高中數(shù)學(xué)不等式典型例題解析

最新高中數(shù)學(xué)不等式典型例題解析

概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

不等式

一.不等式的性質(zhì)：

1.同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若a則abc,d，

cbd(若ab,cd,則acbd),但異向不等式不可以相加；同

向不等式不可以相減；

2.左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等

式可以相除，但不能相乘：若ab0,cd0,貝Uacbd(若

ab0,0cd,ab則)；cd

3.左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開方：若ab0,則an

bn或

11114.若ab0,ab,貝U;若ab0,ab,貝9。如abab

（1）對于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出下列命題：

①若ab,則ac2bc2；②若ac2bc2,則ab；

11③若ab0,則a2abb2；④若ab0,則；ab

ba⑤若ab0,則；⑥若ab0,則ab；ab

abll⑦若cab0,則；⑧若ab,,則a0,b0。

cacbab

其中正確的命題是

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知1xy1,1xy3,則3xy的取值范圍是

（答：13xy7）;

c（3）已知abc,且abc0,則的取值范圍是a

1（答：2,）2

二.不等式大小比較的常用方法：

1.作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；

2.作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)基的代數(shù)式）；

3.分析法；

4.平方法；

5.分子（或分母）有理化；

6.利用函數(shù)的單調(diào)性；

7.尋找中間量或放縮法；

8.圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如

It1（1）設(shè)a0且al,t0,比較logat和loga的大小22

（答：當(dāng)a1時(shí),

It1

（t1時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)0a1時(shí)，logatloga

22

It1

（t1時(shí)取等號(hào)））；logatloga

22

21

（2）設(shè)a2,pa,q2a4a2,試比較p,q的大小

a2

（答：pq）;

（3）比較1+log比與210gx2（x0且x1）的大小

44

（答：當(dāng)0x1或x時(shí)，1+Iogx3>21ogx2;當(dāng)1x時(shí)，l+logx3

<

33

4

21ogx2；當(dāng)x時(shí)，1+Iogx3=21ogx2）

3

三.利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相

等，和定積

最大，積定和最小”這17字方針。如（1）下列命題中正確的是

1

A、yx的最小值是2

x2B

6十2

、y的最小值是2

4

C、y23x（x

百

0）的最大值是2x4

D>y23x（x

73

0）的最小值是2X

（答：C）；

（2）若x2y1,則2x4y的最小值是

五

（答：；

（3）正數(shù)x,y滿足x2y1,則

11

的最小值為

72

xy

（答：3；

4.常用不等式有：（1

2

（根據(jù)目標(biāo)不等式左右

222

的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用）；（2）a、b、cR,abcabbeca（當(dāng)且僅

當(dāng)abc

bbm

時(shí)，取等號(hào)）；（3）若abO,m0,則（糖水的濃度問題）。如

aam

如果正數(shù)a、b滿足abab3,則ab的取值范圍是

（答：9,）

五.證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法仕匕較法的

步驟是：

作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的

大小，然后作出結(jié)論。）.

1111111

2常用的放縮技巧有：

nnIn（n1）nn（n1）nIn

yfk+\

+1+

2瓜

yjk—\+\fk

?Jk+1

如(1)已知abc,求證：

a2bb2cc2aab2bc2ca2；(2)已知a,b,cR,求證:

a2b2b2c2c2a2abc(abc);

xyll

(3)已知a,b,x,yR，且，xy,求證：；

xaybab

(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證:

abbecal1gableg；Iglg

222

(5)已知a,b,cR,求證：a2b2b2c2c2a2abc(abc)；

⑹若n

N*,求證：(n

J"，+1

1)n；

la||b||a||b|

(7)已知|a|b|,求證：；

IabIIabl

111

(8)求證：12222。

23n

六.簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：(1)分解成

若干個(gè)一次

因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；(2)將每一個(gè)一

次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意

奇穿過偶彈回；(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解

集。如(1)解不等式(xl)(x2)2Oo

(答：{xx1或x2})；(2)

J廠-2x-3

不等式(x0的解集是—

(答：{x|x3或x1})；

(3)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R,且f(x)0的解集為

{x|lx2},g(x)0的解集為，則不等式f(x)g(x)0的解集為

(答：(，1)⑵))；(4)要使?jié)M足關(guān)于x的不等式

2x29xa0(解集非空)的每一個(gè)x的值

至少滿足不等式x24x30和x26x80中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是.

81

（答：［7,））

8

七.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為

0,再通

分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最

后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為

負(fù)時(shí)可去分母。如

5x

(1)解不等式21

x2x3

(答：(1,1)(2,3));

(2)關(guān)于x的不等式axb0的解集為(1,),則關(guān)于x的不等式

axb

0的解集為x2

(答：(，1)(2,)).

A.絕對值不等式的解法：

1.分段討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集)：如解不等式12(2)利

用絕對值的定義；

(3)數(shù)形結(jié)合；如解不等式|x||x1|3

(答：(，1)(2,))

(4)兩邊平方：如

若不等式|3x2||2xa|對xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

_________________O

4

(答：｛)

3

九.含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為

基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集

是。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未

知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如

2

（1）若loga1,則a的取值范圍是

3

2

（答：a1或0a）；

3ax2

x（aR）（2）解不等式

ax1

11

（答：{x|x0}；{xIx或x0}；{x|x0}a0時(shí)，a0時(shí)，

a0時(shí)，

aa

或x0}）

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表

示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義

范圍的端點(diǎn)值。

x2

如關(guān)于x的不等式axb0的解集為（，1），則不等式0的解集

為

axb

(答：(一1,2))

十一.含絕對值不等式的性質(zhì)：

a、b同號(hào)或有0|abl|alIblIlai|b二labl;a、b異

號(hào)或有0|ab||a||b|I|al|b|I|ab|.如設(shè)

f(x)x2x13,實(shí)數(shù)a滿足|xa|1,求證：|f(x)f(a)I2(|a|1)

十二.不等式的恒成立,能成立，恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處

理方

式？(常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓

住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法)1).恒成立問題

若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上

fxminA

若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上

fxmaxB如(1)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2(y1)21,當(dāng)xyc0

時(shí)，c的取值范圍是

72

(答：；1,)

31

x|2lx|42(答：xR)；

(2)不等式x4x3a對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍_____(答：a1)；(3)若不等式2x1m(x21)對滿足m2的

所有m都成立，則x的取值范圍

(答：(

n

7131

,））；22