角形的高).

(3)三角形的角平分線：連接三角形的一個頂點和這個角的平分線與對邊交點的線段,叫做三

角形的角平分線.

(4)三角形中的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

3.三角形的邊之間關(guān)系：

(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊.

(2)三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形.

②當(dāng)己知兩邊時，可確定第三邊的范圍.

③證明線段不等關(guān)系.

【溫馨提示】三角形的三邊關(guān)系是判斷三條線段能否構(gòu)成三角形的依據(jù)，并且還可以利用三邊關(guān)系列

出不等式求某些量的取值范圍.

4.三角形的角之間關(guān)系：

(1)三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180。.

推論：

①直角三角形的兩個銳角互余.

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和.

③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

(2)三角形的外角和等于360。；

5.三角形的邊與角之間的關(guān)系：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對

大角.

6.三角形的分類：

按邊分：

(三邊都不相等的三角形

三角形底邊和腰不相等的三角形

等腰三角形

等邊三角形

按角分:

直角三角形

三角形《銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

喜型畫題

【例1】（3分）（2021?陜西4/26）如圖，點。、E分別在線段BC、AC上，連接A。、BE.若乙4=

35°,/B=25°,NC=50°,則N1的大小為()

A.60°B.70°C.75°D.85

【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì).

【分析】由三角形的內(nèi)角和定理，可得Nl=180-（ZB+ZADB）,ZADB=ZA+ZC,所以Nl=

180°-（ZB+ZA+ZC）,由此解答即可.

【解答】解：VZl=180-CZB+ZADB),ZADB=ZA+ZC,

AZI=180°-(ZB+ZA+ZC),

.,.Zl=180°-(25°+35°+50°),

.?.Zl=180°-110°,

.,.Zl=70",

故選：B.

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)，掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵.

【例2】（4分）（2021?河北18/26）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與瓦）的交點為C,

且/A,NB,ZE保持不變.為了舒適,需調(diào)整的大小，使110°,則圖中應(yīng)（填

“增加”或“減少”）度.

【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì).

【分析】延長EF,交CD于點G,依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求NACB,根據(jù)對頂角相等可得/DCE,

再由三角形內(nèi)角和定理的推論得到NDG尸的度數(shù)；利用NEED=110°,和三角形的外角的性質(zhì)可得

的度數(shù)，從而得出結(jié)論.

【解答】解：延長所，交CD于點G,如圖：

VZACB=180°-50°-60°=70°,

：.ZECD=ZACB=10°.

'：ZDGF=ZDCE+ZE,

:./DGF=700+30°=100°.

VZ￡FD=110°,ZEFD=ZDGF+ZD,

：.ZD=10°.

而圖中ND=20°,

ZD應(yīng)減小10°.

故答案為：減小，10.

【點評】本題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理.熟練使用上述定理是解題的關(guān)

鍵.

[例3]（3分）（2021?通遼13/26）一副三角板如圖所示擺放，5.AB//CD,則/I的度數(shù)為.

【考點】平行線的性質(zhì)

【分析】由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得至UN2=NC=30°,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可.

【解答】解：如圖，ZA=45°,ZC=30°,

".'AB//CD,

；.N2=NC=30°,

.?.Z1=Z2+ZA=30°+45°=75°,

故答案為：75°.

【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理及三角形的外角定理是解題的關(guān)鍵.

【例4】（3分）（2020?北京15/28）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,。是網(wǎng)格線交點，則

△ABC的面積與△A3。的面積的大小關(guān)系為：SAABCSMBD（填“>”，"=”或.

【考點】三角形的面積.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】分別求出△ABC的面積和△48。的面積，即可求解.

【解答】解：VSAABC=--X2X4=4,SAABD=2X5--X5X1-1X1X3--X2X2=4,

2222

??S/^ABC=S/\ABDf

故答案為：—.

【點評】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是本題的關(guān)鍵.

【例5】（2分）（2021?青海17/25）如圖，在△ABC中，D,E,尸分別是邊AB,BC,CA的中

點，若△QEF的周長為10,則AABC的周長為.

