2024新高考數學基礎知識梳理與課本題目鞏固-模塊16-計數原理

模塊十六：計數原理1、分類計數原理(加法原理)完成一件事,有n類辦法,在第1類辦法中有m1m2種不同的方法?,在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有:N注:(1)分類加法計數原理的特點:分類加法計數原理又稱為分類計數原理或加法原理,其特點是各類中的每一種方法都可以完成要做的事情,強調每一類中的任何一種方法都可以完成要做的事,因此共有m1+(2)分類的原則:分類計數時,首先要根據問題的特點,確定一個合適的分類標準,然后利用這個分類標準進行分類,分類時要注意兩個基本原則:一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類;二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法,只要滿足這兩個基本原則,就可以確保計數時不重不漏.2、分步計數原理(乘法原理)完成一件事,需要n個步驟,在第1個步驟中有m1m2種不同的方法?,在第n個步驟中有mnN=_注:(1)分布乘法計數原理的特點是在所有的各步之中,每一步都要使用一種方法才能完成要做的事情,強調依次完成各個步驟才能完成要做的事情,因此共有m1×(2)分類的原則:(i)明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事。怎樣才能完成這件事,弄清要經過哪幾步才能完成這件事;(ii)完成這件事需要分成n個步驟,只有每個步驟完成了,才算完成這件事,缺少任何一步,這件事就不可能完成;(iii)根據題意正確分步,要求各步驟之間必須連續(xù)(不能缺少步驟),只有按照這n個步驟逐步去做,才能完成這件事,各個步驟既能不重復也不能遺漏.3、分類加法計數原理與分步乘法計數原理的辨析(1)區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別分類加法計數原理分步加法計數原理(1)針對的是“分類問題”;針對的是“分步問題”;(2)各種方法相互獨立;(2)各種步驟之間的方法相互依存;(3)用其中一種方法都可以完成這件事(3)只有各個步驟都完成才算完成這件事聯(lián)系解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數問題(2)分類加法計算原理與分步乘法計數原理的合理選擇在解決有關計數問題時,應注意合理分類,準確分步,同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉換法的應用.4、排列(1)排列的定義:一般地,從n個不同元素中取出mm≤n,n,m∈N′個元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n(2)排列概念的理解:1)排列的定義中包含兩個基本內容,一是取出元素;二是按照一定的順序排列.2)兩個排列相同的條件(1)元素完全相同;(2)元素的排列順序也相同.3)定義中“一定的順序”就是說排列與位置有關.(3)排列的判斷判斷一個問題是不是排列問題的關鍵:判斷是否與順序有關,與順序有關且是從n個不同元素中取出mm≤n5、排列數一般地,從n個不同元素中取出mm≤n,n,m∈N*個元素的所有不同排列的個數,叫從n注:(1)排列數公式的特征:第一個因數是n,后面每一個因數比它前面一個因數少1,最后一個因數是n?m+1,共有(2)全排列與階乘:A(3)Ann(1)組合的定義一般地,從n個不同元素中取出mm≤n,n,m∈N*(2)對組合概念的理解1)組合的概念中有兩個要點:(1)要求n個元素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m個元素與順序無關,無序性是組合的特征性質.2)兩個組合相同:只要兩個組合中的元素完全相同,無論元素的順序如何,都是相同的組合.(3)排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系:都是從n個不同元素中取出m?m區(qū)別:排列是把取出的元素按順序排成一列,它與元素的順序有關,而組合只要把元素取出來就可以,取出的元素與順序無關,可以總結為:有序排列,無序組合.7、組合與組合數一般地,從n個不同的元素中,任取m1≤m≤n個元素為一組,叫作從nC8、組合數的性質（能解釋其中原理）(1)Cnm(2)Cn0+Cn1(3)mCnm=9、二項式定理一般地,對于任意正整數n,都有aC(*)公式*叫做二項式定理,等號右邊的多項式叫做a+bn的二項展開式,其中各項的系數Cnkk∈{0,1,2,?,n}10、二項展開式的規(guī)律說明(1)項數:n+1(2)第r+1項的二項式系數是(3)在二項展開式中,與首末兩端等距離的兩項的二項式系數相等.(4)如果二項式的冪指數是偶數,中間的一項的二項式系數最大.如果二項式的冪指數是奇數,中間兩項的的二項式系數最大,并且相等.