高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講09.三變量極值點(diǎn)偏移

三變量極值點(diǎn)偏移我們通常遇到的極值點(diǎn)或極值點(diǎn)偏移問題多以二元為主，其實(shí)已經(jīng)很困難了，但近來我遇到了幾道三元的極值點(diǎn)問題，此處想簡要的總結(jié)一下三極值點(diǎn)問題中的一點(diǎn)處理技巧，其實(shí)通過這些例題你會發(fā)覺，三變量問題往往可能是個(gè)紙老虎，因?yàn)橥ǔＦ渲幸粋€(gè)變量是一個(gè)已知數(shù)，只是你須要找到它的詳細(xì)值，或者其中兩個(gè)變量之間存在關(guān)系，當(dāng)然這些都須要你的積累和總結(jié).基本原理兩個(gè)重要的三變量命題函數(shù)先介紹兩個(gè)函數(shù)：，.這兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)要留意，首先，確定是一個(gè)零點(diǎn)，其次，當(dāng)滿意確定條件時(shí)，還會再有兩個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)，并且，這兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)很重要的特點(diǎn)，若，則有，這就意味著剩下的兩個(gè)零點(diǎn)會有隱含關(guān)系：，這個(gè)關(guān)系在解決相關(guān)多極值點(diǎn)問題時(shí)至關(guān)重要！要留意特別的零點(diǎn)，比如上面兩個(gè)函數(shù)中的特別點(diǎn)，換句話說，有的多元極值點(diǎn)問題就是個(gè)紙老虎，會有個(gè)別極值點(diǎn)（零點(diǎn)是可求）.留意一些可能的極值點(diǎn)偏移情形：假如上述可得：，當(dāng)時(shí)，會有兩個(gè)零點(diǎn)且（下面例1會證明）.二．典例分析例1.已知函數(shù)（1）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)分別為，求證：.（3）設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)分別為，求證：.解析：（1）若有三個(gè)零點(diǎn)，則.（2）依題.同時(shí)，需留意于是，由可得：，同除，且留意到，可得：.（3）依題.同時(shí)，需留意于是，由可得：，同除，且留意到，可得：.例2．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為，最小值為．已知．設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)為，求的取值范圍．解析：（1），令，解得或，令，解得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取得極大值，，當(dāng)時(shí)取得微小值，，所以的極大值為，微小值為.（2）因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，因?yàn)?，，所以，，解得，設(shè)，令，所以，，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，所以的取值范圍為.例3.已知函數(shù).自己設(shè)置一個(gè)送分的小問；若有三個(gè)極值點(diǎn)，為，且，求的取值范圍.提示：有一個(gè)極值點(diǎn)，所以此題只是一個(gè)紙老虎（2）解析：，對函數(shù)，設(shè)上一點(diǎn)為，過點(diǎn)的切線方程為，將代入上式得，所以過的的切線方程為，.所以，要使與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.，，，令，則，所以，所以，即所以，令，，易知在上恒成立（見第一章）.所以在上恒成立.所以在上遞增.，所以當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.例4.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）已知恰好有個(gè)極值點(diǎn).（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：.解析：（ⅰ）由于故（ⅱ）證明：此時(shí)有，設(shè)，則只需證明，求導(dǎo)得，所以在上單調(diào)遞增，留意得到，所以，所以只需證明，事實(shí)上，上式等價(jià)于成立，所以原不等式得證.例5.已知函數(shù)，其中．（1）求的極值；（2）設(shè)函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：．解析：（1）由題可得，∴在單調(diào)遞增，∵，∴時(shí)，時(shí)，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，無極大值；（2）（?。?，由題可知有三個(gè)不同的正實(shí)根，令，則，令，有三個(gè)不同的正實(shí)根、、，，∴有兩個(gè)不同的正實(shí)根，∴∴，設(shè)的兩個(gè)不同的正實(shí)根為m、n，且，此時(shí)在和單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又∵，∵，且，∴有三個(gè)不同的正實(shí)根，滿意題意，∴a的取值范圍是；（ⅱ）令、，由（ⅰ）知，且、為的正實(shí)根，，令，則，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，令，則∵，∴，令，，∴在單調(diào)遞增，∴，∴在單調(diào)遞減，∵，∴，∵，∴，∵在單調(diào)遞增，∴，∴.例6.（金華十校）已知函數(shù)