【考點】三角形中位線定理.

【分析】先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得：AB=2EF,BC=2DF,AC=2DE,根據(jù)周長得：EF+DE+DF

=10,所以2EF+2DE+2DF=20,BPAB+BC+AC=2Q.

【解答】解：?.?點E,尸分別是△ABC的AB,BC,CA邊的中點，

:.EF、DE、。/為△ABC的中位線，

：.EF=-AB,DF^-BC,DE^-AC,

222

：.AB^2EF,BC=2DF,AC=2DE,

?.?△OEb的周長為10,

：.EF+DE+DF=10,

：.2EF+2DE+2DF=20,

AJ5+5C+AC—20,

ZVIBC的周長為20.

故答案為：20.

【點評】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行于

第三邊且等于第三邊的一半是解決問題的關(guān)鍵.

,、

知識點2：金等三角形

知疾點機(jī)理

<________________________________?

1.全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.

2.三角形全等的判定：

三角形全等的判定定理：

(1)邊角邊定理:有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成“邊角邊”或“SAS”).

(2)角邊角定理:有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成“角邊角”或“ASA”).

(3)邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”).

直角三角形全等的判定：

對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，除了有一般三角形全等的判定方法，還有HL定理（斜邊、

直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或

“HL”）.

3.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.

/-------------------------->

典曳啊題

L?

[例6]（4分）（2021?重慶B卷8/26）如圖，在△ABC和中，ZACB=ZDBC,添加一個條

件，不能證明△A8C和△QC8全等的是（）

A.ZABC=ZDCBB.AB=DCC.AC=DBD.ZA=ZD

【考點】全等三角形的判定

【分析】根據(jù)證明三角形全等的條件AAS,SAS,ASA,SSS逐一驗證選項即可.

【解答】解：在△ABC和△OCB中，

VZACB=ZDBC,BC=BC,

A、當(dāng)時，AABCgADCB（ASA）,

故A能證明；

B、當(dāng)A8=OC時，不能證明兩三角形全等，

故B不能證明;

C、當(dāng)AC=OB時，△ABCgZVJCB（SAS）,

故C能證明；

D、當(dāng)NA=NO時，△ABCg△OCB（AAS）,

故D能證明；

故選：B.

【點評】本題主要考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵.

【例7】（5分）（2021?陜西18/26）如圖，BD//AC,8O=8C,點E在上，MBE=AC.求證:

ZD^ZABC.

E

BC

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NACB=NM。，然后根據(jù)“SAS”可判斷△?15cg△口氏從而

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.

【解答】證明：???8Z)〃AC,

???/ACB=/EBD,

在△A5C和△ED3中，

CB=BD

<ZACB=ZEBD,

AC=EB

:?△ABCQdEDB(SAS),

工ZABC=ZD.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段

和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

z

知識京3：等腰三角形

知識點虢理

k>

1.等腰三角形的性質(zhì)：

(1)等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個底角相等(簡稱：等邊對等角).

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊.即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中

線、底邊上的高重合.

推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60。.

(2)等腰三角形的其他性質(zhì)：

①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°.

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角(或直角)，但頂角可為鈍角(或直角).

③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為。，底邊長為6,則

2

④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為/A,底角為/8、ZC,則/A=180。-2/8,NB=/C=

180°—ZA

2-

2.等腰三角形的判定：

等腰三角形的判定定理及推論：

定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱：等角對等邊).這個判

定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等.

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.

推論2：有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

3.等邊三角形：

(1)定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

(2)性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。.

(3)判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形.

其魚囪題

<______________________/

【例8】(3分)(2021?江西13(2)/23)如圖，在△ABC中，ZA=40°,ZABC=80°,BE平分

NABC交AC于點E,于點。，求證：AD=BD.

【考點】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定.

【分析】先證明得到△ABE為等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.

【解答】證明：平分/ABC交AC于點E,

ZABE=-ZABC=-x80°=40°，

22

VZA=40°,

ZA=ZABE,

.?.△ABE為等腰三角形，

:EDLAB,

：.AD=BD.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.也考查了等腰三角

形的判定.