(5)通項公式:Tr+1=Cn11、二項式系數的性質對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等(即C增減性當k<n+12最大值當n是偶數時,展開式的中間一項T42+1的二項式系數Cn12最大;當n是奇數時,展開式的中間兩項Tn?1各二項式系數的和各二項式的系數和C奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和C(2)楊輝三角一一二項式系數表(閱讀課本選擇性必修三P39-P41)當n依次取1,2,3,?系數:CC10C20?C3aaa(i)每一行的二項式系數是對稱的,即C(ii)每一行兩端都是1,而且從第二行起,除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和.(iii)從第二項起,每一行的二項式系數從兩端向中間逐漸增大;(iv)所有二項式系數和Cn0(1)ax+(1)常數項a(2)所有項的系數和:a(3)奇數項與偶數項系數的差:a13、二項展開中系數最大(小)項的求法:設第k項的系數Ak最大(小),由Ak≥Ak?1Ak≥(1)利用二項式定理解決整除問題,關鍵是要巧妙構造二項式,其基本做法:要證明一個式子能被另一個式子整除,只要證明這個式子按照二項式定理展開后個各項均能被另一個式子整除即可.(2)用二項式定理處理整除問題時,通常把底數寫成除數(或與除數密切相關的數)與某數的和或差的形式,再用二項式定理展開,只考慮(或者前面)一兩項就可以了.(3)要注意余數的范圍,a=c?r+b【課本優(yōu)質習題匯總】人教A版選擇性必修三P74.在1,25.由數字1,2人教A版選擇性必修三P111.乘積a1+4.用1,5,9,135.一個口袋內裝有5個小球,另一個口袋內裝有6個小球,所有這些小球的顏色互不相同.從兩個袋子中分別取1個球,共有多少種不同的取法?6.(1)在平面直角坐標系內,橫坐標與縱坐標均在A={(2)在平面直角坐標系內,斜率在集合B={1,3,5,7}內取值,人教A版選擇性必修三P1211.在國慶長假期間,要從7人中選若干人在7天假期值班(每天只需1人值班),不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天,有多少種可能的安排方法?12.2160有多少個不同的正因數?人教A版選擇性必修三P266.(1)空間中有8個點,其中任何4個點不共面,過每3個點作一個平面,可以作多少個平面?(2)空間中有10個點,其中任何4個點不共面,過每4個點為頂點作一個四面體,可以作多少個四面體?人教A版選擇性必修三P268.求證:(1)An+1n+19.學校要安排一場文藝晚會的11個節(jié)目的演出順序.除第1個節(jié)目和最后1個節(jié)目已確定外,4個音樂節(jié)目要求排在第2,5,7,10人教A版選擇性必修三P2711.一個數陣有m行n列,第一行中的n個數互不相同,其余行都由這n個數以不同的順序組成.如果要使任意兩行的順序都不相同,那么m的值最大可取多少?12.(1)從0,2,4,6(2)由數字0,113.從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽.(1)如果4人中男生女生各選2人,那么有多少種選法?(2)如果男生中的甲和女生中的乙必須在內,那么有多少種選法?(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內,那么有多少種選法?(第17題)(4)如果4人中必須既有男生又有女生,那么有多少種選法?14.一個宿舍的6名同學被邀請參加一個晚會.(1)如果必須有人去,去幾個人自行決定,有多少種不同的去法?(2)如果其中甲和乙兩位同學要么都去,要么都不去,有多少種去法?17.如圖,現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色,要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色,共有幾種不同的著色方法?人教A版選擇性必修三P2819.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術比賽,決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績,回答者對甲說:“很遺憾,你和乙都沒有得到冠軍."對乙說:“你當然不會是最差的.”從這兩個回答分析,5人的名次排列可能有多少種不同情況?人教A版選擇性必修三P314.x?1(A)C106(B)?C106(C)5.在x?1x?2x人教A版選擇性必修三P341.填空題(1)C(2)C人教A版選擇性必修三P357.證明:(1)x?1x2n(2)1+x2n的展開式的中間一項是8.已知1+x9.用二項式定理證明:(1)n+1n?1(2)9910?10.求證:2n?人教A版選擇性必修三P37(6)正十二邊形的對角線的條數是人教A版選擇性必修三P38(1)已知Cn+1n(2)某班一天上午有4節(jié)課,下午有2節(jié)課,現(xiàn)要安排該班一天中語文、數學、政治、英語、體育、藝術6堂課的課程表,要求數學課排在上午,體育課排在下午,不同排法種數是__(4)以正方體的頂點為頂點的三棱雉的個數是人教A版選擇性必修三P384.(1)平面內有n條直線,其中沒有兩條平行,也沒有三條交于一點,共有多少個交點?