【例9】（7分）（2021?吉林19/26）圖①、圖2均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格

點，小正方形的邊長為1,點A,點B均在格點上，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均

在格點上.

圖①圖②

【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可（答案不唯一）.

（2）作一個底為1,高為3的平行四邊形即可.

【解答】解：（1）如圖①中，△ABC即為所求（答案不唯一）.

（2）如圖②中，四邊形45OE即為所求.

D

B

圖①圖②

【點評】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型.

【例10］（4分）（2021?福建7/25）如圖，點尸在正五邊形A2CDE的內(nèi)部，為等邊三角形，

則ZAFC等于（）

A.108°B.120°C.126°D.132°

【考點】等邊三角形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AF=BF,ZAFB=ZABF=60°,由正五邊形的性質(zhì)得到AB=BC,

ZABC=108°,等量代換得到BF=BC,NEBC=48。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出NBk=66。，根據(jù)

ZAFC=ZAFB+ZBFC即可得到結(jié)論.

【解答】解：???△A2P是等邊三角形,

：.AF=BF,/AFB=/ABF=60°,

在正五邊形ABCDE中，AB=BC,ZABC=108°,

:.BF=BC,ZFBC=AABC-ZABF=48°,

.“CJ8O°”C=66。,

2

ZAFC=ZAFB+ZBFC=126°,

故選：C.

【點評】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記正多邊形的內(nèi)

角的求法是解題的關(guān)鍵.

知識點4：豆角三角形

知疚點梳理

<___________________________

1.直角三角形定義：有一個角是直角的三角形叫作直角三角形.

2.直角三角形的性質(zhì):

(1)直角三角形兩銳角互余.

(2)在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

(3)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3.直角三角形的判定:

(1)兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

(2)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

4.勾股定理及逆定理：

(1)勾股定理：直角三角形的兩條直角邊。、》的平方和等于斜邊C的平方，即：c^+b^c2.

(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、C有關(guān)系：層+/=，，那么這個三角形是直角三

角形.

爵魚畫題

【例11](4分)(2021?福建3/25)如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對岸工廠8之間的距

離，在學(xué)校附近選一點C,禾傭測量儀器測得NA=60。，ZC=9Q°,AC=2km.據(jù)此，可求得學(xué)校與工

廠之間的距離AB等于()

A.2kmB.3kmC.2^3kmD.4km

【考點】直角三角形的性質(zhì)

【分析】直接利用直角三角形的性質(zhì)得出度數(shù)，進(jìn)而利用直角三角形中30。所對直角邊是斜邊的

一半，即可得出答案.

【解答】解：?.?乙4=60。，ZC=90°,AC=2km,

：.ZB=6Q0,

：.AB=2AC=4(km).

故選：D.

【點評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，正確掌握邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【例12](5分)(2021?新疆7/23)如圖，在RtZVIBC中，ZACB=9Q°,ZA=30°,AB=4,C￡)_L4B于

【考點】直角三角形斜邊上的中線；含30度角的直角三角形

【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理可得/2=60。，由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)定理可得CE=BE=2,

利用等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.

【解答】解：：NACB=90。，ZA=30°,

ZB=60°,

是A3的中點，AB=4,

：.CE=BE=-AB=-x4=2,

22

.?.△BCE為等邊三角形，

??CDLAB,

：.DE=BD=-BE=-x2=l.

22

故選：A.

【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解答此題的關(guān)鍵.

【例13]（3分）（2021?山西8/23）在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運(yùn)用如圖圖形，驗證

著名的勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”.實際

上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律,它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

分類思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.函數(shù)思想

【考點】勾股定理的證明

【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想.

【解答】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的

數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想,

故選：C.

【點評】本題考查了勾股定理的證明，掌握根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)

學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想.

【例14]（3分）（2021?陜西7/26）如圖，AB,BC、CD、。石是四根長度均為5cm的火柴棒，點

A、C、E共線.若AC=6cm,CD1.BC,則線段CE的長度是（）

B

D

A.6cmB.7cmC.65/2cmD.8cm

【考點】全等三角形的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用.

【分析】過5作5M_LAC于過。作于N,由等腰三角形的性質(zhì)得到AM=CM=3,CN

=EN,根據(jù)全等三角形判定證得也△C￡W,得到8M=CN,在RtZXBCM中，根據(jù)勾股定理求

出8M=4,進(jìn)而求出.

【解答】解：由題意知，AB=BC=CD=DE=5cm,AC=6cm,

過5作于M,過。作DALLCE于N,

VCZ)±BC,

：.ZBCD=90°,

AZBCM+ZCBM=ZBCM^ZDCN=90°,

:./CBM=/DCN,

在△3CM和△CON中,

/CBM=/DCN

</BMC=/CND,

BC=DC

:?△BCM"ACDN(AAS),

:.BM=CN,

在RtABCM中，

?：BM=5,CM=3,

：.BM=yjBC2-CM2=6-32=4,

：?CN=4,

???CE=2CN=2X4=8,

故選：D.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線，

證得△CDN是解決問題的關(guān)鍵.

【例15］（2分）（2020?河北16/26）如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設(shè)計的“畢達(dá)哥拉斯”

圖案.現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是1,2,3,4,5,選取其中三塊（可重復(fù)選?。┌磮D的方式

組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）

【考點】勾股定理的逆定理

【分析】根據(jù)題意可知，三塊正方形的面積中，兩個較小的面積之和等于最大的面積，再根據(jù)三角形

的面積，分別計算出各個選項中圍成的直角三角形的面積，比較大小，即可解答本題.

【解答】解：當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是1,4,5時，圍成的直角三角形的面積是如亞=3，

22

當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2,3,5時，圍成的直角三角形的面積是叵否=逅，

22

當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3,4,5時，圍成的三角形不是直角三角形，

當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2,2,4時，圍成的直角三角形的面積是叵史=亞，

22

??恒〉史,

,~T~T'

???所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2,3,5,

故選：B.

【點評】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理解答.

----------------\

鞏囿訓(xùn)練

1.（3分）（2021?呼和浩特2/24）如圖，在△ABC中，ZB=50°,ZC=70°,直線DE經(jīng)過點A,

ZDAB=50°,則NE4c的度數(shù)是（）

B

A.40°B.50°C.60°D.70°

2.（3分）（2021?鄂爾多斯5/24）一塊含30。角的直角三角板和直尺如圖放置，若4=146。33，，則N2

的度數(shù)為（）

A.64°27,B.63°27,C.64°33,D.63°33,

3.（2分）（2021?河北13/26）定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

己知：如圖，是△ABC的外角.求證：ZACD^ZA+ZB.

證法1：如圖，

VZA+ZB+ZACB=180°（三角形內(nèi)角和定理），

又?.?/ACD+NAC8=180°（平角定義），

AZACD+ZACB=ZA+ZB+ZACB（等量代換）.

ZACD=ZA+ZB（等式性質(zhì)）.

證法2：如圖，

VZA=76°,NB=59°,

且/ACZ）=135°（量角器測量所得）

又：135°=76°+59°（計算所得）

ZACD=ZA+ZB（等量代換）.

下列說法正確的是（）

A.證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整

B.證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

C.證法2用特殊到一般法證明了該定理

D.證法2只要測量夠一百個三角形進(jìn)行驗證，就能證明該定理

4.（4分）（2021?重慶A卷17/26）如圖，三角形紙片ABC中，點￡）,E,尸分別在邊A5,AC,

3c上，BF=4,CF=6,將這張紙片沿直線DE翻折，點A與點廠重合.若DEIIBC,AF=EF,

則四邊形孫石的面積為_56

5.（4分）（2021?重慶B卷17/26）如圖，ZsABC中，點。為邊3C的中點，連接AD,將△AOC沿直

線4）翻折至AABC所在平面內(nèi)，得△ADC',連接CC,分別與邊相交于點E,與AD交于點O.若

AE=BE,BC'=2,則AD的長為3.