(2)空間有n個平面,其中沒有兩個互相平行,也沒有三個交于一條直線,共有多少條交線?5.(1)求1?2x51+(2)求9x+(3)已知1+xn的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數成等差數列,求(4)求1+x+x21(5)求x2+x+y56.用二項式定理證明5555+9能被8整除.(提示:7.(1)平面內有兩組平行線,一組有m條,另一組有n條,這兩組平行線相交,可以構成多少個平行四邊形?(2)空間有三組平行平面,第一組有m個,第二組有n個,第三組有l(wèi)個,不同兩組的平面都相交,且交線不都平行,可以構成多少個平行六面體?8.某種產品的加工需要經過5道工序.(1)如果其中某道工序不能放在最后,那么有多少種加工順序?(2)如果其中某2道工序既不能放在最前,也不能放在最后,那么有多少種加工順序?(3)如果其中某2道工序必須相鄰,那么有多少種加工順序?(4)如果其中某2道工序不能相鄰,那么有多少種加工順序?9.在1+x3+1+10.你能構造一個實際背景,對等式Cnk人教B版選擇性必修二P8(3)已知n是一個小于10的正整數,且由集合A=x?x∈N(4)如圖所示,把硬幣有幣值的一面稱為正面,有花的一(第4題)面稱為反面.拋一次硬幣,得到正面記為1,得到反面記為0.現(xiàn)拋一枚硬幣5次,按照每次的結果,可得到由5個數組成的數組(例如,若第一、二、四次得到的是正面,第三、五次得到的是反面,則結果可記為1,1(5)已知A是一個有限集,且A中的元素個數為n,求A的子集的個數.人教B版選擇性必修二P15(3)用0,1(1)沒有重復數字的四位數?(2)沒有重復數字且被5整除的四位數?(3)比2000大且沒有重復數字的自然數?(4)四對夫婦坐成一排照相:(1)每對夫婦都不能被隔開的排法有多少種?(2)每對夫婦都不能被隔開,且同性別的人不能相鄰的排法有多少種?將2個男生和4個女生排成一排:(1)男生排在中間的排法有多少種?(2)男生不在頭尾的排法有多少種?(3)男生不相鄰的排法有多少種?(4)男生不相鄰且不在頭尾的排法有多少種?(5)2個男生都不與女生甲相鄰的排法有多少種?人教B版選擇性必修二P23(2)解方程:C18x(4)利用組合數公式證明Cnm(4)甲、乙、丙、丁、戊五名同學參加某項競賽,決出了第一名到第五名的5個名次.甲、乙兩人去詢問成績,組織者對甲說:“很遺憾,你和乙都未拿到冠軍."對乙說:“你當然不會是最差的.”從組織者的回答分析，這五名同學的名次排列共有多少種不同的情況.將6名中學生分到甲、乙、丙3個不同的公益小組:(1)要求有3人分到甲組,2人分到乙組,1個人分到丙組,共有多少種不同的分法?(2)要求三個組的人數分別為3,2人教B版選擇性必修二P(2)已知從n個不同對象中取出2個對象的排列數等于從n?4個不同對象中取出2個對象的排列數的7倍,求正整數n(5)(1)已知圓上有10個點,過任意3個點都可畫一個圓內接三角形,一共可畫多少個圓內接三角形?(2)已知空間中有10個點,且任意4個點都不共面,即以任意4個點為頂點都可構造一個四面體,則一共可以構造多少個四面體?(1)(1)平面內有兩組平行線,一組有m條,另一組有n條,不同組的平行線都相交,其中m,n都是大于1的正整數,這些平行線一共構成了多少個平行四邊形?(2)空間中有三組平行平面,第一組有m個,第二組有n個,第三組有l(wèi)個,不同組的平面都互相垂直,其中m將4封不同的信全部投入3個郵筒:(1)不加任何限制,有多少種不同的投法?(2)每個郵筒至少投1封信,有多少種不同的投法?(3)某乒乓球邀請賽,參加的有三個組,第一、第二組各有7個隊,第三組有6個隊,首先各組進行單循環(huán)賽,然后各小組的第一名共3個隊分主客場進行決賽，最終決出冠、亞軍，該乒乓球邀請賽一共需要比賽多少場?人教B版選擇性必修二P24(2)在不小于3000且不大于7000的正整數中,有多少個沒有重復數字的5的倍數?人教B版選擇性必修二P25某班有35名學生，其中正、副班長各1名，現(xiàn)要從該班選派5名學生參加某種活動:(1)如果正、副班長必須在內,共有多少種不同的選派方法?(2)如果正、副班長必須有一人在內,且只能有一人在內,共有多少種不同的選派方法?(3)如果正、副班長都不在內,共有多少種不同的選派方法?(4)如果正、副班長至少有一人在內,共有多少種不同的選派方法?(3)有6個座位連成一排,安排3個人就座,恰有兩個空位相鄰的不同坐法共有多少種?(3)有10個人圍著一張圓桌坐成一圈,共有多少種不同的坐法?人教B版選擇性必修二P(1)求C22(2)求證:Amm(3)如圖所示,一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域,現(xiàn)(第3題)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色,有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有多少種?要把9本不同的課外書分別裝到三個相同的手提袋里,每個袋中至少一本,一共有多少種不同的裝法?(3)把分別標有1號、2號、3號、4號的4個不同的小球放入分別標有1號、2號、