△?DEF的周長為（）

A.8B.2A/2C.16D.4

7.（3分）（2020?寧夏4/26）如圖擺放的一副學(xué)生用直角三角板，ZF=30°,ZC=45°,A8與。E相

交于點G,當(dāng)跖〃BC時，NEG8的度數(shù)是（）

A.135°B.120°C.115°D.105°

8.（3分）（2020?包頭5/26）如圖，/ACQ是△ABC的外角，CE//AB.若/AC8=75°,NECD=

50°,則乙4的度數(shù)為（）

A.50°B.55°C.70°D.75°

9.（4分）（2021?重慶A卷7/26）如圖，點、B,F,C,E共線，NB=NE,BF=EC,添加一個條

件，不能判斷△ABCgZkOEF的是（）

C

E

B

D

A.AB=DEB.ZA=ZDC.AC=DFD.AC//FD

10.（6分）（2021?云南16/23）如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,AC=BD,AC與33相交于

點、E.求證：ZDAC=ZCBD.

11.（8分）（2021?福建18/25）如圖，在△ABC中，。是邊3c上的點，DE^AC,DF1.AB,垂足

分別為E,F,S.DE=DF,CE=BF.求證：NB=NC.

12.（5分M2021?吉林17/26）如圖，點。在AB上，E在AC上，AB=AC,/B=NC,求證：AD=AE.

13.（6分）（2021?西藏21/27）如圖，AB//DE,B,C,。三點在同一條直線上，N4=9O。，ECA.BD,

且M=CD.求證：AC=CE.

14.（5分）（2020?吉林18/26）如圖，在△ABC中，AB>AC,點。在邊AB上，MBD=CA,過點。

DE//AC,并截取。且點C,E在同側(cè)，連接BE.求證：4DEB烏AABC.

15.（3分）（2020?江西11/23）如圖，AC平分/OCB,CB=CD,D4的延長線交BC于點E,若/

EAC=49°,則ZBAE的度數(shù)為.

16.（3分）（2021?赤峰6/26）如圖，AB//CD,點E在線段5c1上，CD=CE.若NABC=3O。，則

的度數(shù)為（）

A.85°B.75°C.651D.30°

17.（3分）（2021?西藏6/27）把一塊等腰直角三角板和一把直尺按如圖所示的位置構(gòu)成，若4=25。,

A.15°B.20°C.25°D.30°

18.（5分）（2021?新疆14/23）如圖，在△ABC中，AB^AC,NC=70。，分別以點A,3為圓心,

大于‘AS的長為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點，作直線MN交AC于點、D,連接BD,則ZBDC=

2

80°.

A

19.（5分）（2021?北京20/28）《淮南子?天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日

出時，在地面上點A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點8,使B,A兩點間的距離為

10步（步是古代的一種長度單位），在點8處立一根桿；日落時，在地面上沿著點8處的桿的影子

的方向取一點C,使C,B兩點間的距離為10步，在點C處立一根桿.取CA的中點D,那么直線

表示的方向為東西方向.

（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點A,B,C的位置如圖所示.使用直尺和圓規(guī)，在

圖中作C4的中點。（保留作圖痕跡）；

（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向為東西方向.根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以

判斷直線C4表示的方向為南北方向，完成如下證明.

證明：在△ABC中，BA=BC,。是CA的中點，

：.CA±DB（三線合一）（填推理的依據(jù)）.

..?直線。8表示的方向為東西方向，

直線CA表示的方向為南北方向.

20.（3分）（2020?青海14/28）等腰三角形的一個內(nèi)角為70°,則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是（）

A.55°,55°B.70°,40°或70°,55°

C.70°,40°D.55°,55°或70°,40°

21.（6分）（2020?廣東20/25）如圖，在△ABC中，點。，E分別是48、AC邊上的點，BD=CE,Z

ABE=ZACD,BE與相交于點F.求證：△ABC是等腰三角形.

D,,E

B匕--------------------------

22.（3分）（2021?河南15/23）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1,在RtAABC中，

ZACB=90°,ZB=3O°,AC=1.第一步，在延邊上找一點。，將紙片沿CD折疊，點A落在A'

處，如圖2；第二步，將紙片沿GV折疊，點。落在〃處，如圖3.當(dāng)點。恰好落在原直角三角形紙

1l

片的邊上時，線段AZ7的長為-或2-百.

一2——

BBB

23.（8分）（2021?包頭22/26）某工程隊準(zhǔn)備從A到3修建一條隧道，測量員在直線AB的同一側(cè)選

定C,。兩個觀測點，如圖.測得AC長為上叵粒，CD長為‘電+吊km,BD長為3km,

242

NACD=60。，NCDB=I35o（A、B、C、D在同一水平面內(nèi)）.

（1）求A、。兩點之間的距離；

（2）求隧道AB的長度.

24.（3分）（2021?西藏12/27）如圖，在RtaABC中，ZA=3O°,ZC=90°,AB=6,點尸是線段

AC上一動點，點M在線段至上，當(dāng)時，P3+R0的最小值為（）

3

p

B

A.3A/3B.2幣C.2A/3+2D.373+3

25.（3分）（3分）（2021?西藏17/27）如圖.在Rtz^ABC中，NA=9O。，AC=4.按以下步驟作圖：

（1）以點3為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交線段84,3c于點M,N；（2）以點C為圓心，

所長為半徑畫弧，交線段CB于點D；（3）以點。為圓心，長為半徑畫弧，與第2步中所面的

弧相交于點E;（4）過點E畫射線CE,與AB相交于點P.當(dāng)AF=3時，3c的長是_46

26.（3分）（2020?陜西6/25）如圖，在3義3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都

在格點上，若8。是△ABC的高，則8。的長為（）

A.—713B.—713C.—V13D.—V13

13131313

27.（8分）（2020?山西20/23）閱讀與思考

如圖是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

x年x月x日星期日

沒有直角尺也能作出直角

今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖①所示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板

上畫出一條裁割線AB,現(xiàn)根據(jù)木板的情況，要過AB上的一點C,作出的垂線，用鋸子進(jìn)行裁

害U，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？

辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm,然后分別以。，C為圓心，

以50cm與40072為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E,作直線CE,則NDCE必為90。.

圖①圖②圖③

辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點出N兩點，然后把木棒斜放在

木板上，使點加與點C重合，用鉛筆在木板上將點N對應(yīng)的位置標(biāo)記為點。，保持點N不動，將

木棒繞點N旋轉(zhuǎn)，使點M落在鉆上，在木板上將點M對應(yīng)的位置標(biāo)記為點A.然后將RQ延

長，在延長線上截取線段QS="N,得到點S,作直線SC,則NRCS=90。.

我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學(xué)原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線

呢？……

任務(wù)：

（1）填空：“辦法一”依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是勾股定理的逆定理；

（2）根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明4CS=90。；

（3）①尺規(guī)作圖：請在圖③的木板上，過點C作出AB的垂線（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法）;

②說明你的作法所依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實（寫出一個即可）.

鞏固別練解析

、______________________

1.（3分）（2021?呼和浩特2/24）如圖，^AABC中，ZB=50°,ZC=70°,直線3E經(jīng)過點A,

ND4B=50。，則NE4c的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【考點】三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和可以先求出ZBAC的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，可知

ZDAB+ABAC+ZE4C=180°,從而可以求得NE4c的度數(shù).

【解答】解：?.,NB=50。，NC=70。，

,ZS4C=180°—ZB-NC=180°—50°—70°=60°,

■.■ZDAB=50°,ZDAB+ZBAC+ZEAC=1SO°,

ZEAC=180°-ZDAB-ZBAC=180°—50°-60°=70°,

故選：D.

【點評】本題考查三角形內(nèi)角和、平角的定義，解答本題的關(guān)鍵是求出Nfi4c的度數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合

的思想解答.

2.（3分）（2021?鄂爾多斯5/24）一塊含30。角的直角三角板和直尺如圖放置，若4=146。33，，則N2

的度數(shù)為（）

A.64°27,B.63°27'C.64°33'D.63°33,

【考點】平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)

【分析】根據(jù)平角的定義得到/4=33。27,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到/3=63。27,最后根據(jù)平行線

的性質(zhì)即可得解.

?.?Zl+Z4=180°,Zl=146033,，

.-.Z4=33O27,,

?.-Z3=Z4+ZA,ZA=30°,

.?.N3=63°27',

?.?直尺的對邊互相平行，

.?./2=/3=63。27,，

故選：B.

【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”及三角形外

角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2分）（2021?河北13/26）定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

已知：如圖，NAC。是△△5c的外角.求證：ZACD=ZA+ZB.

證法1:如圖，

,：ZA+ZB+ZACB=180°（三角形內(nèi)角和定理），

又?.?NAa）+NAC5=180°（平角定義），

AZACD+ZACB=ZA+ZB+ZACB（等量代換）.

：.ZACD=ZA+ZB（等式性質(zhì)）.

證法2：如圖，

VZA=76°,ZB=59°,

且NAC〃=135°（量角器測量所得）

又?；135°=76°+59°（計算所得）

：.ZACD^ZA+ZB（等量代換）.

下列說法正確的是（）

A.證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整

B.證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

C.證法2用特殊到一般法證明了該定理

D.證法2只要測量夠一百個三角形進(jìn)行驗證，就能證明該定理

【考點】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì).

【分析】依據(jù)定理證明的一般步驟進(jìn)行分析判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：???證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確,

具有一般性，無需再證明其他形狀的三角形，

???A的說法不正確，不符合題意；

???證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確，

的說法正確，符合題意；

..?定理的證明必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，不能用特殊情形來說明，

.??C的說法不正確，不符合題意；

..?定理的證明必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，與測量次解答數(shù)的多少無關(guān)，

二。的說法不正確，不符合題意；

綜上，B的說法正確.

故選：B.

【點評】本題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)，定理的證明的一般步驟.依據(jù)定理的證明的一般步驟

分析解答是解題的關(guān)鍵.

4.（4分）（2021?重慶A卷:17/26）如圖，三角形紙片ABC中，點。，E,尸分別在邊AB,AC,

BC±,BF=4,CF=6,將這張紙片沿直線上翻折，點A與點廠重合.若OE/ABC,AF=EF,

則四邊形ADFE的面積為_5b

【考點】平行線的性質(zhì)；三角形的面積；翻折變換（折疊問題）

【分析】由沿直線DE翻折，點A與點P重合可知：DE垂直平分？1F,因為。石〃3C,所以DE為乙

ABC的中位線，DE=-BC=5；由折疊可得"■二昉，因為AF=防，可得為等邊三角形,

2

NE4c=60。；在RtZ^APC中，解直角三角形可得AF的長，四邊形ADFE■的面積為！DExAF,結(jié)

2

論可得.

【解答】解：?.?紙片沿直線DE翻折，點A與點口重合，

.〔DE垂直平分AF.

:.AD=DF,AE=EF.

：DE//BC,

.〔DE為△ABC的中位線.

.-.r）E=|JBC=|（JBF+CF）=1（4+6）=5.

■.■AF=EF,

??.△AEP為等邊三角形.

:.ZFAC=60°.

在RtAAFC中，

FC

vtanZfXC=—,

AF

AF=EC=2拒.

tan60°

四邊形的面積為：-DExAF=-x5x2y/3=5y/3.

22

故答案為：573.

【點評】本題主要考查了折疊問題，三角形的中位線，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，解直角三角形.利

用中點的性質(zhì)得到對應(yīng)的部分相等是解題的關(guān)鍵.

5.（4分）（2021?重慶B卷17/26）如圖，△A3C中，點。為邊3C的中點，連接AD,將△AOC沿

直線AD翻折至\ABC所在平面內(nèi)，得△AOC',連